【课件】5.2 导数的运算 5.2.1 基本初等函数的导数 5.2.2 导数的四则运算法则 （44页PPT）数学-RJ·A-选择性必修第二册
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| 名称 | 【课件】5.2 导数的运算 5.2.1 基本初等函数的导数 5.2.2 导数的四则运算法则 （44页PPT）数学-RJ·A-选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 3.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-08 16:31:07 | ||
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文档简介
(共44张PPT)
数学-RJ·A-选择性必修第二册
5.2 导数的运算
5.2.1 基本初等函数的导数
5.2.2 导数的四则运算法则
第五章 一元函数的导数及其应用
学习目标
1.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数.
2.会使用导数公式表.
3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数.
重点：导数公式表及导数四则运算法则的识记以及能利用给出的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数
难点：导数公式表和导数除法法则的识记以及求简单函数的导数
知识梳理
一、常用函数的导数
1.函数y＝f（x）＝c的导数
若y＝c（如图所示）表示路程关于时间的函数，则y′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态.
2.函数y＝f（x）＝x的导数
若y＝x（如图所示）表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动.
探究：在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的图象，并根据导数定义，求它们的导数.
（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？
（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？
（3）函数y＝kx（k≠0）增（减）的快慢与什么有关？
提示：函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的图象如图所示.
（1）对于y＝2x，y′＝2表示函数y＝2x的图象上每一点处的切线的斜率都为2；
对于y＝3x，y′＝3表示函数y＝3x的图象上每一点处的切线的斜率都为3；
对于y＝4x，y′＝4表示函数y＝4x的图象上每一点处的切线的斜率都为4.
（2）函数y＝4x增加得最快，函数y＝2x增加得最慢.
（3）函数y＝kx（k≠0）增（减）的快慢与k有关.
函数的导数的绝对值的大小反映了函数增（减）的快慢的情况，导数的绝对值越大，函数值增（减）得越快，否则就越慢.
3.函数y＝f（x）＝x2的导数
y′＝2x表示函数y＝x2的图象（如图所示）上点（x，y）处切线的斜率为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化.另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，y′＝2x表明：当x<0时，随着x的增加，|y′|越来越小，y＝x2减少得越来越慢；
当x>0时，随着x的增加，|y′|越来越大，y＝x2增加
得越来越快.若y＝x2表示路程关于时间的函数，则
y′＝2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的
瞬时速度为2x.
4.函数y＝f（x）＝x3的导数
y′＝3x2表示函数y＝x3的图象（如图所示）上点（x，y）处切线的斜率为3x2，这说明随着x的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数.
5.函数y＝f（x）的导数
探究:画出函数y＝的图象.根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点（1，1）处的切线方程.
提示:函数y＝的图象如图所示，
函数y＝的导数为y′＝＝
结合函数y＝的图象可以发现：
当x<0时，函数值y 随着x的增加，减少得越来越快；
当x>0时，函数值y 随着x的增加，减少得越来越慢.
曲线y＝在点（1，1）处的切线的斜率就是导函数y′＝在x＝1处的函数值，即切线的斜率为-1，
故曲线在点（1，1）处的切线方程为y-1＝-1×（x-1），即x+y-2＝0.
6.函数y＝f（x）＝的导数
说明：这些常用的函数都是幂函数y＝xn的形式，在以后求导数时，可直接应用上述常见函数的导数，不必再用定义去求导.
二、基本初等函数的导数
基本初等函数的导数公式
1.若f（x）＝c（c为常数），则f ′（x）＝0；
2.若f（x）＝xα（α∈Q，且α≠0），则f ′（x）＝αxα-1；
3.若f（x）＝sin x，则f ′（x）＝cos x；
4.若f（x）＝cos x，则f ′（x）＝-sin x；
5.若f（x）＝ax（a>0，且a≠1），则f ′（x）＝axln a；
特别地，若f（x）＝ex，则f ′（x）＝ex；
6.若f（x）＝logax（a>0，且a≠1），则f ′（x）＝；
特别地，若f（x）＝ln x，则f ′（x）＝.
对于基本初等函数的导数公式要注意以下四点：
（1）对基本初等函数的导数公式的理解：不要求根据导数定义推导，以上基本初等函数的导数公式，只要求熟记并能够利用它们求简单函数的导数.
（2）对数函数、指数函数的导数公式中，公式（ln x）′＝，（ex）′＝ex很好记忆，但公式（logax）′＝，（ax）′＝axln a的记忆比较难，特别是ln a的位置易记错.
（3）三角函数的导数公式中，一要注意名称的改变，二要注意符号的变换.可用口诀记忆：正弦求导数，弦变符不变；余弦求导数，弦变符号变.
（4）利用导数公式求导时，一定要看清原函数的形式.只有当函数符合上述形式时，才能用导数公式表求导.
三、函数和、差的求导法则
一般地，对于两个函数f（x）和g（x）的和（或差）的导数，我们有如下法则：
［f（x）±g（x）］′＝f ′（x）±g′（x）.
说明：（1）导数和（差）的求导法则用文字语言可叙述为两个函数的和（差）的导数，等于这两个函数的导数的和（差）.
（2）导数和（差）求导法则可推广到任意有限个函数的和（差）的导数，即
［u（x）± v（x）±…±w（x）］′＝u′（x）±v′（x）±…±w′（x）.
四、函数积、商的求导法则
对于两个函数f（x）和g（x）的乘积（或商）的导数，我们有如下法则：
［f（x）g（x）］′＝f ′（x）g（x）+f（x）g′（x）；
由函数的乘积的导数法则可以得出
［cf（x）］′＝c′f（x）+cf ′（x）＝cf ′（x），
也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即［cf（x）］′＝cf ′（x）.
说明：（1）函数乘积的求导法则用文字语言叙述为两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数.简记为“轮流求导乘之和”.
（2）函数的积的导数可推广到有限个函数的乘积的导数，即［u（x）· v（x） ·…· w（x）］′＝u′（x）· v（x）·…·w（x）+u（x）v′（x）·…· w（x）+…+u（x）·v（x）·…·w′（x）.
（3）函数商的求导法则用文字语言叙述为两个函数的商的导数，等于分子函数的导数乘上分母函数，减去分子函数乘上分母函数的导数，所得差除以分母函数的平方.
（4）函数积商求导法则的特殊化公式：［cf（x）］′＝cf ′（x）； .（其中c为常数）
常考题型
一、公式法求导数
例1 求下列函数的导数：
（1）y＝ ；（2）y＝x·；（3）y＝3x；（4）y＝log5x.
【解】（1）y′＝＝（x-4）′＝-4x-5＝-.
（2）∵ y＝x·＝，∴ y′＝＝ ＝.
（3）y′＝（3x）′＝3xln 3.
（4）y′＝（log5x）′＝.
◆公式法求导数
1.分类记忆
常函数：c′＝0； 幂函数：（xα）′＝αxα-1；
指数函数：（ax）′＝axln a；特例：（ex）′＝ex；
对数函数：（logax）′＝；特例：（ln x）′＝；
三角函数：（sin x）′＝cos x，（cos x）′＝ -sin x.
在牢记公式的基础上，若所求函数符合公式可直接利用公式求导.
2.恰当转化
对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先转化，再求导”的原则进行.
一般地，根式和分数指数幂要化为负指数幂和分数指数幂求导.
训练题
1.下列结论正确的是 （ ）
A.若y＝cos x，则y′＝sin x B.若y＝sin x，则y′＝-cos x
C.若y＝，则y′＝- D.若y＝，则y′＝
2.（1）若f（x）＝x3，g（x）＝log3x，则f ′（x）-g′（x）＝ .
（2）已知f（x）＝x2，g（x）＝ln x，若f ′（x）-g′（x）＝1，则
x＝ .
C
1
3.（1）曲线f（x）＝3x在点（0，1）处的切线方程是 .
（2）已知曲线y＝x3在点（2，8）处的切线方程为y＝kx+b，则
k-b＝（ ）
A.4 B.-4 C.28 D.-28
4.［2019·福建泉州高二模拟］若曲线f（x）＝上某点处的切线的倾斜角为π，则该点的坐标为 （ ）
A.（1，1） B.（-1，-1） C.（-1，1） D.（1，1）或（-1，-1）
二、利用导数的运算法则求导数
◆求导运算的常用技巧
1.有关导数的运算，一般要按照导数的运算法则进行，两个基本初等函数的加法或减法运算，可以套用和差求导公式［f（x）±g（x）］′ ＝f ′（x）±g′（x）.两个基本初等函数的乘法运算，可以套用积的求导公式［f（x）g（x）］′＝f ′（x）g（x）+f（x）g′（x）.两个基本初等函数的除法运算，可以套用商的求导公式
2.对于某些复杂的求导问题，常根据问题的题设特点转化后再求导，常用转化技巧如下：
函数类型 处理方式
分式型 裂项化为和差形式
分母根式型 有理化变形
三角函数型 恒等变形
整式乘积型 可展开化为和差形式
A
2.求函数在某一点处的导数
例3 曲线y＝在点（1，-1）处的切线方程为 （ ）
A.y＝-2x+1 B.y＝-3x+2 C.y＝2x-3 D.y＝x-2
【解析】y＝的导数为y′＝，
在点（1，-1）处的切线斜率k＝f ′（1）＝-2，
所以曲线y＝在点（1，-1）处的切线方程为y+1＝-2（x-1），
即y＝-2x+1.
【答案】A
◆求函数在某一点处的导数的一般步骤
1.利用求导公式和导数的运算法则求导函数；
2.将自变量的值代入导函数的解析式中，即可求得函数在该点处的导数值.
训练题
1.［2020·安徽六安一中高二期末］已知函数f（x）＝xcos x+（a-1）x2是奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是 （ ）
A.2x-y＝0 B.x-y＝0 C.2x+y＝0 D.x-2y＝0
2.［2019·江西吉安一中高二检测］已知函数f （x）的导函数为f ′（x），且满足关系式f （x）＝x2+3xf ′（2）+ex，则f ′（2）的值等于 （ ）
A.-2 B.-2 C.- D.--2
B
D
3.已知导数值求参数
例4 已知函数f（x）＝，g（x）＝aln x，a∈R.若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程.
◆已知导数值求参数的方法
1.利用求导公式和导数的运算法则求出函数在某点处的导数；
2. 依据与导数值有关的等量关系建立参数的方程（组）；
3.解方程（组）求参数.
训练题
1.已知函数f（x）＝axln x，x∈（0，+∞），其中a为实数，f ′（x）为f（x）的导函数.若f ′（1）＝3，则a的值为 .
2.［2020·河南平顶山高二检测］已知函数f（x）＝+，曲线在点A（1，f （1））处的切线方程为x+2y-3＝0，则a，b的值分别为 .
3
1, 1
3.若存在过点（1，0）的直线与曲线y＝x3和y＝ax2+x-9都相切，求a的值.
解：设过点（1，0）的直线与曲线y＝x3相切于点（x0，），
所以切线方程为y-＝3（x-x0），即y＝3x-2.
又（1，0）在切线上，则x0＝0或x0＝
当x0＝0时，由y＝0与y＝ax2+x-9相切可得Δ＝-4a（-9）＝0，解得a＝，
当x0＝时，由y＝x-与y＝ax2+x-9相切可得a＝-1.
综上，a＝-1或a＝ .
三、导数的综合应用
【答案】2 014
训练题 求满足下列条件的f（x）的解析式：f（x）是三次函数，
且f（0）＝3，f ′（0）＝0，f ′（1）＝-3，f ′（2）＝0.
解：依题意，可设f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0），
则f ′（x）＝3ax2+2bx+c.
由f（0）＝3，得d＝3.
由f ′（0）＝0，得c＝0.
由f ′（1）＝-3，f ′（2）＝0，
可得 解得
∴ f（x）＝x3-3x2+3.
2.导数与数列的综合应用
例6 ［2020·河北衡水中学高三调研］等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4.函数f （x）＝x（x-a1）（x-a2）…（x-a8），则f ′（0）＝ .
【解析】设h（x）＝（x-a1）（x-a2）…（x-a8），
则f（x）＝x·h（x），∴ f ′（x）＝（x·h（x））′＝h（x）+x·h′（x），
∴ f ′（0）＝h（0）＝（-a1）（-a2）…（-a8）＝a1a2…a8.
∵ 数列{an}是等比数列，且a1＝2，a8＝4，
∴ f ′（0）＝a1a2…a8＝（a1·a8）4＝（2×4）4＝4 096.
【答案】4 096
2.利用导数求和：Sn＝1+2x+3x2+…+nxn-1（x≠0，n∈N*）.
训练题
1. ［2019·湖南长沙高二检测］设曲线y＝xn+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2021x1+log2021x2+…+log2021x2020的值为 （ ）
A.-log20212 020 B.-1 C.log20212 020-1 D.1
B
3.与导数有关的最值问题
例7 ［2020·山东临沂兰陵一中高二期末］点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离为 .
【答案】
◆切线法求最小距离问题
求曲线上的点到直线的最小距离的一般步骤为：
1.设出切点坐标；
2.利用切线与已知直线平行求出切点坐标；
3.求切点到已知直线的距离，该距离即为曲线上的点到直线的最小距离.
训练题
1.［2020·山东沂水一中高二期末］若P是抛物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x-2的最小距离为 .
2.［2019·浙江省北仑中学高二期末］已知函数f（x）＝x2+ax+1（a>0，b>0），则函数g（x）＝aln x+在点（b，g（b））处切线的斜率的最小值是 .
2
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5.2 导数的运算
5.2.1 基本初等函数的导数
5.2.2 导数的四则运算法则
第五章 一元函数的导数及其应用
学习目标
1.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数.
2.会使用导数公式表.
3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数.
重点：导数公式表及导数四则运算法则的识记以及能利用给出的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数
难点：导数公式表和导数除法法则的识记以及求简单函数的导数
知识梳理
一、常用函数的导数
1.函数y＝f（x）＝c的导数
若y＝c（如图所示）表示路程关于时间的函数，则y′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态.
2.函数y＝f（x）＝x的导数
若y＝x（如图所示）表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动.
探究：在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的图象，并根据导数定义，求它们的导数.
（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？
（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？
（3）函数y＝kx（k≠0）增（减）的快慢与什么有关？
提示：函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的图象如图所示.
（1）对于y＝2x，y′＝2表示函数y＝2x的图象上每一点处的切线的斜率都为2；
对于y＝3x，y′＝3表示函数y＝3x的图象上每一点处的切线的斜率都为3；
对于y＝4x，y′＝4表示函数y＝4x的图象上每一点处的切线的斜率都为4.
（2）函数y＝4x增加得最快，函数y＝2x增加得最慢.
（3）函数y＝kx（k≠0）增（减）的快慢与k有关.
函数的导数的绝对值的大小反映了函数增（减）的快慢的情况，导数的绝对值越大，函数值增（减）得越快，否则就越慢.
3.函数y＝f（x）＝x2的导数
y′＝2x表示函数y＝x2的图象（如图所示）上点（x，y）处切线的斜率为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化.另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，y′＝2x表明：当x<0时，随着x的增加，|y′|越来越小，y＝x2减少得越来越慢；
当x>0时，随着x的增加，|y′|越来越大，y＝x2增加
得越来越快.若y＝x2表示路程关于时间的函数，则
y′＝2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的
瞬时速度为2x.
4.函数y＝f（x）＝x3的导数
y′＝3x2表示函数y＝x3的图象（如图所示）上点（x，y）处切线的斜率为3x2，这说明随着x的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数.
5.函数y＝f（x）的导数
探究:画出函数y＝的图象.根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点（1，1）处的切线方程.
提示:函数y＝的图象如图所示，
函数y＝的导数为y′＝＝
结合函数y＝的图象可以发现：
当x<0时，函数值y 随着x的增加，减少得越来越快；
当x>0时，函数值y 随着x的增加，减少得越来越慢.
曲线y＝在点（1，1）处的切线的斜率就是导函数y′＝在x＝1处的函数值，即切线的斜率为-1，
故曲线在点（1，1）处的切线方程为y-1＝-1×（x-1），即x+y-2＝0.
6.函数y＝f（x）＝的导数
说明：这些常用的函数都是幂函数y＝xn的形式，在以后求导数时，可直接应用上述常见函数的导数，不必再用定义去求导.
二、基本初等函数的导数
基本初等函数的导数公式
1.若f（x）＝c（c为常数），则f ′（x）＝0；
2.若f（x）＝xα（α∈Q，且α≠0），则f ′（x）＝αxα-1；
3.若f（x）＝sin x，则f ′（x）＝cos x；
4.若f（x）＝cos x，则f ′（x）＝-sin x；
5.若f（x）＝ax（a>0，且a≠1），则f ′（x）＝axln a；
特别地，若f（x）＝ex，则f ′（x）＝ex；
6.若f（x）＝logax（a>0，且a≠1），则f ′（x）＝；
特别地，若f（x）＝ln x，则f ′（x）＝.
对于基本初等函数的导数公式要注意以下四点：
（1）对基本初等函数的导数公式的理解：不要求根据导数定义推导，以上基本初等函数的导数公式，只要求熟记并能够利用它们求简单函数的导数.
（2）对数函数、指数函数的导数公式中，公式（ln x）′＝，（ex）′＝ex很好记忆，但公式（logax）′＝，（ax）′＝axln a的记忆比较难，特别是ln a的位置易记错.
（3）三角函数的导数公式中，一要注意名称的改变，二要注意符号的变换.可用口诀记忆：正弦求导数，弦变符不变；余弦求导数，弦变符号变.
（4）利用导数公式求导时，一定要看清原函数的形式.只有当函数符合上述形式时，才能用导数公式表求导.
三、函数和、差的求导法则
一般地，对于两个函数f（x）和g（x）的和（或差）的导数，我们有如下法则：
［f（x）±g（x）］′＝f ′（x）±g′（x）.
说明：（1）导数和（差）的求导法则用文字语言可叙述为两个函数的和（差）的导数，等于这两个函数的导数的和（差）.
（2）导数和（差）求导法则可推广到任意有限个函数的和（差）的导数，即
［u（x）± v（x）±…±w（x）］′＝u′（x）±v′（x）±…±w′（x）.
四、函数积、商的求导法则
对于两个函数f（x）和g（x）的乘积（或商）的导数，我们有如下法则：
［f（x）g（x）］′＝f ′（x）g（x）+f（x）g′（x）；
由函数的乘积的导数法则可以得出
［cf（x）］′＝c′f（x）+cf ′（x）＝cf ′（x），
也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即［cf（x）］′＝cf ′（x）.
说明：（1）函数乘积的求导法则用文字语言叙述为两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数.简记为“轮流求导乘之和”.
（2）函数的积的导数可推广到有限个函数的乘积的导数，即［u（x）· v（x） ·…· w（x）］′＝u′（x）· v（x）·…·w（x）+u（x）v′（x）·…· w（x）+…+u（x）·v（x）·…·w′（x）.
（3）函数商的求导法则用文字语言叙述为两个函数的商的导数，等于分子函数的导数乘上分母函数，减去分子函数乘上分母函数的导数，所得差除以分母函数的平方.
（4）函数积商求导法则的特殊化公式：［cf（x）］′＝cf ′（x）； .（其中c为常数）
常考题型
一、公式法求导数
例1 求下列函数的导数：
（1）y＝ ；（2）y＝x·；（3）y＝3x；（4）y＝log5x.
【解】（1）y′＝＝（x-4）′＝-4x-5＝-.
（2）∵ y＝x·＝，∴ y′＝＝ ＝.
（3）y′＝（3x）′＝3xln 3.
（4）y′＝（log5x）′＝.
◆公式法求导数
1.分类记忆
常函数：c′＝0； 幂函数：（xα）′＝αxα-1；
指数函数：（ax）′＝axln a；特例：（ex）′＝ex；
对数函数：（logax）′＝；特例：（ln x）′＝；
三角函数：（sin x）′＝cos x，（cos x）′＝ -sin x.
在牢记公式的基础上，若所求函数符合公式可直接利用公式求导.
2.恰当转化
对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先转化，再求导”的原则进行.
一般地，根式和分数指数幂要化为负指数幂和分数指数幂求导.
训练题
1.下列结论正确的是 （ ）
A.若y＝cos x，则y′＝sin x B.若y＝sin x，则y′＝-cos x
C.若y＝，则y′＝- D.若y＝，则y′＝
2.（1）若f（x）＝x3，g（x）＝log3x，则f ′（x）-g′（x）＝ .
（2）已知f（x）＝x2，g（x）＝ln x，若f ′（x）-g′（x）＝1，则
x＝ .
C
1
3.（1）曲线f（x）＝3x在点（0，1）处的切线方程是 .
（2）已知曲线y＝x3在点（2，8）处的切线方程为y＝kx+b，则
k-b＝（ ）
A.4 B.-4 C.28 D.-28
4.［2019·福建泉州高二模拟］若曲线f（x）＝上某点处的切线的倾斜角为π，则该点的坐标为 （ ）
A.（1，1） B.（-1，-1） C.（-1，1） D.（1，1）或（-1，-1）
二、利用导数的运算法则求导数
◆求导运算的常用技巧
1.有关导数的运算，一般要按照导数的运算法则进行，两个基本初等函数的加法或减法运算，可以套用和差求导公式［f（x）±g（x）］′ ＝f ′（x）±g′（x）.两个基本初等函数的乘法运算，可以套用积的求导公式［f（x）g（x）］′＝f ′（x）g（x）+f（x）g′（x）.两个基本初等函数的除法运算，可以套用商的求导公式
2.对于某些复杂的求导问题，常根据问题的题设特点转化后再求导，常用转化技巧如下：
函数类型 处理方式
分式型 裂项化为和差形式
分母根式型 有理化变形
三角函数型 恒等变形
整式乘积型 可展开化为和差形式
A
2.求函数在某一点处的导数
例3 曲线y＝在点（1，-1）处的切线方程为 （ ）
A.y＝-2x+1 B.y＝-3x+2 C.y＝2x-3 D.y＝x-2
【解析】y＝的导数为y′＝，
在点（1，-1）处的切线斜率k＝f ′（1）＝-2，
所以曲线y＝在点（1，-1）处的切线方程为y+1＝-2（x-1），
即y＝-2x+1.
【答案】A
◆求函数在某一点处的导数的一般步骤
1.利用求导公式和导数的运算法则求导函数；
2.将自变量的值代入导函数的解析式中，即可求得函数在该点处的导数值.
训练题
1.［2020·安徽六安一中高二期末］已知函数f（x）＝xcos x+（a-1）x2是奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是 （ ）
A.2x-y＝0 B.x-y＝0 C.2x+y＝0 D.x-2y＝0
2.［2019·江西吉安一中高二检测］已知函数f （x）的导函数为f ′（x），且满足关系式f （x）＝x2+3xf ′（2）+ex，则f ′（2）的值等于 （ ）
A.-2 B.-2 C.- D.--2
B
D
3.已知导数值求参数
例4 已知函数f（x）＝，g（x）＝aln x，a∈R.若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程.
◆已知导数值求参数的方法
1.利用求导公式和导数的运算法则求出函数在某点处的导数；
2. 依据与导数值有关的等量关系建立参数的方程（组）；
3.解方程（组）求参数.
训练题
1.已知函数f（x）＝axln x，x∈（0，+∞），其中a为实数，f ′（x）为f（x）的导函数.若f ′（1）＝3，则a的值为 .
2.［2020·河南平顶山高二检测］已知函数f（x）＝+，曲线在点A（1，f （1））处的切线方程为x+2y-3＝0，则a，b的值分别为 .
3
1, 1
3.若存在过点（1，0）的直线与曲线y＝x3和y＝ax2+x-9都相切，求a的值.
解：设过点（1，0）的直线与曲线y＝x3相切于点（x0，），
所以切线方程为y-＝3（x-x0），即y＝3x-2.
又（1，0）在切线上，则x0＝0或x0＝
当x0＝0时，由y＝0与y＝ax2+x-9相切可得Δ＝-4a（-9）＝0，解得a＝，
当x0＝时，由y＝x-与y＝ax2+x-9相切可得a＝-1.
综上，a＝-1或a＝ .
三、导数的综合应用
【答案】2 014
训练题 求满足下列条件的f（x）的解析式：f（x）是三次函数，
且f（0）＝3，f ′（0）＝0，f ′（1）＝-3，f ′（2）＝0.
解：依题意，可设f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0），
则f ′（x）＝3ax2+2bx+c.
由f（0）＝3，得d＝3.
由f ′（0）＝0，得c＝0.
由f ′（1）＝-3，f ′（2）＝0，
可得 解得
∴ f（x）＝x3-3x2+3.
2.导数与数列的综合应用
例6 ［2020·河北衡水中学高三调研］等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4.函数f （x）＝x（x-a1）（x-a2）…（x-a8），则f ′（0）＝ .
【解析】设h（x）＝（x-a1）（x-a2）…（x-a8），
则f（x）＝x·h（x），∴ f ′（x）＝（x·h（x））′＝h（x）+x·h′（x），
∴ f ′（0）＝h（0）＝（-a1）（-a2）…（-a8）＝a1a2…a8.
∵ 数列{an}是等比数列，且a1＝2，a8＝4，
∴ f ′（0）＝a1a2…a8＝（a1·a8）4＝（2×4）4＝4 096.
【答案】4 096
2.利用导数求和：Sn＝1+2x+3x2+…+nxn-1（x≠0，n∈N*）.
训练题
1. ［2019·湖南长沙高二检测］设曲线y＝xn+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2021x1+log2021x2+…+log2021x2020的值为 （ ）
A.-log20212 020 B.-1 C.log20212 020-1 D.1
B
3.与导数有关的最值问题
例7 ［2020·山东临沂兰陵一中高二期末］点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离为 .
【答案】
◆切线法求最小距离问题
求曲线上的点到直线的最小距离的一般步骤为：
1.设出切点坐标；
2.利用切线与已知直线平行求出切点坐标；
3.求切点到已知直线的距离，该距离即为曲线上的点到直线的最小距离.
训练题
1.［2020·山东沂水一中高二期末］若P是抛物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x-2的最小距离为 .
2.［2019·浙江省北仑中学高二期末］已知函数f（x）＝x2+ax+1（a>0，b>0），则函数g（x）＝aln x+在点（b，g（b））处切线的斜率的最小值是 .
2
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
谢谢
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