【课件】5.2 导数的运算 5.2.3 简单复合函数的导数 数学-RJ·A-选择性必修第二册（26页PPT）
文档属性
| 名称 | 【课件】5.2 导数的运算 5.2.3 简单复合函数的导数 数学-RJ·A-选择性必修第二册（26页PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-08 16:39:34 | ||
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文档简介
(共26张PPT)
数学-RJ·A-选择性必修第二册
5.2 导数的运算
5.2.3 简单复合函数的导数
第五章 一元函数的导数及其应用
学习目标
能求简单的复合函数（限于形如f（ax+b））的导数.
重点：复合函数导数的求法
难点：求复合函数的导数
知识梳理
一、复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f（u）和u＝g（x），如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f（u）和u＝g（x）的复合函数，记作y＝f（g（x））.
例如，函数y＝ln（2x-1）由y＝ln u和u＝2x-1复合而成.
又如，函数y＝sin 2x由y＝sin u和u＝2x复合而成.
对于复合函数概念的理解要注意以下三点：
（1）不是任意两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当y＝f（u）的定义域与u＝g（x）的值域的交集非空时，y＝f（u）与u＝g（x）才能复合成复合函数y＝f（g（x））.
（2）对于y＝f（u）和u＝g（x）复合而成的函数y＝f（g（x）），u称为中间变量.看一个复合函数分解成的两个函数是否正确，关键看这两个函数在消去中间变量u后是否能复合成原函数.
（3）“分解”是研究复合函数问题的常用解决方法.
二、复合函数导数的求法
一般地，对于由函数y＝f（u）和u＝g（x）复合而成的函数y＝f（g（x）），它的导数与函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为＝· .
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
对于复合函数的求导法则要注意以下三点：
（1）y′x＝y′u·u′x也可表示为y′x＝f ′（u）·g′（x）；
（2）我们把复合函数的这种求导法则称为“链式法则”；
（3）法则可以推广到两个以上的中间变量，例如y′x＝y′u·u′v·v′x .
常考题型
一、求简单复合函数的导数
1.已知复合函数解析式求导数
例1 求下列函数的导数：（1）y＝sin（2x+1）；
（2）y＝；（3）y＝log2（4x+7）.
【解】（1）函数y＝sin（2x+1）可以看作函数y＝sin u和u＝2x+1的复合函数，
根据复合函数求导法则有
y′x＝yu′·ux′＝（sin u）′·（2x+1）′＝2cos u＝2cos（2x+1）.
（2）函数y＝可以看作函数y＝和u＝3x+5的复合函数，
根据复合函数求导法则有
◆求复合函数导数的三个步骤
1.分解
弄清复合关系，将复合函数分解成初等函数的形式，即明确函数关系y＝f（u），u＝g（x）.
2.求导
利用求导法则从外向内分层求导逐一相乘，要特别注意中间变量对自变量的求导，即先求f ′（u），再求g′（x）.
3.回代
最终结果要将中间变量换成自变量.
简记为“分解—求导—回代”三个步骤，熟练以后可以省略中间过程.
◆求复合函数导数的注意点
1.内、外层函数通常为初等函数.
2.求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点.
训练题
1.［2020·浙江省北仑中学高二检测］函数y＝x2cos 2x的导数为（ ）
A.y′＝2xcos 2x-x2sin 2x B.y′＝2xcos 2x-2x2sin 2x
C.y′＝x2cos 2x-2xsin 2x D.y′＝2xcos 2x+2x2sin 2x
2.［2020·湖北黄石高二检测］函数f（x）＝（2x+1）5，则f ′（0）的值为 .
B
10
3.［2020·福建福州一中高二检测］ 若f（x）＝，且f ′（1）＝1，则a的值为 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
4.若f（x）＝（2x+a）2，且f ′（2）＝20，则a＝ .
B
1
2.利用导数运算法则求值
例2 已知函数f（x）在R上满足f（x）＝2f（2-x）-x2+8x-8，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是 .
【解析】（方法一） f ′（x）＝2f ′（2-x）·（2-x）′-2x+8
＝-2f ′（2-x）-2x+8，
则f ′（1）＝-2f ′（1）-2+8，得f ′（1）＝2.
又f（1）＝2f（1）-1+8-8，得f（1）＝1，
故曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-1＝2（x-1），
即y＝2x-1.
（方法二）因为f（x）＝2f（2-x）-x2+8x-8 ①，
所以f（2-x）＝2f（x）-（2-x）2+8（2-x）-8 ②.
把②代入①得f（x）＝x2，所以f（1）＝1，f ′（x）＝2x，
所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率k＝f ′（1）＝2，
故所求切线方程为y-1＝2（x-1），即y＝2x-1.
【答案】y＝2x-1
【方法点拨】对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f （x）＝f ′（x0）g（x）+h（x）（x0为常数）的函数，解决这类题的关键是明确f ′（x0）是常数，其导数值为0. 因此先求导数f ′（x），令x＝x0，即可得到 f ′（x0）的值，进而得到函数解析式，求得导数值.
训练题
1.（1）［2020·北京昌平区高二检测］若函数f（x）满足f（x）＝，则f ′（1）的值为 （ ）
A.0 B.2 C.1 D.-1
（2）［2020·天津南开区高二期末联考］已知函数f（x）＝（ax+1）ln x， f ′（x）为f（x）的导函数，若f ′（1）＝3，则实数a的值为 .
A
2
2.［2020·黑龙江铁人中学高二期末］如图所示，y＝f（x）是可导函数，直线l：y＝kx+2是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，
令g（x）＝xf（x），g′（x）是g（x）的导函数，
则g′（3）＝ （ ）
A.-1 B.0 C.2 D.4
B
3.［2020·华中师大一附中高二检测］已知函数，求f （x）的解析式.
解：令x＝0，则f（0）＝2，
故f（x）＝ln （x+1）-f ′（0）x2-2x+2，
从而f ′（x）＝-2f ′（0）x-2，
令x＝0，则f ′（0）＝-1，
于是f（x）＝ln （x+1）+x2-2x+2.
二、导数在曲线的切线问题中的应用
1.曲线的切线问题
例3 ［2020·江苏泰州高二联考］设曲线y＝e-x（x≥0）在点M（t，e-t）处的切线l与x轴、y轴围成的三角形面积为S（t）.
（1）求切线l的方程；（2）求S（t）的解析式.
【解】（1）∵ y＝e-x，∴ y′＝（e-x）′＝-e-x.
故切线的方程为y-e-t＝-e-t（x-t），即x+ety-（t+1）＝0.
（2）令y＝0，得x＝t+1；令x＝0，得y＝e-t（t+1）.
∴ S（t）＝（t+1）e-t（t+1）＝（t+1）2e-t（t≥0）.
◆利用导数求切线方程的方法
1.求解以曲线上的点（x0，f（x0））为切点的切线方程的步骤：
（1）求出函数f （x）的导数f ′（x）；
（2）求切线的斜率f ′（x0）；
（3）利用直线的点斜式写出切线方程为y-f（x0）＝f ′（x0）（x-x0）.
2.若已知点（x1，y1）不在曲线上，则先设出切点（x0，y0），再解方程组 得切点（x0，y0），进而确定切线方程.
训练题
1.曲线y＝f（x）＝+1在点（0，2）处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为 （ ）
A. B. C. D.1
2.［2020·河南郑州外国语学校高二检测］曲线y＝f（x）＝上点P处的切线平行于直线2x+y+1＝0，则点P的坐标是 .
3.［2020·广东茂名市一中期末］曲线y＝x在点（1，1）处的切线的斜率为 .
A
2
4.［2020·浙江宁波市镇海中学期末］曲线y＝f（x）＝在点处的切线方程为 （ ）
A. x-2y+2＝0 B. 2x-y-2＝0
C. 2x+y+2＝0 D. 2x-y+2＝0
5.若曲线y＝eax在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1＝0垂直，则a＝ .
D
2
2.与切线有关的最值问题
例4 ［2020·山东青岛二中高二检测］若函数f（x）＝eax（a>0，b>0）的图象在x＝0处的切线与圆x2+y2＝1相切，则a+b的最大值是 （ ）
A.4 B. C.2 D.
【解析】函数的导数为f ′（x）＝eax，所以f ′（0）＝e0＝，
即在x＝0处的切线斜率k＝.
又f（0）＝e0＝，所以切点为，
所以切线方程为y+＝x，即ax+by+1＝0.
圆心到直线ax+bx+1＝0的距离d＝＝1，
即a2+b2＝1，所以a2+b2＝1≥2ab.
又a2+b2＝（a+b）2-2ab＝1，所以（a+b）2＝2ab+1≤1+1＝2，
即a+b≤，所以a+b的最大值是.
【答案】D
◆与切线有关的最值问题
求曲线上一点到直线的最小距离问题，一般可转化为曲线上与直线平行的一条切线的切点到直线的距离问题来解决.其一般步骤为：
1.求出与直线平行的曲线的切线的切点坐标；
2.利用点到直线的距离公式求出切点到直线的距离，即为最小距离.
训练题
1.［2020·河南许昌高二检测］曲线f（x）＝ln（2x-1）上的点到直线2x-y+3＝0的最短距离是 .
2.已知函数f（x）＝ax2+2ln（2-x）（a∈R），设曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线为，若直线与圆x2+y2＝相切，求实数a的值.
解：因为f（1）＝a，f ′（x）＝2ax+（x<2），
所以f ′（1）＝2a-2，所以切线l的方程为2（a-1）x-y+2-a＝0.
因为直线与圆相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，
即d＝ ＝，解得a＝.
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数学-RJ·A-选择性必修第二册
5.2 导数的运算
5.2.3 简单复合函数的导数
第五章 一元函数的导数及其应用
学习目标
能求简单的复合函数（限于形如f（ax+b））的导数.
重点：复合函数导数的求法
难点：求复合函数的导数
知识梳理
一、复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f（u）和u＝g（x），如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f（u）和u＝g（x）的复合函数，记作y＝f（g（x））.
例如，函数y＝ln（2x-1）由y＝ln u和u＝2x-1复合而成.
又如，函数y＝sin 2x由y＝sin u和u＝2x复合而成.
对于复合函数概念的理解要注意以下三点：
（1）不是任意两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当y＝f（u）的定义域与u＝g（x）的值域的交集非空时，y＝f（u）与u＝g（x）才能复合成复合函数y＝f（g（x））.
（2）对于y＝f（u）和u＝g（x）复合而成的函数y＝f（g（x）），u称为中间变量.看一个复合函数分解成的两个函数是否正确，关键看这两个函数在消去中间变量u后是否能复合成原函数.
（3）“分解”是研究复合函数问题的常用解决方法.
二、复合函数导数的求法
一般地，对于由函数y＝f（u）和u＝g（x）复合而成的函数y＝f（g（x）），它的导数与函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为＝· .
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
对于复合函数的求导法则要注意以下三点：
（1）y′x＝y′u·u′x也可表示为y′x＝f ′（u）·g′（x）；
（2）我们把复合函数的这种求导法则称为“链式法则”；
（3）法则可以推广到两个以上的中间变量，例如y′x＝y′u·u′v·v′x .
常考题型
一、求简单复合函数的导数
1.已知复合函数解析式求导数
例1 求下列函数的导数：（1）y＝sin（2x+1）；
（2）y＝；（3）y＝log2（4x+7）.
【解】（1）函数y＝sin（2x+1）可以看作函数y＝sin u和u＝2x+1的复合函数，
根据复合函数求导法则有
y′x＝yu′·ux′＝（sin u）′·（2x+1）′＝2cos u＝2cos（2x+1）.
（2）函数y＝可以看作函数y＝和u＝3x+5的复合函数，
根据复合函数求导法则有
◆求复合函数导数的三个步骤
1.分解
弄清复合关系，将复合函数分解成初等函数的形式，即明确函数关系y＝f（u），u＝g（x）.
2.求导
利用求导法则从外向内分层求导逐一相乘，要特别注意中间变量对自变量的求导，即先求f ′（u），再求g′（x）.
3.回代
最终结果要将中间变量换成自变量.
简记为“分解—求导—回代”三个步骤，熟练以后可以省略中间过程.
◆求复合函数导数的注意点
1.内、外层函数通常为初等函数.
2.求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点.
训练题
1.［2020·浙江省北仑中学高二检测］函数y＝x2cos 2x的导数为（ ）
A.y′＝2xcos 2x-x2sin 2x B.y′＝2xcos 2x-2x2sin 2x
C.y′＝x2cos 2x-2xsin 2x D.y′＝2xcos 2x+2x2sin 2x
2.［2020·湖北黄石高二检测］函数f（x）＝（2x+1）5，则f ′（0）的值为 .
B
10
3.［2020·福建福州一中高二检测］ 若f（x）＝，且f ′（1）＝1，则a的值为 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
4.若f（x）＝（2x+a）2，且f ′（2）＝20，则a＝ .
B
1
2.利用导数运算法则求值
例2 已知函数f（x）在R上满足f（x）＝2f（2-x）-x2+8x-8，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是 .
【解析】（方法一） f ′（x）＝2f ′（2-x）·（2-x）′-2x+8
＝-2f ′（2-x）-2x+8，
则f ′（1）＝-2f ′（1）-2+8，得f ′（1）＝2.
又f（1）＝2f（1）-1+8-8，得f（1）＝1，
故曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-1＝2（x-1），
即y＝2x-1.
（方法二）因为f（x）＝2f（2-x）-x2+8x-8 ①，
所以f（2-x）＝2f（x）-（2-x）2+8（2-x）-8 ②.
把②代入①得f（x）＝x2，所以f（1）＝1，f ′（x）＝2x，
所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率k＝f ′（1）＝2，
故所求切线方程为y-1＝2（x-1），即y＝2x-1.
【答案】y＝2x-1
【方法点拨】对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f （x）＝f ′（x0）g（x）+h（x）（x0为常数）的函数，解决这类题的关键是明确f ′（x0）是常数，其导数值为0. 因此先求导数f ′（x），令x＝x0，即可得到 f ′（x0）的值，进而得到函数解析式，求得导数值.
训练题
1.（1）［2020·北京昌平区高二检测］若函数f（x）满足f（x）＝，则f ′（1）的值为 （ ）
A.0 B.2 C.1 D.-1
（2）［2020·天津南开区高二期末联考］已知函数f（x）＝（ax+1）ln x， f ′（x）为f（x）的导函数，若f ′（1）＝3，则实数a的值为 .
A
2
2.［2020·黑龙江铁人中学高二期末］如图所示，y＝f（x）是可导函数，直线l：y＝kx+2是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，
令g（x）＝xf（x），g′（x）是g（x）的导函数，
则g′（3）＝ （ ）
A.-1 B.0 C.2 D.4
B
3.［2020·华中师大一附中高二检测］已知函数，求f （x）的解析式.
解：令x＝0，则f（0）＝2，
故f（x）＝ln （x+1）-f ′（0）x2-2x+2，
从而f ′（x）＝-2f ′（0）x-2，
令x＝0，则f ′（0）＝-1，
于是f（x）＝ln （x+1）+x2-2x+2.
二、导数在曲线的切线问题中的应用
1.曲线的切线问题
例3 ［2020·江苏泰州高二联考］设曲线y＝e-x（x≥0）在点M（t，e-t）处的切线l与x轴、y轴围成的三角形面积为S（t）.
（1）求切线l的方程；（2）求S（t）的解析式.
【解】（1）∵ y＝e-x，∴ y′＝（e-x）′＝-e-x.
故切线的方程为y-e-t＝-e-t（x-t），即x+ety-（t+1）＝0.
（2）令y＝0，得x＝t+1；令x＝0，得y＝e-t（t+1）.
∴ S（t）＝（t+1）e-t（t+1）＝（t+1）2e-t（t≥0）.
◆利用导数求切线方程的方法
1.求解以曲线上的点（x0，f（x0））为切点的切线方程的步骤：
（1）求出函数f （x）的导数f ′（x）；
（2）求切线的斜率f ′（x0）；
（3）利用直线的点斜式写出切线方程为y-f（x0）＝f ′（x0）（x-x0）.
2.若已知点（x1，y1）不在曲线上，则先设出切点（x0，y0），再解方程组 得切点（x0，y0），进而确定切线方程.
训练题
1.曲线y＝f（x）＝+1在点（0，2）处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为 （ ）
A. B. C. D.1
2.［2020·河南郑州外国语学校高二检测］曲线y＝f（x）＝上点P处的切线平行于直线2x+y+1＝0，则点P的坐标是 .
3.［2020·广东茂名市一中期末］曲线y＝x在点（1，1）处的切线的斜率为 .
A
2
4.［2020·浙江宁波市镇海中学期末］曲线y＝f（x）＝在点处的切线方程为 （ ）
A. x-2y+2＝0 B. 2x-y-2＝0
C. 2x+y+2＝0 D. 2x-y+2＝0
5.若曲线y＝eax在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1＝0垂直，则a＝ .
D
2
2.与切线有关的最值问题
例4 ［2020·山东青岛二中高二检测］若函数f（x）＝eax（a>0，b>0）的图象在x＝0处的切线与圆x2+y2＝1相切，则a+b的最大值是 （ ）
A.4 B. C.2 D.
【解析】函数的导数为f ′（x）＝eax，所以f ′（0）＝e0＝，
即在x＝0处的切线斜率k＝.
又f（0）＝e0＝，所以切点为，
所以切线方程为y+＝x，即ax+by+1＝0.
圆心到直线ax+bx+1＝0的距离d＝＝1，
即a2+b2＝1，所以a2+b2＝1≥2ab.
又a2+b2＝（a+b）2-2ab＝1，所以（a+b）2＝2ab+1≤1+1＝2，
即a+b≤，所以a+b的最大值是.
【答案】D
◆与切线有关的最值问题
求曲线上一点到直线的最小距离问题，一般可转化为曲线上与直线平行的一条切线的切点到直线的距离问题来解决.其一般步骤为：
1.求出与直线平行的曲线的切线的切点坐标；
2.利用点到直线的距离公式求出切点到直线的距离，即为最小距离.
训练题
1.［2020·河南许昌高二检测］曲线f（x）＝ln（2x-1）上的点到直线2x-y+3＝0的最短距离是 .
2.已知函数f（x）＝ax2+2ln（2-x）（a∈R），设曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线为，若直线与圆x2+y2＝相切，求实数a的值.
解：因为f（1）＝a，f ′（x）＝2ax+（x<2），
所以f ′（1）＝2a-2，所以切线l的方程为2（a-1）x-y+2-a＝0.
因为直线与圆相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，
即d＝ ＝，解得a＝.
知易行难，重在行动
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