【课件】5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.1 函数的单调性 数学-RJ·A-选择性必修第二册（42页PPT）
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| 名称 | 【课件】5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.1 函数的单调性 数学-RJ·A-选择性必修第二册（42页PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 5.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-08 16:59:26 | ||
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文档简介
(共42张PPT)
数学-RJ·A-选择性必修第二册
5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.1 函数的单调性
第五章 一元函数的导数及其应用
学习目标
1. 理解可导函数的单调性与其导数的关系.
2. 能够利用导数确定函数的单调性以及函数的单调区间.
3. 能够利用函数的单调性解决有关问题，如证明不等式、求参数范围等.
4. 体会导数法判断函数的单调性的优越性.
重点：利用导数确定函数的单调性以及函数的单调区间
难点：证明不等式及逆向求参问题
知识梳理
一、函数的单调性与导数的关系
一般地，函数f（x）的单调性与导函数f ′（x）的正负之间具有如下的关系：
在某个区间（a，b）上，如果f ′（x）>0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）上单调递增；
在某个区间（a，b）上，如果f ′（x）<0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）上单调递减.
【注意】（1）在某个区间内，f ′（x）>0（f ′（x）<0）是函数在此区间内单调递增（减）的充分条件，而不是必要条件.
例如，函数f（x）＝x3在定义域（-∞，+∞）上单调递增，但f ′（x）＝3x2≥0.
（2）函数f（x）在（a，b）内单调递增（减）的充要条件是≥0（f ′（x）≤0）在（a，b）内恒成立，且f ′（x）在（a，b）的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间的个别点处有f ′（x）＝0并不影响函数f（x）在该区间的单调性.
一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数y＝f（x）的单调性：
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f ′（x）的零点；
第3步，用f ′（x）的零点将f（x）的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′（x）在各区间上的正负，由此得出函数y＝f（x）在定义域内的单调性.
二、利用导数判断函数单调性的方法
三、函数的变化快慢与导数的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；
反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”.
常考题型
一、利用导数研究函数图象和导函数图象间的关系
1.已知导函数图象判断原函数图象
例1 f′（x）是函数y＝f（x）的导函数，若y＝f′（x）的
图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（ ）
A B C D
【解析】由导函数的图象可知，当x<0时，f′（x）>0，即函数f（x）在（-∞，0）上为增函数；当02时，f′（x）>0，即函数f（x）在（2，+∞）上为增函数.
观察选项易知D正确.
【答案】D
◆由导函数图象判断原函数图象的方法
1.导函数的符号决定原函数的增减
（1）“正则增”:在导函数图象中，x轴上方的图象所在的区间对应原函数的单调递增区间，即“正则增”.
（2）“负则减”:在导函数图象中，x轴下方的图象所在的区间对应原函数的单调递减区间，即“负则减”.
2.导函数的绝对值决定原函数变化的快慢
（1）“大则快”:在导函数图象中，导数的绝对值越大，对应原函数变化得越快，图象越陡峭，即“大则快”.
（2）“小则慢”:在导函数图象中，导数的绝对值越小，对应原函数变化得越慢，图象越平缓，即“小则慢”.
训练题
1.［2020·云南昆明高三模拟］函数y＝f（x）的导函数的图象如图(1)所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（ ）
A B C D
2.已知函数y＝xf′（x）的图象如图(2)所示（其中f′（x）是函数
f（x）的导函数），则y＝f（x）的图象大致是 （ ）
A B C D
图(1)
图(2)
A
C
2.已知函数图象判断导函数图象
例2 ［2020·陕西韩城高二期末］设函数y＝f（x）在定义域内可导，y＝f（x）的图象如图所示，则导函数y＝f′（x）的图象可能为 （ ）
A B C D
【解析】由函数f（x）的图象可知，函数f（x）在（-∞，0）上先增后减，所以其对应的导函数符号先正后负，在y轴左侧导函数的图象由左上到右下穿过x轴；当x∈（0，+∞）时，f（x）单调递减，所以x∈（0，+∞）时，f′（x）<0，只有D选项符合条件，故选D. 【答案】D
◆由原函数图象判断导函数图象的方法
1.原函数的增减决定导函数的符号
（1）“增则正”:在原函数图象中，若原函数单调递增，则对应的导函数图象在x轴上方.
（2）“减则负”:在原函数图象中，若原函数单调递减，则对应的导函数图象在x轴下方.
2.原函数变化的快慢决定导函数的绝对值
（1）“快则大”:在原函数图象中，原函数变化得越快，图象越陡峭，对应在导函数图象中，导数的绝对值越大，即“快则大”.
（2）“慢则小”:在原函数图象中，原函数变化得越慢，图象越平缓，对应在导函数图象中，导数的绝对值越小，即“慢则小”.
训练题 ［2020·山西大同高二检测］已知R上可导函数y＝f（x）的图象如图所示，则不等式（x2-2x-3）·f′（x）>0的解集为 .
{x|x<-1或x>3或-1二、利用导数求函数的单调区间
1.已知函数解析式求函数的单调区间
例3 设函数f（x）＝（x>0且x≠1），求函数f（x）的单调区间.
【解】（方法一）（解不等式法）函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞），f′（x）＝ ，由f′（x）>0，得ln x+1<0，∴ 0由f′（x）<0，得ln x+1>0，∴ x>.
又∵ x≠1，∴1.
∴ f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是和（1，+∞）.
（方法二）（列表法）函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞），
f′（x）＝ ，令f′（x）＝0，得x＝.
列表如下：
x （1，+∞）
f′（x） + 0 - -
∴ f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是，（1，+∞）.
◆利用导数求函数单调区间的方法
1.解不等式法
（1）定域：确定函数f（x）的定义域.（2）求导：求f′（x）.
（3）解不等式：在定义域内，令f′（x）>0，解得函数f（x）的单调增区间；
令f ′（x）<0，解得函数f（x）的单调减区间.
2.列表法
（1）定域：确定函数f（x）的定义域；（2）求导：求f′（x）；
（3）确定零点：判断导函数f′（x）有无零点，若有零点，通过解方程f′（x）＝0求出零点；
（4）列表：用f′（x）的零点和函数的无定义点将f（x）的定义域划分为若干个区间，列表给出f′（x）在各区间上的正负；
（5）得结论：由此得出函数f（x）在定义域内的单调性.
D
A
3.［2020·河北石家庄高二期末］已知函数f（x）＝ln x+ax-，且f（x）在x＝1处的切线与x轴平行，求a的值，并求f（x）的单调区间.
2.讨论含有参数的函数的单调性
例4 ［2015·江苏卷第19题节选］已知函数f（x）＝x3+ax2+b（a，b∈R）.试讨论f（x）的单调性.
◆讨论含有参数的函数的单调性方法
讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参不等式的解集的问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，同时注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准.
训练题 已知函数f（x）＝（x2+ax+a）ex，其中a∈R，e是自然对数的底数.
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调减区间.
解：（1）当a＝1时，f（x）＝（x2+x+1）ex，所以f（0）＝1.
f ′（x）＝（x2+3x+2）ex，所以f ′（0）＝2，
即切线的斜率为2，所以切线方程为y-1＝2（x-0），即2x-y+1＝0.
（2）由函数f（x）＝（x2+ax+a）ex，
得f ′（x）＝［x2+（a+2）x+2a］ex＝（x+a）（x+2）ex.
当a＝2时，f ′（x）＝（x+2）2ex≥0，函数f（x）单调递增，
所以f（x）无单调减区间.
当-a>-2，即a<2时，在（-∞，-2）和（-a，+∞）上，f ′（x）>0，f（x）单调递增，在（-2，-a）上，f ′（x）<0，f（x）单调递减，所以f（x）的单调减区间是（-2，-a）.
当-a<-2，即a>2时，在（-∞，-a）和（-2，+∞）上，f ′（x）>0，f（x）单调递增，在（-a，-2）上，f ′（x）<0，f（x）单调递减，
所以f（x）的单调减区间是（-a，-2）.
综上，当a＝2时，f（x）无单调减区间；当a<2时，f（x）的单调减区间是（-2，-a）；当a>2时，f（x）的单调减区间是（-a，-2）.
三、已知函数单调性求参数值或取值范围
例5 ［2020·山东省实验中学高二检测］若函数f（x）＝x3-x2+（a-1）x+1在区间（1，4）上是减函数，在区间（6，+∞）上是增函数，试求实数a的取值范围.
【解】f ′（x）＝x2-ax+a-1，由题意知f ′（x）≤0在区间（1，4）上恒成立，且f ′（x）≥0在区间（6，+∞）上恒成立.
由f′（x）≤0，得x2-ax+a-1≤0.
∵ x∈（1，4），∴ x-1∈（0，3），∴ a≥＝x+1.
∵ x+1∈（2，5），且a≥x+1恒成立，∴ a≥5.
由f′（x）≥0，得x2-ax+a-1≥0.
∵ x∈（6，+∞），∴ x-1>5，∴ a≤＝x+1.
∵ x+1∈（7，+∞），且a≤x+1恒成立，∴ a≤7.
综上，a的取值范围是5≤a≤7.
◆已知函数单调性求参数值或取值范围
1.可导函数f（x）在（a，b）上单调递增（或递减）的充要条件是f′（x）≥0（或f′（x）≤0）在（a，b）上恒成立，且f′（x）在（a，b）的任何子区间内都不恒等于0.
2.两种解法
（1）分离参数法:f（x）在（a，b）上单调递增（减）等价于f′（x）≥0（f′（x）≤0）在（a，b）内恒成立，将参数分离后可转化为求其函数的最值问题，注意验证等号是否成立.
（2）子集法:若能较容易地求出函数的单调区间，则可利用子区间来解决.若f（x）在（a，b）上单调递增（减），则区间（a，b）是相应单调区间的子集.
训练题
1.若函数f（x）＝x3-ax2-x+6在（0，1）内单调递减，则实数a的取值范围是 （ ）
A.a≥1 B.a＝1 C.a≤1 D.02.［2020·内蒙古高二期末］若函数f（x）＝-x2+5x--3ln（x-1）在［t，t+1］上不是单调函数，则实数t的取值范围是 .
3.若函数f（x）＝x3+bx2+cx+d的单调减区间为［-1，2］，则b＝ ，c＝ .
A
（1，2）或（3，4）
四、利用导数解不等式问题
B
A
2.利用导数解不等式
例7 ［2020·湖南邵阳高三联考］已知函数f（x）的导函数为f′（x），若
2f（x）+f′（x）>2，f（0）＝5，则不等式f（x）-4e-2x>1的解集为（ ）
A.（1，+∞） B.（-∞，0） C.（-∞，0）∪（1，+∞） D.（0，+∞）
【解析】设F（x）＝e2xf（x）-e2x-4，
则F′（x）＝2e2xf（x）+e2xf′（x）-2e2x＝e2x［2f（x）+f′（x）-2］>0，
所以函数F（x）＝e2xf（x）-e2x-4在R上为增函数.
又f（0）＝5，所以F（0）＝f（0）-1-4＝0.
又不等式f（x）-4e-2x>1等价于e2xf（x）-e2x-4>0，
即F（x）>0，解得x>0，所以不等式的解集为（0，+∞）.
【答案】D
◆构造函数法解与抽象函数有关的不等式问题的一般步骤
1.观察已知条件结合所求不等式的结构特点，将所求解的不等式作适当的变形，从而构造出新函数；
2.依据已知条件判断新函数的单调性；
3.利用新函数的单调性，求解抽象函数，得出不等式的解集.
训练题
［2020·山东泰安高三期末］定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足x2f′（x）>1，f（2）＝，则关于x的不等式f（x）<3-的解集为 （ ）
A.（-∞，1） B.（-∞，2） C.（0，1） D.（0，2）
D
◆构造函数法证明不等式
构造函数转化为用导数证明不等式.以证明不等式f（x）>g（x），x∈（a，b）说明一般步骤：
（1）构造函数F（x）＝f（x）-g（x），x∈（a，b）；
（2）证明F′（x）＝f′（x）-g′（x）≥0，且F（a）≥0（或F′（x）≤0，且F（b）≥0）；
（3）F（x）在（a，b）上是单调递增（或递减）函数，所以F（x）>F（a）≥0（或F（x）>F（b）≥0），所以f（x）-g（x）>0，即f（x）>g（x）.
训练题
1.［2020·河南平顶山高二期末］已知函数f（x）＝ex-ax-1，a∈R.
（1）若f（x）在区间（1，2）上单调，求a的取值范围.
（2）设a≤0，求证：x≥0时，f（x）≥x2.
（1）解：∵ f ′（x）＝ex-a是增函数，
又f（x）在区间（1，2）上单调，
∴ f ′（1）＝e-a≥0或f ′（2）＝e2-a≤0.
∴ a≤e或a≥e2.
（2）证明：令g（x）＝f（x）-x2＝ex-ax-1-x2.
令φ（x）＝g′（x）＝ex-a-2x，则φ′（x）＝ex-2.
∴ 当x∈（-∞，ln 2）时，φ（x）是减函数，当x∈（ln 2，+∞）时，φ（x）是增函数，
∴ 当x＝ln 2时，φ（x）min＝2-a-2ln 2＝-a.
∵ a≤0，∴ φ（x）min＝-a>0.
∴ g（x）＝f（x）-x2在x≥0时是增函数.
∴ g（x）≥g（0）＝0，
即f（x）≥x2.
2.［2015·福建卷第22题节选］已知函数f（x）＝ln x.
（1）求函数f（x）的单调递增区间.
（2）证明：当x>1时，f（x）知易行难，重在行动
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数学-RJ·A-选择性必修第二册
5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.1 函数的单调性
第五章 一元函数的导数及其应用
学习目标
1. 理解可导函数的单调性与其导数的关系.
2. 能够利用导数确定函数的单调性以及函数的单调区间.
3. 能够利用函数的单调性解决有关问题，如证明不等式、求参数范围等.
4. 体会导数法判断函数的单调性的优越性.
重点：利用导数确定函数的单调性以及函数的单调区间
难点：证明不等式及逆向求参问题
知识梳理
一、函数的单调性与导数的关系
一般地，函数f（x）的单调性与导函数f ′（x）的正负之间具有如下的关系：
在某个区间（a，b）上，如果f ′（x）>0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）上单调递增；
在某个区间（a，b）上，如果f ′（x）<0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）上单调递减.
【注意】（1）在某个区间内，f ′（x）>0（f ′（x）<0）是函数在此区间内单调递增（减）的充分条件，而不是必要条件.
例如，函数f（x）＝x3在定义域（-∞，+∞）上单调递增，但f ′（x）＝3x2≥0.
（2）函数f（x）在（a，b）内单调递增（减）的充要条件是≥0（f ′（x）≤0）在（a，b）内恒成立，且f ′（x）在（a，b）的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间的个别点处有f ′（x）＝0并不影响函数f（x）在该区间的单调性.
一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数y＝f（x）的单调性：
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f ′（x）的零点；
第3步，用f ′（x）的零点将f（x）的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′（x）在各区间上的正负，由此得出函数y＝f（x）在定义域内的单调性.
二、利用导数判断函数单调性的方法
三、函数的变化快慢与导数的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；
反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”.
常考题型
一、利用导数研究函数图象和导函数图象间的关系
1.已知导函数图象判断原函数图象
例1 f′（x）是函数y＝f（x）的导函数，若y＝f′（x）的
图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（ ）
A B C D
【解析】由导函数的图象可知，当x<0时，f′（x）>0，即函数f（x）在（-∞，0）上为增函数；当0
观察选项易知D正确.
【答案】D
◆由导函数图象判断原函数图象的方法
1.导函数的符号决定原函数的增减
（1）“正则增”:在导函数图象中，x轴上方的图象所在的区间对应原函数的单调递增区间，即“正则增”.
（2）“负则减”:在导函数图象中，x轴下方的图象所在的区间对应原函数的单调递减区间，即“负则减”.
2.导函数的绝对值决定原函数变化的快慢
（1）“大则快”:在导函数图象中，导数的绝对值越大，对应原函数变化得越快，图象越陡峭，即“大则快”.
（2）“小则慢”:在导函数图象中，导数的绝对值越小，对应原函数变化得越慢，图象越平缓，即“小则慢”.
训练题
1.［2020·云南昆明高三模拟］函数y＝f（x）的导函数的图象如图(1)所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（ ）
A B C D
2.已知函数y＝xf′（x）的图象如图(2)所示（其中f′（x）是函数
f（x）的导函数），则y＝f（x）的图象大致是 （ ）
A B C D
图(1)
图(2)
A
C
2.已知函数图象判断导函数图象
例2 ［2020·陕西韩城高二期末］设函数y＝f（x）在定义域内可导，y＝f（x）的图象如图所示，则导函数y＝f′（x）的图象可能为 （ ）
A B C D
【解析】由函数f（x）的图象可知，函数f（x）在（-∞，0）上先增后减，所以其对应的导函数符号先正后负，在y轴左侧导函数的图象由左上到右下穿过x轴；当x∈（0，+∞）时，f（x）单调递减，所以x∈（0，+∞）时，f′（x）<0，只有D选项符合条件，故选D. 【答案】D
◆由原函数图象判断导函数图象的方法
1.原函数的增减决定导函数的符号
（1）“增则正”:在原函数图象中，若原函数单调递增，则对应的导函数图象在x轴上方.
（2）“减则负”:在原函数图象中，若原函数单调递减，则对应的导函数图象在x轴下方.
2.原函数变化的快慢决定导函数的绝对值
（1）“快则大”:在原函数图象中，原函数变化得越快，图象越陡峭，对应在导函数图象中，导数的绝对值越大，即“快则大”.
（2）“慢则小”:在原函数图象中，原函数变化得越慢，图象越平缓，对应在导函数图象中，导数的绝对值越小，即“慢则小”.
训练题 ［2020·山西大同高二检测］已知R上可导函数y＝f（x）的图象如图所示，则不等式（x2-2x-3）·f′（x）>0的解集为 .
{x|x<-1或x>3或-1
1.已知函数解析式求函数的单调区间
例3 设函数f（x）＝（x>0且x≠1），求函数f（x）的单调区间.
【解】（方法一）（解不等式法）函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞），f′（x）＝ ，由f′（x）>0，得ln x+1<0，∴ 0
又∵ x≠1，∴
∴ f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是和（1，+∞）.
（方法二）（列表法）函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞），
f′（x）＝ ，令f′（x）＝0，得x＝.
列表如下：
x （1，+∞）
f′（x） + 0 - -
∴ f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是，（1，+∞）.
◆利用导数求函数单调区间的方法
1.解不等式法
（1）定域：确定函数f（x）的定义域.（2）求导：求f′（x）.
（3）解不等式：在定义域内，令f′（x）>0，解得函数f（x）的单调增区间；
令f ′（x）<0，解得函数f（x）的单调减区间.
2.列表法
（1）定域：确定函数f（x）的定义域；（2）求导：求f′（x）；
（3）确定零点：判断导函数f′（x）有无零点，若有零点，通过解方程f′（x）＝0求出零点；
（4）列表：用f′（x）的零点和函数的无定义点将f（x）的定义域划分为若干个区间，列表给出f′（x）在各区间上的正负；
（5）得结论：由此得出函数f（x）在定义域内的单调性.
D
A
3.［2020·河北石家庄高二期末］已知函数f（x）＝ln x+ax-，且f（x）在x＝1处的切线与x轴平行，求a的值，并求f（x）的单调区间.
2.讨论含有参数的函数的单调性
例4 ［2015·江苏卷第19题节选］已知函数f（x）＝x3+ax2+b（a，b∈R）.试讨论f（x）的单调性.
◆讨论含有参数的函数的单调性方法
讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参不等式的解集的问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，同时注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准.
训练题 已知函数f（x）＝（x2+ax+a）ex，其中a∈R，e是自然对数的底数.
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调减区间.
解：（1）当a＝1时，f（x）＝（x2+x+1）ex，所以f（0）＝1.
f ′（x）＝（x2+3x+2）ex，所以f ′（0）＝2，
即切线的斜率为2，所以切线方程为y-1＝2（x-0），即2x-y+1＝0.
（2）由函数f（x）＝（x2+ax+a）ex，
得f ′（x）＝［x2+（a+2）x+2a］ex＝（x+a）（x+2）ex.
当a＝2时，f ′（x）＝（x+2）2ex≥0，函数f（x）单调递增，
所以f（x）无单调减区间.
当-a>-2，即a<2时，在（-∞，-2）和（-a，+∞）上，f ′（x）>0，f（x）单调递增，在（-2，-a）上，f ′（x）<0，f（x）单调递减，所以f（x）的单调减区间是（-2，-a）.
当-a<-2，即a>2时，在（-∞，-a）和（-2，+∞）上，f ′（x）>0，f（x）单调递增，在（-a，-2）上，f ′（x）<0，f（x）单调递减，
所以f（x）的单调减区间是（-a，-2）.
综上，当a＝2时，f（x）无单调减区间；当a<2时，f（x）的单调减区间是（-2，-a）；当a>2时，f（x）的单调减区间是（-a，-2）.
三、已知函数单调性求参数值或取值范围
例5 ［2020·山东省实验中学高二检测］若函数f（x）＝x3-x2+（a-1）x+1在区间（1，4）上是减函数，在区间（6，+∞）上是增函数，试求实数a的取值范围.
【解】f ′（x）＝x2-ax+a-1，由题意知f ′（x）≤0在区间（1，4）上恒成立，且f ′（x）≥0在区间（6，+∞）上恒成立.
由f′（x）≤0，得x2-ax+a-1≤0.
∵ x∈（1，4），∴ x-1∈（0，3），∴ a≥＝x+1.
∵ x+1∈（2，5），且a≥x+1恒成立，∴ a≥5.
由f′（x）≥0，得x2-ax+a-1≥0.
∵ x∈（6，+∞），∴ x-1>5，∴ a≤＝x+1.
∵ x+1∈（7，+∞），且a≤x+1恒成立，∴ a≤7.
综上，a的取值范围是5≤a≤7.
◆已知函数单调性求参数值或取值范围
1.可导函数f（x）在（a，b）上单调递增（或递减）的充要条件是f′（x）≥0（或f′（x）≤0）在（a，b）上恒成立，且f′（x）在（a，b）的任何子区间内都不恒等于0.
2.两种解法
（1）分离参数法:f（x）在（a，b）上单调递增（减）等价于f′（x）≥0（f′（x）≤0）在（a，b）内恒成立，将参数分离后可转化为求其函数的最值问题，注意验证等号是否成立.
（2）子集法:若能较容易地求出函数的单调区间，则可利用子区间来解决.若f（x）在（a，b）上单调递增（减），则区间（a，b）是相应单调区间的子集.
训练题
1.若函数f（x）＝x3-ax2-x+6在（0，1）内单调递减，则实数a的取值范围是 （ ）
A.a≥1 B.a＝1 C.a≤1 D.0
3.若函数f（x）＝x3+bx2+cx+d的单调减区间为［-1，2］，则b＝ ，c＝ .
A
（1，2）或（3，4）
四、利用导数解不等式问题
B
A
2.利用导数解不等式
例7 ［2020·湖南邵阳高三联考］已知函数f（x）的导函数为f′（x），若
2f（x）+f′（x）>2，f（0）＝5，则不等式f（x）-4e-2x>1的解集为（ ）
A.（1，+∞） B.（-∞，0） C.（-∞，0）∪（1，+∞） D.（0，+∞）
【解析】设F（x）＝e2xf（x）-e2x-4，
则F′（x）＝2e2xf（x）+e2xf′（x）-2e2x＝e2x［2f（x）+f′（x）-2］>0，
所以函数F（x）＝e2xf（x）-e2x-4在R上为增函数.
又f（0）＝5，所以F（0）＝f（0）-1-4＝0.
又不等式f（x）-4e-2x>1等价于e2xf（x）-e2x-4>0，
即F（x）>0，解得x>0，所以不等式的解集为（0，+∞）.
【答案】D
◆构造函数法解与抽象函数有关的不等式问题的一般步骤
1.观察已知条件结合所求不等式的结构特点，将所求解的不等式作适当的变形，从而构造出新函数；
2.依据已知条件判断新函数的单调性；
3.利用新函数的单调性，求解抽象函数，得出不等式的解集.
训练题
［2020·山东泰安高三期末］定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足x2f′（x）>1，f（2）＝，则关于x的不等式f（x）<3-的解集为 （ ）
A.（-∞，1） B.（-∞，2） C.（0，1） D.（0，2）
D
◆构造函数法证明不等式
构造函数转化为用导数证明不等式.以证明不等式f（x）>g（x），x∈（a，b）说明一般步骤：
（1）构造函数F（x）＝f（x）-g（x），x∈（a，b）；
（2）证明F′（x）＝f′（x）-g′（x）≥0，且F（a）≥0（或F′（x）≤0，且F（b）≥0）；
（3）F（x）在（a，b）上是单调递增（或递减）函数，所以F（x）>F（a）≥0（或F（x）>F（b）≥0），所以f（x）-g（x）>0，即f（x）>g（x）.
训练题
1.［2020·河南平顶山高二期末］已知函数f（x）＝ex-ax-1，a∈R.
（1）若f（x）在区间（1，2）上单调，求a的取值范围.
（2）设a≤0，求证：x≥0时，f（x）≥x2.
（1）解：∵ f ′（x）＝ex-a是增函数，
又f（x）在区间（1，2）上单调，
∴ f ′（1）＝e-a≥0或f ′（2）＝e2-a≤0.
∴ a≤e或a≥e2.
（2）证明：令g（x）＝f（x）-x2＝ex-ax-1-x2.
令φ（x）＝g′（x）＝ex-a-2x，则φ′（x）＝ex-2.
∴ 当x∈（-∞，ln 2）时，φ（x）是减函数，当x∈（ln 2，+∞）时，φ（x）是增函数，
∴ 当x＝ln 2时，φ（x）min＝2-a-2ln 2＝-a.
∵ a≤0，∴ φ（x）min＝-a>0.
∴ g（x）＝f（x）-x2在x≥0时是增函数.
∴ g（x）≥g（0）＝0，
即f（x）≥x2.
2.［2015·福建卷第22题节选］已知函数f（x）＝ln x.
（1）求函数f（x）的单调递增区间.
（2）证明：当x>1时，f（x）
千里之行，始于足下
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