【课件】4.2 等差数列 4.2.1 等差数列的概念 数学-RJ·A-选择性必修第二册 （39页PPT）
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| 名称 | 【课件】4.2 等差数列 4.2.1 等差数列的概念 数学-RJ·A-选择性必修第二册 （39页PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-08 17:12:42 | ||
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文档简介
(共39张PPT)
数学-RJ·A-选择性必修第二册
4.2 等差数列
4.2.1 等差数列的概念
第四章 数列
学习目标
1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义，了解等差中项的概念.
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.
3.体会等差数列与一次函数的关系.
4.能通过等差数列的概念、通项公式和图象，认识等差数列的性质.
重点：等差数列、等差中项的概念、等差数列的通项公式、等差数列与一次函数的关系、等差数列的性质、等差数列的应用
难点：等差数列概念的理解、通项公式的推导和识记、等差数列通项公式及性质的应用
知识梳理
一、等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.
等差数列定义的符号表示：
an-an-1＝d（n≥2且n∈N*）或an+1-an＝d（n∈N*）.
等差数列的定义是判断、证明一个数列为等差数列的重要依据，即an+1-an＝d（常数）（n∈N*） {an}是等差数列.
an-an-1＝d（常数）（n≥2，n∈N*）{an}是等差数列.
二、等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道2A＝a+b.
对于等差中项要注意以下两点：
（1）任意两个实数都有等差中项.
（2）应用等差中项法也可证明一个数列为等差数列，即
2an＝an-1+an+1（n≥2） {an}为等差数列.
三、等差数列的通项公式
你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
设一个等差数列{an}的首项为a1，公差为d.根据等差数列的定义，可得
an+1-an＝d，
所以a2-a1＝d，a3-a2＝d，a4-a3＝d，….
于是 a2＝a1+d，a3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d，
a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d，……
归纳可得 an＝a1+（n-1）d（n≥2）.
当n＝1时，上式为a1＝a1+（1-1）d＝a1.这就是说，上式当n＝1时也成立.
因此，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为 an＝a1+（n-1）d.
对于等差数列的通项公式要注意以下三点：
（1）由等差数列的通项公式可知，等差数列中的任一项均可用首项和公差表示出来，因此，要确定等差数列的通项公式，只需确定该数列的首项和公差即可，因此我们把等差数列的首项和公差称为等差数列的基本量.
（2）等差数列的通项公式中涉及an，a1，d，n四个量，知道其中3个量可以求出另外一个量.
（3）an＝a1+（n-1）d和an＝am+（n-m）d都可看作数列{an}的通项公式.当已知首项a1时，可用an＝a1+（n-1）d求数列{an}的通项公式；当已知第m项am时，可用an＝am+（n-m）d求数列{an}的通项公式，注意灵活选择使用.
四、等差数列与一次函数的关系
由于an＝a1+（n-1）d＝dn+（a1-d），所以当d≠0时，等差数列{an}的第n项an是一次函数f（x）＝dx+（a1-d）（x∈R）当x＝n时的函数值，即an＝f（n）.
理解等差数列与一次函数的关系要注意以下两点：
（1）等差数列与一次函数的异同点
等差数列 一次函数
解析式 an＝kn+b（k≠0，n∈N*） f（x）＝kx+b（k≠0）
不同点 定义域为N*，图象是一系列孤立的点 （在直线f（x）＝kx+b上） 定义域为R，图象是一条直线
相同点 等差数列通项公式与函数的解析式都是关于自变量的一次整式， 等差数列的图象是相应的一次函数图象上的一系列孤立的点.
（2）等差数列的公差d即为相应的直线的斜率，由斜率公式知d＝（p，q∈N*），且d>0时等差数列单调递增；d<0时等差数列单调递减；d＝0时等差数列为常数列.
五、等差数列的性质
（1）(教材例5)：已知数列是等差数列，，
若，则有.
特别地，若，则有
（2）(教材练习T5)：
①将等差数列的前项去掉，剩余各项组成的新数列仍为等差数列；
②从等差数列中每隔相同的项取出一项，所得的新数列仍为等差数列；
（新数列的下标成等差数列）
（3）(教材练习T4)：
若数列都是等差数列，则也是等差数列.
【提示】由第一条性质可知：
若是等差数列，则与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项之和，即
常考题型
一、等差数列的证明与判定
1.等差数列的证明
例1 ［2020·东北师大附中高一检测］在数列{an}中，a1＝1，an+1＝，设bn＝，n∈N* .求证数列{bn}是等差数列，并求通项公式bn.
【证明】（方法一）由条件知，＝＝+1，
所以＝1，所以bn+1-bn＝1.
又b1＝＝1，所以数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列，
故数列{bn}的通项公式为bn＝n.
（方法二）由条件，得bn+1-bn＝＝ ＝＝1.
又b1＝＝1，所以数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列，
故数列{bn}的通项公式为bn＝n.
◆证明数列是等差数列的两种方法
1.定义法
证明an+1-an＝d（常数）或证明an-an-1＝d（常数）（n>1）.
2.等差中项法
证明an+2+an＝2an+1即可.
◆用定义证明等差数列的一般步骤
1.作差：an+1-an或an-an-1（n>1）.
2.变形：利用已知条件对所作的差进行变形.
3.结论：说明变形后的结果是一个与n无关的常数，即可证明该数列是等差数列.
训练题
1.已知一个数列{an}的前n项和为Sn，并且Sn＝3n2-6n.
证明数列{an}为等差数列.
证明：由Sn＝3n2-6n得a1＝S1＝-3，Sn-1＝3（n-1）2-
6（n-1），当n≥2时两式相减，整理得an＝Sn-Sn-1＝6n-9.
当n＝1时，a1＝-3适合上式，所以an＝6n-9（n∈N*）.
再由an＝6n-9得an+1＝6（n+1）-9＝6n-3，
两式相减得an+1-an＝6（常数），
所以原数列为首项为-3，公差为6的等差数列.
2.［2020·宁夏育才学校高二检测］已知数列{an}满足an+1＝2an+3×2n，a1＝2，数列{bn}满足bn+1＝bn+2n+1，b1＝1.
（1）证明：数列是等差数列.
（2）求数列{bn}的通项公式.
（1）证明：数列{an}满足an+1＝2an+3×2n，
等式两边除以2n+1，得＝+， ＝，
故数列是以＝1为首项，为公差的等差数列.
（2）解：根据题意，由bn+1＝bn+2n+1，得bn+1-bn＝2n+1，
则bn＝（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+…+（b2-b1）+b1
＝（2n-1）+（2n-3）+…+3+1
＝＝n2，
即数列{bn}的通项公式为bn＝n2.
2.等差数列的判定
例2 已知数列{an}的通项公式an＝pn+q，其中p，q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？
【解】当n≥2时 （取数列{an}中的任意相邻两项an-1与an（n≥2）），
an-an-1＝（pn+q）-［p（n-1）+q］＝pn+q-（pn-p+q）＝p，为常数，
∴ {an}是等差数列，首项a1＝p+q，公差为p.
◆等差数列的判断方法
1.定义法：对于数列{an}，若an+1-an＝d（n∈N*）（常数），则数列{an}是等差数列；
2.等差中项：对于数列{an}，若2an+1＝an+an+2（n∈N*），则数列{an}是等差数列；
3.通项公式：an＝pn+q（p，q为常数，n∈N*）?是等差数列.
训练题
1.［2020·江西南昌市第八中学高一月考］已知a，b，c成等差数列，试判断a2（b+c），b2（a+c），c2（b+a）是否也成等差数列.
二、等差数列的通项公式的应用
1.求等差数列中的项
例3 ［2020·广东湛江高二期末］在等差数列{an}中，a5＝33，a45＝153，则201是该数列的第 （ ）
A.60项 B.61项 C.62项 D.63项
【解析】∵ {an}为等差数列，∴ ∴
∴ an＝21+3（n-1）＝3n+18，
∴ 令3n+18＝201，则n＝61，故选B.
【答案】B
◆已知等差数列的其中两项求其他项的一般步骤
1.利用已知两项列出关于首项和公差的方程组；
2.解方程组求得首项和公差；
3.代入通项公式求得结果.
训练题
1.［2020·宁夏石嘴山市第三中学高三期末］数列{an}是等差数列，a1＝1，a4＝8，则a5＝ （ ）
A.16 B.-16 C.32 D.
2.［2020·江苏扬州高二期末］在等差数列{an}中，若a2＝2，a4＝4，则a6＝ （ ）
A.-1 B.6 C.1 D.0
3.［2020·天津市耀华中学高二期末］在等差数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3，则数列{an}的通项公式为 .
4.［2020·天津经济技术开发区第一中学高二检测］在等差数列{an}中，已知a3+a8＝10，则3a5+a7＝ （ ）
A.10 B.18 C.20 D.28
D
B
an＝-n+（n∈N*）
C
5.成等差数列的四个数的和为26，第二个数与第三个数的积为40，求这四个数.
解：设四个数为a-3d，a-d，a+d，a+3d，
则4a＝26，a2-d2＝40，
即a＝，d＝或，当d＝时，四个数为2，5，8，11.
当d＝时，四个数为11，8，5，2.
◆几个数成等差数列的设法
三个数成等差数列可设为a-d，a，a+d；
四个数成等差数列，可设为a-3d，a-d，a+d，a+3d（公差为2d）；
五个数成等差数列，可设为a-2d，a-d，a，a+d，a+2d（公差为d）.
2.求两个等差数列中的公共项
例4 等差数列{an}：2，5，8，…与等差数列{bn}：1，5，9，…均为40项，求它们的公共项构成的数列{cn}的通项公式.
【解】（方法一）（观察归纳法）{an}：2，5，8，…的公差为3；{bn}：1，5，9，…的公差为4；
观察归纳可知他们的相同项是以5为首项，12为公差（3，4的最小公倍数）的等差数列，
cn＝5+12（n-1）＝12n-7，a40＝119，b40＝157，cn≤119?n≤，
所以{cn}的通项公式为cn＝12n-7（n≤10）.
（方法二）（引入参变量法）an＝3n-1（n≤40）；bm＝4m-3（m≤40）；
令an＝bm3n＝2（2m-1），2m-1必为3的倍数（或n必为2的倍数），设2m-1＝3k（因左边为奇数，k必为奇数），再设k＝2t-1，m＝3t-1，n＝4t-2（引入参变量t），
由 得 所以 ≤t≤10，
即t＝1，2，3，…，10.ct＝a4t-2＝b3t-1＝12t-7（t≤10），
即cn＝12n-7（n≤10）.
◆两个等差数列的公共项问题的求解方法
两个等差数列的公共项组成的数列仍为等差数列，解决两个等差数列的公共项问题一般有两种方法：
1.观察归纳法：通过观察归纳得到公共项的首项和公差，进而可得出公共项的通项公式，然后用通项公式求解.
2.引入参变量法：（1）分别写出两个等差数列的通项公式（变量分别用m，n表示）；
（2）由两个通项相等得到m，n之间的关系式；
（3）由m，n的关系式得到m或n的特点（如是2的倍数，3的倍数）；
（4）依据m或n的特点引入参变量k；
（5）依据k的特点再引入参变量求解.
训练题 求等差数列{an}：5，8，11，…，302与等差数列{bn}：3，7，11，…，399的公共项构成的数列{cn}的通项公式.
解：两个数列的公共项组成以11为首项，以12为公差的等差数列，所以cn＝11+（n-1）×12＝12n-1.
又12n-1≤302，所以n≤，
所以{cn}的通项公式为cn＝12n-1（n≤25）.
三、等差中项及其应用
例5 ［2020·广东东莞高三模拟］等差数列x，3x+3，6x+6，…的第四项等于 （ ）
A.0 B.9 C.12 D.18
【解析】 由题意得2（3x+3）＝x+（6x+6），所以x＝0.
所以等差数列的前三项为0，3，6，公差为3，
所以等差数列的第四项为9.故选B.
【答案】 B
训练题
1.［2020·江苏淮安高二期末］在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝ （ ）
A.-1 B.0 C.1 D.6
2.［2018·山东师范大学附属中学高二检测］在等差数列{an}中，若a3+a4+a5＝3，a8＝8，则a12的值是 （ ）
A.15 B.30 C.31 D.64
3.［2020·重庆八中高二检测］已知两点F1（-2，0），F2（2，0）且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是 （ ）
A.+＝1 B.+＝1 C.+＝1 D.+＝1
B
A
B
四、等差数列的性质的应用
例6 ［2020·天津宝坻区高二月考］在等差数列{an}中，已知a5＝3，a9＝6，则a13＝ （ ）
A.9 B.12 C.15 D.18
【解析】 ∵ {an}是等差数列，∴ 2a9＝a5+a13，故a13＝2×6-3＝9.
【答案】 A
训练题
1.在等差数列{an}中，若a1+a6＝9，a4＝7，则a3= ，a9= .
2.在等差数列{an}中，a2+3a8+a14＝100，则2a9-a10＝ （ ）
A.20 B.18 C.16 D.-8
2
32
A
五、等差数列的实际应用
例7 ［2020·江苏盐城高二期末］从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为 （ ）
A.15.5尺 B.12.5尺 C.10.5尺 D.9.5尺
【解析】 从冬至起，日影子长依次记为a1，a2，a3，…，a12，
根据题意，有a1+a4+a7＝37.5，
根据等差数列的性质，有a4＝12.5，
而a12＝4.5，
设其公差为d，则有 解得
所以冬至的日影子长为15.5尺，故选A.
【答案】 A
◆解决等差数列实际问题的一般步骤
1.将已知条件翻译成数学语言，将实际问题转化为数学问题；
2.构建等差数列模型，确定等差数列的基本量；
3.利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解等差数列问题；
4.将求得的结果还原到实际问题中.
训练题 ［2020·陕西西安高三模拟］《算法统宗》中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱.问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注：1两等于10钱） （ ）
A.乙分8两，丙分8两，丁分8两
B.乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱
C.乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱
D.乙分9两，丙分8两，丁分7两
C
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数学-RJ·A-选择性必修第二册
4.2 等差数列
4.2.1 等差数列的概念
第四章 数列
学习目标
1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义，了解等差中项的概念.
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.
3.体会等差数列与一次函数的关系.
4.能通过等差数列的概念、通项公式和图象，认识等差数列的性质.
重点：等差数列、等差中项的概念、等差数列的通项公式、等差数列与一次函数的关系、等差数列的性质、等差数列的应用
难点：等差数列概念的理解、通项公式的推导和识记、等差数列通项公式及性质的应用
知识梳理
一、等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.
等差数列定义的符号表示：
an-an-1＝d（n≥2且n∈N*）或an+1-an＝d（n∈N*）.
等差数列的定义是判断、证明一个数列为等差数列的重要依据，即an+1-an＝d（常数）（n∈N*） {an}是等差数列.
an-an-1＝d（常数）（n≥2，n∈N*）{an}是等差数列.
二、等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道2A＝a+b.
对于等差中项要注意以下两点：
（1）任意两个实数都有等差中项.
（2）应用等差中项法也可证明一个数列为等差数列，即
2an＝an-1+an+1（n≥2） {an}为等差数列.
三、等差数列的通项公式
你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
设一个等差数列{an}的首项为a1，公差为d.根据等差数列的定义，可得
an+1-an＝d，
所以a2-a1＝d，a3-a2＝d，a4-a3＝d，….
于是 a2＝a1+d，a3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d，
a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d，……
归纳可得 an＝a1+（n-1）d（n≥2）.
当n＝1时，上式为a1＝a1+（1-1）d＝a1.这就是说，上式当n＝1时也成立.
因此，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为 an＝a1+（n-1）d.
对于等差数列的通项公式要注意以下三点：
（1）由等差数列的通项公式可知，等差数列中的任一项均可用首项和公差表示出来，因此，要确定等差数列的通项公式，只需确定该数列的首项和公差即可，因此我们把等差数列的首项和公差称为等差数列的基本量.
（2）等差数列的通项公式中涉及an，a1，d，n四个量，知道其中3个量可以求出另外一个量.
（3）an＝a1+（n-1）d和an＝am+（n-m）d都可看作数列{an}的通项公式.当已知首项a1时，可用an＝a1+（n-1）d求数列{an}的通项公式；当已知第m项am时，可用an＝am+（n-m）d求数列{an}的通项公式，注意灵活选择使用.
四、等差数列与一次函数的关系
由于an＝a1+（n-1）d＝dn+（a1-d），所以当d≠0时，等差数列{an}的第n项an是一次函数f（x）＝dx+（a1-d）（x∈R）当x＝n时的函数值，即an＝f（n）.
理解等差数列与一次函数的关系要注意以下两点：
（1）等差数列与一次函数的异同点
等差数列 一次函数
解析式 an＝kn+b（k≠0，n∈N*） f（x）＝kx+b（k≠0）
不同点 定义域为N*，图象是一系列孤立的点 （在直线f（x）＝kx+b上） 定义域为R，图象是一条直线
相同点 等差数列通项公式与函数的解析式都是关于自变量的一次整式， 等差数列的图象是相应的一次函数图象上的一系列孤立的点.
（2）等差数列的公差d即为相应的直线的斜率，由斜率公式知d＝（p，q∈N*），且d>0时等差数列单调递增；d<0时等差数列单调递减；d＝0时等差数列为常数列.
五、等差数列的性质
（1）(教材例5)：已知数列是等差数列，，
若，则有.
特别地，若，则有
（2）(教材练习T5)：
①将等差数列的前项去掉，剩余各项组成的新数列仍为等差数列；
②从等差数列中每隔相同的项取出一项，所得的新数列仍为等差数列；
（新数列的下标成等差数列）
（3）(教材练习T4)：
若数列都是等差数列，则也是等差数列.
【提示】由第一条性质可知：
若是等差数列，则与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项之和，即
常考题型
一、等差数列的证明与判定
1.等差数列的证明
例1 ［2020·东北师大附中高一检测］在数列{an}中，a1＝1，an+1＝，设bn＝，n∈N* .求证数列{bn}是等差数列，并求通项公式bn.
【证明】（方法一）由条件知，＝＝+1，
所以＝1，所以bn+1-bn＝1.
又b1＝＝1，所以数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列，
故数列{bn}的通项公式为bn＝n.
（方法二）由条件，得bn+1-bn＝＝ ＝＝1.
又b1＝＝1，所以数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列，
故数列{bn}的通项公式为bn＝n.
◆证明数列是等差数列的两种方法
1.定义法
证明an+1-an＝d（常数）或证明an-an-1＝d（常数）（n>1）.
2.等差中项法
证明an+2+an＝2an+1即可.
◆用定义证明等差数列的一般步骤
1.作差：an+1-an或an-an-1（n>1）.
2.变形：利用已知条件对所作的差进行变形.
3.结论：说明变形后的结果是一个与n无关的常数，即可证明该数列是等差数列.
训练题
1.已知一个数列{an}的前n项和为Sn，并且Sn＝3n2-6n.
证明数列{an}为等差数列.
证明：由Sn＝3n2-6n得a1＝S1＝-3，Sn-1＝3（n-1）2-
6（n-1），当n≥2时两式相减，整理得an＝Sn-Sn-1＝6n-9.
当n＝1时，a1＝-3适合上式，所以an＝6n-9（n∈N*）.
再由an＝6n-9得an+1＝6（n+1）-9＝6n-3，
两式相减得an+1-an＝6（常数），
所以原数列为首项为-3，公差为6的等差数列.
2.［2020·宁夏育才学校高二检测］已知数列{an}满足an+1＝2an+3×2n，a1＝2，数列{bn}满足bn+1＝bn+2n+1，b1＝1.
（1）证明：数列是等差数列.
（2）求数列{bn}的通项公式.
（1）证明：数列{an}满足an+1＝2an+3×2n，
等式两边除以2n+1，得＝+， ＝，
故数列是以＝1为首项，为公差的等差数列.
（2）解：根据题意，由bn+1＝bn+2n+1，得bn+1-bn＝2n+1，
则bn＝（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+…+（b2-b1）+b1
＝（2n-1）+（2n-3）+…+3+1
＝＝n2，
即数列{bn}的通项公式为bn＝n2.
2.等差数列的判定
例2 已知数列{an}的通项公式an＝pn+q，其中p，q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？
【解】当n≥2时 （取数列{an}中的任意相邻两项an-1与an（n≥2）），
an-an-1＝（pn+q）-［p（n-1）+q］＝pn+q-（pn-p+q）＝p，为常数，
∴ {an}是等差数列，首项a1＝p+q，公差为p.
◆等差数列的判断方法
1.定义法：对于数列{an}，若an+1-an＝d（n∈N*）（常数），则数列{an}是等差数列；
2.等差中项：对于数列{an}，若2an+1＝an+an+2（n∈N*），则数列{an}是等差数列；
3.通项公式：an＝pn+q（p，q为常数，n∈N*）?是等差数列.
训练题
1.［2020·江西南昌市第八中学高一月考］已知a，b，c成等差数列，试判断a2（b+c），b2（a+c），c2（b+a）是否也成等差数列.
二、等差数列的通项公式的应用
1.求等差数列中的项
例3 ［2020·广东湛江高二期末］在等差数列{an}中，a5＝33，a45＝153，则201是该数列的第 （ ）
A.60项 B.61项 C.62项 D.63项
【解析】∵ {an}为等差数列，∴ ∴
∴ an＝21+3（n-1）＝3n+18，
∴ 令3n+18＝201，则n＝61，故选B.
【答案】B
◆已知等差数列的其中两项求其他项的一般步骤
1.利用已知两项列出关于首项和公差的方程组；
2.解方程组求得首项和公差；
3.代入通项公式求得结果.
训练题
1.［2020·宁夏石嘴山市第三中学高三期末］数列{an}是等差数列，a1＝1，a4＝8，则a5＝ （ ）
A.16 B.-16 C.32 D.
2.［2020·江苏扬州高二期末］在等差数列{an}中，若a2＝2，a4＝4，则a6＝ （ ）
A.-1 B.6 C.1 D.0
3.［2020·天津市耀华中学高二期末］在等差数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3，则数列{an}的通项公式为 .
4.［2020·天津经济技术开发区第一中学高二检测］在等差数列{an}中，已知a3+a8＝10，则3a5+a7＝ （ ）
A.10 B.18 C.20 D.28
D
B
an＝-n+（n∈N*）
C
5.成等差数列的四个数的和为26，第二个数与第三个数的积为40，求这四个数.
解：设四个数为a-3d，a-d，a+d，a+3d，
则4a＝26，a2-d2＝40，
即a＝，d＝或，当d＝时，四个数为2，5，8，11.
当d＝时，四个数为11，8，5，2.
◆几个数成等差数列的设法
三个数成等差数列可设为a-d，a，a+d；
四个数成等差数列，可设为a-3d，a-d，a+d，a+3d（公差为2d）；
五个数成等差数列，可设为a-2d，a-d，a，a+d，a+2d（公差为d）.
2.求两个等差数列中的公共项
例4 等差数列{an}：2，5，8，…与等差数列{bn}：1，5，9，…均为40项，求它们的公共项构成的数列{cn}的通项公式.
【解】（方法一）（观察归纳法）{an}：2，5，8，…的公差为3；{bn}：1，5，9，…的公差为4；
观察归纳可知他们的相同项是以5为首项，12为公差（3，4的最小公倍数）的等差数列，
cn＝5+12（n-1）＝12n-7，a40＝119，b40＝157，cn≤119?n≤，
所以{cn}的通项公式为cn＝12n-7（n≤10）.
（方法二）（引入参变量法）an＝3n-1（n≤40）；bm＝4m-3（m≤40）；
令an＝bm3n＝2（2m-1），2m-1必为3的倍数（或n必为2的倍数），设2m-1＝3k（因左边为奇数，k必为奇数），再设k＝2t-1，m＝3t-1，n＝4t-2（引入参变量t），
由 得 所以 ≤t≤10，
即t＝1，2，3，…，10.ct＝a4t-2＝b3t-1＝12t-7（t≤10），
即cn＝12n-7（n≤10）.
◆两个等差数列的公共项问题的求解方法
两个等差数列的公共项组成的数列仍为等差数列，解决两个等差数列的公共项问题一般有两种方法：
1.观察归纳法：通过观察归纳得到公共项的首项和公差，进而可得出公共项的通项公式，然后用通项公式求解.
2.引入参变量法：（1）分别写出两个等差数列的通项公式（变量分别用m，n表示）；
（2）由两个通项相等得到m，n之间的关系式；
（3）由m，n的关系式得到m或n的特点（如是2的倍数，3的倍数）；
（4）依据m或n的特点引入参变量k；
（5）依据k的特点再引入参变量求解.
训练题 求等差数列{an}：5，8，11，…，302与等差数列{bn}：3，7，11，…，399的公共项构成的数列{cn}的通项公式.
解：两个数列的公共项组成以11为首项，以12为公差的等差数列，所以cn＝11+（n-1）×12＝12n-1.
又12n-1≤302，所以n≤，
所以{cn}的通项公式为cn＝12n-1（n≤25）.
三、等差中项及其应用
例5 ［2020·广东东莞高三模拟］等差数列x，3x+3，6x+6，…的第四项等于 （ ）
A.0 B.9 C.12 D.18
【解析】 由题意得2（3x+3）＝x+（6x+6），所以x＝0.
所以等差数列的前三项为0，3，6，公差为3，
所以等差数列的第四项为9.故选B.
【答案】 B
训练题
1.［2020·江苏淮安高二期末］在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝ （ ）
A.-1 B.0 C.1 D.6
2.［2018·山东师范大学附属中学高二检测］在等差数列{an}中，若a3+a4+a5＝3，a8＝8，则a12的值是 （ ）
A.15 B.30 C.31 D.64
3.［2020·重庆八中高二检测］已知两点F1（-2，0），F2（2，0）且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是 （ ）
A.+＝1 B.+＝1 C.+＝1 D.+＝1
B
A
B
四、等差数列的性质的应用
例6 ［2020·天津宝坻区高二月考］在等差数列{an}中，已知a5＝3，a9＝6，则a13＝ （ ）
A.9 B.12 C.15 D.18
【解析】 ∵ {an}是等差数列，∴ 2a9＝a5+a13，故a13＝2×6-3＝9.
【答案】 A
训练题
1.在等差数列{an}中，若a1+a6＝9，a4＝7，则a3= ，a9= .
2.在等差数列{an}中，a2+3a8+a14＝100，则2a9-a10＝ （ ）
A.20 B.18 C.16 D.-8
2
32
A
五、等差数列的实际应用
例7 ［2020·江苏盐城高二期末］从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为 （ ）
A.15.5尺 B.12.5尺 C.10.5尺 D.9.5尺
【解析】 从冬至起，日影子长依次记为a1，a2，a3，…，a12，
根据题意，有a1+a4+a7＝37.5，
根据等差数列的性质，有a4＝12.5，
而a12＝4.5，
设其公差为d，则有 解得
所以冬至的日影子长为15.5尺，故选A.
【答案】 A
◆解决等差数列实际问题的一般步骤
1.将已知条件翻译成数学语言，将实际问题转化为数学问题；
2.构建等差数列模型，确定等差数列的基本量；
3.利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解等差数列问题；
4.将求得的结果还原到实际问题中.
训练题 ［2020·陕西西安高三模拟］《算法统宗》中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱.问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注：1两等于10钱） （ ）
A.乙分8两，丙分8两，丁分8两
B.乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱
C.乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱
D.乙分9两，丙分8两，丁分7两
C
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
谢谢
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