【课件】4.2 等差数列 4.2.2 等差数列的前n项和公式 数学-RJ·A-选择性必修第二册（50页PPT）
文档属性
| 名称 | 【课件】4.2 等差数列 4.2.2 等差数列的前n项和公式 数学-RJ·A-选择性必修第二册（50页PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-08 17:20:20 | ||
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文档简介
(共50张PPT)
数学-RJ·A-选择性必修第二册
4.2 等差数列
4.2.2 等差数列的前n项和公式
第四章 数列
学习目标
1.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系以及等差数列的前n项和公式与二次函数的关系.
2.会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的计算问题.
3.会利用等差数列的通项公式与前n项和公式研究Sn的最值.
4.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的实际问题.
5.掌握等差数列前n项和的性质并能正确应用.
重点：等差数列前n项和公式及应用、等差数列前n项和公式与二次函数的关系、等差数列前n项和的最值问题、等差数列前n项和的性质及应用、倒序相加求和法、首尾配对求和法
难点：等差数列前n项和的推导、等差数列前n项和公式的应用、等差数列前n项和的性质识记及应用
知识梳理
一、求和：1+2+3+…+n
当n是偶数时，有a1+an＝a2+an-1＝…＝+，
于是有 Sn＝1+2+3+…+n
＝（1+n）+［2+（n-1）］+…+
＝.
当n为奇数时，有 Sn＝1+2+3+…+n
＝（1+n）+［2+（n-1）］+…++
＝ +
＝·（1+n）+
＝.
所以，对任意正整数n，都有
Sn＝1+2+3+…+n＝.
思考：我们发现，在求前n个正整数的和时，要对n分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦.能否设法避免分类讨论？
如果对公式Sn＝1+2+3+…+n＝作变形，可得
2Sn＝2（1+2+3+…+n）＝n（n+1），
它相当于两个Sn相加，而结果变成n个（n+1）相加.
受此启发，我们得到下面的方法：
Sn＝1+ 2 + 3 +…+n，
Sn＝n+（n-1）+（n-2）+…+1，
将上述两式相加，可得
2Sn＝（n+1）+［（n-1）+2］+［（n-2）+3］+…+（1+n）
＝ ＝n（n+1），
所以Sn＝1+2+3+…+n＝.
二、求等差数列{an}的前n项和
对于等差数列{an}，因为a1+an＝a2+an-1＝…＝an+a1，由上述方法得到启示，我们用两种方式表示Sn：
Sn＝a1 + a2 + … + an， ①
Sn＝an + an-1+ … + a1. ②
①+②，得
2Sn＝（a1+an）+（a2+an-1）+…+（an+a1）
＝ ＝n（a1+an）.
由此得到等差数列{an}的前n项和公式
Sn＝. （1）
把等差数列的通项公式an＝a1+（n-1）d代入公式（1），可得
Sn＝na1+d. （2）
对于等差数列前n项和公式应注意以下三点：
（1）推导方法为首尾配对求和法和倒序相加法，其中倒序相加法避开了分类讨论；
（2）Sn＝与Sn＝na1+d均为等差数列前n项和公式，注意灵活选择、应用.当已知a1，an时，多用Sn＝；当已知a1，d时，多用Sn＝na1+d；
（3）等差数列{an}的求和公式Sn＝，Sn＝na1+，通项公式an＝a1+（n-1）d，这三个公式中涉及a1，d，n，an，Sn五个量，知道其中三个量，可以利用公式求出另外两个量，也称“知三求二”.
三、等差数列前n项和的常用性质
设数列{an}是等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，则Sn有如下常用性质：
（1）Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…也成等差数列，公差为m2d.
（2）若项数为奇数2n-1，则S2n-1＝（2n-1）an（an为中间项）①；
S奇-S偶＝an（an为中间项）②； ③.
若项数为偶数2n，则S2n＝n（a1+a2n）＝n（an+an+1）（an，an+1为中间两项）；
S偶-S奇＝nd；＝（an，an+1为中间两项）.
①的证明：S2n-1＝＝＝（2n-1）an.
②的证明：S奇＝a1+a3+a5+…+a2n-1，S偶＝a2+a4+…+a2n-2，
则S奇-S偶＝a1+（a3-a2）+（a5-a4）+…+（a2n-1-a2n-2）
＝a1+（n-1）d＝an.
③的证明：奇数项共n项，偶数项共（n-1）项，
∴ S奇＝＝nan，S偶＝＝（n-1）an，
∴ ＝.
（3）设{bn}也是等差数列，且其前n项和为Tn，则＝，
更一般地，＝④.
④的证明：∵ S2m-1＝＝（2m-1）am，
T2n-1＝＝（2n-1）bn，
∴＝.
（4）数列也是等差数列，公差为.
（5）数列{an}为等差数列Sn＝An2+Bn（A，B为常数）.
常考题型
一、等差数列的前n项和的基本运算
例1［2020·宁夏石嘴山高二期末］等差数列{an}的前n项和记为Sn，已知a10＝30，a20＝50.
（1）求通项an. （2）若Sn＝242，求n.
【解】（1）设等差数列{an}的公差为d，
由an＝a1+（n-1）d，a10＝30，a20＝50，
得方程组 解得 所以an＝2n+10.
（2）由Sn＝na1+d，Sn＝242，得方程12n+×2＝242，
解得n＝11或n＝-22（舍去），所以n＝11.
训练题
1.［2020·黑龙江双鸭山市一中高三期末］已知等差数列{an}，若a2＝10，a5＝1，则{an}的前7项的和是 （ ）
A.112 B.51 C.28 D.18
2.［2020·广西南宁三中高三模拟］等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3+a8＝13，S7＝35，则a8＝ （ ）
A.8 B.9 C.10 D.11
3.［2020·江苏盐城高三检测］已知等差数列{an}的首项为4，公差为2，前n项和为Sn，若Sk-ak+5＝60（k∈N*），则k的值为 （ ）
A.6 B.7 C.8 D.7或8
C
B
C
二、等差数列的前n项和的性质的应用
例2 ［2020·河南洛阳高三模拟］已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝100，S100＝10，试求S110.
【解】（方法一）∵ S10，S20-S10，S30-S20，…，S100-S90，S110-S100成等差数列，设公差为d，前10项和为10×100+d＝10，∴ d＝-22.
∴ 前11项的和S110＝11×100+d＝11×100+×（-22）＝-110.
（方法三）设等差数列{an}的公差为d，
则S110＝a1+a2+…+a10+a11+a12+…+a110
＝（a1+a2+…+a10）+［（a1+10d）+（a2+10d）+…+（a100+10d）］
＝S10+S100+10×100d＝110+10×100d.
又S10＝10a1+d＝100，S100＝100a1+d＝10，
由S100-10S10，得d-d＝10-10×100，
∴ 100d＝-22.∴ S110＝110-22×10＝-110.
训练题
1.［2020·广东揭阳三中高二检测］等差数列{an}的前m项的和是40，前2m项的和是100，则它的前3m项的和是 （ ）
A.130 B.180 C.210 D.260
2.［2020·云南玉溪一中高二检测］设{an}是任意等差数列，它的前n项和、前2n项和与前4n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是 （ ）
A.2X+Z＝3Y B.4X+Z＝4Y C.2X+3Z＝7Y D.8X+Z＝6Y
3.［2020·福建厦门高一检测］记Sn为等差数列{an}的前n项和，若数列的第六项与第八项之和为4，则a4等于 （ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
B
D
A
4.［2020·安徽淮南高三月考］设Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝-2 020，-＝2 ，则a2＝ （ ）
A.-2 016 B.-2 018 C.2 018 D.2 016
5.一个等差数列共有2n+1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项的值为 （ ）
A.30 B.31 C.32 D.33
6.［2020·江苏宿迁高一期末］设等差数列{an}的前n项和为Sn，若am＝11，S2m-1＝121，则m的值为 .
7.［2020·宁大附中高三模拟］已知数列{an}，若点（n，an）（n∈N+）均在直线y＝k（x-8）+3上，则{an}的前15项和等于 .
B
C
6
45
三、两个等差数列的比值问题
例3 ［2020·广州中山高三模拟］等差数列{an}，{bn}的前n项和为Sn，Tn.若＝（n∈N+），则＝ .
【答案】
D
C
四、等差数列的前n项和的最值问题
例4 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a6+a8＝6，S9-S6＝3，则Sn取得最大值时n的值为 （ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】D
◆求等差数列前n项和Sn的最值的常用方法
1.通项法:在等差数列{an}中，
（1）若a1>0，d<0，Sn有最大值，可由不等式组来确定n；
（2）若a1<0，d>0，Sn有最小值，可由不等式组来确定n.
2.转折项法：找到数列中的正负（或负正）转换项，即令an＝0，求出n，若n为整数（即存在为零项），则答案为两个，若n不为整数（即不存在为零项），答案为一个.
3.利用等差数列的前n项和公式求解，求出Sn＝n2+（a1-）n对应图象的对称轴.
训练题
1.［2020·内蒙古集宁一中高二检测］若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0，a7+a10<0，则当n＝ 时，{an}的前n项和最大.
2.已知数列{an}，an＝，前n项和为Sn，关于an及Sn的叙述正确的是 （ ）
A.an与Sn都有最大值 B.an与Sn都没有最大值
C.an与Sn都有最小值 D.an与Sn都没有最小值
8
C
3.［2020·山东临沂高三期末］记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a3＝8，S4＝36.
（1）求{an}的通项公式.
（2）当n为何值时，Sn有最大值？并求其最大值.
4.［2020·浙江金华高一检测］设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12>0，S13<0.
（1）求公差d的取值范围.
（2）指出S1，S2，S3，…，Sn中哪一个值最大，并说明理由.
五、等差数列的前n项的绝对值之和
例5 ［2020·山东省实验中学高三检测］等差数列{an}中，a2＝4，a4+a7＝15.
（1）求数列{an}的通项公式.
（2）设bn＝-2an+25，求数列{|bn|}的前n项和.
◆等差数列前n项的绝对值之和的求法
1.求出等差数列的通项公式；
2.利用通项公式判断数列的项的符号变化，找到变号的临界值；
3.根据项的符号去掉绝对值符号；
4.利用等差数列的前n项和公式求解.
【注意】
1.求等差数列的前n项的绝对值之和时，要特别注意对n的分类讨论；
2.求等差数列的前n项的绝对值之和时，最后结果要写成分段函数的形式.
训练题
1.［2020·浙江宁波高一检测］在等差数列{an}中，已知公差d>0，a3+a5＝-4，a2a6＝-12，则数列{|an|}的前n项和Sn＝ .
2.［2020·安徽宿州高一期末］已知等差数列{an}满足a1+a4+a7＝0，a3+a6+a9＝-18，前n项和为Sn.
（1）求S9 . （2）记bn＝|an|，求数列{bn}的前9项和T9.
六、特殊数列的前n项和
◆裂项求和的一般步骤
1.求出数列的通项公式；
2.将通项拆成两项或多项的和或差的形式；
3.对数列的前n项进行裂项并表示出前n项的和；
4.求出前n项的和.
训练题
1.［2020·广东梅州高二期末］已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5与a7的等差中项为13，{an}的前n项和为Sn.
（1）求an以及Sn. （2）若bn＝（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn.
C
2.分组求和
例7 ［2020·山东兰陵一中高三模拟］在数列{an}中，a1＝1，an+2+（-1）nan＝1，记Sn是数列{an}的前n项和，则S40＝ .
【解析】当n是奇数时，an+2-an＝1，数列{an}中奇数项构成等差数列；
当n是偶数时，an+2+an＝1.
∴ S40＝（a1+a3+a5+…+a39）+（a2+a4+a6+…+a40）
＝20a1+×1+10＝220.
【答案】220
训练题 ［2020·黑龙江大庆高三模拟］已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S9＝81.记bn＝［log5an］，其中［x］表示不超过x的最大整数，如［0.9］＝0，［log516］＝1.
（1）求b1，b14，b61. （2）求数列{bn}的前200项和.
解：（1）设等差数列{an}的公差为d，由已知得
S9＝9a5＝9（a1+4d）＝81，∴ a1+4d＝9.
∵ a1＝1，∴ d＝2，
∴ an＝2n-1，
∴ b1＝［log51］＝0，b14＝［log527］＝2，b61＝［log5121］＝2.
（2）当1≤n≤2时，1≤an≤3 （an∈N*），bn＝［log5an］＝0，共2项；
当3≤n≤12时，5≤an≤23，bn＝［log5an］＝1，共10项；
当13≤n≤62时，25≤an≤123，bn＝［log5an］＝2，共50项；
当63≤n≤200时，125≤an≤399，bn＝［log5an］＝3，共138项.
∴ 数列{bn}的前200项和为2×0+10×1+50×2+138×3＝524.
七、等差数列的前n项和的综合应用
例8 ［2020·广东深圳中学高三期末］已知函数f（x）的图象连续且在（2，+∞）上单调，又函数y＝f（x+2）的图象关于y轴对称，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a4）＝f（a2016），则{an}的前2 019项之和为 （ ）
A.0 B.2 019 C.4 038 D.4 040
【解析】由函数y＝f（x+2）的图象关于y轴对称，且函数f（x）的图象连续且在（2，+∞）上单调，
可得y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称且在（-∞，2）上单调.
因为数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a4）＝f（a2016），
所以a4+a2016＝4.因为{an}是等差数列，可得a4+a2016＝a1+a2019＝4，
所以{an}的前2 019项之和为S2019＝＝4 038.
【答案】C
训练题
1.［2020·湖南怀化高一联考］已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a1+a200且A，B，C三点共线（该直线不过原点O），则S200＝ （ ）
A.100 B.101 C.200 D.201
2.［2020·山东青岛高三模拟］已知等差数列{an}的前13项之和为，则tan（a6+a7+a8）等于 （ ）
A. B. C.-1 D.1
3.［2020·湖北省荆州中学高二期末］数列{an}满足2an＝an-1+an+1，Sn是数列{an}的前n项和，a2，a2019是函数f（x）＝x2-6x+5的两个零点，则S2020的值为 （ ）
A.6 B.12 C.2 020 D.6 060
A
C
D
八、等差数列的前n项和的实际应用
例9 ［2020·山东日照高二期末］我国古代某数学著作中有这么一道题：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传.意思是说，有996斤棉花全部赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止.在这个问题中，第1个孩子分到的棉花为 （ ）
A.75斤 B.70斤 C.65斤 D.60斤
【解析】设第一个孩子分配到a1斤棉花，则由题意，得S8＝8a1+×17＝996，解得a1＝65，故选C.
【答案】C
◆建立数列模型的一般方法
1.认真审题，准确理解题意，达到如下要求：
（1）明确问题属于哪类应用问题；
（2）弄清题目中的主要已知事项；
（3）明确所求的结论是什么.
2.抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或建立适当坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.
3.将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式（如函数关系、方程、不等式）.
训练题
36［2020·广东中山高二期末］某学校启动建设一个全新的报告厅，该报告厅的座位按如下规则排列：从第二排起，每一排都比前一排多出相同的座位数，且规划第7排有20个座位，则该报告厅前13排的座位总数是 .
37［2020·北京西城区高二期末］某渔业公司今年年初用100万元购进一艘渔船用于捕捞，已知第一年捕捞工作需各种费用4万元，从第二年开始，每年所需费用均比上一年增加2万元.若该渔船预计使用n年，其总花费（含购买费用）为 万元；当n＝ 时，该渔船年平均花费最低（含购买费用）.
260
n2+3n+100
10
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
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数学-RJ·A-选择性必修第二册
4.2 等差数列
4.2.2 等差数列的前n项和公式
第四章 数列
学习目标
1.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系以及等差数列的前n项和公式与二次函数的关系.
2.会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的计算问题.
3.会利用等差数列的通项公式与前n项和公式研究Sn的最值.
4.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的实际问题.
5.掌握等差数列前n项和的性质并能正确应用.
重点：等差数列前n项和公式及应用、等差数列前n项和公式与二次函数的关系、等差数列前n项和的最值问题、等差数列前n项和的性质及应用、倒序相加求和法、首尾配对求和法
难点：等差数列前n项和的推导、等差数列前n项和公式的应用、等差数列前n项和的性质识记及应用
知识梳理
一、求和：1+2+3+…+n
当n是偶数时，有a1+an＝a2+an-1＝…＝+，
于是有 Sn＝1+2+3+…+n
＝（1+n）+［2+（n-1）］+…+
＝.
当n为奇数时，有 Sn＝1+2+3+…+n
＝（1+n）+［2+（n-1）］+…++
＝ +
＝·（1+n）+
＝.
所以，对任意正整数n，都有
Sn＝1+2+3+…+n＝.
思考：我们发现，在求前n个正整数的和时，要对n分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦.能否设法避免分类讨论？
如果对公式Sn＝1+2+3+…+n＝作变形，可得
2Sn＝2（1+2+3+…+n）＝n（n+1），
它相当于两个Sn相加，而结果变成n个（n+1）相加.
受此启发，我们得到下面的方法：
Sn＝1+ 2 + 3 +…+n，
Sn＝n+（n-1）+（n-2）+…+1，
将上述两式相加，可得
2Sn＝（n+1）+［（n-1）+2］+［（n-2）+3］+…+（1+n）
＝ ＝n（n+1），
所以Sn＝1+2+3+…+n＝.
二、求等差数列{an}的前n项和
对于等差数列{an}，因为a1+an＝a2+an-1＝…＝an+a1，由上述方法得到启示，我们用两种方式表示Sn：
Sn＝a1 + a2 + … + an， ①
Sn＝an + an-1+ … + a1. ②
①+②，得
2Sn＝（a1+an）+（a2+an-1）+…+（an+a1）
＝ ＝n（a1+an）.
由此得到等差数列{an}的前n项和公式
Sn＝. （1）
把等差数列的通项公式an＝a1+（n-1）d代入公式（1），可得
Sn＝na1+d. （2）
对于等差数列前n项和公式应注意以下三点：
（1）推导方法为首尾配对求和法和倒序相加法，其中倒序相加法避开了分类讨论；
（2）Sn＝与Sn＝na1+d均为等差数列前n项和公式，注意灵活选择、应用.当已知a1，an时，多用Sn＝；当已知a1，d时，多用Sn＝na1+d；
（3）等差数列{an}的求和公式Sn＝，Sn＝na1+，通项公式an＝a1+（n-1）d，这三个公式中涉及a1，d，n，an，Sn五个量，知道其中三个量，可以利用公式求出另外两个量，也称“知三求二”.
三、等差数列前n项和的常用性质
设数列{an}是等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，则Sn有如下常用性质：
（1）Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…也成等差数列，公差为m2d.
（2）若项数为奇数2n-1，则S2n-1＝（2n-1）an（an为中间项）①；
S奇-S偶＝an（an为中间项）②； ③.
若项数为偶数2n，则S2n＝n（a1+a2n）＝n（an+an+1）（an，an+1为中间两项）；
S偶-S奇＝nd；＝（an，an+1为中间两项）.
①的证明：S2n-1＝＝＝（2n-1）an.
②的证明：S奇＝a1+a3+a5+…+a2n-1，S偶＝a2+a4+…+a2n-2，
则S奇-S偶＝a1+（a3-a2）+（a5-a4）+…+（a2n-1-a2n-2）
＝a1+（n-1）d＝an.
③的证明：奇数项共n项，偶数项共（n-1）项，
∴ S奇＝＝nan，S偶＝＝（n-1）an，
∴ ＝.
（3）设{bn}也是等差数列，且其前n项和为Tn，则＝，
更一般地，＝④.
④的证明：∵ S2m-1＝＝（2m-1）am，
T2n-1＝＝（2n-1）bn，
∴＝.
（4）数列也是等差数列，公差为.
（5）数列{an}为等差数列Sn＝An2+Bn（A，B为常数）.
常考题型
一、等差数列的前n项和的基本运算
例1［2020·宁夏石嘴山高二期末］等差数列{an}的前n项和记为Sn，已知a10＝30，a20＝50.
（1）求通项an. （2）若Sn＝242，求n.
【解】（1）设等差数列{an}的公差为d，
由an＝a1+（n-1）d，a10＝30，a20＝50，
得方程组 解得 所以an＝2n+10.
（2）由Sn＝na1+d，Sn＝242，得方程12n+×2＝242，
解得n＝11或n＝-22（舍去），所以n＝11.
训练题
1.［2020·黑龙江双鸭山市一中高三期末］已知等差数列{an}，若a2＝10，a5＝1，则{an}的前7项的和是 （ ）
A.112 B.51 C.28 D.18
2.［2020·广西南宁三中高三模拟］等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3+a8＝13，S7＝35，则a8＝ （ ）
A.8 B.9 C.10 D.11
3.［2020·江苏盐城高三检测］已知等差数列{an}的首项为4，公差为2，前n项和为Sn，若Sk-ak+5＝60（k∈N*），则k的值为 （ ）
A.6 B.7 C.8 D.7或8
C
B
C
二、等差数列的前n项和的性质的应用
例2 ［2020·河南洛阳高三模拟］已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝100，S100＝10，试求S110.
【解】（方法一）∵ S10，S20-S10，S30-S20，…，S100-S90，S110-S100成等差数列，设公差为d，前10项和为10×100+d＝10，∴ d＝-22.
∴ 前11项的和S110＝11×100+d＝11×100+×（-22）＝-110.
（方法三）设等差数列{an}的公差为d，
则S110＝a1+a2+…+a10+a11+a12+…+a110
＝（a1+a2+…+a10）+［（a1+10d）+（a2+10d）+…+（a100+10d）］
＝S10+S100+10×100d＝110+10×100d.
又S10＝10a1+d＝100，S100＝100a1+d＝10，
由S100-10S10，得d-d＝10-10×100，
∴ 100d＝-22.∴ S110＝110-22×10＝-110.
训练题
1.［2020·广东揭阳三中高二检测］等差数列{an}的前m项的和是40，前2m项的和是100，则它的前3m项的和是 （ ）
A.130 B.180 C.210 D.260
2.［2020·云南玉溪一中高二检测］设{an}是任意等差数列，它的前n项和、前2n项和与前4n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是 （ ）
A.2X+Z＝3Y B.4X+Z＝4Y C.2X+3Z＝7Y D.8X+Z＝6Y
3.［2020·福建厦门高一检测］记Sn为等差数列{an}的前n项和，若数列的第六项与第八项之和为4，则a4等于 （ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
B
D
A
4.［2020·安徽淮南高三月考］设Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝-2 020，-＝2 ，则a2＝ （ ）
A.-2 016 B.-2 018 C.2 018 D.2 016
5.一个等差数列共有2n+1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项的值为 （ ）
A.30 B.31 C.32 D.33
6.［2020·江苏宿迁高一期末］设等差数列{an}的前n项和为Sn，若am＝11，S2m-1＝121，则m的值为 .
7.［2020·宁大附中高三模拟］已知数列{an}，若点（n，an）（n∈N+）均在直线y＝k（x-8）+3上，则{an}的前15项和等于 .
B
C
6
45
三、两个等差数列的比值问题
例3 ［2020·广州中山高三模拟］等差数列{an}，{bn}的前n项和为Sn，Tn.若＝（n∈N+），则＝ .
【答案】
D
C
四、等差数列的前n项和的最值问题
例4 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a6+a8＝6，S9-S6＝3，则Sn取得最大值时n的值为 （ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】D
◆求等差数列前n项和Sn的最值的常用方法
1.通项法:在等差数列{an}中，
（1）若a1>0，d<0，Sn有最大值，可由不等式组来确定n；
（2）若a1<0，d>0，Sn有最小值，可由不等式组来确定n.
2.转折项法：找到数列中的正负（或负正）转换项，即令an＝0，求出n，若n为整数（即存在为零项），则答案为两个，若n不为整数（即不存在为零项），答案为一个.
3.利用等差数列的前n项和公式求解，求出Sn＝n2+（a1-）n对应图象的对称轴.
训练题
1.［2020·内蒙古集宁一中高二检测］若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0，a7+a10<0，则当n＝ 时，{an}的前n项和最大.
2.已知数列{an}，an＝，前n项和为Sn，关于an及Sn的叙述正确的是 （ ）
A.an与Sn都有最大值 B.an与Sn都没有最大值
C.an与Sn都有最小值 D.an与Sn都没有最小值
8
C
3.［2020·山东临沂高三期末］记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a3＝8，S4＝36.
（1）求{an}的通项公式.
（2）当n为何值时，Sn有最大值？并求其最大值.
4.［2020·浙江金华高一检测］设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12>0，S13<0.
（1）求公差d的取值范围.
（2）指出S1，S2，S3，…，Sn中哪一个值最大，并说明理由.
五、等差数列的前n项的绝对值之和
例5 ［2020·山东省实验中学高三检测］等差数列{an}中，a2＝4，a4+a7＝15.
（1）求数列{an}的通项公式.
（2）设bn＝-2an+25，求数列{|bn|}的前n项和.
◆等差数列前n项的绝对值之和的求法
1.求出等差数列的通项公式；
2.利用通项公式判断数列的项的符号变化，找到变号的临界值；
3.根据项的符号去掉绝对值符号；
4.利用等差数列的前n项和公式求解.
【注意】
1.求等差数列的前n项的绝对值之和时，要特别注意对n的分类讨论；
2.求等差数列的前n项的绝对值之和时，最后结果要写成分段函数的形式.
训练题
1.［2020·浙江宁波高一检测］在等差数列{an}中，已知公差d>0，a3+a5＝-4，a2a6＝-12，则数列{|an|}的前n项和Sn＝ .
2.［2020·安徽宿州高一期末］已知等差数列{an}满足a1+a4+a7＝0，a3+a6+a9＝-18，前n项和为Sn.
（1）求S9 . （2）记bn＝|an|，求数列{bn}的前9项和T9.
六、特殊数列的前n项和
◆裂项求和的一般步骤
1.求出数列的通项公式；
2.将通项拆成两项或多项的和或差的形式；
3.对数列的前n项进行裂项并表示出前n项的和；
4.求出前n项的和.
训练题
1.［2020·广东梅州高二期末］已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5与a7的等差中项为13，{an}的前n项和为Sn.
（1）求an以及Sn. （2）若bn＝（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn.
C
2.分组求和
例7 ［2020·山东兰陵一中高三模拟］在数列{an}中，a1＝1，an+2+（-1）nan＝1，记Sn是数列{an}的前n项和，则S40＝ .
【解析】当n是奇数时，an+2-an＝1，数列{an}中奇数项构成等差数列；
当n是偶数时，an+2+an＝1.
∴ S40＝（a1+a3+a5+…+a39）+（a2+a4+a6+…+a40）
＝20a1+×1+10＝220.
【答案】220
训练题 ［2020·黑龙江大庆高三模拟］已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S9＝81.记bn＝［log5an］，其中［x］表示不超过x的最大整数，如［0.9］＝0，［log516］＝1.
（1）求b1，b14，b61. （2）求数列{bn}的前200项和.
解：（1）设等差数列{an}的公差为d，由已知得
S9＝9a5＝9（a1+4d）＝81，∴ a1+4d＝9.
∵ a1＝1，∴ d＝2，
∴ an＝2n-1，
∴ b1＝［log51］＝0，b14＝［log527］＝2，b61＝［log5121］＝2.
（2）当1≤n≤2时，1≤an≤3 （an∈N*），bn＝［log5an］＝0，共2项；
当3≤n≤12时，5≤an≤23，bn＝［log5an］＝1，共10项；
当13≤n≤62时，25≤an≤123，bn＝［log5an］＝2，共50项；
当63≤n≤200时，125≤an≤399，bn＝［log5an］＝3，共138项.
∴ 数列{bn}的前200项和为2×0+10×1+50×2+138×3＝524.
七、等差数列的前n项和的综合应用
例8 ［2020·广东深圳中学高三期末］已知函数f（x）的图象连续且在（2，+∞）上单调，又函数y＝f（x+2）的图象关于y轴对称，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a4）＝f（a2016），则{an}的前2 019项之和为 （ ）
A.0 B.2 019 C.4 038 D.4 040
【解析】由函数y＝f（x+2）的图象关于y轴对称，且函数f（x）的图象连续且在（2，+∞）上单调，
可得y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称且在（-∞，2）上单调.
因为数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a4）＝f（a2016），
所以a4+a2016＝4.因为{an}是等差数列，可得a4+a2016＝a1+a2019＝4，
所以{an}的前2 019项之和为S2019＝＝4 038.
【答案】C
训练题
1.［2020·湖南怀化高一联考］已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a1+a200且A，B，C三点共线（该直线不过原点O），则S200＝ （ ）
A.100 B.101 C.200 D.201
2.［2020·山东青岛高三模拟］已知等差数列{an}的前13项之和为，则tan（a6+a7+a8）等于 （ ）
A. B. C.-1 D.1
3.［2020·湖北省荆州中学高二期末］数列{an}满足2an＝an-1+an+1，Sn是数列{an}的前n项和，a2，a2019是函数f（x）＝x2-6x+5的两个零点，则S2020的值为 （ ）
A.6 B.12 C.2 020 D.6 060
A
C
D
八、等差数列的前n项和的实际应用
例9 ［2020·山东日照高二期末］我国古代某数学著作中有这么一道题：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传.意思是说，有996斤棉花全部赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止.在这个问题中，第1个孩子分到的棉花为 （ ）
A.75斤 B.70斤 C.65斤 D.60斤
【解析】设第一个孩子分配到a1斤棉花，则由题意，得S8＝8a1+×17＝996，解得a1＝65，故选C.
【答案】C
◆建立数列模型的一般方法
1.认真审题，准确理解题意，达到如下要求：
（1）明确问题属于哪类应用问题；
（2）弄清题目中的主要已知事项；
（3）明确所求的结论是什么.
2.抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或建立适当坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.
3.将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式（如函数关系、方程、不等式）.
训练题
36［2020·广东中山高二期末］某学校启动建设一个全新的报告厅，该报告厅的座位按如下规则排列：从第二排起，每一排都比前一排多出相同的座位数，且规划第7排有20个座位，则该报告厅前13排的座位总数是 .
37［2020·北京西城区高二期末］某渔业公司今年年初用100万元购进一艘渔船用于捕捞，已知第一年捕捞工作需各种费用4万元，从第二年开始，每年所需费用均比上一年增加2万元.若该渔船预计使用n年，其总花费（含购买费用）为 万元；当n＝ 时，该渔船年平均花费最低（含购买费用）.
260
n2+3n+100
10
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
谢谢
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