【课件】4.3 等比数列 4.3.1 等比数列的概念 数学-RJ·A-选择性必修第二册（40页PPT）
文档属性
| 名称 | 【课件】4.3 等比数列 4.3.1 等比数列的概念 数学-RJ·A-选择性必修第二册（40页PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-08 17:21:00 | ||
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文档简介
(共40张PPT)
数学-RJ·A-选择性必修第二册
4.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念
第四章 数列
学习目标
1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义，了解等比中项的概念.
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的实际问题.
3.体会等比数列与指数函数的关系.
4.通过等比数列的概念、通项公式认识等比数列的性质.
重点：等比数列、等比中项的概念、等比数列的通项公式、等比数列的性质、等比数列的应用
难点：等比数列的运算、等比数列的性质及应用
知识梳理
一、等比数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（显然q≠0）.
等比数列定义的符号表示：＝q或＝q（n≥2）.
等比数列的定义是判断、证明一个数列是等比数列的重要依据，
即＝q（常数）{an}为等比数列；
＝q（常数）（n≥2）{an}为等比数列.
二、等比中项
与等差中项类似，如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时，G2＝ab.
对于等比中项要注意以下四点：
（1）两个正数（或两个负数）的等比中项有两个，它们互为相反数，一个正数和一个负数没有等比中项；（2）若a与b同号，则G2＝a·b是G是a与b的等比中项的充要条件；
（3）在一个等比数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项，反之，如果一个数列从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项，那么这个数列是等比数列.并且由等比中项的概念知，等比数列的奇数项和偶数项的符号分别一致；
（4）应用等比中项法也可判断、证明一个数列是等比数列：
an-1·an+1≠0（n≥2） {an}为等比数列.
三、等比数列的通项公式
你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
设一个等比数列{an}的公比为q.根据等比数列的定义，可得
an+1＝an·q.
所以a2＝a1q，a3＝a2q＝（a1q）q＝a1q2，
a4＝a3q＝（a1q2）q＝a1q3，……
由此可得 an＝a1qn-1（n≥2）.
又a1＝a1q0＝a1q1-1，这就是说，当n＝1时上式也成立.
因此，首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为
an＝a1qn-1.
对于等比数列的通项公式要注意以下三点：
（1）a1，q是等比数列的两个基本量.任何一个等比数列，只要求得其首项a1，公比q，其通项公式便可求出.
（2）等比数列的通项公式中涉及an，a1，q，n四个量，知道其中3个可以求出另外一个，即“知三求一”.尤其注意在求公比q时，因为qn-1＝，所以求q时涉及开方运算，如果n-1为偶数，则q＝±；如果n-1为奇数，则q＝.
（3）解决等比数列的通项公式是解决等比数列问题的关键.
类比指数函数的性质，说说公比q>0的等比数列的单调性.
四、等比数列与指数函数的关系
类似于等差数列与一次函数的关系，由an＝·qn可知，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数函数f（x）＝·qx（x∈R）当x＝n时的
函数值，即an＝ f（n）.
注意：如果一个数列的通项公式an＝k·qn（k，q为常数，k≠0，q≠0），那么这个数列必定为等比数列.
（4）(4.3节教材例5)：已知，且，
如果数列是等差数列，那么数列一定是等比数列；
如果数列是各项均为正的等比数列，那么数列一定是等差数列.
由第一条性质可知：
若是等比数列，则与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项之积，即
常考题型
一、等比数列的判定与证明
【答案】 D
训练题 ［2020·北京东城区高二期末］定义函数f（x）＝［x］，其中［x］表示不超过x的最大整数，比如［π］＝3.根据以上定义，当x＝+1时，数列x-f（x），f（x），x （ ）
A.是等差数列，也是等比数列 B.是等差数列，不是等比数列
C.是等比数列，不是等差数列 D.不是等差数列，也不是等比数列
D
2.［2020·湖南长沙市长郡中学高一期末］已知数列{an}满足a1＝511，4an＝an-1-3（n≥2）.
（1）求证：数列{an+1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式.
（2） 令bn＝|log2（an+1）|，求数列{bn}的前n项和Sn.
（1）证明：由题意得an＝an-1-，则an+1＝（an-1+1），
所以数列{an+1}是以512为首项，为公比的等比数列.
则an+1＝211-2n，an＝211-2n-1.
（2）解：bn＝|11-2n|，设数列{11-2n}的前n项和为Tn，
则Tn＝10n-n2.当n≤5时，Sn＝Tn＝10n-n2；
当n≥6时，Sn＝2S5-Tn＝n2-10n+50.
所以Sn＝
二、等比数列的通项公式的应用
例3 ［2020·黑龙江大庆中学高一检测］在正项等比数列{an}中，若a6，3a5，a7依次成等差数列，则{an}的公比为 （ ）
A.2 B. C.3 D.
【解析】 由题意知2×3a5＝a6+a7，
又{an}为正项等比数列，所以6a1q4＝a1q5+a1q6，且q>0，
所以q2+q-6＝0，所以q＝2或q＝-3（舍去），故选A.
【答案】 A
（3）单调性如下：
当q>1时，若a1>0，等比数列{an}是递增数列；若a1<0，等比数列{an}是递减数列；
当00，等比数列{an}是递减数列；若a1<0，等比数列{an}是递增数列；
当q<0时，等比数列{an}是摆动数列；
当q＝1时，等比数列{an}是非零常数列.
注：以上a1≠0.
2.方程的观点
等比数列的通项公式an＝a1qn-1中含有四个量a1，q，n，an，在这四个量中，只要知道其中的三个，便可求出第四个，即“知三求一”.
训练题
1.［2020·宁夏石嘴山高二期末］已知数列{an}是等比数列，且a1＝，a4＝-1，则{an}的公比q为 （ ）
A.2 B.-2 C. D.-
2.［2020·浙江金华高三模拟］已知公比为q的等比数列{an}的首项a1>0，则“q>1”是“a5>a3”的 （ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
B
A
3.［2020·淮北师大附中高二期末］在等差数列{an}中，a1＝1，且a2-a1，a3-a1，a4+a1成等比数列，则a5＝ （ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
4.［2020·山东滨州高三模拟］已知1，a1，a2，3成等差数列，
1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值为 （ ）
A. B.2 C.-2 D.
C
B
三、等比中项及其应用
例4 ［2020·浙江宁波高一检测］等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是 （ ）
A.±4 B.4 C.± D.
【解析】 设a4与a8的等比中项是x.
由等比数列的性质可得＝a4a8，∴ x＝±a6 .
∴ a4与a8的等比中项x＝±a6＝±×25＝±4.
【答案】 A
【点拨】
1.任意两个数不一定有等比中项，只有同正或同负的两个数才有等比中项，等比中项有两个，它们互为相反数.
2.G2＝ab是G为a，b的等比中项的必要不充分条件.
训练题
1.［2020·江苏省如东高级中学高一检测］已知实数a，b，c成等比数列，a+6，b+2，c+1成等差数列，则b的最大值为 .
2.［2020·山西太原五中高三模拟］若a，b，-2（a，b>0）可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则（a+1）（b+1）的值为 （ ）
A.10 B.9 C.8 D.7
3.［2020·山东威海高三模拟］在等比数列{an}中，a4，a6是方程x2+5x+1＝0的两根，则a5＝ （ ）
A.1 B.±1 C. D.±
A
B
4.已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数.
◆等比数列的设项方法
1.若三个数成等比数列，可设这三个数分别为，a，aq.
2.若四个数成等比数列，可设这四个数分别为，a，aq，aq2.
3.若五个数成等比数列，可设这五个数分别为，，a，aq，aq2.
四、等比数列的性质及其应用
例5 ［2020·淮北师大附中高二期末］等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7＝18，则log3a1+log3a2+…+log3a10＝ （ ）
A.12 B.10 C.8 D.2+log35
【解析】由等比数列的性质可得a5a6+a4a7＝2a5a6＝18，
所以a5a6＝9.
所以log3a1+log3a2+…+log3a10＝log3（a5a6）5＝5log39＝10，
故选B.
【答案】B
训练题
1.［2020·重庆一中高三期末］在等比数列{an}中，已知a1＝5，a9a10＝40，则a18＝ .
2.［2020·山东滕州一中高二检测］在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，则公比q为 （ ）
A.2 B.3 C.4 D.8
8
A
AB
729
五、等比数列的实际应用
例6 ［2020·河北承德高三期末］某家庭决定要进行一项投资活动，预计每年收益5%.该家庭2020年1月1日投入10万元，按照复利（复利是指在每经过一个计息期后，都将所得利息加入本金，以计算下期的利息）计算，到2030年1月1日，该家庭在此项投资活动的资产总额大约为 （ ）
参考数据：1.058≈1.48，1.059≈1.55，1.0510≈1.63，1.0511≈1.71
A.14.8万 B.15.5万 C.16.3万 D.17.1万
【解析】因为该家庭2020年1月1日投入10万元，按照复利计算，且每年收益5%，
所以10年后的资产总额为10×（1+5%）10.
因为1.0510≈1.63，所以10×（1+5%）10≈16.3（万元）.故选C.
【答案】C
◆求解等比数列实际应用题的一般步骤
1.认真审题，将实际问题转化为等比数列问题；
2.解决等比数列问题；
3.将结果转化为实际问题.
训练题
1.［2020·重庆南开中学高三模拟］我国古代某数学著作中有一题：“今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗.羊主曰：‘我羊食半马.’马主曰：‘我马食半牛.’今欲衰偿之，问：各出几何？”其意：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”，马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”，打算按此比例偿还，问牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿的粟为 （ ）
A.斗 B.斗 C.斗 D.斗
B
D
六、等比数列的综合应用
【解析】由Sn＝2an-2，可得a1＝S1＝2a1-2，即a1＝2；
n≥2时，Sn-1＝2an-1-2.
又Sn＝2an-2，相减可得an＝Sn-Sn-1＝2an-2an-1，即an＝2an-1，
所以{an}是首项为2，公比为2的等比数列.
【答案】B
训练题
1.［2020·北师大实验中学高二检测］已知-1，x，3x，y中，前三项依次成等差数列，后三项依次成等比数列，则y＝ （ ）
A.-5 B.5 C.-9 D.9
2.［2020·重庆一中高三模拟］等比数列{an}中，a4＝2，a7＝5，则数列{lg an}的前10项和等于 （ ）
A.2 B.lg 50 C.5 D.10
3.［2020·山东济南高二检测］在正项等比数列{an}中，若3a1， a3，2a2成等差数列，则＝ （ ）
A.3或-1 B.9或1 C.3 D.9
D
C
D
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
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数学-RJ·A-选择性必修第二册
4.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念
第四章 数列
学习目标
1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义，了解等比中项的概念.
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的实际问题.
3.体会等比数列与指数函数的关系.
4.通过等比数列的概念、通项公式认识等比数列的性质.
重点：等比数列、等比中项的概念、等比数列的通项公式、等比数列的性质、等比数列的应用
难点：等比数列的运算、等比数列的性质及应用
知识梳理
一、等比数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（显然q≠0）.
等比数列定义的符号表示：＝q或＝q（n≥2）.
等比数列的定义是判断、证明一个数列是等比数列的重要依据，
即＝q（常数）{an}为等比数列；
＝q（常数）（n≥2）{an}为等比数列.
二、等比中项
与等差中项类似，如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时，G2＝ab.
对于等比中项要注意以下四点：
（1）两个正数（或两个负数）的等比中项有两个，它们互为相反数，一个正数和一个负数没有等比中项；（2）若a与b同号，则G2＝a·b是G是a与b的等比中项的充要条件；
（3）在一个等比数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项，反之，如果一个数列从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项，那么这个数列是等比数列.并且由等比中项的概念知，等比数列的奇数项和偶数项的符号分别一致；
（4）应用等比中项法也可判断、证明一个数列是等比数列：
an-1·an+1≠0（n≥2） {an}为等比数列.
三、等比数列的通项公式
你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
设一个等比数列{an}的公比为q.根据等比数列的定义，可得
an+1＝an·q.
所以a2＝a1q，a3＝a2q＝（a1q）q＝a1q2，
a4＝a3q＝（a1q2）q＝a1q3，……
由此可得 an＝a1qn-1（n≥2）.
又a1＝a1q0＝a1q1-1，这就是说，当n＝1时上式也成立.
因此，首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为
an＝a1qn-1.
对于等比数列的通项公式要注意以下三点：
（1）a1，q是等比数列的两个基本量.任何一个等比数列，只要求得其首项a1，公比q，其通项公式便可求出.
（2）等比数列的通项公式中涉及an，a1，q，n四个量，知道其中3个可以求出另外一个，即“知三求一”.尤其注意在求公比q时，因为qn-1＝，所以求q时涉及开方运算，如果n-1为偶数，则q＝±；如果n-1为奇数，则q＝.
（3）解决等比数列的通项公式是解决等比数列问题的关键.
类比指数函数的性质，说说公比q>0的等比数列的单调性.
四、等比数列与指数函数的关系
类似于等差数列与一次函数的关系，由an＝·qn可知，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数函数f（x）＝·qx（x∈R）当x＝n时的
函数值，即an＝ f（n）.
注意：如果一个数列的通项公式an＝k·qn（k，q为常数，k≠0，q≠0），那么这个数列必定为等比数列.
（4）(4.3节教材例5)：已知，且，
如果数列是等差数列，那么数列一定是等比数列；
如果数列是各项均为正的等比数列，那么数列一定是等差数列.
由第一条性质可知：
若是等比数列，则与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项之积，即
常考题型
一、等比数列的判定与证明
【答案】 D
训练题 ［2020·北京东城区高二期末］定义函数f（x）＝［x］，其中［x］表示不超过x的最大整数，比如［π］＝3.根据以上定义，当x＝+1时，数列x-f（x），f（x），x （ ）
A.是等差数列，也是等比数列 B.是等差数列，不是等比数列
C.是等比数列，不是等差数列 D.不是等差数列，也不是等比数列
D
2.［2020·湖南长沙市长郡中学高一期末］已知数列{an}满足a1＝511，4an＝an-1-3（n≥2）.
（1）求证：数列{an+1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式.
（2） 令bn＝|log2（an+1）|，求数列{bn}的前n项和Sn.
（1）证明：由题意得an＝an-1-，则an+1＝（an-1+1），
所以数列{an+1}是以512为首项，为公比的等比数列.
则an+1＝211-2n，an＝211-2n-1.
（2）解：bn＝|11-2n|，设数列{11-2n}的前n项和为Tn，
则Tn＝10n-n2.当n≤5时，Sn＝Tn＝10n-n2；
当n≥6时，Sn＝2S5-Tn＝n2-10n+50.
所以Sn＝
二、等比数列的通项公式的应用
例3 ［2020·黑龙江大庆中学高一检测］在正项等比数列{an}中，若a6，3a5，a7依次成等差数列，则{an}的公比为 （ ）
A.2 B. C.3 D.
【解析】 由题意知2×3a5＝a6+a7，
又{an}为正项等比数列，所以6a1q4＝a1q5+a1q6，且q>0，
所以q2+q-6＝0，所以q＝2或q＝-3（舍去），故选A.
【答案】 A
（3）单调性如下：
当q>1时，若a1>0，等比数列{an}是递增数列；若a1<0，等比数列{an}是递减数列；
当0
当q<0时，等比数列{an}是摆动数列；
当q＝1时，等比数列{an}是非零常数列.
注：以上a1≠0.
2.方程的观点
等比数列的通项公式an＝a1qn-1中含有四个量a1，q，n，an，在这四个量中，只要知道其中的三个，便可求出第四个，即“知三求一”.
训练题
1.［2020·宁夏石嘴山高二期末］已知数列{an}是等比数列，且a1＝，a4＝-1，则{an}的公比q为 （ ）
A.2 B.-2 C. D.-
2.［2020·浙江金华高三模拟］已知公比为q的等比数列{an}的首项a1>0，则“q>1”是“a5>a3”的 （ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
B
A
3.［2020·淮北师大附中高二期末］在等差数列{an}中，a1＝1，且a2-a1，a3-a1，a4+a1成等比数列，则a5＝ （ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
4.［2020·山东滨州高三模拟］已知1，a1，a2，3成等差数列，
1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值为 （ ）
A. B.2 C.-2 D.
C
B
三、等比中项及其应用
例4 ［2020·浙江宁波高一检测］等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是 （ ）
A.±4 B.4 C.± D.
【解析】 设a4与a8的等比中项是x.
由等比数列的性质可得＝a4a8，∴ x＝±a6 .
∴ a4与a8的等比中项x＝±a6＝±×25＝±4.
【答案】 A
【点拨】
1.任意两个数不一定有等比中项，只有同正或同负的两个数才有等比中项，等比中项有两个，它们互为相反数.
2.G2＝ab是G为a，b的等比中项的必要不充分条件.
训练题
1.［2020·江苏省如东高级中学高一检测］已知实数a，b，c成等比数列，a+6，b+2，c+1成等差数列，则b的最大值为 .
2.［2020·山西太原五中高三模拟］若a，b，-2（a，b>0）可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则（a+1）（b+1）的值为 （ ）
A.10 B.9 C.8 D.7
3.［2020·山东威海高三模拟］在等比数列{an}中，a4，a6是方程x2+5x+1＝0的两根，则a5＝ （ ）
A.1 B.±1 C. D.±
A
B
4.已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数.
◆等比数列的设项方法
1.若三个数成等比数列，可设这三个数分别为，a，aq.
2.若四个数成等比数列，可设这四个数分别为，a，aq，aq2.
3.若五个数成等比数列，可设这五个数分别为，，a，aq，aq2.
四、等比数列的性质及其应用
例5 ［2020·淮北师大附中高二期末］等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7＝18，则log3a1+log3a2+…+log3a10＝ （ ）
A.12 B.10 C.8 D.2+log35
【解析】由等比数列的性质可得a5a6+a4a7＝2a5a6＝18，
所以a5a6＝9.
所以log3a1+log3a2+…+log3a10＝log3（a5a6）5＝5log39＝10，
故选B.
【答案】B
训练题
1.［2020·重庆一中高三期末］在等比数列{an}中，已知a1＝5，a9a10＝40，则a18＝ .
2.［2020·山东滕州一中高二检测］在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，则公比q为 （ ）
A.2 B.3 C.4 D.8
8
A
AB
729
五、等比数列的实际应用
例6 ［2020·河北承德高三期末］某家庭决定要进行一项投资活动，预计每年收益5%.该家庭2020年1月1日投入10万元，按照复利（复利是指在每经过一个计息期后，都将所得利息加入本金，以计算下期的利息）计算，到2030年1月1日，该家庭在此项投资活动的资产总额大约为 （ ）
参考数据：1.058≈1.48，1.059≈1.55，1.0510≈1.63，1.0511≈1.71
A.14.8万 B.15.5万 C.16.3万 D.17.1万
【解析】因为该家庭2020年1月1日投入10万元，按照复利计算，且每年收益5%，
所以10年后的资产总额为10×（1+5%）10.
因为1.0510≈1.63，所以10×（1+5%）10≈16.3（万元）.故选C.
【答案】C
◆求解等比数列实际应用题的一般步骤
1.认真审题，将实际问题转化为等比数列问题；
2.解决等比数列问题；
3.将结果转化为实际问题.
训练题
1.［2020·重庆南开中学高三模拟］我国古代某数学著作中有一题：“今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗.羊主曰：‘我羊食半马.’马主曰：‘我马食半牛.’今欲衰偿之，问：各出几何？”其意：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”，马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”，打算按此比例偿还，问牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿的粟为 （ ）
A.斗 B.斗 C.斗 D.斗
B
D
六、等比数列的综合应用
【解析】由Sn＝2an-2，可得a1＝S1＝2a1-2，即a1＝2；
n≥2时，Sn-1＝2an-1-2.
又Sn＝2an-2，相减可得an＝Sn-Sn-1＝2an-2an-1，即an＝2an-1，
所以{an}是首项为2，公比为2的等比数列.
【答案】B
训练题
1.［2020·北师大实验中学高二检测］已知-1，x，3x，y中，前三项依次成等差数列，后三项依次成等比数列，则y＝ （ ）
A.-5 B.5 C.-9 D.9
2.［2020·重庆一中高三模拟］等比数列{an}中，a4＝2，a7＝5，则数列{lg an}的前10项和等于 （ ）
A.2 B.lg 50 C.5 D.10
3.［2020·山东济南高二检测］在正项等比数列{an}中，若3a1， a3，2a2成等差数列，则＝ （ ）
A.3或-1 B.9或1 C.3 D.9
D
C
D
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
谢谢
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