【课件】4.3 等比数列 4.3.2 等比数列的前n项和公式 数学-RJ·A-选择性必修第二册 （42页PPT）
文档属性
| 名称 | 【课件】4.3 等比数列 4.3.2 等比数列的前n项和公式 数学-RJ·A-选择性必修第二册 （42页PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-08 17:21:51 | ||
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文档简介
(共42张PPT)
数学-RJ·A-选择性必修第二册
4.3 等比数列
4.3.2 等比数列的前n项和公式
第四章 数列
学习目标
1.探索并掌握等比数列的前n项和公式.
2.会用等比数列的前n项和公式解决一些与前n项和有关的计算问题.
3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能解决与等比数列的前n项和有关的实际问题.
4.掌握错位相减法，并能应用其求等比数列的前n项和.
5.掌握等比数列前n项和的性质，并能正确应用.
重点：等比数列前n项和公式的识记和应用、错位相减法、等比数列的前n项和的性质及应用
难点：等比数列前n项和公式的识记和应用、错位相减法
因此，当q≠1时，我们就得到了等比数列的前n项和公式
Sn＝（q≠1）.（1）
因为an＝a1qn-1，所以公式（1）还可以写成
Sn＝（q≠1）.（2）
当q＝1时，等比数列的前n项和Sn等于多少？
当q＝1时，等比数列的前n项和.
对于等比数列的前n项和公式应注意以下四点：
（1）在推导等比数列的前n项和公式时，通过乘公比错位相减推导公式的方法我们称之为错位相减法.
（2）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其前n项和为Sn＝
当q未知时，要分q＝1和q≠1两种情况讨论.
（3）当q≠1时，应用公式Sn＝＝求Sn时要注意公式的灵活选择.当已知a1，q，n时，用Sn＝.
当已知a1，q，an时，用Sn＝.
（4）对于等比数列的相关量a1，an，q，n，Sn，已知其中三个量，就可以确定其他两个量，即“知三求二”.
（1）等比数列（公比q≠-1）中依次每k项之和构成的新数列仍然是等比数列，即Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…仍是等比数列，新数列的公比为qk.
（2）若等比数列有2n项，则＝q.
（3）当q≠1时，等比数列的前n项和Sn一定是Sn＝Aqn-A的形式.
二、等比数列的前n项和的性质
三、数列求和问题
（1）数列求和的基本方法——公式法
根据等差数列、等比数列的前n项和公式求解.
（2）分组求和法：一个数列的通项是由若干个等差或等比或可求和的数列的通项组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加.
（3）并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.
例如，已知＝，
方法一：＝
==50.
方法二：＝=1+49=50.
（4）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前项和.
注意：在抵消时，有的是依次抵消，有的是间隔抵消，特别是间隔抵消，应注意其规律性. （前后剩余项具有对应性）
裂项时常用的三种变形：
（5）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解.
（6）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解.
用错位相减法求数列前n项和的五个步骤：
（1）乘公比；（2）错位相减；（3）求和；
（4）整理；（5）除以系数.
用错位相减法的注意事项：
（1）注意解题“3关键”
①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
②在写出“Sn”与“qSn”的式子时可将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的式子；
③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况讨论.
（2）谨防解题“3失误”
①两式相减时最后一项因没有对应项而忘记变号.
②对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n-1项和当作n项和.
常考题型
一、等比数列的前n项和公式的应用
1.知三求二问题
例1 ［2020·湖北荆门高一期末］已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝，S3＝，则数列{an}的公比q＝ （ ）
A.3 B. C.3或 D.以上都不对
【解析】由S3＝得a1+a2+a3＝，所以+a2+a2q＝.
因为a2＝，所以+1+q＝，
所以3q2-10q+3＝0，解得q＝或q＝3.故选C.
【答案】C
◆求解等比数列有关问题基本量法
利用等比数列的通项公式或前n项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列的两个基本量a1，q，进而求得数列其他的一些量.这是求解等比数列问题的基本策略.
训练题
1.［2020·江苏南京高三模拟］设数列{an}（n∈N*）是等比数列，前n项和为Sn.已知2a3-3a2＝9，a4＝27，则S3的值为 .
2.［2020·山东郯城高二期末］记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1＝1，S3＝，则S4＝ .
13
2.求等比数列的前n项和
例2 ［2020·重庆市綦江中学高一期末］已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an+1，则S10＝ （ ）
A.211-12 B.211-10 C.210-12 D.210-8
【答案】A
3.求参数值
例3 ［2020·上海高二检测］已知数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn＝3n-1+k（n∈N*），则常数k＝ .
【解析】（方法一）由已知得，a1＝S1＝1+k，a2＝S2-S1＝2，a3＝S3-S2＝6.
因为数列{an}是等比数列，故＝a1a3，
即22＝6（1+k），解得k＝.
【答案】
训练题 ［2020·贵州贵阳高三期末］设等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝k·2n-3，则ak＝ （ ）
A.4 B.8 C.12 D.16
C
二、等比数列的前n项和的性质的应用
例4 ［2020·云南昆明高三模拟］已知等比数列{an}的各项都是正数，Sn为其前n项和，若S4＝8，S8＝24，则S16＝ （ ）
A.40 B.56 C.72 D.120
【解析】因为S4＝8，S8-S4＝16，S12-S8，S16-S12成等比数列，
所以S12-S8＝32，S16-S12＝64，
S16＝S4+（S8-S4）+（S12-S8）+（S16-S12）＝8+16+32+64＝120.
【答案】D
◆等比数列前n项和的性质
1.{an}是公比不为-1的等比数列，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n仍成等比数列，其公比为qn.
2.在等比数列{an}中，当项数为2n（n∈N*）时，＝q.
3.若{an}是公比为q的等比数列，则Sn+m＝Sn+ q n Sm.
训练题
1.［2020·江西师大附中高一月考］设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝3，S9-S6＝12，则S6＝ .
9
2.［2020·江西南昌高三模拟］下列说法正确的是 （ ）
①若数列{an}是等差数列，且am+an＝as+at（m，n，s，t∈N*），则m+n＝s+t；
②若Sn是等差数列{an}的前n项和，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等差数列；
③若Sn是等比数列{an}的前n项和，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列；
④若Sn是等比数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn+B（其中A，B是非零常数，n∈N*），则A+B为零.
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
C
B
C
三、错位相减法求和
例5 ［2020·陕西西安高三月考］已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝an+1.
（1）求数列{an}的通项公式.
（2）若bn＝nan+1，求数列{bn}的前n项和Tn.
【解】（1）由题意知Sn＝an+1，
当n≥2时，Sn-1＝an，两式作差得an＝an+1-an，即＝2.
又由a1＝1＝S1，a2＝S1，求得a2＝1，
∴ 当n≥2时，an＝2n-2，
验证n＝1时不成立，∴ an＝
◆错位相减法求和
1.一般步骤
（1）写出前n项和的解析式，作为①式；写该式时，每一项都要表示成积的形式，且前面是等差数列的对应项，后面是等比数列的对应项.
（2）①式两边同乘公比，得②式；
（3）①式减去②式时，右边相减时注意错位（次数相同的项相减）；
（4）对相减后的等式的右边求和化简；（5）系数化为1，求得结果.
2.使用范围
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和时可用错位相减法.
3.三点注意
一是判断模型，即判断数列{an}，{bn}一个为等差数列，一个为等比数列；二是错开位置；三是相减时一定要注意最后一项的符号，常在此步出错，一定要小心.
训练题 1.［2020·河北承德第一中学高三模拟］已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an+1.
（1）求证数列{an+1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式.
（2）令bn＝3n·（an+1），求数列{bn}的前n项和Tn.
（2）解：由（1）知bn＝3n·2n，
∴ Tn＝3×21+6×22+9×23+…+3（n-1）·2n-1+3n·2n，
∴ 2Tn＝3×22+6×23+9×24+…+3（n-1）·2n+3n·2n+1，
∴ -Tn＝3×（21+22+23+…+2n）-3n·2n+1，
∴ Tn＝3·2n+1（n-1）+6.
例6 ［2020·黑龙江大庆实验中学高二联考］记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝2an+1，则S6＝ .
【解析】根据Sn＝2an+1，可得Sn+1＝2an+1+1，
两式相减得an+1＝2an+1-2an，即an+1＝2an，
当n＝1时，S1＝a1＝2a1+1，解得a1＝-1，
所以数列{an}是以-1为首项，以2为公比的等比数列，
所以S6＝＝-63.
【答案】
四、等比数列的综合问题
◆数列中an与Sn的混合等式的两种处理方法
1.构造相减法：仿照已知的混合式再构造出一个混合式（把n换成n+1或n-1），然后两式相减，便可得到关于项的递推公式，再利用该递推公式求出通项即可.
这种方法是消和留项.
2.利用an＝Sn-Sn-1（n≥2）将混合式化为关于和的递推公式，利用该递推公式可先求出和Sn，然后再利用知Sn求an的公式求出通项即可.这种方法是消项留和.
D
2.（多选题）［2020·江苏省启东中学高二期末］将n2个数排成n行n列的一个数阵，如图所示：
a11 a12 a13 …… a1n
a21 a22 a23 …… a2n
a31 a32 a33 …… a3n
……
an1 an2 an3 …… ann
该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中m>0）.已知a11＝2，a13＝a61+1，记这n2个数的和为S.下列结论正确的有 （ ）
A.m＝3 B.a67＝17×37
C.ai j＝（3i-1）×3j-1 D.S＝n（3n+1）（3n-1）
ACD
五、等比数列的前n项和的实际应用
例7 ［2020·云南师大附中高三模拟］《庄子·天下》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.如果经过n天，该木棒剩余的长度为an（尺），则an与n的关系为 （ ）
A.an＝ B.an＝1- C.an＝ D.an＝1
【解析】设每日所取长度为bn，则{bn}是首项b1＝，公比q＝的等比数列，∴ 所取总长度为1-an＝b1+b2+…+bn＝＝1- ，
∴ an＝ .
【答案】A
◆求解等比数列实际应用题的基本步骤
1.认真审题，建立等比数列的数学模型，将实际问题转化为等比数列的前n项和的问题；
2.利用等比数列的前n项和公式求出数学问题的解；
3.将求得的数学问题的解转化为实际问题.
◆求解等比数列的前n项和的实际应用题应注意的问题
1.在建立数列模型时要弄清是等差数列还是等比数列；
2.要求的是项还是前n项和，还是项数n；
3.问题中给出的关系得到的是通项公式还是递推公式.
训练题
1.在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问：几何日相逢？大意是假设有一堵墙，墙五尺厚，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙.大老鼠第一天穿一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也穿一尺，以后每天减半.问几天后两鼠相遇？ （ ）
A. B. C. D.2.25
A
2.［2020·黑龙江哈三中高三检测］有这样一道题：今有女善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？译文是：今有一妇女善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天里共织布5尺.问这位妇女每天织布多少？在该问题中，若设此妇女第n天织布an尺，则a1+a3+a5＝ （ ）
A.7 B. C. D.
B
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
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数学-RJ·A-选择性必修第二册
4.3 等比数列
4.3.2 等比数列的前n项和公式
第四章 数列
学习目标
1.探索并掌握等比数列的前n项和公式.
2.会用等比数列的前n项和公式解决一些与前n项和有关的计算问题.
3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能解决与等比数列的前n项和有关的实际问题.
4.掌握错位相减法，并能应用其求等比数列的前n项和.
5.掌握等比数列前n项和的性质，并能正确应用.
重点：等比数列前n项和公式的识记和应用、错位相减法、等比数列的前n项和的性质及应用
难点：等比数列前n项和公式的识记和应用、错位相减法
因此，当q≠1时，我们就得到了等比数列的前n项和公式
Sn＝（q≠1）.（1）
因为an＝a1qn-1，所以公式（1）还可以写成
Sn＝（q≠1）.（2）
当q＝1时，等比数列的前n项和Sn等于多少？
当q＝1时，等比数列的前n项和.
对于等比数列的前n项和公式应注意以下四点：
（1）在推导等比数列的前n项和公式时，通过乘公比错位相减推导公式的方法我们称之为错位相减法.
（2）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其前n项和为Sn＝
当q未知时，要分q＝1和q≠1两种情况讨论.
（3）当q≠1时，应用公式Sn＝＝求Sn时要注意公式的灵活选择.当已知a1，q，n时，用Sn＝.
当已知a1，q，an时，用Sn＝.
（4）对于等比数列的相关量a1，an，q，n，Sn，已知其中三个量，就可以确定其他两个量，即“知三求二”.
（1）等比数列（公比q≠-1）中依次每k项之和构成的新数列仍然是等比数列，即Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…仍是等比数列，新数列的公比为qk.
（2）若等比数列有2n项，则＝q.
（3）当q≠1时，等比数列的前n项和Sn一定是Sn＝Aqn-A的形式.
二、等比数列的前n项和的性质
三、数列求和问题
（1）数列求和的基本方法——公式法
根据等差数列、等比数列的前n项和公式求解.
（2）分组求和法：一个数列的通项是由若干个等差或等比或可求和的数列的通项组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加.
（3）并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.
例如，已知＝，
方法一：＝
==50.
方法二：＝=1+49=50.
（4）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前项和.
注意：在抵消时，有的是依次抵消，有的是间隔抵消，特别是间隔抵消，应注意其规律性. （前后剩余项具有对应性）
裂项时常用的三种变形：
（5）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解.
（6）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解.
用错位相减法求数列前n项和的五个步骤：
（1）乘公比；（2）错位相减；（3）求和；
（4）整理；（5）除以系数.
用错位相减法的注意事项：
（1）注意解题“3关键”
①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
②在写出“Sn”与“qSn”的式子时可将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的式子；
③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况讨论.
（2）谨防解题“3失误”
①两式相减时最后一项因没有对应项而忘记变号.
②对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n-1项和当作n项和.
常考题型
一、等比数列的前n项和公式的应用
1.知三求二问题
例1 ［2020·湖北荆门高一期末］已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝，S3＝，则数列{an}的公比q＝ （ ）
A.3 B. C.3或 D.以上都不对
【解析】由S3＝得a1+a2+a3＝，所以+a2+a2q＝.
因为a2＝，所以+1+q＝，
所以3q2-10q+3＝0，解得q＝或q＝3.故选C.
【答案】C
◆求解等比数列有关问题基本量法
利用等比数列的通项公式或前n项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列的两个基本量a1，q，进而求得数列其他的一些量.这是求解等比数列问题的基本策略.
训练题
1.［2020·江苏南京高三模拟］设数列{an}（n∈N*）是等比数列，前n项和为Sn.已知2a3-3a2＝9，a4＝27，则S3的值为 .
2.［2020·山东郯城高二期末］记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1＝1，S3＝，则S4＝ .
13
2.求等比数列的前n项和
例2 ［2020·重庆市綦江中学高一期末］已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an+1，则S10＝ （ ）
A.211-12 B.211-10 C.210-12 D.210-8
【答案】A
3.求参数值
例3 ［2020·上海高二检测］已知数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn＝3n-1+k（n∈N*），则常数k＝ .
【解析】（方法一）由已知得，a1＝S1＝1+k，a2＝S2-S1＝2，a3＝S3-S2＝6.
因为数列{an}是等比数列，故＝a1a3，
即22＝6（1+k），解得k＝.
【答案】
训练题 ［2020·贵州贵阳高三期末］设等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝k·2n-3，则ak＝ （ ）
A.4 B.8 C.12 D.16
C
二、等比数列的前n项和的性质的应用
例4 ［2020·云南昆明高三模拟］已知等比数列{an}的各项都是正数，Sn为其前n项和，若S4＝8，S8＝24，则S16＝ （ ）
A.40 B.56 C.72 D.120
【解析】因为S4＝8，S8-S4＝16，S12-S8，S16-S12成等比数列，
所以S12-S8＝32，S16-S12＝64，
S16＝S4+（S8-S4）+（S12-S8）+（S16-S12）＝8+16+32+64＝120.
【答案】D
◆等比数列前n项和的性质
1.{an}是公比不为-1的等比数列，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n仍成等比数列，其公比为qn.
2.在等比数列{an}中，当项数为2n（n∈N*）时，＝q.
3.若{an}是公比为q的等比数列，则Sn+m＝Sn+ q n Sm.
训练题
1.［2020·江西师大附中高一月考］设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝3，S9-S6＝12，则S6＝ .
9
2.［2020·江西南昌高三模拟］下列说法正确的是 （ ）
①若数列{an}是等差数列，且am+an＝as+at（m，n，s，t∈N*），则m+n＝s+t；
②若Sn是等差数列{an}的前n项和，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等差数列；
③若Sn是等比数列{an}的前n项和，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列；
④若Sn是等比数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn+B（其中A，B是非零常数，n∈N*），则A+B为零.
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
C
B
C
三、错位相减法求和
例5 ［2020·陕西西安高三月考］已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝an+1.
（1）求数列{an}的通项公式.
（2）若bn＝nan+1，求数列{bn}的前n项和Tn.
【解】（1）由题意知Sn＝an+1，
当n≥2时，Sn-1＝an，两式作差得an＝an+1-an，即＝2.
又由a1＝1＝S1，a2＝S1，求得a2＝1，
∴ 当n≥2时，an＝2n-2，
验证n＝1时不成立，∴ an＝
◆错位相减法求和
1.一般步骤
（1）写出前n项和的解析式，作为①式；写该式时，每一项都要表示成积的形式，且前面是等差数列的对应项，后面是等比数列的对应项.
（2）①式两边同乘公比，得②式；
（3）①式减去②式时，右边相减时注意错位（次数相同的项相减）；
（4）对相减后的等式的右边求和化简；（5）系数化为1，求得结果.
2.使用范围
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和时可用错位相减法.
3.三点注意
一是判断模型，即判断数列{an}，{bn}一个为等差数列，一个为等比数列；二是错开位置；三是相减时一定要注意最后一项的符号，常在此步出错，一定要小心.
训练题 1.［2020·河北承德第一中学高三模拟］已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an+1.
（1）求证数列{an+1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式.
（2）令bn＝3n·（an+1），求数列{bn}的前n项和Tn.
（2）解：由（1）知bn＝3n·2n，
∴ Tn＝3×21+6×22+9×23+…+3（n-1）·2n-1+3n·2n，
∴ 2Tn＝3×22+6×23+9×24+…+3（n-1）·2n+3n·2n+1，
∴ -Tn＝3×（21+22+23+…+2n）-3n·2n+1，
∴ Tn＝3·2n+1（n-1）+6.
例6 ［2020·黑龙江大庆实验中学高二联考］记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝2an+1，则S6＝ .
【解析】根据Sn＝2an+1，可得Sn+1＝2an+1+1，
两式相减得an+1＝2an+1-2an，即an+1＝2an，
当n＝1时，S1＝a1＝2a1+1，解得a1＝-1，
所以数列{an}是以-1为首项，以2为公比的等比数列，
所以S6＝＝-63.
【答案】
四、等比数列的综合问题
◆数列中an与Sn的混合等式的两种处理方法
1.构造相减法：仿照已知的混合式再构造出一个混合式（把n换成n+1或n-1），然后两式相减，便可得到关于项的递推公式，再利用该递推公式求出通项即可.
这种方法是消和留项.
2.利用an＝Sn-Sn-1（n≥2）将混合式化为关于和的递推公式，利用该递推公式可先求出和Sn，然后再利用知Sn求an的公式求出通项即可.这种方法是消项留和.
D
2.（多选题）［2020·江苏省启东中学高二期末］将n2个数排成n行n列的一个数阵，如图所示：
a11 a12 a13 …… a1n
a21 a22 a23 …… a2n
a31 a32 a33 …… a3n
……
an1 an2 an3 …… ann
该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中m>0）.已知a11＝2，a13＝a61+1，记这n2个数的和为S.下列结论正确的有 （ ）
A.m＝3 B.a67＝17×37
C.ai j＝（3i-1）×3j-1 D.S＝n（3n+1）（3n-1）
ACD
五、等比数列的前n项和的实际应用
例7 ［2020·云南师大附中高三模拟］《庄子·天下》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.如果经过n天，该木棒剩余的长度为an（尺），则an与n的关系为 （ ）
A.an＝ B.an＝1- C.an＝ D.an＝1
【解析】设每日所取长度为bn，则{bn}是首项b1＝，公比q＝的等比数列，∴ 所取总长度为1-an＝b1+b2+…+bn＝＝1- ，
∴ an＝ .
【答案】A
◆求解等比数列实际应用题的基本步骤
1.认真审题，建立等比数列的数学模型，将实际问题转化为等比数列的前n项和的问题；
2.利用等比数列的前n项和公式求出数学问题的解；
3.将求得的数学问题的解转化为实际问题.
◆求解等比数列的前n项和的实际应用题应注意的问题
1.在建立数列模型时要弄清是等差数列还是等比数列；
2.要求的是项还是前n项和，还是项数n；
3.问题中给出的关系得到的是通项公式还是递推公式.
训练题
1.在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问：几何日相逢？大意是假设有一堵墙，墙五尺厚，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙.大老鼠第一天穿一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也穿一尺，以后每天减半.问几天后两鼠相遇？ （ ）
A. B. C. D.2.25
A
2.［2020·黑龙江哈三中高三检测］有这样一道题：今有女善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？译文是：今有一妇女善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天里共织布5尺.问这位妇女每天织布多少？在该问题中，若设此妇女第n天织布an尺，则a1+a3+a5＝ （ ）
A.7 B. C. D.
B
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
谢谢
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