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第六章 平面向量及其应用
6．1 平面向量的概念
基础认知·自主学习
大小
方向
大小
方向
方向
起点
大小
方向
零
0
1
相等
相同
a＝b
定义 方向_____或_____的非零向量叫做平行向量．规定：_______
与任意向量平行．任一组平行向量都可以平移到同一条直线
上，因此，平行向量也叫做_____向量．
表示方法 向量a与b平行，记作____，
对于任意向量a，都有0∥a.
相同
相反
零向量
共线
a∥b
能力形成·合作探究
素养发展·创新应用
学情诊断·课堂测评
平面向量的概念
1.向量及向量的有关概念、表示方法.
2 .零向量：长度为0的向量。单位向量：长度等于1个单位长度的向量.
3.平行向量（共线向量）和相等向量 .
1.寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的
向量，再确定哪些是同向共线的向量．
2.寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线
的线段，再构造同向与反向的向量．
1.与起点无关.用有向线段表示向量时,起点可以取任意位置.
2.判断一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个因素.
3.向量与向量之间不能比较大小.
4.零向量与任何向量都平行.
1.数学抽象：平面向量的概念.
2.逻辑推理：区分平行向量、相等向量和共线向量.
3.直观想象：向量的几何表示.
核心知识
方法总结
核心素养
易错提醒(共35张PPT)
第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
【情境探究】
阅读下面的物理现象,思考下面的问题:
a.民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班,每次飞行都是民航客机的一次位移.由于飞行的距离和方向各不相同,因此,它们是不同的位移.
b.汽车向东北方向行驶了60 km,行驶速度的大小为120 km/h,方向是东北.
c.起重机吊装物体时,物体既受到竖直向下的重力作用,同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用.
必备知识生成
1.上述三个实例中涉及哪些物理量
提示:位移、速度、力.
2.这些量与我们日常生活中的面积、质量有什么区别
提示:这些量既有大小又有方向,而我们日常生活中的面积、质量只有大小而没有方向.
3.对既有大小又有方向的量,如何形象、直观地表示出来
提示:利用有向线段来表示.
【知识生成】
1.向量的概念和表示方法
(1)概念:既有_____,又有_____的量称为向量.(也称为_____)
(2)向量的表示:
几何表示:用_________来表示向量,有向线段的长度表示向量的_____,箭头所指
的方向表示向量的_____.
字母表示:用小写字母a,b,c,…表示,手写时必须加箭头.
大小
方向
矢量
有向线段
大小
方向
2.向量的长度(或称模)与特殊向量
(1)向量的长度定义:向量的_____叫做向量的长度.
(2)向量的长度表示:向量 ,a的长度分别记作:| |,|a|.
(3)特殊向量:
①________的向量称为零向量,记作__,方向不确定;
②________的向量,叫做单位向量.
大小
长度为0
0
模等于1
3.向量间的关系
(1)相等向量:长度_____且方向_____的向量,叫做相等向量,记作:a=b.
(2)平行向量:方向___________的非零向量,也叫_________;a平行于b,记作
_____;规定零向量与任意向量_____.
相等
相同
相同或相反
共线向量
a∥b
平行
关键能力探究
探究点一 向量的有关概念
【典例1】下列说法中正确的是 ( )
A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的向量可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
【思维导引】从向量的基本概念出发思考.
【解析】选D.不管向量的方向如何,它们都不能比较大小,故A,B不正确;向量的大小即为向量的模,指的是有向线段的长度,与方向无关,故C不正确;向量的模是一个数量,可以比较大小,故D正确.
【类题通法】
解决向量有关概念问题的方法
(1)掌握一些常见物理量是否为向量.
(2)准确、全面理解向量的有关概念,明确零向量和单位向量,注意相等向量、共线向量、平行向量之间的区别和联系.
【定向训练】
1.下列说法正确的是 ( )
A.平行向量就是向量所在直线平行的向量
B.长度相等的向量叫相等向量
C.零向量的长度为0
D.共线向量是在一条直线上的向量
【解析】选C.平行向量所在直线可以平行也可以重合,故A错;长度相等、方向不同的向量不是相等向量,故B错;共线向量即平行向量,不一定在同一条直线上,故D错.
2.下列命题中不正确的命题个数为 ( )
①若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b;
②若向量|a|=|b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反;
③对于任意|a|=|b|,且a与b的方向相同,则a=b;
④向量a与向量b平行,则向量a与b方向相同或相反.
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选C.①不正确.因为向量是不同于数量的一种量.它由两个因素来确定,即大小与方向,所以两个向量不能比较大小,故①不正确.②不正确.由|a|=|b|只能判断两向量长度相等,并不能判断方向.③正确.因为|a|=|b|,且a与b同向.由两向量相等的条件可得a=b.④不正确.因为向量a与向量b若有一个是零向量,则其方向不确定.
探究点二 向量的几何表示
【典例2】一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30 n mile,这时接到求救信号,在巡
逻艇的正东方向40 n mile处有一艘渔船抛锚需救助.已知sin 53°≈ ,试求:
(1)巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程;
(2)巡逻艇从港口出发到出事地点之间的位移.
【思维导引】区分路程与位移的概念,路程无方向而位移既有大小又有方向.
【解析】(1)如图,由于路程不是向量,与方向无关,所以总的路程为巡逻艇两次路
程的和,即为AB+BC=70(n mile).
(2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位移是向量,不仅有大小而且有方向,
因而大小为 =50(n mile),由于sin∠BAC= ,故方向为北偏东53°.
【类题通法】
向量的两种表示方法
(1)几何表示法:先确定向量的起点,再确定向量的方向,最后根据向量的长度
确定向量的终点.
(2)字母表示法:为了便于运算可用字母a,b,c,…表示,为了联系平面几何中的
图形性质,可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量,如 等.
【定向训练】
某次军事演习中,红方一支装甲分队为完成对蓝军的穿插包围,先从A处出发向西
迂回了100 km到达B地,然后又改变方向向北偏西40°走了200 km到达C地,最后又
改变方向,向东突进100 km到达D处,完成了对蓝军的包围.
(1)作出向量
(2)求| |.
【解析】(1)向量 ,如图所示.
(2)由题意,易知 方向相反,故 共线.
又 ,所以在四边形ABCD中,AB∥CD,所以四边
形ABCD为平行四边形.
所以 =200 km.
探究点三 相等向量与共线向量
【典例3】如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心,且
(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些
(2)与a共线的向量有哪些
(3)请一 一列出与a,b,c相等的向量.
【思维导引】熟记并区分共线向量及相等向量的概念.
【解析】(1)与a的长度相等、方向相反的向量有
(2)与a共线的向量有
(3)与a相等的向量有 ;与b相等的向量有 ;与c相等的向量有
【延伸探究】
1.[变问法]本例条件不变,试写出与向量 相等的向量.
【解析】与向量 相等的向量有
2.[变条件,变问法]在本例中,若|a|=1,则正六边形的边长如何
【解析】由正六边形性质知,△FOA为等边三角形,所以边长AF=|a|=1.
【类题通法】
寻找共线向量或相等向量的方法
(1)寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量.
(2)寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向共线.
【补偿训练】
如图,△ABC和△A′B′C′是在各边的 处相交的两个全等的等边三角
形,设△ABC的边长为a,图中列出了长度均为 的若干个向量,则
(1)与向量 相等的向量有________;
(2)与向量 共线,且模相等的向量有________;
(3)与向量 共线,且模相等的向量有________.
【解析】向量相等 向量方向相同且模相等.
向量共线 表示有向线段所在的直线平行或重合.
答案:
【定向训练】
如图所示,已知点O为正方形ABCD的对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形.
(1)与 相等的向量有________,与 相等的向量有________;
(2)与 共线的向量有________;
(3)与 的模相等的向量有________.
【解析】 (1)根据相等向量定义可知
(2)根据共线向量的定义可知,与 共线的向量为
(3)易知
答案:(1)
【补偿训练】
如图,在等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在两腰AD,BC上,EF过
点P,且EF∥AB,则 ( )
【解析】选D.由平面几何知识知, 方向不同,故 ; 方向不
同,故 ; 的模相等而方向相反,故 ; 的模相等且方
向相同,所以
平面向量的概念
1.向量及向量的有关概念、表示方法.
2 .零向量：长度为0的向量。单位向量：长度等于1个单位长度的向量.
3.平行向量（共线向量）和相等向量 .
1.寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的
向量，再确定哪些是同向共线的向量．
2.寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线
的线段，再构造同向与反向的向量．
1.与起点无关.用有向线段表示向量时,起点可以取任意位置.
2.判断一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个因素.
3.向量与向量之间不能比较大小.
4.零向量与任何向量都平行.
1.数学抽象：平面向量的概念.
2.逻辑推理：区分平行向量、相等向量和共线向量.
3.直观想象：向量的几何表示.
核心知识
方法总结
核心素养
易错提醒
课堂素养达标
1.若a为任一非零向量,b为单位向量,则下列各式:①|a|>|b|;②a∥b;③|a|>0;
④|b|=±1;⑤ =b.其中正确的是 ( )
A.①④⑤ B.③ C.①②③⑤ D.②③⑤
【解析】选B.|a|不一定大于1,|b|=1,所以①④不正确;a与b不一定平行,故②不
正确. 是a方向上的单位向量,不一定等于b,故⑤不正确.
2.如图,在正方形ABCD中,AC与BD交于点O,则图中与 相等的向量是 ( )
【解析】选D. 方向相同且长度相等,则
3.如图,在圆O中,向量 是 ( )
A.有相同起点的向量
B.共线向量
C.模相等的向量
D.相等的向量
【解析】选C.由图可知,三向量方向不同,但长度相等.
4.在平面上将所有模相等的向量的起点放在同一点,则它们的终点组成________.
【解析】在平面上将模相等的向量的起点放在同一点上,则各终点到该点的距离相等,所以各终点应在同一个圆上.
答案:一个圆
5.如图,四边形ABCD和BCED都是平行四边形,在每两点所确定的向量中:
(1)写出与 相等的向量;
(2)写出与 共线的向量.
【解析】(1)因为四边形ABCD和BCED都是平行四边形,所以BC∥AD∥DE,BC=AD=DE,所以 .故与 相等的向量为
(2)与 共线的向量共有7个,分别是平面向量的概念
在一次军事演习中，某导弹部队接到射击某目标的命令．
【问题1】如果只知道目标距离导弹发射地点的距离，导弹能击中目标吗？
【问题2】要使导弹击中目标，还需要知道什么条件？
1．向量与数量
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量．
(2)数量：只有大小没有方向的量称为数量．
向量与数量的区别
(1)向量被赋予了几何意义，即向量是具有方向的，而数量是一个代数量，没有方向；
(2)数量可以比较大小，而向量无法比较大小，即使|a|>|b|，也不能说a>b.
2．有向线段
(1)定义：具有方向的线段叫做有向线段．
(2)表示方法：以A为起点、B为终点的有向线段记作.
(3)长度：线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作||．
(4)三个要素：起点、方向、长度．
3．向量的表示方法
(1)用有向线段表示：用有向线段表示的向量记作．有向线段的长度||表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．
(2)字母表示法：在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，手写时，可写成带箭头的小写字母，_，….
4．向量的模及两个特殊向量
(1)向量的模：向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作||．
(2)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0．
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量．
0与0相同吗？0是不是没有方向？
提示：0与0不同，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0.0有方向，其方向是任意的．
5．相等向量
(1)定义：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．
(2)表示方法：向量a与b相等，记作a＝b．
6．平行向量(或共线向量)
定义 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．规定：零向量与任意向量平行．任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．
表示方法 向量a与b平行，记作a∥b，对于任意向量a，都有0∥a.
剖析共线向量与相等向量
(1)共线向量中的向量所在的直线可以平行，也可以重合，与平面几何中的“共线”“平行”不同；
(2)相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量．共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．
若∥，则从直线AB与直线CD的关系和与的方向关系两个方面考虑有哪些情况？
提示：分四种情况，
(1)直线AB和直线CD重合，与同向；
(2)直线AB和直线CD重合，与反向；
(3)直线AB∥直线CD，与同向；
(4)直线AB∥直线CD，与反向．
1.向量的模是一个正实数吗？
2．任意两个单位向量都相等吗？
3．向量与向量是相等向量吗？
提示：1.不一定；2.不一定；3.不是．
1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度．其中不是向量的有( )
A.1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】选C.②③④⑤既有大小，又有方向，是向量；①⑥⑦只有大小，没有方向，不是向量．
2．(教材例题改编)如图所示，四边形ABCD和BCEF都是平行四边形．
(1)写出与相等的向量：________；
(2)写出与共线的向量：________．
答案：(1)， (2)，，，，
基础类型一 向量、零向量与单位向量的概念(数学抽象)
1．下列说法中正确的个数是( )
①身高是一个向量；②∠AOB的两条边都是向量；
③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；
④物理学中的摩擦力、重力都是向量．
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】选B.只有④物理学中的摩擦力、重力既有大小又有方向，是向量，①②③错误．④正确．
2．判断下列说法是否正确．
(1)有向线段与表示同一向量；
(2)若a是单位向量，b也是单位向量，则a与b的方向相同或相反；
(3)若向量是单位向量，则也是单位向量；
(4)以坐标平面上的定点A为起点，所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆．
【解析】 (1)错误．有向线段与的方向相反，不表示同一向量，因此说法(1)错误；
(2)错误．由单位向量的定义知，凡长度为1的向量均称为单位向量，但是对方向没有任何要求，因此说法(2)错误；
(3)正确．因为||＝||，所以当是单位向量时，也是单位向量．因此说法(3)正确．
(4)正确．由于向量||＝1，所以点P是以点A为圆心的单位圆上的一点．
1．判断一个量是否为向量的两个关键条件
(1)有大小．(2)有方向．两个条件缺一不可．
2．理解零向量和单位向量应注意的问题
(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．
(2)单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．
微提醒：两个单位向量的模相等，但这两个单位向量不一定相等．
基础类型二 向量的表示(直观想象)
【典例】已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 000 km到达D地．
(1)作出向量，，，；
(2)问：D地在A地的什么方向？D地距A地多远？
【解析】(1)由题意，作出向量，，，，如图所示．
(2)依题意知，△ABC为正三角形，所以AC＝2 000 km.又因为∠ACD＝45°，CD＝1000 km，所以△ACD为等腰直角三角形，所以AD＝1 000 km，∠CAD＝45°，所以D地在A地的东南方向，距A地1 000 km.
准确画出向量的方法和注意事项
(1)方法
①确定向量的起点．
②根据运动方向确定向量的方向，并根据向量的大小确定向量的终点．
(2)注意事项
用有向线段来表示向量是向量的几何表示，必须确定起点、长度和终点，三者缺一不可．
某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了10米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
(1)作出向量，，；(2)求的模．
【解析】(1)作出向量，，，如图所示：
(2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝＝5(米)，所以||＝5米．
【加固训练】
一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后改变方向向北偏西40°行驶了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．
(1)作出向量，，；
(2)求||.
【解析】(1)向量，，如图所示：
(2)由题意，易知与方向相反，故与共线，
又||＝||，
所以在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD.
所以四边形ABCD为平行四边形．
所以＝，所以||＝||＝200 km.
综合类型 相等向量与平行向量(数学抽象)
概念辨析
【典例】有下列说法：
①若a≠b，则a一定不与b共线；
②在 ABCD中，一定有＝；
③若a＝b，b＝c，则a＝c；
④共线向量是在一条直线上的向量．
其中，正确的说法是________．(填序号)
【解析】对于①，两个向量不相等，可能是长度不相等，但方向相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确；对于②，在 ABCD中，||＝||，与平行且方向相同，所以＝，故②正确；对于③，a＝b，则|a|＝|b|，且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c方向相同，所以a与c方向相同且模相等，故a＝c，故③正确；对于④，共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故④不正确．
答案：②③
1．本例②改为若＝，则四边形ABCD一定是平行四边形吗？
【解析】若＝，则A，B，C，D四点共线或AD∥BC，故此说法不正确．
2．将本例③改为若a∥b，b∥c，则a∥c.判断此说法是否正确．
【解析】因为当b＝0时，a，c可以是任意向量，故a，c不一定平行；只有当b≠0时，才有a∥b，b∥c，则a∥c，故此说法不正确．
1．相等向量的判断方法
先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向的．
2．共线向量的判断方法
先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再找出同向或反向的向量．
3．共线向量与相等向量的关系
相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量．若两向量相等，则两向量方向相同，模相等；若两向量共线，则两向量方向相同或相反．
微提醒：解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度．
【加固训练】
下列说法中，正确的序号是________．
①零向量都相等；
②任一向量与它的平行向量不相等；
③若＝，则＝；
④共线的向量，若始点不同，则终点一定不同．
【解析】因为零向量的长度都为零，且其方向任意，所以零向量相等，所以①正确；因为平行向量的方向可以相同且大小也可以相等，所以任一向量与它的平行向量可能相等，所以②错误；由与方向相同，模相等，可推出与方向相同，模相等，即＝，所以③正确；由共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点可能相同，所以④不正确．
答案：①③
根据图形写出相等向量或共线向量
【典例】如图，△ABC和△A′B′C′是在各边的处相交的两个全等的等边三角形，设△ABC的边长为a，图中画出了长度均为的若干个向量．
(1)写出图中与向量相等的向量；
(2)写出图中与向量平行，且模相等的向量；
(3)写出图中与向量平行，且模相等的向量．
【解析】(1)与向量相等的向量是，；
(2)与向量平行，且模相等的向量是，，，，；
(3)与向量平行，且模相等的向量是，，，，.
相等向量与共线向量的探求方法
(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些同向共线．
(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再找出同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
微提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量．
【加固训练】
如图，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中：
(1)写出与，相等的向量；
(2)写出与模相等的向量．
【解析】(1)与相等的向量为，，与相等的向量为.
(2)与模相等的向量为，，.
创新题型 向量的实际应用(数学建模)
【典例】某人在天安门广场的正中向北前进100米，再左转90°后前进100米，再左转90°后前进100米，再左转90°后前进100米，请用向量画出它从出发点到达终点的示意图．如果他每次不是左转90°，而是每次左转60°后前进100米，他能回到出发点吗？如果能，则要经过多少次才能回到出发点？每次左转45°后前进100米呢？
【解析】用长度为1 cm的向量表示该人前进100米，他四次左转90°后前进100米的示意图如图1.
他每次左转60°后前进100米，能回到出发点，需经过六次才能回到出发点．如图2.
他每次左转45°后前进100米，也能回到出发点，需经过八次才能回到出发点，如图3.
揭秘向量的实际应用
向量是为了表示、刻画既有大小，又有方向的量而产生的，物理中有许多相关背景材料，数学中的向量是物理中矢量的提升和拓展，它有一系列的理论和方法，是沟通代数、几何、三角的一种工具，有着广泛的实际应用．
【加固训练】
如图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是象棋中马的走法．此图中，马可以从A处跳到A1处，用向量表示马走了“一步”，也可以跳到A2处，用向量表示．请在图中画出马在B，C处走了“一步”的所有情况．
【解析】如图，马在B处只有3步可走，马在C处有8步可走，人们常说的马有“八面威风”就是指马在中心处威力最大．
1．下列说法中正确的是( )
A．若a≠b，则|a|≠|b|
B．模为0的向量的方向是不确定的
C．向量就是有向线段
D．任意两个单位向量的方向相同
【解析】选B.a与b方向不同但模相等时，a≠b，故A错误；模为0的向量为零向量，零向量的方向是不确定的，故B正确；有向线段是向量的几何表示，是个图形，而向量是带方向的量，不是有向线段，故C错误；任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故D错误．
2．正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，a3，…，an，则这n个向量( )
A．都相等 B．都共线
C．都不共线 D．模都相等
【解析】选D.因为多边形为正多边形，所以边长相等，所以各边对应向量的模都相等．
3．如图，在四边形ABCD中，＝，则相等的向量是( )
A.与 B．与
C．与 D．与
【解析】选D.由＝知四边形ABCD是平行四边形．由平行四边形的性质知，||＝||，且方向相同．
4．如图，在 ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与平行的向量为__________．
【解析】题图中与平行的向量为，，.
答案：，，
5．(教材习题改编)在如图所示的坐标纸(每个方格的边长均为1)中，用直尺和圆规画出下列向量．
(1)||＝3，点A在点O正西方向；
(2)||＝3，点B在点O北偏西45°方向；
(3)||＝2，点C在点O南偏东60°方向．
【解析】如图所示：
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