(共67张PPT)
6．2 平面向量的运算
6．2.1 向量的加法运算
基础认知·自主学习
两个向量和
不共线
|a|＋|b|
方向相同
交换律 结合律
a＋b＝_____ (a＋b)＋c＝ _________
b＋a
a＋(b＋c)
能力形成·合作探究
素养发展·创新应用
学情诊断·课堂测评
向量的加法运算
1.向量加法的概念.
2.三角形法则和平行四边形法则.
3.交换律和结合律.
1.三角形法则:两向量“首尾相接”第一个向量的起点为起点，第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．
2.平行四边形法则:①两个向量共起点,②作平行四边形, ③与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和.
1.向量的三角形法则：首尾相接，连首尾.
2.平行四边形法则:同一起点,对角线.
1.数学抽象：向量加法概念.
2.逻辑推理：利用向量加法证明几何问题.
3.直观想象：向量加法运算.
4.数学建模：从实际问题抽象出数学模型，运用向量加法
解决实际问题.
方法总结
核心知识
易错提醒
核心素养
6
11
D
C
A
B
B
b
O
a
A
A
D
E
F
B
C
A
D
a
c
B
b
C
E
B
O
C
D
北个
C
B
I
1
1
A
D
东
B
B
e
A
a
0向量的加法运算
俄罗斯著名寓言作家克雷洛夫在他所著的《克雷洛夫寓言》中有一篇《天鹅、梭子鱼和虾》的故事，故事的大意是这样的：有一天，天鹅、梭子鱼和虾一起拉一车货物，天鹅想，我的家在天上，应该把货物拉到我家，于是，天鹅伸长脖子拼命往天上飞．梭子鱼想，我的家在河里，应该往河里拉，于是，梭子鱼使劲往河里拽．虾想，我的家在池塘里，应该把货送到池塘，于是，虾弓着身子往池塘拉．他们三个累的精疲力尽，车子却纹丝不动．
【问题1】车子为什么纹丝不动？
【问题2】这则故事给我们的启示是什么？
1．向量加法的定义
求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
2．向量求和的法则
三角形法则 作法 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝
图示
平行四边形法则 作法 已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，以AB，AD为邻边作 ABCD，则对角线上的向量＝a＋b.
图示
规定 a＋0＝0＋a＝a
剖析向量加法的两个运算法则
(1)两个法则的使用条件不同：
三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．
(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半．
如图所示：＝＋(平行四边形法则)，
又因为＝，所以＝＋(三角形法则).
(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即为两向量的和；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．
两个向量相加就是两个向量的模相加吗？
提示：不是．两个向量的和仍是一个向量，所以两个向量相加要注意两个方面，即和向量的方向与模．
3．|a＋b|，|a|，|b|之间的关系
一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立．
向量a＋b与非零向量a，b的模及方向的联系
(1)当向量a与b不共线时，向量a＋b的方向与a，b都不相同，且|a＋b|<|a|＋|b|，几何意义是三角形两边之和大于第三边．
(2)当向量a与b同向时，向量a＋b与a(或b)方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|.
(3)当向量a与b反向时，且|a|≤|b|时，a＋b与b方向相同(与a方向相反)，且|a＋b|＝|b|－|a|.
4．向量加法的运算律
交换律 结合律
a＋b＝b＋a (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
1.存在向量a，b，使得a＋b是一个实数吗？
2．若a＋b＝0，则一定有a＝0且b＝0吗？
3．在平行四边形ABCD中，＋＝一定成立吗？
4.＋＋＝成立吗？
提示：1.不存在.2.不一定.3.成立.4.成立．
阅读并思考教材第9页“探究”问题(1)
对于两个非零的共线向量a，b，你能画图说明求两个向量的和向量的过程吗？
提示：当向量a，b是共线向量时，不能用平行四边形法则作出两个向量的和向量，但可以用三角形法则作出两个向量的和向量，分两向量同向和反向两种情形：
①同向
图中＝a＋b，即为所求向量．
②反向
图中＝a＋b，即为所求向量．
1．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( )
A.＝
B．＋＝
C．＝＋
D．＋＝0
【解析】选C.因为＝＋≠＋，所以C错误．
2．(教材习题改编)若a表示“向东走8 km”，b表示“向北走8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________.
【解析】如图所示，作＝a，＝b，
则a＋b＝＋＝.
所以|a＋b|＝||
＝＝8(km)，
因为∠AOB＝45°，
所以a＋b的方向是东北方向．
答案：8 km 东北方向
基础类型一 三角形法则与平行四边形法则的应用(直观想象)
1．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝( )
A． B．
C． D．
【解析】选C.设a＝＋，利用平行四边形法则作出向量＋，再平移即发现a＝.
2．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填上一个向量)：
(1)＋＝________；
(2)＋＝________；
(3)＋＋＝________．
【解析】由已知可得四边形DFCB为平行四边形．
(1)易知＝.
由三角形法则得＋＝＋＝.
答案：
(2)易知＝，
所以＋＝＋＝.
答案：
(3)＋＋＝＋＋＝.
答案：
3．如图，已知正方形ABCD，＝a，＝b，＝c，试作向量a＋b＋c.
【解析】由已知得a＋b＝＋＝，
又＝c，所以延长AC至E，使||＝||，则a＋b＋c＝，即所求，如图．
1．应用三角形法则应注意的问题
使用三角形法则求两个向量的和时，应注意“首尾相连，起点指终点”，即首尾相连的两个向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点．
2．应用平行四边形法则应注意的问题
(1)平行四边形法则只适用于求不共线的两个向量的和．
(2)基本步骤可简述为：共起点，两向量所在线段为邻边作平行四边形，找共起点的对角线对应的向量．
微提醒：当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的．
【备选例题】
如图，已知向量a，b，c，d.
求作a＋b＋c＋d.
【解析】在平面内任取一点O，做＝a，＝b，＝c，＝d，则＝a＋b＋c＋d.
【知识拓展】
向量加法的多边形法则
向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，即把每个向量平移，使这些向量首尾相连，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量．
即：
或
这是一个极其简单却非常有用的结论(如图).
利用向量加法的多边形法则化简多个向量的和有时非常有效．
基础类型二 向量加法的性质和运算律的应用(逻辑推理、数学运算)
【典例】1.设|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值与最小值分别为________，________．
【解析】当a，b共线同向时，
|a＋b|＝|a|＋|b|＝8＋12＝20，
当a，b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||＝4.
当a，b不共线时，||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|，
即4<|a＋b|<20，综上知，4≤|a＋b|≤20，
所以最大值为20，最小值为4.
答案：20 4
2．如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
(1)＋＋；(2)＋＋＋.
【解析】 (1)＋＋＝＋＋
＝＋＋＝＋＝；
(2)＋＋＋＝＋＋＋
＝＋＋＝＋＝0.
1．向量a＋b与非零向量a，b的模及方向的联系
(1)当向量a与b不共线时，向量a＋b的方向与a，b都不相同，且|a＋b|<|a|＋|b|，几何意义是三角形两边之和大于第三边．
(2)当向量a与b同向时，向量a＋b，a，b方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|.
(3)当向量a与b反向时，
若|a|＞|b|时，则a＋b的方向与a相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|＝|b|时，则a＋b＝0；
若|a|＜|b|时，则a＋b的方向与b相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.
2．向量加法运算律的意义和应用原则
(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行．
(2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．
微提醒：注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，以及0与0的区别．
向量(＋)＋(＋)＋化简后等于( )
A． B． C． D．
【解析】选D.原式＝(＋)＋(＋＋)＝＋0＝.
综合类型 向量加法的应用(直观想象)
解决与平面几何有关的问题
①如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，||＝2，则|＋|＝________．
②如图，在四边形ABCD中，DA＝DB＝DC，且＋＝，则∠ABC＝________．
【解析】①如图所示，设菱形对角线交点为O.＋＝＋＝.
因为∠ABC＝120°，所以∠BAD＝60°，
所以△ABD为等边三角形．
又因为AB＝2，所以OB＝1.
在Rt△AOB中，||＝＝，
所以|＋|＝||＝2||＝2.
答案：2
②因为＋＝，所以由向量的加法的几何意义可知四边形ABCD是平行四边形，
又因为DA＝DB＝DC，所以四边形ABCD是菱形，
且∠DAB＝60°，所以∠ABC＝120°.
答案：120°
点拨：两道题的背景图形是一样的，题①是知道四边形ABCD的形状，考查向量加法的几何意义及平面几何知识的应用；
题②是知道四边形ABCD满足的条件，主要考查用向量加法的几何意义判断四边形的形状．
应用向量加法解决平面几何问题的关键及技巧
(1)三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的相等向量；三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量．
(2)应用技巧：①准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量；②将所求问题转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的几何意义进行求解．
【加固训练】
如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且＋＝0.
求证：＋＝＋.
【证明】因为＝＋，
＝＋，
所以＋＝＋＋＋.
又因为＋＝0，所以＋＝＋.Ｋ
解决与实际生活有关的问题
【典例】在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
【解析】如图所示，设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km.
则飞机飞行的路程指的是||＋||；两次飞行的位移的和指的是＋＝.
依题意，有||＋||＝800＋800＝1 600(km).
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°.
所以||＝＝
＝800(km).其中∠BAC＝45°，
所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.
从而得出飞机飞行的路程是1600 km，两次飞行的位移和的大小为
800 km，方向为北偏东80°.
本例中，这架飞机到达C地医院后，往正南方向飞行多大距离即可由此按正西方向飞回A地？
【解析】如图，由点C作垂线，垂足为D，
因为∠BAC＝45°，所以∠CAD＝90°－35°－45°＝10°，
在Rt△ACD中，CD＝AC sin 10°＝800sin 10° km.
即往正南方向飞行800sin 10° km，即可由此按正西方向飞回A地．
利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤
【加固训练】
一架直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置．
【解析】如图所示，
设，分别是直升飞机两次位移，则表示两次位移的合位移，即＝＋.
在Rt△ABD中，||＝20 km，||＝20 km，
在Rt△ACD中，||＝＝40(km)，∠CAD＝60°，即此时直升飞机位于A地北偏东30°，且距离A地40 km处．
创新拓展 用向量方法证明几何问题(逻辑推理)
【典例】如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的反向延长线及延长线上取点E，F，使BE＝DF，求证：四边形AECF是平行四边形．
【证明】因为＝＋，＝＋，
又＝，＝，
所以＝，即AE与FC平行且相等．
所以四边形AECF是平行四边形．
用向量方法证明几何问题的策略
用向量方法证明几何问题，首先要把几何问题中的边转化成相应的向量，通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系，然后再还原成几何问题．
创新思维 数形结合思想的应用 (直观想象)
【典例】设|a|＝2，e为单位向量，求|a＋e|的最大值．
【解析】在平面内任取一点O，作＝a，＝e，
则a＋e＝＋＝，因为e为单位向量，所以点B在以点A为圆心的单位圆上(如图所示)，
由图可知当点B在点B1时，O，A，B1三点共线，||即|a＋e|最大，最大值是3.
【思维难点】利用向量加法的三角形法则作出向量a＋e，固定此向量的起点，依据e为单位向量，分析向量a＋e终点的位置，数形结合确定|a＋e|的最大值．
【加固训练】
是否存在a，b，使|a＋b|＝|a|＝|b|？请画出图形说明．
【解析】存在，如图，＝a，＝b，
OA＝OB＝OC，∠AOB＝120°，∠AOC＝∠COB＝60°.
1.＋＋等于( )
A． B． C． D．
【解析】选C.＋＋＝＋＋＝.
2．已知向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，则向量a＋b的方向( )
A．与向量a方向相同
B．与向量a方向相反
C．与向量b方向相同
D．与向量b方向相反
【解析】选A.因为a∥b，且|a|＞|b|＞0，
由三角形法则知向量a＋b与a同向．
3．已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中不正确的是( )
A．＋＝ B．＋＋＝0
C．＋＝ D．＋＝
【解析】选D.由向量加法的平行四边形法则可知，＋＝≠.
4．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a＋b表示( )
A．向东北方向航行2 km
B．向北偏东30°方向航行2 km
C．向北偏东60°方向航行2 km
D．向东北方向航行(1＋) km
【解析】选B.＝a表示“向东航行1 km，＝b表示“向北航行 km”，根据三角形法则，
＝a＋b，因为tan A＝，
所以∠A＝60°，且||＝＝2(km)，
所以a＋b表示向北偏东30°方向航行2 km.
5．如图，已知向量a，b，求作向量a＋b.
【解析】(1)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图(1)；
(2)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图(2)；
(3)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图(3).
PAGE
13(共60张PPT)
6．2.2 向量的减法运算
基础认知·自主学习
a＋(-b)
a－b
能力形成·合作探究
素养发展·创新应用
学情诊断·课堂测评
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
1. 相反向量.
2.向量减法的
概念.
3.向量减法的
几何意义.
（1）起点必须相同；
（2）指向被减向量的终点.
用三角形法则作向量减法时
相反向量:
从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．
1.数学抽象：向量减 法的定义.
2.逻辑推理：向量减法的法则.
3.数学运算：求两个向量的差.
4.直观想象：向量减法的几何意义.
C
上海
b
a
台北
香港
a
x=a-b
O
b
B
a
-a
P
C
a-b
-a+b
b
b
B
D
(1)
(2)
A
B
D
C
C
a+b-c
C
B
O
a+b
a
b
A
B
b
a-b
a
a
A
0
b
B
a-b A
②
b
a-b
O
a
A a-b B
B
b
O
a
A
3
④
A
H
B
C
A
D
H
B
C
D
C
A
B向量的减法运算
以前台胞春节期间来大陆探亲，需乘飞机从台北到香港，再从香港到上海，现在探亲，可直接乘飞机从台北到上海．若台北到香港的位移用向量a表示，香港到上海的位移用向量b表示，上海到台北的位移用向量c表示．
【问题1】向量a、b、c有何关系？
【问题2】现在探亲的位移是什么？
1．相反向量
互为相反向量的两个向量一定是共线向量吗？
提示：互为相反向量的两个向量一定是共线向量．
2．向量的减法
(1)定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋．求两个向量差的运算叫做向量的减法．
(2)几何意义
作法 已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，即a－b可以表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量
图示
准确理解向量减法的几何意义
(1)向量减法是向量加法的逆运算．
设x＋b＝a，则x＝a－b，
如图，设＝a，＝b.
由向量加法的三角形法则可知
＝＋，所以＝－＝a－b.
(2)对于两个共起点的向量，它们的差就是连接这两个向量的终点，方向指向被减的向量．
已知a，b是不共线的向量，如何在同一个平行四边形中作出a－b和a＋b
提示：如图所示，作平行四边形OACB，设＝a，＝b，
根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的三角形法则，有＝a＋b，＝a－b.
1.方向相反的向量就是相反向量吗？
2．在代数运算中的移项法则，在向量中是否仍然成立？
3．若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b，这种说法对吗？
4．根据相反向量的定义知，－＝成立吗？
提示：1.不一定.2.成立.3.不对.4.成立．
对于教材第13页练习3变式：
作图验证：－(a－b)＝－a＋b.
提示：已知向量a，b，如图所示：
如图(1)，作＝a，＝b，则
＝－＝a－b，所以＝－，即为所求．
如图(2)，作＝－a，＝b，则
＝＋＝－a＋b，即为所求．
结合图形已知，＝，所以－＝－a＋b.
1．化简－＋＋的结果等于( )
A． B． C． D．
【解析】选B.原式＝(＋)＋(＋)＝＋0＝.
2．已知 ABCD的对角线AC和BD相交于O，且＝a，＝b，则＝________，＝________．(用a，b表示)
【解析】如图，
＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b.
答案：b－a －a－b
基础类型一 向量减法的几何意义(直观想象)
1．如图，在△ABC中，D为BC的中点，则下列结论错误的是( )
A．－＝ B．－＝
C．－＝0 D．－＝
2．如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
【解析】1.选C.，是相反向量，它们的和是零向量，但－＝≠0.
2．方法一：如图所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝＋＝a＋b，再作＝c，
则＝－＝a＋b－c.
方法二：如图所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝＋＝a＋b，再作＝c，连接OC，
则＝a＋b－c.
在本例2的条件下，作出向量：
a－b＋c.
【解析】如图所示：
作两个向量的差的两种方法
(1)用向量减法的三角形法则
①步骤
②口诀：共起点，连终点，指向被减．
(2)用向量减法的定义
根据a－b＝a＋转化为向量加法运算，
再作图．
微提醒：要熟悉常见平面图形的几何性质，能够从向量的角度，运用向量语言进行表示．
【结论通通用】
|a－b|与|a|，|b|的关系
(1)当a，b不共线时，如图①，作＝a，＝b，
则a－b＝－＝.于是|a－b|＞
(2)当a，b共线且同向时，若|a|>|b|，则a－b与a，b同向(如图②)，于是|a－b|＝|a|－|b|.
若|a|<|b|，则a－b与a，b反向(如图③)，
于是|a－b|＝|b|－|a|.
(3)当a，b共线且反向时，a－b与a同向，与b反向．于是|a－b|＝|a|＋|b|(如图④).
可见，对任意两个向量，总有向量不等式成立：
||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.
【典例】已知||＝6，||＝9，求|－|的取值范围．
【解析】因为|||－|||≤|－|≤||＋||，且||＝9，||＝6，所以3≤|－|≤15.
当与同向时，|－|＝3；
当与反向时，|－|＝15.
所以|－|的取值范围为[3，15].
基础类型二 向量的加减法运算(数学运算)
【典例】
①化简：(＋)＋(－－)；
②化简：(－)－(－).
【解析】①方法一：原式＝＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＝＋＝.
方法二：原式＝＋－－
＝＋(－)－＝＋(－)＝＋0＝.
②方法一：原式＝－－＋
＝＋－－
＝(＋)＋(＋)＝＋＝0.
方法二：原式＝－－＋
＝(－)－－(－)＋
＝－－－＋＋
＝(＋)＋(－)＋(－)
＝0＋0＋0＝0.
向量减法运算的常用方法
微提醒：做题时要注意观察是否有下列两种形式：(1)首尾相接且为和；(2)起点相同且为差．同时，要注意逆向应用，统一向量起点方法的应用．
1．下列四式中不能化简为的是( )
A．＋(＋)
B．(＋)＋(－)
C．－＋
D．＋－
【解析】选D.A中，＋(＋)
＝ ＋＋＝＋＝ ＋＝；
B中，(＋)＋(－)＝＋＋－
＝＋＋－＝＋＝；
C中，－＋＝＋＝；
D中，＋－＝－＝＋，
显然＋－不能化简为.
2．化简：(1)＋－；
(2)(－)－(－)；
(3)(＋＋)－(－－).
【解析】(1)＋－＝－＝.
(2)(－)－(－)
＝(＋)－(＋)＝－＝0.
(3)(＋＋)－(－－)
＝(＋)－(－)＝－＝0.
【加固训练】
化简：(1)＋＋－；
(2)－＋；
(3)－－；
(4)－＋＋；
(5)－＋－；
(6)－＋－.
【解析】(1)＋＋－
＝＋－＝－＝0；
(2)－＋＝＋＝0；
(3)－－＝－＝；
(4)－＋＋＝＋＝0；
(5)－＋－＝＋－
＝－＝；
(6)方法一：－＋－
＝－＝－＝0.
方法二：－＋－
＝＋＝＋＝0.
综合类型 向量加减法运算的
综合应用(数学运算、逻辑推理)
利用已知向量表示未知向量
【典例】如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，.
【解析】由平行四边形的性质可知＝＝c，由向量的减法可知：＝－＝b－a，由向量的加法可知＝＋＝b－a＋c.
本例中的条件“点B是该平行四边形外一点”若换为“点B是该平行四边形内一点”，其他条件不变，其结论又如何呢？
【解析】如图，
因为四边形ACDE是平行四边形，
所以＝＝c，＝－＝b－a，
＝＋＝b－a＋c.
用已知向量表示其他向量的三个关注点
(1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．
(2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题．
(3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则．
例如，在四边形ABCD中，＋＋＋＝0.
【加固训练】
如图，在△ABC中，D，E分别为边AC，BC上的任意一点，O为AE，BD的交点，已知＝a，＝b，＝c，＝e，用a，b，c，e表示向量.
【解析】在△OBE中，有＝＋＝e－c，
在△ABO中，＝＋＝e－c－a，
在△ABD中，＝＋＝a＋b，
所以在△OAD中，
＝＋＝e－c－a＋a＋b＝e－c＋b.
向量加减法与平面几何知识的综合应用
【典例】已知O为四边形ABCD所在平面内的一点，且向量，，，满足＋＝＋，则四边形ABCD的形状为________．
【解析】因为＋＝＋，
所以－＝－，＝.
所以||＝||，且DA∥CB，
所以四边形ABCD是平行四边形．
答案：平行四边形
1．用向量法解决平面几何问题的步骤
(1)将平面几何问题中的量抽象成向量．
(2)化归为向量问题，进行向量运算．
(3)将向量问题还原为平面几何问题．
2．用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键
(1)利用向量证明线段平行且相等从而证明四边形为平行四边形，只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可．
(2)根据图形灵活应用向量的运算法则，找到向量之间的关系是解决此类问题的关键．
微提醒：对于平行四边形、菱形、矩形、正方形对角线具有的性质要熟悉并会应用．
【加固训练】
若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|－＋－|，试判断△ABC的形状．
【解析】因为－＋－＝＋，－＝，
所以|＋|＝||，
以AB，AC为邻边的平行四边形对角线相等，
所以以AB，AC为邻边的平行四边形为矩形，
所以∠BAC＝90°，得△ABC的形状是直角三角形．
创新拓展 向量与平面几何知识的
综合问题(逻辑推理)
【典例】如图，O为△ABC的外心，H为垂心．求证：＝＋＋.
【证明】作直径BD，连接DA，DC，
有＝－，DA⊥AB，DC⊥BC，AH⊥BC，CH⊥AB，故CH∥DA，AH∥DC.
得四边形AHCD是平行四边形，进而＝.
又＝－＝＋，
得＝＋＝＋＝＋＋.
平行四边形中有关向量的结论
平行四边形中有关向量的以下结论，在解题中可以直接使用：
(1)对角线的平方和等于四边的平方和，即|a＋b|2＋＝2(|a|2＋|b|2).
(2)若|a＋b|＝|a－b|，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形．
创新思维 向量加减法中的探索问题(直观想象)
【典例】
如图，在 ABCD中，＝a，＝b.
(1)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在的直线互相垂直？
(2)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？
【解析】(1)＝＋＝a＋b，
＝－＝a－b.
若a＋b与a－b所在的直线互相垂直，即AC⊥BD.
因为当|a|＝|b|时，平行四边形ABCD为菱形，此时AC⊥BD，故当a，b满足|a|＝|b|时，a＋b与a－b所在的直线互相垂直．
(2)不可能．因为 ABCD的两对角线不可能平行，所以a＋b与a－b不可能为共线向量，更不可能为相等向量．
【思维难点】灵活应用向量a＋b，a－b的几何意义．
【加固训练】
已知A，B，C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若＋＝＋，则下列结论正确的是( )
A．点P在△ABC内部 B．点P在△ABC外部
C．点P在直线AB上 D．点P在直线AC上
【解析】选D.因为＋＝＋，
所以－＝－，
所以＝＋，－＝，即＝.
故点P在边AC所在的直线上．
1．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
A．＝＋ B．＝－
C．＝－＋ D．＝－－
【解析】选B.由向量减法的三角形法则可知＝－.
2．如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a－b＋c B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c D．b－a＋c
【解析】选A.＝－＝(＋)－
＝a＋c－b.
3．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝____________，|a－b|＝____________．
【解析】因为a，b为相反向量，所以a＋b＝0，
即|a＋b|＝0，
又a＝－b，所以|a－b|＝|2a|＝2.
答案：0 2
4．化简：(1)－－＝____________；
(2)－＋－＝____________．
【解析】(1)方法一：原式＝－＝.
方法二：原式＝－(＋)＝－＝.
(2)－＋－
＝(＋)＋(－)＝＋＝0.
答案：(1) (2)0
5．如图所示，
(1)用a，b表示；
(2)用b，c表示.
【解析】由题意知＝a，＝b，＝c.
(1)＝－＝－－＝－a－b.
(2)＝－＝－(＋)＝－b－c.
PAGE
14(共58张PPT)
6．2.3 向量的数乘运算
基础认知·自主学习
λa＋μa
λa＋λb
3．向量的线性运算
(1)定义：向量的___、___、_____运算统称为向量的线性运算．
(2)运算结果：向量线性运算的结果仍是_____．
(3)运算律：对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有
λ＝__________．
4．两个向量共线的充要条件
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使______．
加
减
数乘
向量
λμ1a±λμ2b
b＝λa
能力形成·合作探究
素养发展·创新应用
学情诊断·课堂测评
1. 向量数乘
的定义.
2.向量数乘的运算律.
3.共线向量定
理.
1.向量的数乘运算可类似于代数多项式运算.
2.用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表
示即可.
数学抽象：
向量数乘概念
逻辑推理：
向量共线的充要条件及其应用
数学运算：
向量的线性运算
向量的数乘运算中，“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数向量的数乘运算
一只兔子第1秒钟向东跑了2米，第2，3秒钟又向东各跑了2米．
【问题1】兔子3秒的位移一共是多少？
【问题2】若兔子向西跑3秒，则向量是多少？
【问题3】类比实数的运算“a＋a＋a＝3a”你能猜想实例中a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)的结果吗？
1．向量的数乘运算
正确理解向量的数乘运算
1．本质：向量数乘的结果依然是向量，要从长度与方向加以理解．对于λa，可以将a的长度扩大(|λ|>1时)，也可以缩小(|λ|<1时)；同时可以不改变a的方向(λ>0时)，也可以改变a的方向(λ<0时)，与a的方向相反．
2．混淆：实数与向量可以相乘，但是不能相加、减，如λ＋a，λ－a均没有意义．
2．向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，则(1)λ(μa)＝λμ__a；
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb．
特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
已知向量a，b，如图，你能作图验证2(a＋b)＝2a＋2b吗？
提示：
图中：2(a＋b)＝2a＋2b.
3．向量的线性运算
(1)定义：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．
(2)运算结果：向量线性运算的结果仍是向量．
(3)运算律：对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ＝λμ1a±λμ2b．
4．两个向量共线的充要条件
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa．
剖析两个向量共线的充要条件
(1)判断两向量共线，其实就是找一个实数，使得它与一个向量的积等于另一个向量．
(2)两个向量共线的充要条件可以用来证明几何中的三点共线及两直线平行等问题．
(1)两个向量共线的充要条件中的“a≠0”是否可以去掉？
提示：不能，定理中之所以限定a≠0是由于若a＝b＝0，λ存在，但不唯一，若a＝0，b≠0，则λ不存在．
(2)与非零向量a共线的单位向量怎样表示？
提示：由于单位向量的长度总等于1，所以与非零向量a共线的单位向量应为±.
1.由λa＝0可推出a＝0吗？
2．由ma＝mb(m∈R)可推出a＝b吗？
3．实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用吗？
4．若向量a和b共线，则必存在实数λ使得b＝λa吗？
提示：1.推不出.2.推不出.3.可以.4.不一定．
理解了教材第14页例6后，再思考下面的问题．
在△ABC中，已知D是BC的中点，如何用和表示？
提示：＝(＋).
1．e≠0，向量a＝2e，b＝－6e，则下列说法错误的是( )
A．a∥b
B．向量a，b方向相反
C．|a|＝3|b|
D．b＝－3a
【解析】选C.因为b＝－6e＝－3(2e)＝－3a，
所以a∥b，a，b方向相反，且3|a|＝|b|.
2．化简：2(5a＋3b)－8a＝____________．
【解析】原式＝10a＋6b－8a＝2a＋6b.
答案：2a＋6b
基础类型一 向量的线性运算(数学运算)
1．化简(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)＝______．
2．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________．
3．如图，已知向量a与b，求作向量3a－b.
【解析】1.(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)＝a－b－a－b＋a＋b＝(－＋)a＋
(－－＋)b＝0a＋0b＝0＋0＝0.
答案：0
2．由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，
所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a.
答案：4b－3a
3．作向量＝3a，＝b，则即为所求向量，如图：
向量线性运算的方法
(1)几何意义法
依据向量加法、减法和数乘运算的几何意义，直接作图．
(2)类比法
向量的线性运算类似于整式的运算，例如：去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的“系数”．
(3)方程法
向量也可以通过列方程来求解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当地运用运算律，简化运算．
基础类型二 用已知向量表示相关向量(直观想象)
【典例】如图， ABCD中，设AC与BD相交于点O，F是线段OD的中点，AF的延长线交DC于点G，设＝a，＝b，试用a，b表示.
【解析】因为DG∥AB，所以△DFG∽△BFA，
又因为DF＝OD＝×BD＝BD，
所以＝＝，
所以＝＋＝＋＝a＋b.
【备选例题】
如图，设△ABC的重心为M，O为平面上任一点，＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量.
【解析】连接AM并延长交BC于D点．
因为M是△ABC的重心，
所以D是BC的中点且AM＝AD.
所以＝＝(＋)
＝＋＝＋
＝＋
＝(－)＋(－)
＝(b－a)＋(c－b)＝－a＋b＋c.
所以＝＋＝a＋
＝(a＋b＋c).
【知识拓展】
两个结论
1．在△ABC中，若D是线段BC的中点，
则＝(＋).
2．若O是△ABC重心，则＋＋＝0.
用已知向量表示相关向量
(1)直接法
(2)方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
微提醒：用已知向量表示未知向量的关键是弄清向量之间的数量关系．
(2021·庆阳高一检测)如图，在梯形ABCD中，AB//DC，AB＝2DC，点P在线段BC上，且BP＝2PC，则( )
A.＝＋
B．＝＋
C．＝＋
D．＝＋
【解析】选C.因为＝－＋＋
＝－＋＋＝－，
＝＝－，所以＝＋＝＋－＝＋.
【加固训练】
设M，N，P是△ABC三边上的点，它们使＝，＝，＝，若＝a，＝b，
试用a，b将，表示出来．
【解析】因为＝，所以＝，
由此可得，＝－＝－－，
因为＝－，所以＝－－(－)＝－＝－a＋b，
同理可得＝－a－b，＝－＝a＋b.Ｋ
综合类型 两个向量共线充要条件的
应用(逻辑推理)
判断向量共线或三点共线
【典例】如图，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DM＝CD，延长BE至N使BE＝EN，求证：M，A，N三点共线．
【证明】因为D为MC的中点，且D为AB的中点，所以四边形ACBM是平行四边形，
所以＝＋.所以＝－＝.
同理可证明＝－＝.
所以＝－.所以，共线，又与有公共点A.所以M，A，N三点共线．
判断向量共线或三点共线的方法
(1)判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一实数λ，使得a＝λb(b≠0).
(2)一般来说，要判断A，B，C三点共线，只需看是否存在实数，使得＝λ(或＝λ等)即可．
微提醒：证明三点共线问题，应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．
【加固训练】
已知非零向量e1，e2不共线．
(1)若a＝e1－e2，b＝3e1－2e2，判断向量a，b是否共线；
(2)若＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3，求证：A，B，D三点共线．
【解析】(1)因为b＝3e1－2e2
＝6＝6a，
所以向量a，b共线．
(2)因为＝e1＋e2，
＝＋＝2e1＋8e2＋3
＝5＝5，
所以与共线，且有公共点B，
所以A，B，D三点共线．
利用向量共线求参数的值
【典例】设e1，e2是两不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.
(1)若A，B，C三点共线，求k的值．
(2)若A，B，D三点共线，求k的值．
【解析】(1)＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，
由A，B，C三点共线，
则＝λ，
所以2e1＋ke2＝λe1＋3λe2即e1＝e2，
由e1，e2是两不共线的向量知，
所以
解得k＝6；
(2)＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，
所以＝－＝2e1－e2－(e1＋3e2)＝e1－4e2.
由A，B，D三点共线，
则＝μ，
所以2e1＋ke2＝μe1－4μe2即e1＝e2，
由e1，e2是两不共线的向量知
所以
解得k＝－8.
利用向量共线求参数的基本步骤
(1)根据向量共线的充要条件建立共线向量之间的等量关系(通常要引入一个参数).
(2)依据下述结论列方程组求参数．
结论：如果λb＝μa，且a与b不共线，则实数λ和μ都是0.
【结论通通用】
关于A，B，C三点共线条件的变形式
平面上三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数α，β，使得＝α＋β，其中α＋β＝1，O为平面内任意一点．
【典例】已知3＝＋λ，若A，B，C三点共线，则实数λ＝________．
【解析】由3＝＋λ，
得＝＋，
又A，B，C三点共线，
所以＋＝1，
解得λ＝2.
答案：2
创新拓展 向量共线与基本不等式的
综合问题(数学运算)
【典例】(2021·天津高一检测)若向量a，b是不共线的两个向量，2a－3b与λa＋μb共线，当λ>0时，2λ－的最小值为( )
A．4 B．2 C． D．
【解析】选A.因为2a－3b与λa＋μb共线，
所以存在实数t使得λa＋μb＝t(2a－3b)，
即a＝b，
由向量a，b是不共线的两个向量可知，
2t－λ＝3t＋μ＝0，
所以2μ＋3λ＝0，所以μ＝－，
当λ>0时，
2λ－＝2λ＋≥2＝4，
当且仅当λ＝1时取得“＝”，
所以2λ－的最小值为4.
应用基本不等式求最值的基本原则是“一正、二定、三相等”，根据向量共线可建立两个向量的等量关系，因而两个知识点常综合命题．
创新思维 向量线性运算与平面
几何综合(逻辑推理)
【典例】点P在△ABC所在平面上，且满足＋＋＝2，则＝( )
A． B． C． D．
【解析】选B.因为＋＋＝2＝2(－)，所以3＝－＝，所以，共线，
且3||＝||，所以＝.
【思维难点】利用向量线性运算对＋＋＝2进行变形，利用几何意义推出点P的位置信息是解答本题的难点．
【加固训练】
已知O是平面内一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ
(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【解析】选B.为上的单位向量，为上的单位向量，则＋的方向为∠BAC的角平分线的方向．
又λ∈[0，＋∞)，所以λ的方向与＋的方向相同．而＝＋λ，
所以点P在上移动．
所以点P的轨迹一定通过△ABC的内心．
1．下列各式中不表示向量的是( )
A．－a B．a＋3b
C．|3a| D．e(x，y∈R，且x≠y)
【解析】选C.向量线性运算结果仍为向量，显然只有|3a|不是向量．
2．如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量＝( )
A.－ B．－＋
C．－－ D．＋
【解析】选B.方法一：因为D是AB的中点，所以＝，所以＝＋＝－＋.
方法二：由＝(＋)＝[＋(＋)]
＝＋＝－＋.
3．点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列结论正确的是( )
A．＝3 B．＝2
C．＝ D．＝2
【解析】选D.由题意可知：＝－3；＝－2＝2.故只有D正确．
4．下面向量a，b共线的序号是__________．(其中e1，e2不共线)
①a＝2e1，b＝2e2；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；③a＝6e1－e2，b＝e1－e2；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.
【解析】对于①④，由于e1，e2不共线，所以a，b不共线；对于②，a＝－b，所以a，b共线；
对于③，a＝6b，所以a，b共线．
答案：②③
5．化简：(1)3(2a－b)－2(4a－2b)；
(2)(4a＋3b)－(3a－b)－b；
(3)2(3a－4b＋c)－3(2a＋b－3c).
【解析】(1)原式＝6a－3b－(8a－4b)＝－2a＋b.
(2)原式＝a＋b－a＋b－b＝－a.
(3)原式＝6a－8b＋2c－6a－3b＋9c＝－11b＋11c.
PAGE
12(共59张PPT)
6．2.4 向量的数量积
基础认知·自主学习
非零
∠AOB
(0≤θ≤π)
同向
反向
垂直
a⊥b
0
cos θ e
cos θ
a·b＝0
|a||b|
-|a||b|
|a|2
|a|
|a||b|
b·a
a·(λb)
a·c＋b·c
能力形成·合作探究
素养发展·创新应用
学情诊断·课堂测评
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
向量的数量积
1.向量的夹角.
2.向量的数量积的定义.
3.投影向量.
1. 当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉
2.b在a方向上的投影为|b|cos θ(θ是a与b的夹角)，也可以写成
注意共线时θ＝0°或 θ＝180°.
投影是一个数量，不是向量.
1.数学抽象：数量积相关概念的理解.
2.逻辑推理：有关数量积的运算.
3.数学运算：求模、求数量积或投影.
A
a
0
O
b
B
B
b
A
a
I
I
0
B1(A1)
D
N
C
M
A
B向量的数量积
如图所示，两位同学拉车，沿着绳子方向上的合力为F，车的位移是s，力和位移的夹角为θ.
【问题1】合力F所做的功如何计算？
【问题2】合力F所做的功是向量还是数量？
【问题3】合力F与车的位移是s的夹角θ的取值范围对功W有什么影响？
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).
(2)三种特殊情况：
a与b的夹角θ a与b的关系
0 a与b同向
π a与b反向
a与b垂直，记作a⊥b
等边△ABC中，向量，的夹角是60°吗？
提示：向量，的夹角是120°.
2．平面向量数量积的定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|·cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为__0__．
对向量数量积的理解
(1)求a，b的数量积需知道三个量，即|a|，|b|及a，b的夹角．求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，需平移．
(2)两个向量的数量积是两个向量之间的运算，其结果不再是向量，而是数量，它的符号由夹角确定，当夹角为锐角或0时，符号为正；当夹角为钝角或π时，符号为负；当夹角为直角时，其值为零．
(3)两个向量a，b的数量积与代数中两个数a，b的乘积ab是不同的，因此要注意两个向量a，b的数量积是记作a·b，中间的实心小圆点不能省略，也不能把实心小圆点用乘号“×”代替．
3．投影与投影向量
(1)变换：
变换 图示
设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到
(2)结论：称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．
(3)计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量为cos__θ__e．
4．向量数量积的性质
(1)条件：设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量．
(2)性质：①a·e＝e·a＝cos__θ．
②a⊥ba·b＝0．
③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|．
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
④|a·b|≤|a||b|．
向量数量积性质的应用
(1)a⊥ba·b＝0，既可以用来证明两向量垂直，也可以由垂直进行有关计算．
(2)a·a＝a2＝|a|2与|a|＝＝也用来求向量的模，以实现实数运算与向量运算的相互转化．
(3)用cos θ＝求两向量的夹角，且夹角的取值与a·b的符号有关．
(4)|a·b|≤|a||b|可以用来通过构造向量来证明不等式问题或解决最值问题．
5．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
对于向量a，b，c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一定成立吗？
提示：不一定成立，因为若(a·b)·c≠0，其方向与c相同或相反，而a·(b·c)≠0时其方向与a相同或相反，而a与c方向不一定相同或相反，故该等式不一定成立．
1．如果a·b＝0，则必有a＝0或b＝0吗？
2．a·a常记作a2，由a2＝b2能推出a＝b或a＝－b吗？
3．若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角吗？
4．向量a在b上的投影向量是一个模等于|acos θ|(θ是a与b的夹角)，方向与b相同或相反的一个向量吗？
提示：1.不一定 2.不一定 3.不一定 4.是
阅读教材第20页，对向量数量积运算的运算律(3)的证明过程，你能借助投影向量说明下面这个推理是否正确吗？
对于向量a，b，c，若c≠0，a·c＝b·c，则a＝b.
提示：该推理不正确．即a·c＝b·c且c≠0不能推出a＝b.如图，由投影向量的定义及数量积公式，易知a·c＝b·c，但显然a≠b.
1．已知单位向量a，b，夹角为60°，则a·b＝( )
A． B． C．1 D．－
【解析】选A.a·b＝1×1×cos 60°＝.
2．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|＝( )
A. B． C． D．
【解析】选B.因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝1＋4×＋4＝3，所以|a＋2b|＝.
基础类型一 向量数量积和投影向量(数学抽象)
1．已知等边△ABC的边长为2，则向量在向量方向上的投影向量为( )
A．－ B． C．2 D．2
2．已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________．
3．如图所示，四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4.若点M，N满足＝3，＝2.
(1)用，，表示，；
(2)求·.
【解析】1.选A.在等边△ABC中，因为∠A＝60°，所以向量在向量方向上的投影向量为，所以向量在向量方向上的投影向量为－.
2．由题设知|e1|＝|e2|＝1且e1·e2＝，
所以b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)
＝3e－2e1·e2－8e
＝3－2×－8＝－6.
答案：－6
3．由题设知：＝＋＝＋，
＝－，
所以·＝·
＝||2－||2＋·－·
＝×36－×16＝9.
1．向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及两个向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．
(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．
2．求投影向量的方法
(1)依据投影的定义和平面几何知识作出恰当的垂线，直接得到投影向量．
(2)首先根据题意确定向量a的模，与b同向的单位向量e，及两向量a与b的夹角θ，然后依据公式cos θ e计算．
微提醒：数量积的定义中要注意两向量的夹角一定要同起点．两向量夹角的范围是[0，π].
基础类型二 求向量的模(数学运算)
【典例】已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求|a＋b|；
(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影向量的模．
【解析】(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
因为|a|＝4，|b|＝3，
所以a·b＝－6，
所以|a＋b|＝
＝＝.
(2)因为a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10，
所以向量a在向量a＋b方向上的投影向量的模为＝＝.
【备选例题】
已知a，b是非零向量，t为实数，设u＝a＋tb.
(1)当|u|取最小值时，求实数t的值；
(2)当|u|取最小值时，向量b与u是否垂直？
【解析】(1)|u|2＝|a＋tb|2＝(a＋tb)·(a＋tb)
＝|b|2t2＋2(a·b)t＋|a|2
＝|b|2＋|a|2－.
因为b是非零向量，
所以|b|≠0，
所以当t＝－时，|u|＝|a＋tb|的值最小．
(2)垂直．
因为b·(a＋tb)＝a·b＋t|b|2
＝a·b＋＝a·b－a·b＝0，
所以b⊥(a＋tb)，即b⊥u.
【知识拓展】
关于向量模的最值问题
解答此类问题通常分以下两步
(1)依据数量积及其运算性质，建立所求量关于某个变量的函数；
(2)利用有关函数的图象和性质求最值．
1．求向量的模的依据和基本策略
(1)依据：a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
(2)基本策略：求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
2．拓展公式
(1)(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2.
(2)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2.
已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝，求|b|.
【解析】因为|2a＋b|＝，
所以(2a＋b)2＝10，
所以4a2＋4a·b＋b2＝10.
又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1，
所以4×12＋4×1×|b|×＋|b|2＝10，
整理得|b|2＋2|b|－6＝0，
解得|b|＝或|b|＝－3(舍去).
【加固训练】
已知向量a，b满足|b|＝5，|2a＋b|＝5，|a－b|＝5，则|a|＝________．
【解析】由已知有
将b2＝|b|2＝25代入方程组，解得|a|＝.
答案：
综合类型 向量的夹角与垂直问题(逻辑推理)
向量的夹角问题
①已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，则k的取值范围为________．
②已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为钝角，则k的取值范围为________.
【解析】①因为e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，
所以(e1＋ke2)·(ke1＋e2)
＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，所以k＞0.
当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，
它们的夹角为0°，不符合题意，舍去．
综上，k的取值范围为k＞0且k≠1.
答案：(0，1)∪(1，＋∞)
②因为e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为钝角，
所以(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2＝2k＜0，所以k＜0.
当k＝－1时，e1＋ke2与ke1＋e2方向相反，它们的夹角为π，不符合题意，舍去．
综上，k的取值范围是k＜0且k≠－1.
答案：(－∞，－1)∪(－1，0)
点拨：题①两个向量的夹角为锐角时，这两个向量的数量积大于0且这两个向量不共线；题②两个向量的夹角为钝角时，这两个向量的数量积小于0且这两个向量不共线．
求向量夹角的基本步骤
【加固训练】
已知|a|＝1，a·b＝，(a＋b)·(a－b)＝.
(1)求|b|的值；
(2)求向量a－b与a＋b夹角的余弦值．
【解析】(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝.
因为|a|＝1，所以1－|b|2＝，所以|b|＝.
(2)因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋＝2，
|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×＋＝1，
所以|a＋b|＝，|a－b|＝1.令a＋b与a－b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，
即向量a－b与a＋b夹角的余弦值是.
向量的垂直问题
【典例】已知向量a，b的夹角为π，|a|＝1，|b|＝2.
(1)求a·b的值；
(2)若2a－b和ta＋b垂直，求实数t的值．
【解析】(1)a·b＝cos ＝1×2×＝－1；
(2)因为2a－b和ta＋b垂直，
所以(2a－b)·(ta＋b)＝0，
即2ta2＋a·b－b2＝0，
所以2t－(2－t)－4＝0，所以t＝2.
向量垂直问题的处理思路
解决与垂直相关题目的依据是a⊥ba·b＝0，利用数量积的运算代入，结合与向量的模、夹角相关的知识解题．
【加固训练】
已知向量a，b不共线，且|2a＋b|＝|a＋2b|，
求证：(a＋b)⊥(a－b).
【证明】因为|2a＋b|＝|a＋2b|，
所以(2a＋b)2＝(a＋2b)2，
即4a2＋4a·b＋b2＝a2＋4a·b＋4b2，所以a2＝b2.
所以(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.
又a与b不共线，a＋b≠0，a－b≠0，
所以(a＋b)⊥(a－b).
创新思维 利用向量运算判断平面内点、
线的位置关系(逻辑推理)
【典例】已知点P是△ABC所在平面内一点，有下列四个等式：
甲：＋＋＝0；
乙：·(－)＝·(－)；
丙：||＝||＝||；
丁：·＝·＝·.如果只有一个等式不成立，则该等式为( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【解析】选B.对于甲：＋＋＝0，
设M是BC的中点，则＋＝2，
所以＝－2，
故P点是AM的靠近M的三等分点，即该三角形的重心；
对于乙：·(－)＝·(－)，移项整理得·(－)＝0，即·＝0，
故AB⊥AC，所以△ABC是直角三角形；
对于丙：||＝||＝||，则P为△ABC的外心；
对于丁：·＝·＝·.
则·－·＝·(－)＝·＝0，所以PB⊥CA，
同理可得PA⊥BC，PC⊥AB，所以P为△ABC的垂心，如果只有一个等式不成立，则该等式为乙．
【思维难点】依据向量运算判断平面内点、线的位置关系，关键是由已知条件建立数量积、向量的长度、向量的夹角等之间关系，移项、两边平方是常用手段，这样可以出现数量积及向量的长度等信息，为说明边相等、边垂直指明方向．
【加固训练】
O为平面内的定点，A，B，C是平面内不共线的三点，若(－)·(＋－2)＝0，则△ABC是( )
A．以AB为底边的等腰三角形
B．以BC为底边的等腰三角形
C．以AB为斜边的直角三角形
D．以BC为斜边的直角三角形
【解析】选B.设BC的中点为M，则化简(－)·(＋－2)＝0，得到·(＋)＝·(2)＝2·＝0，即·＝0，所以⊥，所以AM是△ABC的边BC上的中线，也是高，故△ABC是以BC为底边的等腰三角形．
1．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·a＋a·b等于( )
A． B． C．1＋ D．2
【解析】选B.a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos 60°＝1＋＝.
2．若|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，记向量a在向量b方向上的投影向量为γ，则|γ|＝( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【解析】选D.设向量a与向量b的夹角为θ，与b方向相同的单位向量为e，则a在b方向上的投影向量γ＝|a|cos θ·e，则|γ|＝||a|cos θ|＝|2×cos 120°|＝1.
3．已知非零向量a，b，若a＋2b与a－2b互相垂直，则＝( )
A． B．4 C． D．2
【解析】选D.因为(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2＝0，
所以|a|＝2|b|，所以＝2.
4．已知|a|＝2，|b|＝3，当：(1)a与b的夹角θ为60°；
(2)a⊥b；(3)a∥b时，分别求a·b.
【解析】(1)当a与b的夹角θ为60°时，
a·b＝|a||b|cos θ＝2×3×cos 60°＝3.
(2)当a⊥b，即a与b的夹角θ为90°时，
a·b＝|a||b|cos θ＝2×3×cos 90°＝0.
(3)当a∥b，即a与b的夹角θ＝0°或θ＝180°，
若θ＝0°，则a·b＝|a||b|cos θ＝2×3×cos 0°＝6；
若θ＝180°，则a·b＝|a||b|cos θ＝2×3×cos 180°
＝－6.
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