(共39张PPT)
6.2 平面向量的运算
6.2.1 向量的加法运算
【情境探究】
分析下列实例:(1)飞机从广州飞往上海,再从上海飞往北京(如图),这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的.
必备知识生成
(2)有两条拖轮牵引一艘轮船,它们的牵引力分别是F1=3 000 N,F2=2 000 N,牵引绳之间的夹角为θ=60°(如图),如果只用一条拖轮来牵引,也能产生跟原来相同的效果.
思考:1.从物理学的角度,上面实例中位移、牵引力说明了什么 体现了向量的什
么运算
提示:后面的一次位移叫做前面两次位移的合位移,四边形OACB的对角线 表
示的力是 与 表示的力的合力.体现了向量的加法运算.
2.上述实例中位移的和运算、力的和运算分别运用了什么法则
提示:三角形法则和平行四边形法则.
【知识生成】
1.向量加法的定义
求两个向量_________,叫做向量的加法.
和的运算
2.向量求和的法则
向量的加法运算满足交换律:a+b=b+a
向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义.
关键能力探究
探究点一 向量加法运算法则的应用
【典例1】如图,已知向量a,b,c,求作和向量a+b+c.
【思维导引】有两种方法作图:
方法一:让两个向量首尾相接,作出和向量再和第三个向量首尾相接.
方法二:让两个向量有共同起点相加,再和第三个向量相加.
【解析】方法一:可先作a+c,再作(a+c)+b,即a+b+c.如图,首先在平面内任取一
点O,作向量 =a,接着作向量 =c,则得向量 =a+c,然后作向量 =b,则向量
=a+b+c为所求.
方法二:三个向量不共线,用平行四边形法则来作.
如图,(1)在平面内任取一点O,作 =a, =b.
(2)作平行四边形AOBC,则 =a+b.
(3)再作向量 =c.
(4)作平行四边形CODE,
则 +c=a+b+c.
即为所求.
【类题通法】
应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题
(1)三角形法则可以推广到n个向量求和,作图时要求“首尾相连”,即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量.
(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和,作图时要求两个向量的起点重合.
(3)求作三个或三个以上的向量的和时,用三角形法则更简单.
提醒:(1)三角形法则中强调“首尾相接”,平行四边形法则中强调的是“共起点”;
(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和,而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和.
【定向训练】
如图,已知向量a,b,求作向量a+b.
【解析】(1)作 =a, =b,则 =a+b,如图(1).
(2)作 =a, =b,则 =a+b,如图(2).
(3)作 =a, =b,则 =a+b,如图(3).
【补偿训练】
如图所示,设O为正六边形ABCDEF的中心,求下列向量:
【解析】(1)由图可知,四边形OABC为平行四边形,
所以由向量加法的平行四边形法则得
(2)由图可知,
所以
探究点二 向量的加法运算
【典例2】如图,在△ABC中,O为重心,D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,化简下列各式:
【解析】
【类题通法】
解决向量加法运算时应关注的两点
(1)可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算.
(2)要灵活应用向量加法运算律,注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序.
【定向训练】
设A,B,C,D是平面上任意四点,试化简:
探究点三 向量加法的实际应用
【典例3】在某地抗震救灾中,一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员,然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.
【思维导引】解答本题首先正确画出方位图,再根据图形借助于向量求解.
【解析】如图所示,设 分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km,
从B地按南偏东55°的方向飞行800 km.
则飞机飞行的路程指的是 ;两次飞行的位移的和指的是
依题意,有 =800+800=1 600(km).
又α=35°,β=55°,∠ABC=35°+55°=90°.
所以 (km).
从而飞机飞行的路程是1 600 km,两次飞行的位移和
的大小为800 km.
【类题通法】
应用向量加法解决物理学问题的基本步骤
(1)表示:用向量表示相关的量,将所有解决的问题转化为向量的加法问题.
(2)运算:应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则,进行相关运算.
(3)还原:根据向量运算的结果,结合向量共线、相等概念回答原题.
易错警示:在根据实际问题转化为向量问题时,由于对实际问题的审题不准确导致解题错误.
【定向训练】
如图,用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上,∠ACW=150°,∠BCW
=120°,求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计).
【解析】如图,设 分别表示A,B所受的力,10 N的重力用 表示,则
易得∠ECG=180°-150°=30°,
∠FCG=180°-120°=60°,
所以 cos 30°=10× =5 .
cos 60°=10× =5.
所以A处所受的力的大小为5 N,B处所受的力的大小为5 N.
探究点四 利用向量加法证明几何问题
【典例4】已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且
求证:四边形ABCD是平行四边形.
【思维导引】证明四边形的对边平行且相等.
【证明】 ,又因为 ,所以 ,
所以AB=DC且AB∥DC,所以四边形ABCD为平行四边形.
【类题通法】
怎样用向量方法证明几何问题
用向量方法证明几何问题,首先要把几何问题中的边转化成相应的向量,通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系,然后再还原成几何问题.
【定向训练】
如图所示,在平行四边形ABCD的对角线BD的反向延长线及延长线上取点E,F,使BE=DF,求证:四边形AECF是平行四边形.
【证明】因为
所以 ,即AE与FC平行且相等.所以四边形AECF是平行四边形.
向量的加法运算
1.向量加法的概念.
2.三角形法则和平行四边形法则.
3.交换律和结合律.
1.三角形法则:两向量“首尾相接”第一个向量的起点为起点，第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．
2.平行四边形法则:①两个向量共起点,②作平行四边形, ③与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和.
1.向量的三角形法则：首尾相接，连首尾.
2.平行四边形法则:同一起点,对角线.
1.数学抽象：向量加法概念.
2.逻辑推理：利用向量加法证明几何问题.
3.直观想象：向量加法运算.
4.数学建模：从实际问题抽象出数学模型，运用向量加法
解决实际问题.
方法总结
核心知识
易错提醒
核心素养
课堂素养达标
1.化简 的结果等于 ( )
【解析】选B.
2.若a等于“向东走8 km”,b等于“向北走8 km”,则|a+b|=________,a+b的方向
是________.
【解析】如图所示,设 =a, =b,则 =a+b,且△ABC为等腰直角三角形.则
| |=8 ,∠BAC=45°.
答案:8 km 北偏东45°
3.如图,一架飞机从A地按北偏西30°方向飞行300 km后到达B地,然后向C地飞行,
已知C地在A地北偏东60°方向处,且| |=300 km,则飞机从B地向C地飞行的方
向是南偏东________,| |=________km.
【解析】由题意和图形可知∠BAC=90°,
因为| |=300,| |=300 ,所以| |=300,
所以∠ABC=45°,A地在B地南偏东30°的方向处,
所以C地在B地南偏东75°的方向处.
故飞机从B地向C地飞行的方向为南偏东75°.
答案:75° 300
4.一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,航船实际航行方向与水流方向成30°角,求水流速度和船实际速度的大小.
【解析】如图所示, 表示水流速度, 表示船垂直于对岸的方向行驶的速度,
表示船实际航行的速度,∠AOC=30°,| |=5.
因为四边形OACB为矩形,
所以
所以水流速度大小为5 km/h,
船实际速度大小为10 km/h.(共32张PPT)
6.2.2 向量的减法运算
【情境探究】
1.a的相反向量是什么 -a的相反向量是什么 零向量的相反向量是什么
提示:与向量a长度相等且方向相反的向量称作向量a的相反向量,记作-a,并且
有a+(-a)=0.-a的相反向量是a,即-(-a)=a,规定:零向量的相反向量仍是零向量.
必备知识生成
2.我们知道,在数的运算中,减去一个数等于加上这个数的相反数,向量的减法是否也有类似的法则
提示:向量的减法也有类似法则,定义a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
【知识生成】
1.相反向量
定义 如果两个向量长度_____,而方向_____,那么称这两
个向量是相反向量
性质 ①对于相反向量有:a+(-a)=__
②若a,b互为相反向量,则a=___,a+b=__
③零向量的相反向量仍是零向量
相等
相反
0
-b
0
2.向量的减法
定义 a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的_________
作法 在平面内任取一点O,作 a， b,则向量a-b= 如图所示
几何
意义 如果把两个向量a,b的起点放在一起,则a-b可以表示为从向量b
的_____指向向量a的_____的向量
相反向量
终点
终点
关键能力探究
探究点一 向量的减法运算
【典例1】化简下列各式:
【思维导引】(1)通过相反向量,把减法变为加法.
(2)有相同起点的向量的减法用三角形法则.
【解析】(1)原式
(2)原式
【类题通法】
向量减法运算的常用方法
【知识延拓】
非零向量的差的三角不等式
(1)当a,b不共线时,根据三角形边长的不等关系知
||a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|.
(2)当a,b共线且同向时,
若|a|>|b|,则a-b与a,b同向,且|a-b|=|a|-|b|;
若|a|<|b|,则a-b与a,b反向,且|a-b|=|b|-|a|.
(3)当a,b共线且反向时,a-b与a同向,与b反向,且|a-b|=|a|+|b|.
综上所述,对于任意两个非零向量,总有下列向量不等式成立:||a|-|b||≤
|a-b|≤|a|+|b|.
【定向训练】
化简:
【解析】
0
【补偿训练】
下列式子不能化简为 的是 ( )
【解析】选D.对于A,有 对于B,有
对于C,有
只有D无法化简为
探究点二 利用已知向量表示其他向量
【典例2】如图所示,四边形ACDE是平行四边形,B是该平行四边形外一点,且
a， b, c,试用向量a,b,c表示向量
【思维导引】解答本题要注意 ,及向量加法减法几何意义的应用.
【解析】因为四边形ACDE是平行四边形,所以 c, b-a,
故 b-a+c.
【类题通法】
1.利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意
(1)一个关键:
一个关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道.
(2)三点注意:
①注意相等向量、相反向量、共线向量与构成三角形三向量之间的关系;
②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律;
③注意在封闭图形中利用多边形法则.
2.用已知向量表示其他向量的一般步骤
(1)观察待表示的向量位置.
(2)寻找相应的平行四边形或三角形.
(3)运用法则找关系,化简得结果.
【定向训练】
在平行四边形ABCD中, a， b， =c,试用a,b,c表示 ,则 =
________.
【解析】因为 =a, =b, =c,
所以 c-b,又
所以 a+c-b.
答案:a+c-b
探究点三 向量加法、减法的综合应用
【典例3】如图,O为△ABC的外心,H为垂心.求证:
【思路导引】由需求证问题倒推,逐步寻找相应的三角形,运用法则找关系,化
简得结果.
【证明】作直径BD,连接DA,DC,有 DA⊥AB,DC⊥BC,AH⊥BC,CH⊥AB,
故CH∥DA,AH∥DC.得四边形AHCD是平行四边形,进而 又
得
【类题通法】
向量a+b,a-b的几何意义在证明、运算中具有重要的应用.对于平行四边形、菱形、矩形、正方形对角线具有的性质要熟悉并会应用.基本思路是:先对向量条件化简、转化,再找(作)图形(三角形或平行四边形),确定图形的形状,利用图形的几何性质求解.
【定向训练】
已知△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,M是斜边AB的中点, =a, =b,
求证:
(1)|a-b|=|a|.
(2)|a+(a-b)|=|b|.
【证明】如图,在等腰Rt△ABC中,由M是斜边AB的中点,
得
(1)在△ACM中, a-b.于是由 得|a-b|=|a|.
(2)在△MCB中, a-b,
所以 a-b+a=a+(a-b).从而由 得|a+(a-b)|=|b|.
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
1. 相反向量.
2.向量减法的
概念.
3.向量减法的
几何意义.
（1）起点必须相同；
（2）指向被减向量的终点.
用三角形法则作向量减法时
相反向量:
从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．
1.数学抽象：向量减 法的定义.
2.逻辑推理：向量减法的法则.
3.数学运算：求两个向量的差.
4.直观想象：向量减法的几何意义.
课堂素养达标
1.在△ABC中, =a, =b,则 =( )
A.a-b B.b-a C.a+b D.-a-b
【解析】选D. a-b.
2.如图所示,已知ABCDEF是一个正六边形,O是它的中心,其中 =a, =b,
=c,则 等于 ( )
A.a+b B.b-a C.c-b D.b-c
【解析】选D.如题干图 b-c.
3.在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是 ( )
0
0
【解析】选C.因为 所以 0,A正确;
因为 B正确;
因为 C错误;
因为 所以 所以 0,D正确.
4.化简:
【解析】原式= 0
答案:
5.已知 则 的取值范围为________.
【解析】因为 所以
又
所以
答案:[3,17](共41张PPT)
6.2.3 向量的数乘运算
【情境探究】
1.(1)类比:实数运算,x+x+x=3x,思考a+a+a能否写成3a呢
提示:可以,即a+a+a=3a.
(2)3a与a的方向有什么关系 -3a与a的方向呢
提示:3a与a的方向相同,-3a与a的方向相反.
必备知识生成
(3)按照向量加法的三角形法则,若a为非零向量,那么3a的长度与a的长度有何关系.
提示:3a的长度是a的长度的3倍,即若|a|=λ,则|3a|=3λ.
(4)实数a,b满足3(a+b)=3a+3b,(2+3)a=2a+3a,若把实数a,b换成向量a,b,上式是否仍成立
提示:成立,向量同样满足分配律、结合律.
2.(1)如果两个向量共线,则这两个向量具有哪几种情况
提示:方向相同或方向相反或其中一个为零向量.
(2)若b=2a,b与a共线吗 λa与a(λ≠0,a≠0)的方向有何关系
提示:a与b共线,λa与a的方向相同或相反.
(3)若两个非零向量a,b共线,是否一定存在实数λ使得b=λa
提示:一定存在,且是唯一的.
【知识生成】
1.向量的数乘
一般地,实数λ与向量a的乘积是一个_____,这种运算叫做向量的数乘,记作λa.
向量
2.向量的数乘的长度与方向
(1)长度:|λa|=|λ||a|.
(2)方向:若a≠0,当λ>0时,λa的方向与a的方向_____;当λ<0时,λa的方向
与a的方向_____.
(3)几何意义:λa中的实数λ,叫做向量a的_____.λa可以看作是把向量a沿
着a的方向(λ>0时)或a的反方向(λ<0时)扩大或缩小_____倍得到.
相同
相反
系数
|λ|
3.向量的数乘运算律
设λ,μ为实数,则(1)λ(μa)=(λμ)a.
(2)(λ+μ)a=λa+μa.(3)λ(a+b)=λa+λb(分配律).
特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),
λ(a-b)=λa-λb.
4.向量的线性运算
向量的加法运算、减法运算、数乘向量运算统称为向量的线性运算,向量的
线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a,b以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有
λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.
5.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使______.
b=λa
关键能力探究
探究点一 向量的线性运算
【典例1】(1)计算:
①4(a+b)-3(a-b)-8a;
②(5a-4b+c)-2(3a-2b+c);
③
(2)设向量a=3i+2j,b=2i-j,求 +(2b-a).
【思维导引】运用向量数乘的运算律求解,可类比实数运算中的合并同类项方法化简.
【解析】(1)①原式=4a+4b-3a+3b-8a=-7a+7b.
②原式=5a-4b+c-6a+4b-2c=-a-c.
③原式=
(2)原式= a-b-a+ b+2b-a
= a+ b
【类题通法】
向量线性运算的技巧
(1)向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.
(2)向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.
【定向训练】
计算:(1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a);
(2) [2(2a+8b)-4(4a-2b)];
(3)(m+n)(a-b)-(m-n)(a+b).
【解析】(1)原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b.
(2)原式= (4a+16b-16a+8b)= (-12a+24b)=-2a+4b.
(3)原式=m(a-b)+n(a-b)-m(a+b)+n(a+b)
=(m+n-m+n)a+(-m-n-m+n)b=2na-2mb.
【补偿训练】
若已知向量a,b满足 (3a-2c)+4 +(a+6b)=0,则c=________.
【解析】 (3a-2c)+4 +(a+6b)
=a- c+c-4b+a+6b=2a+2b+ c=0,
所以 c=-2a-2b,c=-6a-6b.
答案:-6a-6b
探究点二 共线向量定理及其应用
【典例2】设两个非零向量a与b不共线.
(1)若 =a+b, =2a+8b, =3(a-b),求证:A,B,D三点共线;
(2)试确定实数k,使ka+b与a+kb共线.
【思维导引】(1)欲证三点A,B,D共线,即证存在实数λ,使 =λ ,只要由已知条件找出λ即可.
(2)由两向量共线,列出关于a,b的等式,再由a与b不共线知,若λa=μb,则λ=μ=0.
【解析】(1)因为 =a+b, =2a+8b, =3(a-b),
所以 =2a+8b+3(a-b)
=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5 ,所以 , 共线,
又因为它们有公共点B,所以A,B,D三点共线.
(2)因为ka+b与a+kb共线,
所以存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),
即ka+b=λa+λkb,所以(k-λ)a=(λk-1)b,
因为a,b是不共线的两个非零向量,
所以k-λ=λk-1=0,所以k2-1=0.所以k=±1.
【类题通法】
用向量法证明三点共线的关键与步骤
关键是能否找到一个实数λ,使得b=λa(a,b为这三点构成的其中任意两个向量).证明步骤是先证明向量共线,然后再由两向量有公共点,证得三点共线.
【定向训练】
1.O为△ABC内一点,且2 =0, ,若B,O,D三点共线,
则t的值为( )
【解析】选A.由 得
所以 +(1-t) ,
因为B,O,D三点共线,所以可设 ,
则2 +(1-t)λ ,
所以[2-(1-t)λ] =(λt-1) .
因为 不共线,故 解得t= .
2.已知向量 =a+5b, =-2a+8b, =3(a-b).
求证: ,其中x+y=1.
【证明】因为
=2a-8b-a-5b=a-13b,
x +y =x(2a-8b)+3y(a-b)
=(2x+3y)a+(-8x-3y)b.
所以 所以
所以 ,其中x+y=1.
【知识拓展】
向量共线与线段共线的区别以及作用
(1)向量共线与线段共线的区别:向量共线时,两向量所在的线段可能平行,也可能共线;而两条线段共线时,这两条线段必定在同一条直线上.
(2)向量共线定理的作用:向量共线定理可以证明线段平行,也可以证明三点共线.
【补偿训练】已知△AOB中,点P在直线AB上,且满足 t∈R,
则 =________.
【解析】因为点P在直线AB上,所以设 ,
则 ,即 ,
又 ,t∈R,则 解得λ=-2,
所以 .
答案:
探究点三 用向量的线性运算表示未知向量
【典例3】如图所示,四边形OADB是以向量 =a, =b为邻边的平行四边形,
又BM= BC,CN= CD,试用a,b表示
【思维导引】
【解析】
所以
因为
所以
【类题通法】
向量线性运算的两种方法
(1)直接法
(2)方程法
当直接表示比较困难时,可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求向量的方程.
【定向训练】
1.(2018·全国卷I)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,
则 = ( )
【解析】选A.如图所示
2.如图,设△ABC的重心为G,O是△ABC所在平面内的一点,且 =a, =b,
=c,则 =________.
【解析】易知,
所以
又因为
所以
故
答案:
【补偿训练】
已知在 ABCD中,M,N分别是DC,BC的中点.若 =e1, =e2,试用e1,e2
表示 .
【解析】因为M,N分别是DC,BC的中点,
所以MN BD.因为 =e2-e1,
所以 =2e2-2e1.又因为AO是△AMN的中线,
所以 e2+ e1.
【课堂小结】
课堂素养达标
1.已知非零向量a,b满足a=4b,则 ( )
A.|a|=|b| B.4|a|=|b|
C.a与b的方向相同 D.a与b的方向相反
【解析】选C.因为a=4b,4>0,所以|a|=4|b|.
因为4b与b的方向相同,所以a与b的方向相同.
2. 等于 ( )
A.2a-b B.2b-a
C.b-a D.a-b
【解析】选B.原式=
3.若点O为平行四边形ABCD的中心, =2e1, =3e2,则 e2-e1= ( )
【解析】选A.
4.已知向量a=e1+λe2,b=2e1,λ∈R,且λ≠0,若a∥b,则 ( )
A.λ=0 B.e2=0
C.e1∥e2 D.e1∥e2或e1=0
【解析】选D.当e1=0时,显然有a∥b;
当e1≠0时,b=2e1≠0,又a∥b,
所以存在实数μ,使a=μb,即e1+λe2=2μe1,
所以λe2=(2μ-1)e1,又λ≠0,所以e1∥e2.
5.已知两个非零向量e1,e2不共线,若 =2e1+3e2, =6e1+23e2, =4e1-8e2.
求证:A,B,D三点共线.
【证明】因为
=2e1+3e2+6e1+23e2+4e1-8e2
=12e1+18e2=6(2e1+3e2)=6 ,所以
又因为AD和AB有公共点A,所以A,B,D三点共线.(共35张PPT)
6.2.4 向量的数量积
【情境探究】
1.如图,一个物体在力F的作用下产生位移s,据此回答下列问题:
(1)如何计算这个力所做的功
提示:根据物理知识知W=|F||s|cos θ.
(2)力做的功的大小与哪些量有关
提示:与力的大小、位移大小及它们之间的夹角有关.
必备知识生成
(3)力F在位移s方向上的分力大小是多少
提示:由图知力F在位移s方向上的分力是|F|cos θ.
(4)力和位移均可看作是数学上的向量,那么可否把“功”看作是向量间的新运算呢
提示:可把“功”看作向量的数量积运算.
2.已知两个非零向量a,b,θ为a与b的夹角,回答下列问题:
(1)若a·b=0,则a与b有什么关系
提示:由a·b=|a||b|cos θ=0得cos θ=0.
所以θ=90°,则a⊥b.
(2)a·a等于什么
提示:a·a=|a||a|cos 0°=|a|2.
(3)a·b与|a||b|有怎样的大小关系
提示:由a·b=|a||b|cos θ.-1≤cos θ≤1得-|a||b|≤a·b≤|a||b|.
(4)如何由向量的数量积公式求其夹角
提示:由a·b=|a||b|cos θ得,cos θ= 再由三角函数确定其夹角.
(5)实数满足交换律、结合律、分配律,向量数量积是否同样满足这些运算律
提示:向量数量积同样满足交换律、结合律、分配律.
【知识生成】
1.向量的夹角
已知两个非零向量a和b,作 =a, =b,则∠AOB=θ叫做向量a与b的_____,
并规定夹角的范围是__________.
当_____时,a与b同向;当______时,a与b反向;当________时,a与b垂直,记作a⊥b.
夹角
0≤θ≤π
θ=0
θ=π
θ=
2.平面向量的数量积的定义
定义 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量
____________叫做a与b的数量积(或内积),
记法 记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ
规定 零向量与任一向量的数量积为__
|a||b|cosθ
0
3.投影向量
设a,b是两个非零向量, =a, =b,过 的起点A和终点B,分别作 所在
直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到 ,上述变换为向量a向向量b_____,
____叫做向量a在向量b上的投影向量.
投影
4.两个向量数量积的性质
设a、b都是非零向量,它们的夹角为θ,e是与b方向相同的单位向量,则:
(1)a·e=e·a=_________.
(2)a⊥b _______.
(3)当a与b同向时,a·b=_______;当a与b反向时,a·b=________.特别地,a·a=__=____或|a|=
(4)|a·b|≤_______.
|a|cosθ
a·b=0
|a||b|
-|a||b|
a2
|a|2
|a||b|
5.平面向量数量积的运算律
已知向量a、b、c和实数λ.
(1)交换律:a·b=_____.
(2)结合律:(λa)·b=_________=_________.
(3)分配律:(a+b)·c=_________.
b·a
λ(a·b)
a·(λb)
a·c+b·c
关键能力探究
探究点一 平面向量的数量积运算
【典例1】(1)已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,求(a+2b)·(a+3b).
(2)如图,在 ABCD中,| |=4,| |=3,∠DAB=60°,求:
【思维导引】借助数量积的定义及运算律求解.
【解析】(1)(a+2b)·(a+3b)=a·a+5a·b+6b·b=|a|2+5a·b+6|b|2
=|a|2+5|a||b|cos 60°+6|b|2
=62+5×6×4×cos 60°+6×42=192.
(2)①因为 ,且方向相同,所以 的夹角是0°,
所以 cos 0°=3×3×1=9.
②因为 的夹角为60°,所以 的夹角为120°,
所以
【类题通法】
向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹
角,其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键.
(2)根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算.
【定向训练】
1.(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=( )
A.4 B.3 C.2 D.0
【解析】选B.因为|a|=1,a·b=-1,
所以a·(2a-b)=2a2-a·b=2×1-(-1)=3.
2.(2020·全国Ⅲ卷)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则
cos
=( )
【解析】选D.由a·(a+b)=|a|2+a·b=25-6=19,
又
所以cos=
探究点二 用向量的数量积解决与模有关的问题
【典例2】已知|a|=|b|=5,向量a与b的夹角为 求|a+b|、|a-b|.
【思维导引】(1)将|a-b|与|a+b|都平方即可发现向量a与b的关系.
利用公式|a|= 求解.(2)利用向量的几何意义画图求解.
【解析】方法一:因为a2=|a|2=25,b2=|b|2=25,
a·b=|a||b|cos θ=5×5×cos
所以|a+b|=
同样可求|a-b|=
方法二:由向量线性运算的几何意义求.作菱形ABCD,使AB=AD=5,∠DAB=
设 如图所示,
则|a-b|=
|a+b|=
【类题通法】
利用数量积求长的方法
(1)常用公式:
①a2=a·a=|a|2或|a|=
②|a±b|= 由关系式a2=|a|2,可使向量的长度与向量
的数量积互相
转化.因此欲求|a+b|,可求 ,将此式展开.
(2)利用向量线性运算的几何意义就转化到求平面几何中长度的计算上来了.
【定向训练】
1.已知单位向量e1,e2的夹角为α,且cos α= 若向量a=3e1-2e2,则|a|=________.
【解析】因为a2=(3e1-2e2)2=9-2×3×2×cos α+4=9,所以|a|=3.
答案:3
2.已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=________.
【解析】|a+2b|=
答案:2
【补偿训练】
已知向量a与b的夹角为45°,且|a|=1,|2a+b|= ,则|b|=________.
【解析】因为|2a+b|= ,
所以(2a+b)2=10,所以4a2+4a·b+b2=10,
又因为向量a与b的夹角为45°且|a|=1,
所以4|a|2+4|a||b|cos 45°+|b|2=10,
故4×12+4×1×|b|× +|b|2=10,
整理得|b|2+2 |b|-6=0,
解得|b|= 或|b|=-3 (舍去).
答案:
探究点三 向量的夹角与垂直问题
【典例3】(1)若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹角的余弦值为________;
(2)设向量a,b,c,满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,|a|=1,则|b|=________.
【思维导引】(1)由|a|=|a+2b|可得|b|2与a·b的关系,然后代入夹角公式求解.
(2)根据a+b+c=0,(a-b)⊥c,可得出向量a与b模相等.
【解析】(1)把|a|=|a+2b|两边平方,整理得a·b=-|b|2,设a与b的夹角为θ,
则cos θ=
答案:
(2)因为a+b+c=0,所以c=-(a+b).
因为(a-b)⊥c,所以c·(a-b)=0,
所以-(a+b)·(a-b)=0,
所以a2-b2=0,所以|b|=|a|=1.
答案:1
【类题通法】
求向量夹角的方法
向量夹角公式cos θ= (θ代表向量a,b的夹角)的计算中涉及了向量运算和数量运算,计算时要区别进行的是向量运算还是数量运算.从而保证计算结果准确无误.
【定向训练】
已知e1,e2是互相垂直的单位向量,若 e1+e2与e1-λe2夹角为60°,
则实数λ的值是________.
【解析】cos 60°=
解得λ=
答案:
【补偿训练】
已知向量 满足
E,F分别是线段BC,CD的中点,若 则向量 与
的夹角θ为 ( )
【解析】选B.
所以
所以
所以 的夹角为
【课堂小结】
课堂素养达标
1.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
【解析】选C.因为(2a+b)·b=0,所以2a·b+b2=0.
所以2|a||b|cos θ+|b|2=0.
又因为|a|=|b|,所以cos θ=- ,即θ=120°.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,则 = ( )
A.16 B.-8 C.8 D.-16
【解析】选A.
3.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则 = ( )
【解析】选D.在菱形ABCD中,
所以
=a2+a×a×cos 60°=a2+ a2= a2.
4.设非零向量a和b,它们的夹角为θ.
(1)若|a|=5,|b|=4,θ=150°,求向量a与b的数量积;
(2)若a·b=9,|a|=6,|b|=3,求向量a与b的夹角θ.
【解析】(1)a·b=|a||b|cos θ=5×4×cos 150°=-10 .
(2)因为cos θ= = ,且0°≤θ≤180°,所以θ=60°.