(共64张PPT)
6．3 平面向量基本定理及坐标表示
6．3.1 平面向量基本定理
基础认知·自主学习
不共线
任一
λ1e1＋λ2e2
不共线
基底
能力形成·合作探究
素养发展·创新应用
学情诊断·课堂测评
平面向量
基本定理
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，
一般是运用向量的线性运算法则对待求向量不
断进行转化，直至用基底表示为止．
1. 平面向量基本定理.
2. 基底.
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
1.基底是同一平面内的两个不共线向量.
2.基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底．
1.数学抽象：平面向量基本定理的意义.
2.逻辑推理：推导平面向量基本定理.
3.数学运算：用基底表示其他向量.
A
B
F
0
C
E
M
D
B
F
C
M
A
H
D
D
E
C
A
B
B
O
A
C
A
a
b
B
D
C
D
M
C
d
m
W
n
A
b
B平面向量基本定理
【问题1】在物理中，我们学习了力的分解，即一个力可以分解为两个不同方向的力，试想平面内的任一向量是否可以分解为其他两个向量的和？
【问题2】如果e1，e2是两个不共线的向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？
平面向量基本定理
条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，a是这一平面内的任一向量
结论 有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
有关概念 若e1，e2不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
正确理解平面向量基本定理
(1)作用和意义
平面向量基本定理告诉我们，平面内任何一个向量都可以沿着两个不共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是唯一的．
(2)基底的性质
①不共线性
平面内两个不共线的向量才可以作为一个基底，基底不同，表示也不同．
②不唯一性
对基底的选取不唯一．平面内任一向量a都可被这个平面的一个基底{e1，e2}线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的，
③若基底选取不同，则表示同一向量的实数λ1，λ2可以不同，也可以相同．
存在λ1，λ2∈R，μ1，μ2∈R，且a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，那么λ1，μ1，λ2，μ2有何关系？
提示：由已知得λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即(λ1－μ1)e1＝(μ2－λ2)e2.因为e1与e2不共线，所以λ1－μ1＝0，μ2－λ2＝0，所以λ1＝μ1，λ2＝μ2.
1．0能与另外一个向量a构成基底吗？
2．若e1，e2是平面α内两个不共线的向量，则λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量吗？
3．若e1，e2为不共线向量，且0＝λ1e1＋λ2e2，则有且只有λ1＝λ2＝0吗？
提示：1.不能 2.可以 3.是的
阅读教材第26页例2的解答过程，想一想：若取{，}为基底，如何进行证明？
提示：设＝a，＝b，
则＝－＝b－a，＝＝b－a，
所以＝＋＝2b－a，
所以·＝a·(2b－a)＝2a·b－a2，
因为CD＝AB，所以CD＝AD，
所以b2＝(b－a)2，整理得2a·b－a2＝0，
即·＝0，所以CA⊥CB.于是△ABC是直角三角形．
1．如图，设O是 ABCD两对角线的交点，有下列向量组：①与；②与；③与；④与.其中可作为该平面内所有向量基底的是( )
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
【解析】选B.与不共线，∥，与不共线，∥，则①③可以作为该平面内所有向量的基底．
2．如图所示，向量可用向量e1，e2表示为________．
【解析】由题图可知，＝4e1＋3e2.
答案：4e1＋3e2
基础类型一 正确理解基底的概念(数学抽象)
1．点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是( )
A．， B．，
C．， D．，
【解析】选B.由题图可知，与，与，与共线，不能作为基底向量，与不共线，可作为基底向量．
2．如图所示，平面内的两条直线OP1和OP2将平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)，若＝a＋b，且点P落在第Ⅰ部分，则实数a，b满足( )
A．a>0，b>0 B．a>0，b<0
C．a<0，b>0 D．a<0，b<0
【解析】选C.当点P落在第Ⅰ部分时，按向量与分解时，一个与反向，一个与同向，故a<0，b>0.
3．设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.
其中，不能作为平面内所有向量的一个基底的是________(写出满足条件的序号).
【解析】①设e1＋e2＝λe1，则无解，
所以e1＋e2与e1不共线，即e1与e1＋e2能作为一个基底．
②设e1－2e2＝λ(e2－2e1)则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0，则无解，所以e1－2e2与e2－2e1不共线，即e1－2e2与e2－2e1能作为一个基底．
③因为e1－2e2＝－(4e2－2e1)，所以e1－2e2与4e2－2e1共线，即e1－2e2与4e2－2e1不能作为一个基底．
④设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则(1－λ)e1＋(1＋λ)e2＝0，则无解，所以e1＋e2与e1－e2不共线，即e1＋e2与e1－e2能作为一个基底．
答案：③
1．对基底的理解
两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．
2．对平面向量基本定理的理解
(1)在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的．
(2)对于固定基底而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的．
微提醒：平面向量基本定理的实质是向量的分解．
基础类型二 用基底表示向量(数学运算)
【典例】如图所示，在 ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若＝a，＝b，试用基底{a，b}表示向量，.
【解析】＝＋＋＝－＋＋
＝－＋＋＝a－b.
＝＋＋＝－＋＋＝b－a.
1．本例条件不变，试用基底{a，b}表示.
【解析】由平面几何知识知BG＝BF，
故＝＋＝＋
＝a＋＝a＋b－a＝a＋b.
2．若将本例中的向量“，”换为“，”，即若＝a，＝b，试用基底{a，b}表示向量，.
【解析】＝＋＝2＋＝－2＋
＝－2b＋a.＝＋＝2＋＝－2＋＝－2a＋b.
【备选例题】
如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示，.
【解析】设＝a，＝b，则＝＋＝＋＝a＋b，①
＝＋＝＋＝a＋b，②
由①②得解得
即＝－c＋d，＝c－d.
【知识拓展】方程组法表示向量
类比解方程组的方法，将所要表示的向量看成未知数，根据题目条件列出所要表示的向量的方程组，解方程或方程组即得．
用基底表示向量的三个依据和两个“模型”
(1)依据：①向量加法的三角形法则和平行四边形法则；
②向量减法的几何意义；
③数乘向量的几何意义．
(2)模型：
如图正六边形ABCDEF，设＝a，＝b，M为CD的中点，试用a，b表示.
【解析】由题意，＝＋＝2＋＝2(＋)＋(－)＝2(a＋b)＋(－b)＝2a＋2b－b＝2a＋b.
【加固训练】
如图，在等腰梯形ABCD中，DC＝AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC 于点E，则＝( )
A．－ B．＋
C．－ D．＋
【解析】选A.因为CD＝DA，DE⊥AC，
所以E是AC 的中点，所以＝＋
＝＋＝－，
又因为DC∥AB，DC＝AB，
所以＝，
所以＝－.
综合类型 平面向量基本定理的应用(逻辑推理)
唯一性及其应用
【典例】已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.
【解析】因为a，b不共线，所以可设c＝xa＋yb，x，y∈R，
则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.
又因为e1，e2不共线，所以
解得x＝1，y＝－2，所以c＝a－2b.
任意一向量基底表示的唯一性的应用
平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1，e2的线性组合λ1e1＋λ2e2.在具体求λ1，λ2时有两种方法：
(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理．
(2)利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再建立方程或方程组，解方程或方程组求出λ1，λ2.
【加固训练】
设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：{a，b}可以作为一个基底；
(2)以{a，b}为基底表示向量c＝3e1－e2.
【解析】(1)假设a＝λb(λ∈R)，
则e1－2e2＝λ(e1＋3e2).
由e1，e2不共线，得所以λ不存在．
故a与b不共线，可以作为一个基底．
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，
则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.所以解得
所以c＝2a＋b.
用基底表示向量及应用
【典例】(2021·济南高一检测)如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M分别是AD，DC的中点，F为BC上一点，且BF＝BC.
(1)以a，b为基底表示向量与；
(2)若＝3，＝4，a与b的夹角为120°，求·.
【解析】(1)因为平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M是AD，DC的中点，BF＝BC，所以＝＋＝＋＝＋＝b＋a，＝－＝＋－＝a＋b－b＝a－b.
(2)因为＝3，＝4，a与b的夹角为120°，所以a·b＝3×4×cos 120°＝－6，
所以·＝·＝a2－b2＋a·b＝×9－×16＋×(－6)＝－.
平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．
【加固训练】
在边长为1的菱形ABCD中，∠A＝60°，E是线段CD上一点，满足||＝2||，如图所示，设＝a，＝b.
(1)用a，b表示；
(2)在线段BC上是否存在一点F满足AF⊥BE？若存在，确定F点的位置，并求||；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)根据题意得：＝＝b，
＝＝＝－＝－a，
所以＝＋＝b－a；
(2)在线段BC上存在使得4||＝||的一点F满足AF⊥BE，此时||＝.
理由如下：设＝t＝tb，
因为点F在线段BC上，所以0≤t≤1，
所以＝＋＝a＋tb，
因为在边长为1的菱形ABCD中，
∠DAB＝60°，|a|＝|b|＝1，
a·b＝|a||b|cos 60°＝，
因为AF⊥BE，
所以·＝(a＋tb)·
＝a·b－a2＋tb2
＝×－＋t＝0，
解得t＝，从而＝a＋b，
所以||＝＝＝＝.
创新拓展 用向量解决平面几何问题(逻辑推理)
【典例】如图所示，L，M，N分别为△ABC的边BC，CA，AB上的点，且＝l，＝m，＝n，若＋＋＝0，求证：l＝m＝n.
【证明】令＝a，＝b为一个基底，
根据已知有＝la，＝mb.
因为＝＋＝－a－b，则有＝n＝－na－nb.
所以＝＋＝(l－1)a－b，
＝＋＝a＋mb，
＝＋＝－na＋(1－n)b，
又＋＋＝0.所以(l－n)a＋(m－n)b＝0.
根据平面向量基本定理，有l－n＝m－n＝0.
故l＝m＝n.
用向量解决平面几何问题的一般步骤
(1)选取不共线的两个平面向量作为基底．
(2)将相关的向量用基底中的向量表示，将几何问题转化为向量问题．
(3)进行向量运算，得向量问题的解．
(4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解．
创新思维 平面向量基本定理(直观想象)
【典例】如图所示，向量，，的长度分别是2，，1.∠AOB＝120°，∠AOC＝150°，试用，表示.
【解析】不妨设＝m＋n，则m<0，n<0.如图，构建 OA′C′B′，其中＝－，且＝＋，
则∠A′OC′＝30°，∠B′OC′＝90°，
于是||tan 60°＝||，||·sin 60°＝||，
所以||＝，||＝，
所以||＝||，||＝||，
从而m＝－，n＝－.所以＝－－.
【思维难点】本题考查解平面向量基本定理的推导过程，故思维难点在于对推导过程的理解及平行四边形法则的灵活应用．
【加固训练】
如图，在平面内有三个向量，，，||＝||＝1，与的夹角为120°，与的夹角为30°，||＝5，设＝m＋n(m，n∈R)，则m＋n＝________.
【解析】作以OC为一条对角线的平行四边形OPCQ，
则∠COQ＝∠OCP＝90°，
在Rt△QOC中，2OQ＝QC，||＝5.
则||＝5，||＝10，所以||＝10，
又||＝||＝1，
所以＝10，＝5，
所以＝＋＝10＋5，
所以m＋n＝10＋5＝15.
答案：15
1．已知AD是△ABC的中线，＝a，＝b，以a，b为基底表示，则＝( )
A．(a－b) B．2b－a
C．(b－a) D．2b＋a
【解析】选B.如图，AD是△ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而＝(＋)，则＝2－＝2b－a.
2．设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则( )
A．＝－＋ B．＝－
C．＝＋ D．＝－
【解析】选A.＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝－＋.
3．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使{a，b}能作为平面内的一个基底，则实数λ的取值范围为________．
【解析】若能作为平面内的一个基底，
则a与b不共线．
a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb即得λ≠4.
答案：(－∞，4)∪(4，＋∞)
4．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y＝________．
【解析】由平面向量基本定理，
得 所以所以x－y＝3.
答案：3
5．在平行四边形ABCD中，M为DC的中点，N为BC的中点，设＝b，＝d，＝m，＝n.
(1)以{b，d}为基底，表示；
(2)以{m，n}为基底，表示.
【解析】如图所示．
(1)＝－＝(＋)－(＋)
＝－＝b－d.
(2)因为m＝＋＝d＋，①
n＝＋＝＋d，②
所以由①②消去d，得＝n－m.
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13(共51张PPT)
6．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6．3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
基础认知·自主学习
1．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个_________的向量，叫做把向量正交分解．
2．平面向量的坐标表示
建系
选底 在平面直角坐标系中,设与x轴、y轴方向相同的两个_________分别为
i,j,取{i,j}作为基底
线性
表示 对于平面内的任意一个向量a,有且只有一对实数x,y,使得a=_____
定义
坐标 有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作______①,其中x叫做a在x轴上的
坐标,y叫做a在y轴上的坐标.①叫做向量a的坐标表示
特例 i= ____, j= ____,0= ____
互相垂直
单位向量
xi+yj
a=(x,y)
(1,0)
(0,1)
(0,0)
条件 a=(x1,y1),b=(x2,y2)
结论 a+b= ___________;
a-b= __________;
语言
表述 两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)
(x1+x2,y1+y2)
(x1-x2,y1-y2)
(x1，y1)
(x2，y2)
(x2－x1，y2－y1)
终点
起点
能力形成·合作探究
素养发展·创新应用
学情诊断·课堂测评
核心素养
易错提醒
方法总结
核心
知识
1.向量的正交分解.
2.向量的坐标表示.
3 向量加、减运算的
坐标表示
已知
两个向量坐标表示的和、差运算：
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
1.向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．
2.当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．
1.数学抽象：平面向量的坐标表示.
2.逻辑推理：平面向量的坐标表示的推导；有向线段的向量表示.
3.数学运算：两个向量坐标表示的和、差运算；
4.数学建模：将几何问题转化为代数问题.平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示
在物理的学习中我们知道：飞机沿仰角为α的方向起飞的速度v，可分解为水平方向的速度v cos α和竖直方向的速度v sin α.
【问题1】平面向量基本定理中，如何选择基底，更有利于用基底表示其他向量？
【问题2】在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，任作一向量，根据平面向量基本定理，有＝xi＋yj，那么(x，y)与A点的坐标相同吗？向量与实数对(x，y)之间是否一一对应？
1．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
2．平面向量的坐标表示
建系选底 在平面直角坐标系中,设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i,j,取{i,j}作为基底
线性表示 对于平面内的任意一个向量a,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj
定义坐标 有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y)①,其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标.①叫做向量a的坐标表示
特例 i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0)
对平面向量坐标的认识
(1)向量的坐标就是终点A的坐标(x，y)；反过来，终点A的坐标就是向量的坐标(x，y).因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一个有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．
(2)两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即a＝b x1＝x2且y1＝y2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
(3)符号(x，y)在直角坐标系中有两重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．为了加以区分，在叙述中，就常说点(x，y)或向量(x，y).
3．平面向量加、减运算的坐标表示
条件 a=(x1,y1),b=(x2,y2)
结论 a+b=(x1+x2,y1+y2);a-b=(x1-x2,y1-y2);
语言表述 两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)
4.向量坐标与点的坐标的联系
(1)条件：O(0，0)，A(x1，y1) ，B(x2，y2)，
(2)结论：＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，＝(x2－x1，y2－y1)．
(3)语言表述：
①以原点为起点的向量的坐标等于其终点坐标；
②一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．
向量坐标与点的坐标的区别是什么？
提示：(1)表示形式不同．
向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号．
(2)意义不同．
点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，向量a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向．
1．相等向量的坐标是相同的吗？
2．相等向量的起点和终点的坐标可以不同吗？
3．向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化吗？
4．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x1－x2，y1－y2)”对吗？
提示：1.相同 2.可以 3.不变 4.不对
解答教材第30页练习2，你能得到什么一般的结论？
提示：互为相反向量的两个向量，坐标互为相反数．
1．若a＝(2，1)，b＝(1，0)，则a－b的坐标是( )
A．(1，1) B．(－3，－1)
C．(3，1) D．(2，0)
【解析】选A.a－b＝(2，1)－(1，0)＝(1，1).
2．如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j，以{i，j}作为基底，对于平面内的一个向量a，若|a|＝2，θ＝45°，则向量a的坐标为______．
【解析】由题意知a＝2cos 45°i＋2sin 45°j＝i＋j＝(，).
答案：(，)
基础类型一 平面向量的坐标表示(数学抽象)
1．如图，{e1，e2}是一个基底，且e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，则向量a的坐标为( )
A．(1，3) B．(3，1)
C．(－1，－3) D．(－3，－1)
【解析】选A.因为e1，e2分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，由题图可知a＝e1＋3e2，根据平面向量坐标的定义可知a＝(1，3).
2．在平面直角坐标系中，向量a，b，c的方向如图所示，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，向量a，b，c的坐标分别为________，________，________．
【解析】设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2).
a1＝|a|cos 45°＝2×＝，
a2＝|a|sin 45°＝2×＝，
b1＝|b|cos 120°＝3×＝－，
b2＝|b|sin 120°＝3×＝，
c1＝|c|cos (－30°)＝4×＝2，
c2＝|c|sin (－30°)＝4×＝－2.
所以a＝(，)，b＝，c＝(2，－2).
答案：(，) (2，－2)
3．已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和与的坐标．
【解析】由题知B，D分别是30°角，120°角的终边与单位圆的交点．设B(x1，y1)，D(x2，y2).
由三角函数的定义，得x1＝cos 30°＝，
y1＝sin 30°＝，所以B.
x2＝cos 120°＝－，y2＝sin 120°＝，
所以D.
所以＝，＝.
求向量坐标的方法
(1)定义法：根据平面向量坐标的定义得a＝xi＋yj＝，其中i，j分别为与x轴、y轴方向相同的两个单位向量．
(2)平移法：把向量的起点移至坐标原点，终点坐标即为向量的坐标．
(3)求差法：先求出这个向量的起点、终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标即得该向量的坐标．
微提醒：向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号．
基础类型二 平面向量的坐标运算(数学运算)
【典例】(1)已知向量a，b满足a＋b＝(1，3)，a－b＝(3，－3)，则a，b的坐标分别为( )
A．(4，0)，(－2，6) B．(－2，6)，(4，0)
C．(2，0)，(－1，3) D．(－1，3)，(2，0)
【解析】选C.2a＝(a＋b)＋(a－b)＝(4，0)，于是a＝(2，0)，所以b＝(－1，3).
(2)若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0，6)，(－8，10)，求＋，－的坐标．
【解析】因为＝(－2，10)，＝(－8，4)，＝(－10，14)，
所以＋＝(－2，10)＋(－8，4)＝(－10，14)，－＝(－8，4)－(－10，14)＝(2，－10).
平面向量加、减坐标运算的方法
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行运算．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)求一个点的坐标，可以转化为求以原点为起点，该点为终点的向量的坐标．
下列各式正确的是( )
A．若a＝(－2，4)，b＝(3，4)，则a－b＝(1，0)
B．若a＝(5，2)，b＝(2，4)，则b－a＝(－3，2)
C．若a＝(1，0)，b＝(0，1)，则a＋b＝(0，1)
D．若a＝(1，1)，b＝(1，－2)，则a＋b＝(2，1)
【解析】选B.选项A错误，a－b＝(－5，0)；
选项B正确；选项C错误，a＋b＝(1，1)；
选项D错误，a＋b＝(2，－1).
综合类型 平面向量坐标运算的应用(逻辑推理)
向量相等坐标关系的应用
①已知 ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别为A(3，7)，B(4，6)，C(1，－2)，求顶点D的坐标．
②已知一个平行四边形的三个顶点坐标为A(3，7)，B(4，6)，C(1，－2)，求此平行四边形顶点D的坐标．
【解析】①设点D的坐标为(x，y)，因为＝，
所以(4，6)－(3，7)＝(1，－2)－(x，y)，
所以所以
所以顶点D的坐标为(0，－1).
②设点D的坐标为(x，y)，
当平行四边形为ABCD时，＝，
所以(4，6)－(3，7)＝(1，－2)－(x，y)，
所以所以所以D(0，－1).
当平行四边形为ABDC时，同理可得D(2，－3).
当平行四边形为ADBC时，同理可得D(6，15).
综上可见点D可能为(0，－1)或(2，－3)或(6，15).
点拨：题①平行四边形的四个顶点的位置是固定的，题②平行四边形的四个顶点的位置不确定，需要分类讨论．
两向量相等的充要条件及应用原则
(1)由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a＝b x1＝x2且y1＝y2.
(2)利用向量的坐标运算解题，主要是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；也可以利用基向量法，主要借助向量加、减运算的三角形、平行四边形法则．
【加固训练】
已知向量a＝，b＝，c＝，若＝a＋b＋c，且A(1，1)，则向量的终点B的坐标为( )
A．(9，1) B．(1，9) C．(9，0) D．(0，9)
【解析】选A.＝a＋b＋c
＝＋＋＝，
设终点为B，则＝，
所以所以
所以终点B的坐标为(9，1).
平面向量坐标运算的综合应用
【典例】如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，用向量的方法证明：DE∥BC.
【证明】如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，
设||＝1，则||＝1，||＝2.
因为CE⊥AB，而AD＝DC，所以四边形AECD为正方形，所以可求得各点坐标分别为E(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(－1，1).
因为＝(－1，1)－(0，0)＝(－1，1)，＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)，
所以＝，所以∥，即DE∥BC.
通过建立平面直角坐标系，可以将平面内的任一向量用一个有序实数对来表示；反过来，任一有序实数对都表示一个向量．因此向量的坐标表示实质上是向量的代数表示，引入向量的坐标后，可使向量运算代数化，将数和形结合起来，从而将几何问题转化为代数问题来解决．
【加固训练】
已知平行四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D的坐标依次为(3，－1)，(1，2)，(m，1)，(3，n).
求m sin α＋n cos α的最大值．
【解析】因为四边形ABCD为平行四边形，
则＝，即(3－3，n＋1)＝(m－1，1－2)，
即得m＝1，n＝－2，
得m sin α＋n cos α＝sin α－2cos α＝sin (α＋φ)，
其中tan φ＝－2，故m sin α＋n cos α的最大值为.
创新拓展 向量坐标运算与三角函数的综合(数学运算)
【典例】如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2，1)时，求的坐标．
【解析】设A(2，0)，B(2，1)，由题意知劣弧长为2，∠ABP＝＝2.
设P(x，y)，则x＝2－1×
cos ＝2－sin 2，
y＝1＋1×sin ＝1－cos 2，
所以的坐标为(2－sin 2，1－cos 2).
求向量的坐标通常可以转化为求点的坐标，因此要注意利用几何图形和三角形函数等知识求有关线段的长度．
创新题型 新定义问题(数学运算)
【典例】对于向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，定义mn＝(x1x2，y1y2).已知a＝(2，－4)，且a＋b＝ab，那么向量b等于( )
A． B．
C． D．
【解析】选A.设b＝(x，y)，由新定义及a＋b＝ab，可得(2＋x，y－4)＝(2x，－4y)，所以2＋x＝2x，y－4＝－4y，解得x＝2，y＝，所以向量b＝.
向量坐标运算新定义问题的注意点
(1)准确理解新定义，明确计算方法；
(2)熟练运用向量坐标运算的法则和结论．
【加固训练】
对于向量a＝(x，y)(其中x，y∈R)，定义：若x，y中正实数的个数为n(n＝0，1，2)个，则称向量a为n型向量．若a＝(x2＋x，x)，b＝(－1，x2＋1)(其中x∈R)，试判断向量a－b是何种类型的向量．
【解析】由已知得，a－b＝(x2＋x，x)－(－1，x2＋1)＝(x2＋x＋1，－x2＋x－1)，
x2＋x＋1＝(x＋)2＋＞0，－x2＋x－1＝－(x－)2－＜0，所以向量a－b是1型向量．
1．给出下列几种说法：
①相等向量的坐标相同；
②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；
③一个坐标对应唯一的一个向量；
④平面上一个点与以原点为起点，该点为终点的向量一一对应．
其中正确说法的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选C.由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误．
2．已知向量＝(2，4)，＝(0，2)，则＝( )
A．(－2，－2) B．(2，2)
C．(1，1) D．(－1，－1)
【解析】选A.＝－＝(－2，－2).
3．如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A(2，3)，B(4，2)，则可以表示为( )
A．2i＋3j B．4i＋2j
C．2i－j D．－2i＋j
【解析】选C.＝(4i＋2j)－(2i＋3j)＝2i－j.
4．如图，向量a，b，c的坐标分别是______，________，________.
【解析】将各向量分别向基底i，j所在直线分解，则a＝－4i＋0·j，所以a＝(－4，0)；b＝0·i＋6j，所以b＝(0，6)；c＝－2i－5j，所以c＝(－2，－5).
答案：(－4，0) (0，6) (－2，－5)
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10(共62张PPT)
6．3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
基础认知·自主学习
相应坐标
x1y2－x2y1＝0
能力形成 合作探究
素养发展 创新应用
学情诊断 课堂测评
1. 向量数乘运算的坐标表示.
2.共线向量的坐标表示.
3.中点坐标公式.
向量平行问题
（1）利用共线向量定理a＝λb(b≠0).
（2）利用坐标表达式x1y2－x2y1＝0.
1.数学抽象：向量数乘运算的坐标表示.
2.逻辑推理：推导共线向量的坐标表示.
3.数学运算：用坐标进行向量的相关运算，由向量共线求参数的值.
向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0可简记为：纵横交错积相减.
D
C
F
E
A
B平面向量数乘运算的坐标表示
首都北京的中轴线是北京的中心标志，也是世界上现存最长的城市中轴线，在北京700余年的建筑格局上，中轴线起着相当重要的作用，但是科学家们发现“中轴线”并不是“正南正北”的朝向，即它并没有和子午线重合.
【问题1】如何判断两条直线平行或重合呢？
【问题2】两向量是否共线又如何判断呢？
【问题3】学习了向量的坐标表示后，向量共线的充要条件如何用坐标表示？
1．平面向量数乘运算的坐标表示
符号表示 若a＝，则λa＝
文字表示 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
2.平面向量共线的坐标表示
条件 a＝，b＝，其中b≠0
结论 向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0
向量共线的坐标表示的应用
(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线的知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行．
(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值．要注意方程思想的应用，向量共线的条件、向量相等的条件等都可作为列方程的依据．
若a＝，b＝，且x2y2≠0，则向量a，b共线时，它们的坐标之间的关系如何用比例形式表示？
提示：可以表示为＝.
3．中点坐标公式
已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若P是线段P1P2的中点，则点P的坐标为．
1．已知向量a＝(－2，4)，b＝(1，－2)，则a＝－2b成立吗？
2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a与b共线，则＝成立吗？
3．已知A(0，2)，B(4，4)，则线段AB的中点坐标为(2，3)吗？
4．已知A(1，－3)，B(9，1)，且A，B，C三点共线，则C点的坐标可以是(7，0)吗？
提示：1.成立 2.不一定 3.是的4.可以
对教材第32页例8，想一想：本题条件下，若点P(x，y)在直线AB上，其坐标x，y应满足什么关系？
提示：＝，
＝－＝
由∥，可得2－4＝0，
整理得，2x－y＋1＝0.
1．已知a＝(1，1)，b＝(－2，0)，则3a－2b＝( )
A．(7，0) B．(－7，2)
C.(－1，3) D．(7，3)
【解析】选D.a＝(1，1)，b＝(－2，0)，
所以3a－2b＝3(1，1)－2(－2，0)＝(7，3).
2．下列各对向量中，共线的是( )
A.a＝(2，3)，b＝(3，－2)
B.a＝(2，3)，b＝(4，－6)
C.a＝(，－1)，b＝(1，)
D.a＝(1，)，b＝(，2)
【解析】选D.A，B，C中各对向量都不共线，D中b＝a，两个向量共线．
基础类型一 向量数乘的坐标运算(数学运算)
1．设向量a＝，b＝，c＝，用{a，b}作基底可将c表示为c＝pa＋qb，则实数p，q的值为( )
A.p＝4，q＝1 B．p＝1，q＝4
C.p＝0，q＝4 D．p＝1，q＝－4
【解析】选B.由题得(3，－2)＝p(－1，2)＋q(1，－1)＝(q－p，2p－q)，
所以解得p＝1，q＝4.
2．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，c＝(3，4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为( )
A.－2，1 B．1，－2
C.2，－1 D．－1，2
【解析】选D.因为c＝λ1a＋λ2b，所以(3，4)＝λ1(1，2)＋λ2(2，3)＝(λ1＋2λ2，2λ1＋3λ2)，所以
解得λ1＝－1，λ2＝2.
3．如图，已知||＝||＝1，＝，⊥，∠AOC＝30°，若＝x＋y，则x＋y＝( )
A.1 B．2 C．3 D．4
【解析】选C.建立如图所示的平面直角坐标系，
根据条件不妨设A(1，0)，则B，C，
则由＝x＋y得＝x(1，0)＋
y，所以解得x＝2，y＝1，
所以x＋y＝3.
向量数乘坐标运算的三个关注点
(1)准确记忆数乘向量的坐标表示，并能正确应用；
(2)注意向量加、减、数乘运算的综合应用，并能与线性运算的几何意义结合解题；
(3)解含参数的问题，要注意利用相等向量的对应坐标相同解题．
基础类型二 向量共线坐标表示的
简单应用(数学运算)
【典例】1.下列四组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )
A．a＝(1，2)，b＝(－2，－4)
B．a＝(3，4)，b＝(4，3)
C．a＝(2，－1)，b＝(－2，1)
D．a＝(3，5)，b＝(6，10)
【解析】选B.对于A，因为1×(－4)－2×(－2)＝0，所以不可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底；对于B，因为3×3－4×4＝－7≠0，所以可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底；对于C，因为2×1－(－1)×(－2)＝0，所以不可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底；对于D，因为3×10－5×6＝0，所以不可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底．
2．(2021·重庆高一检测)已知向量a＝(2，x)，b＝(1，x－1)，若(2a－b)∥a，则x＝( )
A．－2 B．2 C． D．－
【解析】选B.根据题意，向量a＝(2，x)，b＝(1，x－1)，则2a－b＝(3，x＋1)，若(2a－b)∥a，
则有2(x＋1)＝3x，解可得x＝2.
3．已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
【解析】因为a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4).
ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，
又(ka＋b)∥(a－3b)，
故－4(k－3)＝10(2k＋2)，即k＝－.
这时ka＋b＝，且a－3b与－a＋b的对应坐标异号，故当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且是反向的．
本例3的条件下，若λa＋ub与a＋b共线，试确定λ与u的关系．
【解析】因为a＝(1，2)，b＝(－3，2)，
所以a＋b＝(1，2)＋(－3，2)＝(－2，4)，
λa＋ub＝λ(1，2)＋u(－3，2)＝(λ－3u，2λ＋2u).
又因为(λa＋ub)∥(a＋b)，
所以(－2)×(2λ＋2u)－4(λ－3u)＝0.所以λ＝u.
1．向量共线的判定方法
2．利用向量共线求参数值的方法
微提醒：向量共线的坐标表达式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并记熟这一公式，可简记为：纵横交错积相减．
1．已知向量a＝(1，1)，b＝(－1，0)，λa＋μb与a－2b共线，则＝( )
A． B．2 C．－ D．－2
【解析】选C.由a＝(1，1)，b＝(－1，0)，得：λa＋μb＝λ(1，1)＋μ(－1，0)＝(λ－μ，λ)，a－2b＝(1，1)－2(－1，0)＝(3，1)，
因为λa＋μb与a－2b共线，所以λ－μ－3λ＝0，即－2λ＝μ.则＝－.
2．已知向量a＝(1，3)，b＝(－2，1).向量m＝a－2b，n＝a＋b.
(1)求向量m，n的坐标；
(2)判断向量m与n是否平行，并说明理由．
【解析】(1)由a＝(1，3)，b＝(－2，1)，
得m＝a－2b＝(1，3)－(－4，2)＝(5，1)，
n＝a＋b＝＋(－2，1)＝；
(2)m＝(5，1)，n＝，
因为5×－1×＝14≠0，所以向量m与n不平行．
综合类型 向量共线坐标表示的
综合应用(逻辑推理)
三点共线问题
①已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，试判断A，B，C三点共线吗？
②已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，试判断直线AB平行于直线CD吗？
【解析】①因为＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，＝(1－(－1)，5－(－1))＝(2，6)，
所以2×4－2×6≠0，所以与不共线，
所以A，B，C不共线，
②因为＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，
＝(2－1，7－5)＝(1，2).
又2×2－4×1＝0，所以∥.
又＝(2，6)，＝(2，4)，
所以2×4－2×6≠0，所以A，B，C不共线，
所以AB与CD不重合，所以AB∥CD.
点拨：题①中，关键是判断与不共线；题②中，关键是判断∥，且A，B，C不共线．
三点共线的实质与证明步骤
(1)实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．
(2)证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：
①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．
【加固训练】
已知O为坐标原点，＝(1，1)，＝(3，－1)，＝(a，b).
(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系．
(2)若＝2，求点C的坐标．
【解析】(1)因为已知＝(1，1)，＝(3，－1)，
＝(a，b)，
若A，B，C三点共线，则∥，
即＝λ·，即(a－1，b－1)＝λ (2，－2)，
所以a－1＝2λ，b－1＝－2λ，即a＋b＝2.
(2)若＝2，(a－1，b－1)＝2(2，－2)，
所以a＝5，b＝－3，所以点C的坐标为(5，－3).Ｋ
求点的坐标
【典例】如图所示，在△AOB中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，＝，＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．
【解析】因为＝＝(0，5)＝，
所以C.
因为＝＝(4，3)＝，所以D.
设M(x，y)，则＝(x，y－5)，
＝＝.
因为∥，所以－x－2(y－5)＝0，
即7x＋4y＝20.①
又＝，＝，
因为∥，所以x－4＝0，
即7x－16y＝－20 ②，联立①②解得x＝，y＝2，
故点M的坐标为.
应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤
【加固训练】
如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC与OB的交点P的坐标．
【解析】设P(x，y)，则＝(x，y)，
因为＝(4，4)，且与共线，
所以＝，即x＝y.
又＝(x－4，y)，＝(－2，6)，且与共线，
则得(x－4)×6－y×(－2)＝0，
解得x＝y＝3，
所以P点的坐标为(3，3).
【备选例题】
已知A(2，1)，B(3，－1)及直线l：y＝4x－5，直线AB与l相交于P点，求P点分的比λ.
【解析】设P(x，y)，则由＝λ及定比分点坐标公式得：(x，y)＝，
又因为P点在直线l上，
所以＝4×－5，
所以λ＝－.
【知识拓展】线段定比分点的坐标公式
(1)线段定比分点的定义
如图所示，设点P(x，y)是直线P1P2上不同于P2的点，且满足＝λ，λ叫做点P分有向线段所成的比，P点叫做有向线段的以λ为定比的定比分点．
(2)定比分点的坐标表示
设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则(x－x1，y－y1)＝λ(x2－x，y2－y)，即
因为λ≠－1，
则点P的坐标为.
创新拓展 与三角函数的综合问题(数学抽象)
【典例】(2021·合肥高一检测)如图，扇形的半径为1，圆心角∠BAC＝150°，点P在弧BC上运动，＝λ＋μ，则λ－μ的最小值是( )
A．0 B． C．2 D．－1
【解析】选D.以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(1，0)，C(cos 150°，sin 150°)＝，
设P(cos θ，sin θ)，(0°≤θ≤150°)，
因为＝λ＋μ，
所以(cos θ，sin θ)＝λ(1，0)＋μ，于是，
解得λ＝cos θ＋sin θ，μ＝2sin θ，
那么λ－μ＝sin θ＋cos θ＝2sin (θ＋60°)，
因为0°≤θ≤150°，所以60°≤θ＋60°≤210°，
故sin (θ＋60°)≥－，
因此λ－μ的最小值为－1.
从向量线性运算的坐标表示的有关结论入手，将向量问题转化为三角问题，然后再利用三角函数的有关知识对三角式进行化简，或结合三角函数的图象和性质进行求解．
创新题型 新情境问题 (数学运算)
【典例】我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若＝a，＝b，E为BF的中点，则＝( )
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
【解析】选A.如图所示，建立平面直角坐标系．
不妨设AB＝1，BE＝x，则AE＝2x.
所以x2＋4x2＝1，解得x＝.
设∠BAE＝θ，则sin θ＝，cos θ＝.
所以xE＝cos θ＝，yE＝sin θ＝.
设＝m＋n，
则＝m(1，0)＋n(0，1).
所以m＝，n＝.所以＝a＋b.
用向量线性运算坐标表示解题的策略
(1)根据图形的垂直关系和对称关系建立恰当的平面直角坐标系；
(2)利用向量线性运算的坐标表示的有关结论建立等量关系，求出有关参数的值．
【加固训练】
已知向量集合M＝{a|a＝(1，2)＋λ(3，4)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋μ(4，5)，μ∈R}，则M∩N＝( )
A．{(1，1)} B．{(1，2)，(－2，－2)}
C．{(－2，－2)} D．
【解析】选C.设a∈M∩N，则存在实数λ和μ，
使得(1，2)＋λ(3，4)＝(－2，－2)＋μ(4，5)，
即(3，4)＝(4μ－3λ，5μ－4λ)，
所以解得
所以a＝(－2，－2).所以M∩N＝{(－2，－2)}．
1．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，1)，则2a－b＝( )
A．(5，5) B．(5，7) C．(3，5) D．(3，7)
【解析】选A.2a－b＝2(2，3)－(－1，1)＝(4，6)－(－1，1)＝(5，5).
2．已知两点A(2，－1)，B(3，1)，与平行且方向相反的向量a可能是( )
A．a＝(1，－2) B．a＝(9，3)
C．a＝(－1，2) D．a＝(－4，－8)
【解析】选D.由题意得＝(1，2)，结合选项可知a＝(－4，－8)＝－4(1，2)＝－4，所以D正确．
3．(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________．
【解析】由已知，a∥b，则2×4＝5λ，
故λ＝.
答案：
4．已知点A(－1，－5)和向量a＝(2，3)，若＝3a，则点B的坐标为________．
【解析】设O为坐标原点，因为＝(－1，－5)，＝3a＝(6，9)，故＝＋＝(5，4)，
故点B的坐标为(5，4).
答案：(5，4)
5．若点A(1，－3)，B，C(9，1)，求证：A，B，C三点共线．
【证明】由已知得＝，＝(8，4)，显然有7×4＝×8，所以∥.
又因为直线AB，AC有公共点A，所以A，B，C三点共线．
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12(共68张PPT)
6．3.5 平面向量数量积的坐标表示
基础认知·自主学习
x1x2＋y1y2
乘积的和
x1x2＋y1y2＝0
能力形成·合作探究
素养发展·创新应用
学情诊断·课堂测评
平面向量数量积的坐标表示
两向量的数量积 a·b =x1x2+y1y2
两向量垂直 a·b =0<=>x1x2+y1y2=0
若a =(x,y)，则|a|=
若A(x1,y1),B(x2,y2)，则两点A、B间的距离为
设a, b都是非零向量，a=(x1,y1),
b=(x2,y2), a与b的夹角θ，则
1.数学抽象：数量积的坐标运算；
2.逻辑推理：平面向量的夹角公
式，模长公式，垂直关系等；
3.数学运算：根据已知信息求数量
积、夹角、模长等,根据向量垂
直求参数；
核心知识
核心素养
方法总结
易错提醒
利用cos θ＝ 来判断角θ时
①cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；
②cos θ>0有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.
核心素养
数量积运算
①先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；
②先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
D
F
C
E
A
B
Y
D
F
C
E
A
B
A
E
D
B
C
y
A
E
D
B
C
x平面向量数量积的坐标表示
平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，对其运算的表示方式也会改变．向量的坐标表示，对向量的加、减、数乘运算带来了很大的方便．若己知向量a与b的坐标，则其数量积是唯一确定的．
【问题1】已知两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，则a，b如何用i，j表示？
【问题2】能用a，b的坐标表示a·b吗？
【问题3】|a|，|b|分别用坐标怎样表示？
【问题4】向量a⊥b及a，b的夹角能用坐标表示吗？
1．平面向量数量积的坐标表示
条件 向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
坐标表示 a·b＝x1x2＋y1y2
文字叙述 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
对数量积的坐标表示的理解
(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和；
(2)引入坐标运算后，使得平面向量数量积的运算和两个向量的坐标运算联系起来，从而使得向量的工具性作用更强；
(3)平面向量的坐标可以把几何问题转化为代数问题，用向量的坐标运算来实现几何问题的求解，数形结合的思想在数量积的应用中将体现更多．
2．平面向量数量积的坐标表示的结论
条件 结论
a＝(x，y) |a|＝
表示向量a的有向线段的起点和终点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2) ＝
向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) a⊥b x1x2＋y1y2＝0
a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角 cos θ＝＝ eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x＋y)\r(x＋y))
对向量模长公式的理解
(1)模长公式是数量积的坐标表示a·b＝x1x2＋y1y2的一种特例，当a＝b时可得|a|2＝x＋y.
(2)若点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，所以||＝，它的实质是A，B两点的距离或线段AB的长．
已知向量a＝，则与a共线和垂直的单位向量的坐标分别是什么？
提示：与a共线的单位向量是a0，则a0＝±a
＝±＝±，
其中正号、负号分别表示与a同向和反向；
易知b＝和a＝垂直，
所以与a垂直的单位向量b0的坐标是
±.
1．若O为坐标原点，点A的坐标为(x，y)，则||＝成立吗？
2．若非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足a⊥b，则x1y2－x2y1＝0成立吗？
3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a·b＜0，则a与b的夹角为钝角吗？
提示：1.成立.2.不成立.3.不一定．
通过教材第34页例10，思考：将本例条件“A(1，2)”改为“点A在y轴上”，若△ABC是直角三角形，试求点A的坐标．
提示：设点A的坐标为(0，m)，则＝－＝，＝－＝，＝－＝.
(1)若角A为直角，则·＝·＝－4＋＝m2－8m＋11＝0，解得m＝4＋或4－，所以点A的坐标为或.
(2)若角B为直角，则·＝·＝－8＋2＝0，解得m＝－1，所以点A的坐标为.
(3)若角C为直角，则·＝·＝8＋2＝0，解得m＝9，所以点A的坐标为.
1．已知a＝(2，－1)，b＝(2，3)，则a·b＝________，|a＋b|＝________．
【解析】 a·b＝2×2＋(－1)×3＝1，a＋b＝(4，2)，|a＋b|＝＝2.
答案：1 2
2．(教材练习改编)已知向量a＝(2，2)，b＝(－8，6)，a与b的夹角为θ，则cos
【解析】cos θ＝＝＝－.
答案：－
基础类型一 数量积的坐标运算(数学运算)
1．(2021·沈阳高一检测)若向量a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)，满足条件
(8a－b)·c＝24，则x等于( )
A．6 B．2 C．4 D．3
2．(2021·北京高一检测)已知A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，则·＝________．
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．
【解析】1.选B.由题意得8a－b＝(6，3)，c＝(3，x)，
所以(8a－b)·c＝18＋3x＝24，解得x＝2.
2．由已知得＝，＝，
所以·＝1×＋1×3＝0.
答案：0
3．以A为坐标原点，AB为x轴、AD为y轴建立平面直角坐标系，
则B(，0)，D(0，2)，C(，2)，E(，1).
可设F(x，2)，因为·＝(，0)·(x，2)＝x＝，
所以x＝1，所以·＝(，1)·(1－，2)＝.
答案：
关于向量数量积的运算
(1)进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2及向量的坐标运算，并注意与函数、方程等知识的联系．
(2)向量数量积的运算有两种思路：一种是基向量法，另一种是坐标法，两者相互补充．如果题目中的图形是等腰三角形、矩形、正方形等特殊图形时，一般选择坐标法．
基础类型二 平面向量模的问题(数学运算)
【典例】1.(2021·乐山高一检测)已知＝(－5，4)，＝(3，－2)，BC边的中点为D，则AD的长为( )
A． B．1 C．2 D．
2．已知|a|＝2，b＝(2，－3)，若a⊥b，求a＋b的坐标及|a＋b|.
【解析】1.选D.因为＝(－5，4)，＝(3，－2)，
则＝(＋)＝(－1，1)；
所以AD的长为：＝.
2．设a＝(x，y)，则由|a|＝2，得x2＋y2＝52.①
由a⊥b，解得2x－3y＝0.②
联立①②，解得或
所以a＝(6，4)或a＝(－6，－4).
所以a＋b＝(8，1)或a＋b＝(－4，－7)，
所以|a＋b|＝.
向量模的问题
(1)字母表示下的运算，利用|a|2＝a2将向量模的运算转化为向量的数量积的运算．
(2)坐标表示下的运算，若a＝(x，y)，则|a|＝.
设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|2a－b|等于( )
A．4 B．5 C．3 D．4
【解析】选D.由a∥b得y＋4＝0，
所以y＝－4，b＝(－2，－4)，
所以2a－b＝(4，8)，所以|2a－b|＝4.
【加固训练】
已知|a|＝2，b＝(3，－2)，若a∥b，求a＋b的坐标及|a＋b|.
【解析】设a＝(x，y)，
则由|a|＝2，得x2＋y2＝52.
由a∥b，可知2x＋3y＝0，
解方程组
得或
所以a＝(－6，4)或a＝(6，－4)，
所以a＋b＝(－3，2)或a＋b＝(9，－6)，
所以|a＋b|＝＝
或|a＋b|＝＝3.
综合类型 平面向量的夹角、
垂直和平行问题(数学运算)
平面向量的夹角问题
【典例】已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角θ为钝角，求实数λ的取值范围．
【解析】因为a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，
所以|a|＝，|b|＝，a·b＝λ－1.
因为a，b的夹角θ为钝角，
所以
即
即
所以λ<1且λ≠－1.
所以λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，1).
将本例条件改为“已知a＝(1，2)，b＝(1，λ), a与b的夹角θ为锐角”，求实数λ的取值范围．
【解析】由已知得，a·b＝(1，2)·(1，λ)＝1＋2λ.
因为a与b的夹角为锐角，所以cos θ>0且cos θ≠1，所以a·b>0且a，b不同向．
由a·b>0，得λ>－，由a与b同向得λ＝2.
所以实数λ的取值范围为∪(2，＋∞).
利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤：
(1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积．
(2)求模．利用|a|＝计算两向量的模．
(3)求夹角余弦值．由公式cos θ＝ eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x＋y)·\r(x＋y)) 求夹角余弦值．
(4)求角．由向量夹角的范围及cos θ求θ的值．
微提醒：向量夹角θ的取值范围是，当θ＝0时，两个向量同向；当θ＝π时，两个向量反向．
【加固训练】
已知向量a＝(1，1)，b＝(－3，4).
(1)求的值；
(2)求向量a与a－b夹角的余弦值．
【解析】(1)因为a－b＝(4，－3)，
所以|a－b|＝5；
(2)由(1)知a·(a－b)＝·
＝1×4＋1×＝1，＝，|a－b|＝5，
所以cos 〈a，a－b〉＝＝＝.
平面向量的垂直和平行问题
【典例】①已知向量a＝(2，1)，b＝(m，－1)，且b⊥(2a－b)，则|b|为________．
②已知向量a＝(2，1)，b＝(m，－1)，且b∥(2a－b)，则|b|为________．
【解析】①2a－b＝(4－m，3)，因为b⊥(2a－b)，
所以m＋×3＝0，即m＝1或3，则|b|＝＝或|b|＝＝.
答案：或
②2a－b＝(4－m，3)，
因为b∥(2a－b)，
所以3m＋4－m＝0，
即m＝－2，则|b|＝＝.
答案：
点拨：两道题的区别在于①考查垂直的坐标表示，②考查平行的坐标表示，应注意两者的区别．
涉及非零向量a，b垂直问题时，一般借助a⊥b a·b＝x1x2＋y1y2＝0来解决．
【加固训练】
已知向量a＝，b＝，向量x＝ka＋b，y＝a－3b.
(1)求向量x，y的坐标；
(2)若x⊥y，求实数k的值．
【解析】(1)因为a＝，b＝，
所以x＝ka＋b＝k＋＝，
y＝a－3b＝－3＝.
(2)因为x⊥y，所以x·y＝0，
即10－＝0，解得k＝.
【知识拓展】
1．线段垂直的坐标关系
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是坐标平面内的三个点，则⊥ (x3－x1)·(x2－x1)＋(y3－y1)(y2－y1)＝0.
2．向量共线的条件
由cos θ＝ eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x＋y)\r(x＋y)) 可知，若θ＝0°或180°，则cos θ＝±1，则有x1x2＋y1y2＝± eq \r(x＋y) · eq \r(x＋y) ，利用此结论也可以判断两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)是否共线．
创新拓展 向量法解代数问题(逻辑推理)
【典例】求函数f(x)＝12＋5的最大值．
【解析】设a＝(12，5)，b＝(，)，
则a·b＝12＋5，
因为a＝(12，5)，b＝(，)，
所以|a|＝13，|b|＝3，
又因为|a·b|≤|a||b|，所以|a·b|≤13×3＝39，
当且仅当a，b共线时，等号成立，
即12－5＝0，解得x＝，
当x＝时，a·b的最大值为39，
即函数f(x)＝12＋5的最大值为39.
向量法巧解代数问题
向量是代数和几何的完美结合，尤其是解决代数问题时具有独到的优势，解题的关键在于观察问题的结构，挖掘代数结构的向量模型，把原有问题转化为向量问题，再借助向量有关知识解决问题．
创新题型 新背景新定义问题(数学运算)
【典例】已知是平面α内的一个基底，O为α内的定点，对于α内任意一点P，当＝xe1＋ye2时，则称有序实数对(x，y)为点P的广义坐标．若点A、B的广义坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，关于下列命题正确的是( )
A．线段AB的中点的广义坐标为
B．A、B两点间的距离为
C．向量平行于向量的充要条件是x1y2＝x2y1
D．向量垂直于的充要条件是x1x2＋y1y2＝0
【解析】选AC.由已知得＝x1e1＋y1e2，＝x2e1＋y2e2，则线段AB的中点C满足＝＝e1＋e2，
所以点C的广义坐标为，故A正确；
＝－＝e1＋e2，
由于e1·e2＝0不一定成立，
所以＝不一定成立，
故B错误；
若向量平行于向量，则存在实数λ，
使得＝λ，x1e1＋y1e2＝λ(x2e1＋y2e2)，
因为e1，e2不共线，所以x1＝λx2且y1＝λy2，
所以x1y2＝x2y1，故C正确；
向量垂直于的充要条件是
(x1e1＋y1e2)·(x2e1＋y2e2)＝0，
x1x2e＋e1·e2＋y1y2e＝0，
显然不是x1x2＋y1y2＝0，故D不正确．
用向量线性运算坐标表示解题的策略
(1)根据图形的垂直关系和对称关系建立恰当的平面直角坐标系；
(2)利用向量线性运算的坐标表示．
【加固训练】
“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例．根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾3股4弦5”，且AB＝3，E为AD上一点，BE⊥AC.若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为( )
A．－ B． C． D．1
【解析】选B.由题意建立如图所示直角坐标系，
因为AB＝3，BC＝4，则B(0，0)，
A(0，3)，C(4，0)，＝(0，3)，＝(4，－3)，
设＝(a，3)，
因为BE⊥AC，
所以·＝4a－9＝0，解得a＝.
由＝λ＋μ，得(0，3)＝λ＋
μ(4，－3)，所以解得
所以λ＋μ＝.
1．已知向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
【解析】选C.因为a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，
所以(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1.
2．已知A(－2，1)，B(6，－3)，C(0，5)，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
【解析】选A.根据已知，有＝(8，－4)，＝(2，4)，＝(－6，8)，因为·＝8×2＋(－4)×4＝0，所以⊥，即∠BAC＝90°.故△ABC为直角三角形．
3．a＝(－4，3)，b＝(1，2)，则2|a|2－3a·b＝________．
【解析】因为a＝(－4，3)，所以2|a|2＝2×()2＝50.a·b＝－4×1＋3×2＝2.
所以2|a|2－3a·b＝50－3×2＝44.
答案：44
4．已知a＝(3，4)，b＝(5，12)，则a与b夹角的余弦值为________．
【解析】因为a·b＝3×5＋4×12＝63，
|a|＝＝5，|b|＝＝13，
所以a与b夹角的余弦值为＝＝.
答案：
5．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
【解析】(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)
＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，
即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.
故a＝(1，0)，b＝(3，0)，或a＝(1，－2)，b＝(－1，2)，故a－b＝(－2，0)，|a－b|＝＝2，或a－b＝(2，－4)，|a－b|＝＝2.
综上，|a－b|＝2或2.
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