(共38张PPT)
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1 平面向量基本定理
【情境探究】
1.平面向量基本定理
(1)在物理中,我们学习了力的分解,即一个力可以分解为两个不同方向的力,试想平面内的任意一向量是否可以分解为其他两个向量的和
提示:可以.
必备知识生成
(2)如果e1,e2是共线向量,那么向量a能否用e1,e2表示 为什么
提示:不一定,当a与e1共线时可以表示,否则不能表示.
(3)如果e1,e2是两个不共线的确定向量,那么与e1,e2在同一平面内的任一向量a能否用e1,e2表示
提示:可以,根据是数乘向量和平行四边形法则.
2.两向量的夹角
观察下面的图形,根据两向量夹角的概念,回答下列问题:
(1)已知向量a,b,要作它们的夹角,首先要做什么
提示:首先要把它们的起点平移到同一点上.
(2)两向量的夹角与向量的哪个特征有关
提示:只与两向量的方向有关,与它们的长度无关.
【知识生成】
平面向量基本定理
条件 e1,e2是同一平面内的两个_____________
结论 对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,
使a=λ1e1+λ2e2
基底 _______的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
不共线的向量
不共线
思考:(1)0能与另外一个向量a构成基底吗
(2)平面向量的基底是唯一的吗
提示:(1)不能.基向量是不共线的,而0与任意向量是共线的.
(2)不是.平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底,基底一旦确定,平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示.
关键能力探究
探究点一 用基底表示平面向量
【典例1】如图所示,在 ABCD中,点E,F分别为BC,DC边上的中点,DE与BF交于点
G,若 =a, =b,试用基底{a,b}表示向量 , .
【思路导引】利用向量的线性运算法则逐步运算,转化为以a,b为基底的表达
式.
【解析】
【类题通法】
用基底表示向量的三个依据和两个“模型”
(1)依据:①向量加法的三角形法则和平行四边形法则;
②向量减法的几何意义;③数乘向量的几何意义.
(2)模型:
【定向训练】
在△ABC中,点D在边AB上,且 设 =a, =b,则 为 ( )
A. a+ b B. a+ b
C. a+ b D. a+ b
【解析】选B.因为 所以
探究点二 平面向量基本定理的应用
【典例2】如图所示,在△OAB中, 点M是AB上靠近B的一个三等
分点,点N是OA上靠近A的一个四等分点.若OM与BN相交于点P,
求
【思维导引】可利用 两种形式来表示 ,
并都转化为以a,b为基底的表达式.根据任一向量基底表示的唯一性求得s,t,
进而得 .
【解析】
因为 共线,故可设
又 共线,可设
所以 解得
所以
【延伸探究】
1.将本例中“M是AB上靠近B的一个三等分点”改为“M是AB上靠近A的一个三等分点”,“点N是OA上靠近A的一个四等分点”改为“N为OA的中点”,求BP∶PN的值.
【解析】
因为O,P,M和B,P,N分别共线,
所以存在实数λ,μ使
所以
又 =b,所以 解得
所以 即BP∶PN=4∶1.
2.将本例中点M,N的位置改为“ N为OA中点”,其他条件不变,试用
a,b表示 .
【解析】
因为A,P,M三点共线,所以存在实数λ使得
所以
因为B,P,N三点共线,所以存在实数μ使得
所以
即 解得 所以
【类题通法】
1.任意一向量基底表示的唯一性的理解
条件一 平面内任一向量a和同一平面内两个不共线向量e1,e2
条件二 a=λ1e1+μ1e2且a=λ2e1+μ2e2
结论
2.任意一向量基底表示的唯一性的应用
平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1,e2的线性组合λ1e1+λ2e2.在具体求λ1,λ2时有两种方法:
(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理.
(2)利用待定系数法,即利用定理中λ1,λ2的唯一性列方程组求解.
【定向训练】
1.在△ABC中,点M,N满足 若
则x=________,y=________.
【解析】由 知M为AC上靠近C的三等分点,
由 知N为BC的中点,作图如下:
则有
答案:
2.在△ABO中, AD与BC相交于M,设 =a, =b,试用a与b
表示 .
【解析】如图,A,M,D三点共线
B,M,C三点共线
于是有 解得
所以 .
答案:
平面向量
基本定理
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，
一般是运用向量的线性运算法则对待求向量不
断进行转化，直至用基底表示为止．
1. 平面向量基本定理.
2. 基底.
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
1.基底是同一平面内的两个不共线向量.
2.基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底．
1.数学抽象：平面向量基本定理的意义.
2.逻辑推理：推导平面向量基本定理.
3.数学运算：用基底表示其他向量.
课堂素养达标
1.设D为△ABC所在平面内一点,若 则( )
【解析】选A.因为 所以
所以 所以
2.已知非零向量 不共线,且 ,若 (λ∈R),
则x,y满足的关系是 ( )
A.x+y-2=0 B.2x+y-1=0
C.x+2y-2=0 D.2x+y-2=0
【解析】选A.由 得
3.已知向量e1,e2不共线,实数x,y满足(2x+y)e1+(3x+2y)e2=0,则x+y= ________.
【解析】因为e1,e2不共线,所以
解得 所以x+y=0.
答案:0
4.已知向量a,b是一个基底,实数x,y满足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,则x-y的
值为________.
【解析】因为a,b是一个基底,所以a与b不共线,
因为(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,
所以 解得 所以x-y=3.
答案:3
5.如图,已知△OCB中,A是CB的中点,D是将 分成2∶1的一个内分点,DC和OA
交于点E,设
(1)用a和b表示向量
(2)若 求实数λ的值.
【解析】(1)由题意知,A是BC的中点,且 由平行四边形法则,得
所以 =2a-b,
(2)由题意知, 故设
因为
所以(2-λ)a-b=
因为a与b不共线,由平面向量基本定理,
得 解得(共32张PPT)
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
【情境探究】
1.平面向量的正交分解及坐标表示
(1)在平面中,垂直的两个非零向量a,b能否作为平面内所有向量的一组基底
提示:能,平面内任何两个不共线的向量都可以作为一组基底.
必备知识生成
(2)在平面内,e1,e2是两个互相垂直的非零向量,这个平面内的任一向量是否都能用这两个向量来表示 表示是否唯一
提示:由平面向量基本定理可知,平面内的任一向量都可以用e1,e2来表示,且表示方法是唯一的.
(3)在平面直角坐标系中,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基
底,任作一向量 ,根据平面向量基本定理, =xi+yj,那么(x,y)与A点的坐
标相同吗
提示:相同.
(4)如果向量 也用(x,y)表示,那么这种向量 与实数对(x,y)之间是否一一
对应
提示:一一对应.
2.平面向量的坐标运算
设i,j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量,若设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,根据向量的线性运算性质,向量a+b,a-b如何分别用基底i,j表示
提示:a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j,a-b=(x1i+y1j)-(x2i+y2j)=(x1-x2)i+(y1-y2)j.
3.已知点A(x1,y1),B(x2,y2),那么向量 的坐标是什么 一般地,一个任意向量
的坐标如何计算
提示: =(x2-x1,y2-y1),任意一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终
点坐标减去始点坐标.
【知识生成】
1.平面向量的正交分解及坐标表示
(1)正交分解:把一个向量分解为两个_________的向量.
互相垂直
(2)向量的坐标表示
前提 基底i,j是分别与x轴、y轴方向相同的两个_____向量
条件 对于平面内的任一向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有
一对实数x,y,使得a=_____
结论 把有序实数对______叫做向量a的坐标, 记作a=______,其中,__叫
做a在x轴上的坐标,__叫做a在y轴上的坐标,a=______叫做向量a
的坐标表示
特例 0=______,i=______,j=______
单位
xi+yj
(x,y)
(x,y)
x
y
(x,y)
(0,0)
(1,0)
(0,1)
2.平面向量的坐标运算
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),
数学公式 文字语言表述
向量
加法 a+b=____________ 两个向量和的坐标分别等于这两个
向量相应坐标的___
向量
减法 a-b=____________ 两个向量差的坐标分别等于这两个
向量相应坐标的___
(x1+x2,y1+y2)
和
(x1-x2,y1-y2)
差
关键能力探究
探究点一 平面向量的坐标表示
【典例1】如图,在平面直角坐标系xOy中,OA=4,AB=3,∠AOx=45°,
∠OAB=105°, 四边形OABC为平行四边形.
(1)求向量a,b的坐标;
(2)求向量 的坐标;
(3)求点B的坐标.
【思维导引】(1)(2)向量坐标是终点坐标减去起点坐标,相等的向量坐标相同.
(3)求点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的向量的坐标.
【解析】(1)作AM⊥x轴于点M,则OM=OA·cos 45°=4× =2 ,
AM=OA·sin 45°=
所以A( ),故a=( ).
因为∠AOC=180°-105°=75°,∠AOy=45°,
所以∠COy=30°.又OC=AB=3,所以
所以
(2)
(3)
即点B的坐标为
【类题通法】求点、向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标:可利用已知条件,先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标,该坐标就等于相应点的坐标.
(2)求一个向量的坐标:首先求出这个向量的始点、终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标.
【定向训练】
如图,在正方形ABCD中,O为中心,且 =(-1,-1),则 =______; =______;
=________.
【解析】如题干图, =-(-1,-1)=(1,1),
由正方形的对称性可知,B(1,-1),
所以 =(1,-1),
同理 =(-1,1).
答案:(1,-1) (1,1) (-1,1)
探究点二 平面向量的坐标运算
【典例2】已知a+b=(1,3),a-b=(5,7),则a=________, b=________.
【思维导引】用加减消元法求a,b的坐标.
【解析】由a+b=(1,3),a-b=(5,7),
所以2a=(1,3)+(5,7)=(6,10),所以a=(3,5),
2b=(1,3)-(5,7)=(-4,-4),所以b=(-2,-2).
答案:(3,5) (-2,-2)
【类题通法】
平面向量坐标的线性运算的方法
(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.
(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算.
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
【定向训练】
若向量 =(2,3), =(4,7),则 = ( )
A.(-2,-4) B.(3,4)
C.(6,10) D.(-6,-10)
【解析】选A. =(2,3)-(4,7)=(-2,-4).
探究点三 平面向量加、减坐标运算的应用
【典例3】如图所示,已知直角梯形ABCD,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,过点C作CE⊥AB
于点E,用向量的方法证明:DE∥BC.
【思路导引】建立平面直角坐标系,表示出各点坐标,通过平面向量的坐标运
算证明 .
【证明】如图,以E为原点,AB所在直线为x轴,
EC所在直线为y轴建立直角坐标系,
设| |=1,则| |=1,| |=2.因为CE⊥AB,而AD=DC,
所以四边形AECD为正方形,所以可求得各点坐标分别为
E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1).
因为 =(-1,1)-(0,0)=(-1,1), =(0,1)-(1,0)=(-1,1),
所以 = ,所以 ∥ ,即DE∥BC.
【类题通法】通过建立平面直角坐标系,可以将平面内的任一向量用一个有序实数对来表示;反过来,任一有序实数对都可以表示一个向量.因此向量的坐标表示实质上是向量的代数表示,引入向量的坐标后,可使向量运算代数化,将数和形结合起来,从而将几何问题转化为代数问题来解决.
【定向训练】
已知平行四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D的坐标依次为(3,-1),(1,2),
(m,1),(3,n).
求msin α+ncos α的最大值.
【解析】因为四边形ABCD为平行四边形,则
即(3-3,n+1)=(m-1,1-2),即 得m=1,n=-2,
得msin α+ncos α=sin α-2cos α= sin(α+φ),其中tan φ=-2,
故msin α+ncos α的最大值为 .
核心素养
易错提醒
方法总结
核心
知识
1.向量的正交分解.
2.向量的坐标表示.
3 向量加、减运算的
坐标表示
已知
两个向量坐标表示的和、差运算：
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
1.向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．
2.当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．
1.数学抽象：平面向量的坐标表示.
2.逻辑推理：平面向量的坐标表示的推导；有向线段的向量表示.
3.数学运算：两个向量坐标表示的和、差运算；
4.数学建模：将几何问题转化为代数问题.
课堂素养达标
1.若向量 = =(2,0), =(1,1),则 + 等于 ( )
A.(3,1) B.(4,2) C.(5,3) D.(4,3)
【解析】选B. = + =(3,1),又 =(-1,1),
则 =(1,1),所以 =(4,2).
2.已知平行四边形OABC,其中O为坐标原点,若A(2,1),B(1,3),则点C的坐标为
________.
【解析】设C的坐标为(x,y),则由已知得 ,所以(x,y)=(-1,2).
答案:(-1,2)
3.在平面直角坐标系中,|a|=2 ,a的方向相对于x轴正方向的逆时针转角为
135°,则a的坐标为________.
【解析】因为|a|cos135°=2 × =-2,|a|·sin 135°=2 × =2,
所以a的坐标为(-2,2).
答案:(-2,2)
4.已知O是坐标原点,点A在第一象限,| |=4 ,∠xOA=60°.
(1)求向量 的坐标;
(2)若B( ,-1),求 的坐标.
【解析】(1)设点A(x,y),则x=4 cos 60°=2 ,
y=4 sin 60°=6,即A(2 ,6), =(2 ,6).
(2) =(2 ,6)-( ,-1)=( ,7).(共42张PPT)
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
【情境探究】
1.平面向量的数乘运算
(1)设i,j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量,若设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,根据向量的线性运算性质,向量λa(λ∈R)如何用基底i,j表示
提示:λa=λ(x1i+y1j)=λx1i+λy1j.
(2)向量的线性运算顺序是否和实数的运算顺序类似
提示:类似.先算数乘,再算加减,有括号的先算括号里的.
必备知识生成
2.向量共线的坐标表示
已知下列几组向量:
①a=(0,3),b=(0,6).
②a=(2,3),b=(4,6).
③a=(-1,4),b=(3,-12).
④
回答下列问题:
(1)上面几组向量中,a,b有什么关系
提示:①②中b=2a,③中b=-3a,④中b=-a.
(2)以上几组向量中,a,b共线吗 a,b的坐标满足什么条件
提示:共线,向量a,b的横纵坐标成比例.
(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则向量共线定理如何用a,b的坐标表示呢
提示:由于a=λb,故(x1,y1)=λ(x2,y2),即
当x2,y2≠0时,λ= 即x1y2-x2y1=0.
【知识生成】
1.平面向量的数乘运算的坐标表示:
数学公式 文字语言表述
向量
数乘 λa=___________ 实数与向量的积的坐标等于用这个实
数___原来向量的相应坐标
(λx1,λy1)
乘
2.向量共线的坐标表示:
a=(x1,y1),b=(x2,y2),当且仅当__________时,向量a,b(b≠0)共线.
有关结论:
(1)向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使______.
(2)若A,B,C三点共线,则向量 _____,即存在唯一实数λ,使________.
(3)若a=(x,y),λ∈R,则λa=__________.
(4)若a=b,则a与b的坐标_____.
x1y2-x2y1=0
b=λa
共线
(λx,λy)
相同
关键能力探究
探究点一 向量共线的判定及解决点共线问题
【典例1】(1)已知A,B,C三点共线,且A(3,-6),B(-5,2),若C点的横坐标为6,则
C点的纵坐标为 ( )
A.-13 B.9 C.-9 D.13
(2)已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量 平行吗 直线AB平行于
直线CD吗
【思维导引】
【解析】(1)选C.设C(6,y),因为
又 =(-8,8), =(3,y+6),
所以-8×(y+6)-3×8=0,所以y=-9.
(2)因为 =(1-(-1),3-(-1))=(2,4), =(2-1,7-5)=(1,2).又2×2-4×1=0,
所以
又 =(2,6), =(2,4),所以2×4-2×6≠0,
所以A,B,C不共线,所以AB与CD不重合,所以AB∥CD.
【类题通法】
向量共线的判定方法
提醒:向量共线的坐标表达式极易写错,如写成x1y1-x2y2=0或x1x2-y1y2=0都是不对的,因此要理解并记熟这一公式,可简记为:纵横交错积相减.
【定向训练】
1.下列向量中,与向量a=(-5,4)平行的是 ( )
A.(-5k,4k) B.
C.(-10,2) D.(5k,4k)
【解析】选A.因为ka与a共线,故本题可通过观察直接选A项.
2.已知a>0,若平面内三点A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共线,则a=________.
【解析】因为 =(1,a2+a), =(2,a3+a),
又A,B,C三点共线,所以
所以1×(a3+a)-2(a2+a)=0,即a2-2a-1=0.
又a>0,所以a=1+ .
答案:1+
3.已知A(1,-3), C(9,1).
求证:A,B,C三点共线.
【证明】 =(9-1,1+3)=(8,4),因为7×4- ×8=0,所以
且 有公共点A,所以A,B,C三点共线.
【补偿训练】
已知A,B,C三点的坐标为(-1,0),(3,-1),(1,2),并且
求证:
【证明】设E,F的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
依题意知 =(2,2), =(-2,3), =(4,-1),
因为 所以(x1+1,y1)= (2,2).
所以点E的坐标为
同理,F的坐标为 所以
又 所以
探究点二 根据向量共线求参数
【典例2】已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行 平行时它们是同向还是反向
【思维导引】方法一:可利用b与非零向量a共线等价于b=λa(λ>0,b与a同向;λ<0,b与a反向)求解;
方法二:可先利用坐标形式的等价条件求k,再利用b=λa判定同向还是反向.
【解析】方法一:(共线向量定理法)ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),
当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数λ,
使ka+b=λ(a-3b).由(k-3,2k+2)=λ(10,-4),
所以 解得k=λ=- .
当k=- 时,ka+b与a-3b平行,这时ka+b=- a+b=- (a-3b),因为λ=- <0,
所以ka+b与a-3b反向.
方法二:(坐标法)由题知ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4),因为ka+b与a-3b平行,
所以(k-3)×(-4)-10×(2k+2)=0,解得k=- .
这时ka+b=
所以当k=- 时,ka+b与a-3b平行,并且反向.
【类题通法】
利用向量平行的条件处理求值问题的思路
(1)利用共线向量定理a=λb(b≠0)列方程组求解.
(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解.
【定向训练】
1.已知向量a=(1,1),b=(2,x),若a+b与3a-b平行,则实数x的值是 ( )
A.2 B.1 C.3 D.4
【解析】选A.因为a=(1,1),b=(2,x),
所以a+b=(3,x+1),3a-b=(1,3-x),
因为a+b与3a-b平行,
所以3(3-x)-(x+1)=0,解得x=2.
2.已知平面向量a=(2,-1),b=(1,1),c=(-5,1),若(a+kb)∥c,则实数k的值为( )
【解析】选B.因为a=(2,-1),b=(1,1),
所以a+kb=(2+k,-1+k),又c=(-5,1),
由(a+kb)∥c得(2+k)×1=-5×(k-1),解得k= .
3.已知a=(1,1),b=(x2,x+λ)且a∥b,则实数λ的最小值是________.
【解析】因为a∥b,所以x2-x-λ=0,
即λ=x2-x=
所以λ的最小值为- .
答案:-
探究点三 向量共线的综合应用
【典例3】已知点A(3,-4)与点B(-1,2),点P在直线AB上,且 求点P
的坐标.
【思维导引】点P在直线AB上,包括点P在线段AB内和在线段AB的延长线上,因
此应分类讨论.
【解析】设P点坐标为(x,y),
当P在线段AB上时,
所以(x-3,y+4)=2(-1-x,2-y),
所以 解得
所以P点坐标为
当P在线段AB延长线上时,
所以(x-3,y+4)=-2(-1-x,2-y),
所以 解得
所以P点坐标为(-5,8).综上所述,点P的坐标为 或(-5,8).
【延伸探究】
1.若将本例条件“| |=2| |”改为“ =3 ”,其他条件不变,求点P的
坐标.
【解析】因为 =3 ,
所以(x-3,y+4)=3(-1-x,2-y),
所以 解得
所以点P的坐标为
2.若将本例条件改为“经过点P(-2,3)的直线分别交x轴,y轴于点A,B,
且| |=3| |”,求点A,B的坐标.
【解析】由题设知,A,B,P三点共线,
且| |=3| |,设A(x,0),B(0,y),
①点P在A,B之间,则有
所以(-x,y)=3(-2-x,3),解得x=-3,y=9,
点A,B的坐标分别为(-3,0),(0,9).
②点P不在A,B之间,则有 同理,
可求得点A,B的坐标分别为 (0,-9).
综上,点A,B的坐标分别为(-3,0),(0,9)或 (0,-9).
【类题通法】
由向量共线求交点坐标的方法
【补偿训练】
如图,已知A(4,5),B(1,2),C(12,1),D(11,6),求AC与BD的交点P的坐标.
【解析】设 =λ(11-1,6-2)=(10λ,4λ).
易得 =(-11,1),所以 =(10λ-11,4λ+1).又 =(-8,4),
而 共线,
所以4×(10λ-11)+8×(4λ+1)=0,解得λ=
设点P的坐标为(xP,yP),
所以 =(5,2)=(xP-1,yP-2),
所以 即 故点P的坐标为(6,4).
【定向训练】
1.已知两点M(7,8),N(1,-6),点P是线段MN的靠近点M的三等分点,则点P的坐标
为________.
【解析】设P(x,y),如图,
所以 所以(-6,-14)=3(x-7,y-8),
所以 解得 故P点坐标为
答案:
2.如图所示,已知△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),
AD与BC相交于点M,求点M的坐标.
【解析】因为
因为 所以
设M(x,y),则 =(x,y-5),
因为
所以- x-2(y-5)=0,即7x+4y=20. ①
又
因为 所以
即7x-16y=-20. ②
联立①②解得x= ,y=2,
故点M的坐标为
1. 向量数乘运算的坐标表示.
2.共线向量的坐标表示.
3.中点坐标公式.
向量平行问题
（1）利用共线向量定理a＝λb(b≠0).
（2）利用坐标表达式x1y2－x2y1＝0.
1.数学抽象：向量数乘运算的坐标表示.
2.逻辑推理：推导共线向量的坐标表示.
3.数学运算：用坐标进行向量的相关运算，由向量共线求参数的值.
向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0可简记为：纵横交错积相减.
课堂素养达标
1.若向量a=( ,1),b=(0,-2),则与a+2b共线的向量可以是 ( )
A.( ,-1) B.(-1,- )
C.(- ,-1) D.(-1, )
【解析】选D.因为a+2b=( ,-3)=- (-1, ),所以向量a+2b与(-1, )是
共线向量.
2.已知向量a=(1,-2),b=(m,4),且a∥b,那么2a-b= ( )
A.(4,0) B.(0,4)
C.(4,-8) D.(-4,8)
【解析】选C.因为向量a=(1,-2),b=(m,4),且a∥b,所以1×4=(-2)×m,所以m=-2,所以2a-b=(2-m,-4-4)=(4,-8).
3.若三点A(4,3),B(5,m),C(6,n)在一条直线上,则下列式子一定正确的是
( )
A.2m-n=3 B.n-m=1
C.m=3,n=5 D.m-2n=3
【解析】选A.因为三点A(4,3),B(5,m),C(6,n)在一条直线上,所以 =λ ,
所以(1,m-3)=λ(2,n-3),所以λ= ,所以m-3= (n-3),即2m-n=3.
4.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则2a+3b等于________.
【解析】因为a∥b,所以1×m-(-2)×2=0,
所以m=-4,所以a=(1,2),b=(-2,-4),
所以2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8).
答案:(-4,-8)
5.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).
(1)求满足a=mb+nc的实数m,n的值;
(2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k的值.
【解析】(1)因为a=mb+nc,所以(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n).
所以 解得
(2)因为(a+kc)∥(2b-a),又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),
所以2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0.所以k=- .(共54张PPT)
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
【情境探究】
1.平面向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).据此回答下列问题:
(1)若i,j是两个互相垂直且分别与x轴,y轴的正向同向的单位向量,则a,b如何用i,j表示
提示:a=x1i+y1j,b=x2i+y2j.
(2)在问题(1)的基础上,计算a·b,你能得到什么结论
提示:a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i2+(x1y2+x2y1)i·j+y1y2j2=x1x2+y1y2.
必备知识生成
2.平面向量模的坐标表示
(1)若a=(x,y),怎样利用平面向量数量积的坐标表示|a|
提示:由数量积的定义及性质即可.
(2)若已知向量a的起点和终点的坐标,则|a|如何表示
提示:可先求出a的坐标然后再求|a|.
3.平面向量垂直与夹角余弦值的坐标表示
(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),若a⊥b,则如何寻找x1,y1,x2,y2之间的关系
提示:由a⊥b得a·b=0.从而得到关系.
(2)设a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角,那么cos θ如
何用坐标表示
提示:由cos θ= ,再将模及数量积分别用坐标表示即可.
【知识生成】
1.平面向量数量积的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),
(1)坐标表示:a·b=________.
(2)语言表述:两个向量的数量积等于它们___________________.
x1x2+y1y2
对应坐标的乘积的和
2.平面向量模的坐标表示
长度公式 向量a=(x,y),则|a|=_______或|a|2=_____
距离公式 P1=(x1,y1),P2=(x2,y2),则 __________________
x2+y2
3.平面向量垂直与夹角余弦值的坐标表示
(1)向量垂直的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b __________.
(2)两向量夹角的坐标表示
设a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角,
则cos θ=______________.
x1x2+y1y2=0
关键能力探究
探究点一 平面向量的数量积的坐标运算
【典例1】(1)(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则 的取值范围是 ( )
A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6)
(2)已知a与b同向,b=(1,2),a·b=10.
①求a的坐标;②若c=(2,-1),求a(b·c)及(a·b)c.
【思维导引】
(2)①先由a=λb设a的坐标,再由a·b=10求λ.
②依据运算顺序和数量积的坐标公式求值.
【解析】(1)选A.设P(x,y),建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,0),B(2,0), =(x,y), =(2,0),所以 =2x,由题意可得点C的
横坐标为3,点F的横坐标为-1,所以-1(2)①设a=λb=(λ,2λ)(λ>0),
则有a·b=λ+4λ=10,所以λ=2,所以a=(2,4).
②因为b·c=1×2-2×1=0,a·b=10,
所以a(b·c)=0a=0,(a·b)c=10(2,-1)=(20,-10).
【类题通法】数量积运算的途径及注意点
(1)进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质,解题时通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.
(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,并写出相应点的坐标即可求解.
【定向训练】
1.设向量a=(1,-2),向量b=(-3,4),向量c=(3,2),则向量(a+2b)·c=( )
A.(-15,12) B.0
C.-3 D.-11
【解析】选C.依题意可知,a+2b=(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6),所以(a+2b)·c
=(-5,6)·(3,2)=-5×3+6×2=-3.
2.已知a=(2,-1),b=(3,2),若存在向量c,满足a·c=2,b·c=5,则向量c=________.
【解析】设c=(x,y),因为a·c=2,b·c=5,
答案:
3.已知向量a=( ,-1)和b=(1, ),若a·c=b·c,试求模为 的向量c的坐
标.
【解析】方法一:设c=(x,y),则a·c=( ,-1)·(x,y)
= x-y,b·c=(1, )·(x,y)=x+ y,
由a·c=b·c及|c|= ,得
所以c= 或c= .
方法二:由于a·b= ×1+(-1)× =0,且|a|=|b|=2,从而以a,b为邻边的平行
四边形是正方形,且由于a·c=b·c,
所以c与a,b的夹角相等,从而c与正方形的对角线共线.
此外,由于|c|= ,即其长度为正方形对角线长度( |b|=2 )的一半,
故c= (a+b)= 或c=- (a+b)= .
【补偿训练】
已知点A,B,C满足| |=3,| |=4,| |=5,求 · + · + · 的值.
【解析】方法一:(定义法)根据题意可得△ABC为直角三角形,且B= ,
cos A= ,cos C= ,
所以 · + · + ·
= · + ·
=4×5cos(π-C)+5×3cos(π-A)
=-20cos C-15cos A=-20× -15× =-25.
方法二:(坐标法)如图,
建立平面直角坐标系,则A(3,0),B(0,0),C(0,4).
所以 =(-3,0), =(0,4), =(3,-4).
所以 · =-3×0+0×4=0,
· =0×3+4×(-4)=-16,
· =3×(-3)+(-4)×0=-9.
所以 · + · + · =0-16-9=-25.
方法三:(转化法)因为| |=3,| |=4,| |=5,
所以AB⊥BC,所以 · =0,
所以 · + · + · = ·( + )= · =-| |2=-25.
探究点二 平面向量的模、夹角与垂直问题
【典例2】(1)已知向量a=(2,1),b=(1,k),且a与b的夹角为锐角,则实数k的取
值范围是( )
A.(-2,+∞) B.
C.(-∞,-2) D.(-2,2)
(2)已知在△ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),AD为BC边上的高.求| |与点
D的坐标.
【思维导引】(1)可利用a,b的夹角为锐角 求解.
(2)设出点D的坐标,利用 与 共线, ⊥ 列方程组求解.
【解析】(1)选B.当a与b共线时,2k-1=0,k= ,此时a,b方向相同,夹角为0°,
所以要使a与b的夹角为锐角,则有a·b>0且a,b不同向.由a·b=2+k>0得k>-2,
且k≠ ,即实数k的取值范围是
(2)设点D的坐标为(x,y),则 =(x-2,y+1), =(-6,-3), =(x-3,y-2).
因为D在直线BC上,即 与 共线,所以存在实数λ,使 =λ ,
即(x-3,y-2)=λ(-6,-3),所以
所以x-3=2(y-2),即x-2y+1=0.①
又因为AD⊥BC,所以 · =0,
即(x-2,y+1)·(-6,-3)=0,
所以-6(x-2)-3(y+1)=0,即2x+y-3=0.②
由①②可得 即D点坐标为(1,1), =(-1,2),
所以| |= ,综上,| |= ,D(1,1).
【延伸探究】
1.将本例(1)中的条件“a=(2,1)”改为“a=(-2,1)”“锐角”改为“钝角”,求实数k的取值范围.
【解析】当a与b共线时,-2k-1=0,k=- ,此时a与b方向相反,夹角为180°,
所以要使a与b的夹角为钝角,则有a·b<0,
且a与b不反向.由a·b=-2+k<0得k<2.
且k≠- ,
所以k的取值范围是 .
2.将本例(1)中的条件“锐角”改为“ ”,求k的值.
【解析】cos =
即 ,整理得3k2-8k-3=0,
解得k=- 或3.
【类题通法】
1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤:
(1)求向量的数量积.利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积.
(2)求模.利用|a|= 计算两向量的模.
(3)求夹角余弦值.由公式cos θ= 求夹角余弦值.
(4)求角.由向量夹角的范围及cos θ求θ的值.
2.涉及非零向量a,b垂直问题时,一般借助a⊥b a·b=x1x2+y1y2=0来解决.
【知识延拓】
已知向量a=(1,2),向量b=(x,-2),且a⊥(a-b),则实数x等于
【提示】由已知得a-b=(1-x,4).
因为a⊥(a-b),所以a·(a-b)=0.
因为a=(1,2),所以1-x+8=0,所以x=9.
【定向训练】
1.已知a=(3,-1),b=(1,-2),则a与b的夹角为 ( )
【解析】选B.a·b=3×1+(-1)×(-2)=5,|a|= ,
|b|= 设a与b的夹角为θ,则cos θ= .
又0≤θ≤π,所以θ= .
2.已知平面向量a=(2,4),b=(-1,2),若c=a-(a·b)·b,则|c|=________.
【解析】易得a·b=2×(-1)+4×2=6,
所以c=(2,4)-6(-1,2)=(8,-8),
所以|c|= =8 .
答案:8
【补偿训练】
平面直角坐标系xOy中,O是原点.已知点A(16,12),B(-5,15).
(1)求| |,| |.
(2)求∠OAB.
【解析】(1)由 =(16,12), =(-5-16,15-12)=(-21,3),
得| |= =20,
| |=
(2)cos∠OAB= .
其中 =- · =-(16,12)·(-21,3)
=-[16×(-21)+12×3]=300,
故cos∠OAB= ,所以∠OAB=45°.
探究点三 平面向量数量积的综合应用
【典例3】如图,在平面四边形ABCD中, =32.
(1)若 与 的夹角为30°,求△ABC的面积S△ABC;
(2)若| |=4,O为AC的中点,G为△ABC的重心(三条中线的交点),且 与
互为相反向量,求 · 的值.
【思维导引】(1)首先利用向量的夹角公式求得| |·| |的值,然后利用
三角形面积公式求解即可.
(2)以O为原点建立平面直角坐标系,设D(x,y),然后用x,y表示出
, , , ,从而根据题意求得 · 的值.
【解析】(1)因为 · =32,且 与 的夹角为30°,
所以 · =| || |cos 30°=32,
所以| |·| |=
过A作AE⊥BC于E,所以
S△ABC= |AE||BC|= | |·sin 30°·| |
= | || |·sin 30°= × × = .
(2)以O为原点,AC所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(-2,0),C(2,0).
设D(x,y),则 =(x,y),
因为 与 互为相反向量,
所以 =(-x,-y).
因为G为△ABC的重心,所以 =3 =(-3x,-3y),
故B(-3x,-3y),所以 =(3x-2,3y), =(3x+2,3y),
因此 · =9x2-4+9y2.
由题意,9x2-4+9y2=32,即x2+y2=4.
所以 =(x+2,y)·(x-2,y)=x2+y2-4=0.
【类题通法】利用数量积求向量中参数问题的四个步骤
(1)根据题目条件,得出含参数向量所满足的等量或不等量关系.
(2)写出各向量的坐标.
(3)利用向量数量积的坐标表示把等量或不等量关系表示出来.
(4)通过解方程(组)或不等式(组)求出参数的值或范围.
【定向训练】
1.已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则
的最小值是 ( )
A.-2 B.- C.- D.-1
【解析】选B.取BC的中点D,以BC所在直线为x轴,BC的垂直平分线AD为y轴,
D为坐标原点建立坐标系,则A(0, ),B(-1,0),C(1,0),设P(x,y),所以
=(-x, -y), =(-1-x,-y), =(1-x,-y),所以 + =(-2x,-2y),
·( + )=2x2-2y( -y)=2x2+2 ,
当P 时, ·( + )取得最小值,最小值为- .
2.如果正方形OABC的边长为1,点D,E分别为AB,BC的中点,那么cos∠DOE的值为________.
【解析】 方法一:以O为坐标原点,OA,OC所在的直线分别为x轴,y轴建立平
面直角坐标系,如图所示,则由已知条件,可得
故cos∠DOE= .
方法二:因为 = ,
所以| |= ,| |= ,
· = =1,
所以cos∠DOE= .
答案:
【补偿训练】
如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记
I1= ,I2= ,I3= ,则 ( )
A.I1C.I3
【解析】选C.如图所示,过点A作BC的平行线,过点C作AB的平行线,两平行线
交于点D1,连接BD1交AC于点O1,则易知四边形ABCD1为正方形,点O1为AC的中点.
由图可知点O在线段AO1上,则∠AOB为钝角,∠BOC为锐角,∠COD=∠AOB为钝角,
所以I1= <0,I2= >0,I3= <0,
又因为I1= cos∠AOB,I3= cos∠COD,因为OA所以 < ,又∠COD=∠AOB为钝角,
所以I3平面向量数量积的坐标表示
两向量的数量积 a·b =x1x2+y1y2
两向量垂直 a·b =0<=>x1x2+y1y2=0
若a =(x,y)，则|a|=
若A(x1,y1),B(x2,y2)，则两点A、B间的距离为
设a, b都是非零向量，a=(x1,y1),
b=(x2,y2), a与b的夹角θ，则
1.数学抽象：数量积的坐标运算；
2.逻辑推理：平面向量的夹角公
式，模长公式，垂直关系等；
3.数学运算：根据已知信息求数量
积、夹角、模长等,根据向量垂
直求参数；
核心知识
核心素养
方法总结
易错提醒
利用cos θ＝ 来判断角θ时
①cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；
②cos θ>0有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.
核心素养
数量积运算
①先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；
②先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
课堂素养达标
1.设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a+b|= ( )
A. B. C.2 D.10
【解析】选B.由a⊥b得a·b=0,
所以x×1+1×(-2)=0,即x=2,所以a+b=(3,-1),
所以|a+b|=
2.已知向量a=(1,2),b=(2,-3),若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c等于( )
A. B.
C. D.
【解析】选D.设c=(x,y),则c+a=(1+x,2+y),a+b=(3,-1),
由已知可得 解得 即c= .
3.若向量a=(2x-1,3-x),b=(1-x,2x-1),则|a-b|的最小值为________.
【解析】由已知得a-b=(3x-2,4-3x),
所以|a-b|=
当x=1时,|a-b|取最小值为 .
答案:
4.若向量a的始点为A(-2,4),终点为B(2,1),求:
(1)向量a的模;
(2)与a平行的单位向量的坐标;
(3)与a垂直的单位向量的坐标.
【解析】(1)因为a= =(2,1)-(-2,4)=(4,-3),
所以|a|= =5.
(2)与a平行的单位向量是
即坐标为
(3)设与a垂直的单位向量为e=(m,n),则a·e=4m-3n=0,所以
又因为|e|=1,所以m2+n2=1.
解得
所以
