(共48张PPT)
6．4 平面向量的应用
6．4.1 平面几何中的向量方法
6．4.2 向量在物理中的应用举例
基础认知·自主学习
1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系，用_________表示问题中涉及的几何元素，
将平面几何问题转化为_________问题．
(2)通过_________运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．
(3)把_____________“翻译”成几何关系．
向量
向量
向量
运算结果
2．向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有___________________等．
(2)向量的加减法运算体在一些物理量的_________和_________中．
(3)动量mv是向量的_________运算．
(4)功是________与位移_____的数量积．
力、速度、位移
合成
分解
数乘
力F
s
能力形成·合作探究
素养发展·创新应用
学情诊断·课堂测评
平面几何中的向量方法
向量在物理中的应用举例
1.向量方法解决平面几何问题“三步曲”.
2. 用向量法解决物理问题.
核心知识
方法总结
核心素养
1.数学抽象：平面几何图形的有关问题,用向量
的线性运算及数量积表示.
2.数学运算：向量的线性运算及数量积表示.
3.数学建模：数形结合，将物理问题向量化.平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例
如图所示，在细绳l上作用着一个大小为200 N，与水平方向的夹角为45°的力，细绳上挂着一个重物，使细绳的另一段与水平面平行．
【问题1】水平方向OA上的拉力多大？
【问题2】物重G是多少？
1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系，用__向量__表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为__向量__问题．
(2)通过__向量__运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．
(3)把__运算结果__“翻译”成几何关系．
向量在几何中的应用
(1)利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一个基底(而选择的基底的长度和夹角应该是已知的，这样方便计算)，利用基向量表示涉及的向量；另外一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算解决几何问题．
(2)向量解决几何问题就是把点、线、面等几何元素直接归纳为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算的结果翻译成关于点、线、面的相应结果，可以简单表述为“形到向量——向量的运算——向量和数到形”．
2．向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有__力、速度、位移__等．
(2)向量的加减法运算体在一些物理量的__合成__和__分解__中．
(3)动量mv是向量的__数乘__运算．
(4)功是__力F__与位移__s__的数量积．
在教材第40页例3中，想一想：当θ＝和时，||与|G|分别有什么关系？
提示：当θ＝时，|F1|＝|G|，
当θ＝时，|F1|＝|G|.
1．若平面四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是( )
A．直角梯形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
【解析】选C.由＋＝0，得平面四边形ABCD是平行四边形，由(－)·＝0，得·＝0，即平行四边形ABCD的对角线互相垂直，则该四边形一定是菱形．
2．已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝________J.
【解析】W＝F·s＝6×100×cos 60°＝300(J).
答案：300
基础类型一 向量在平面几何证明
问题中的应用(逻辑推理)
1．已知A，B，C，D四点的坐标分别是(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形ABCD为( )
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【解析】选A.由题意得＝(3，3)，＝(2，2)，所以∥，
||≠||.
2．四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量方法证明：PA＝EF.
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，
设正方形的边长为1，DP＝λ(0<λ<)，则A(0，1)，
P，E，F，
所以＝，
＝，
所以||＝
＝，
||＝＝，
所以||＝||，
所以PA＝EF.
利用向量证明问题
(1)常见的利用向量证明的问题．
①利用共线向量定理证明线线平行或点共线；
②利用向量的模证明线段相等；
③利用向量的数量积为0证明线段垂直．
(2)常用的两个方法．
①基向量法：选取已知的不共线的两个向量作为基向量，用基向量表示相关向量，转化为基向量之间的向量运算进行证明；
②坐标法：先建立平面直角坐标系，表示出点、向量的坐标，利用坐标运算进行证明．
已知在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝FC＝AC，试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形．
【证明】设＝a，＝b，
则＝－＝－a＝(a＋b)－a＝b－a，＝－＝b－＝b－a，
所以＝，且D，E，F，B四点不共线，所以四边形DEBF是平行四边形．
基础类型二 向量在平面几何计算
问题中的应用(逻辑推理)
【典例】已知矩形ABCD，AB＝，AD＝1，E为DC上靠近D的三等分点，求∠EAC的大小．
【解析】如图，建立平面直角坐标系，
则A(0，0)，C(，1)，E，＝(，1)，＝，·＝2.
cos ∠EAC＝＝＝.
因为0<∠EAC<，所以∠EAC＝.
本例中，条件不变，试问：在BC上是否存在点M，使得∠EAM＝45°？若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由．
【解析】假设在BC上存在点M，使得∠EAM＝45°，不妨设M(，y0)(0≤y0≤1)，则＝(，y0).
因为＝，而∠EAM＝45°，所以cos ∠EAM＝＝ eq \f(1＋y0,\r(3＋y)·\r(\f(4,3))) ＝，
整理得y＋6y0－3＝0，解得y0＝－3＋2或y0＝－3－2，
由于－3＋2∈[0，1]，－3－2 [0，1]，
因此在BC上存在点M，使得∠EAM＝45°.
1．用向量方法求长度的策略
(1)利用图形特点选择基底，通过向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解．
(2)建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝.
2．向量数量积、夹角的计算
利用向量或坐标表示出未知向量，代入相应的公式进行计算.
如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，求ED的长．
【解析】以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(0，)，C(3，)，D(3，0)，＝(3，)，
设＝λ，则E的坐标为，
故＝.
因为BE⊥AC，所以·＝0，
即9λ＋3λ－3＝0，
解得λ＝，所以E，
故＝，||＝，
即ED＝.
【加固训练】
求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值．
【解析】如图，分别以等腰直角三角形的两直角边所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，
设A(2a，0)，B(0，2a)，则D(a，0)，C(0，a)，
所以＝(－2a，a)，＝(a，－2a)，不妨设，的夹角为θ，则cos θ＝
＝＝＝－.
故所求钝角的余弦值为－.
综合类型 向量在物理中的应用(数学建模)
矢量分解合成问题
【典例】加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400 N，则该学生的体重(单位：kg)约为( )
(参考数据：取重力加速度大小为g＝10 m/s2，≈1.732)
A．63 B．69 C．75 D．81
【解析】选B.由题意知，F1＝F2＝400，夹角θ＝60°，
所以G＋F1＋F2＝0，即G＝－(F1＋F2)；
所以G2＝(F1＋F2)2＝4002＋2×400×400×cos 60°＋4002＝3×4002；
|G|＝400(N)，
则该学生的体重(单位：kg)约为40＝40×1.732≈69(kg).
用向量方法解决物理问题的步骤
(1)把物理问题中的相关量用向量表示；
(2)转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决；
(3)结果还原为物理问题．
【加固训练】
一条河的宽度为d，一只船从A出发到河的正对岸B处，船速为v1，水速为v2，则船行驶速度的大小为( )
A．v－v B．|v1|2－|v2|2
C． eq \r(v＋v) D．
【解析】选D.如图，由平行四边形法则和解直角三角形的知识，可得|v|2＝|v1|2－|v2|2.
做功问题
【典例】如图所示，一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°；|F2|＝4 N，方向为北偏东60°；|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功．
【解析】以O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示，则F1＝(1，)，F2＝(2，2)，F3＝(－3，3)，所以F＝F1＋F2＋F3＝(2－2，2＋4).又＝(4，4)，
故F·＝(2－2)×4＋(2＋4)×4
＝4×6＝24.
合力F所做的功为24 J．
解答做功问题的策略
求力F所做功W问题常运用向量的数量积解决．解题应重点关注力与位移的夹角的确定．
【加固训练】
若物体在共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)的作用下产生位移s＝(2lg 5，1)，则共点力对物体所做的功W为( )
A．lg 2 B．lg 5 C．1 D．2
【解析】选D.W＝(F1＋F2)·s＝(lg 2＋lg 5，2lg 2)·(2lg 5，1)＝(1, 2lg 2)·(2lg 5，1)＝2lg 5＋2lg 2＝2.
创新思维 探索性问题(逻辑推理)
【典例】在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，M是AC边上靠近A点的一个三等分点，试问：在线段BM(端点除外)上是否存在点P使得PC⊥BM
【解析】以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
由于AB＝AC＝5，BC＝6，
所以B(0，0)，A(3，4)，C(6，0).则＝(3，－4)，
由于M点是AC边上靠近A点的一个三等分点．
所以＝＝，于是M，
所以＝，
假设在BM上存在点P使得PC⊥BM，
则设＝λ，且0<λ<1，即＝λ＝，所以＝＋＝(－6，0)＋＝，
由于PC⊥BM，所以·＝0，
得4(4λ－6)＋λ·＝0，解得λ＝.
由于λ＝ (0，1)，所以线段BM上不存在点P使得PC⊥BM.
【思维难点】
引入参数λ描述点P的位置，即＝λ.进而用参数λ表示向量和的坐标，利用数量积为0证明向量垂直，说明对应直线互相垂直．
【加固训练】
一条宽为 km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝ km，船在水中最大航速为4 km/h；问怎样安排航行速度可使该船从A码头最快到达彼岸B码头？用时多少？
【解析】如图所示，设为水流速度，为航行速度，以AC和AD为邻边作 ACED，当AE与AB重合时能最快到达彼岸．
根据题意知AC⊥AE，在Rt△ADE和 ACED中，
||＝||＝2，||＝4，∠AED＝90°，
所以||＝＝2，÷2＝0.5(h)，sin ∠EAD＝，所以∠EAD＝30°.
所以船实际航行速度大小为4 km/h，与水流成120°角时能最快到达B码头，用时0.5小时．
1．如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米，则力F做的功为( )
A．100焦耳 B．50焦耳
C．50焦耳 D．200焦耳
【解析】选B.设小车位移为s，则|s|＝10米，WF＝F·s＝|F||s|·cos 60°＝10×10×＝50(焦耳).
2．在四边形ABCD中，若＝(1，2)，＝(－4，2)，则该四边形的面积为( )
A． B．2 C．5 D．10
【解析】选C.因为·＝0，所以AC⊥BD.
所以四边形ABCD的面积S＝||||＝××2＝5.
3．在△ABC中，已知顶点A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边的中线AD的长是( )
A．2 B． C．3 D．
【解析】选B.BC的中点为D，＝，
所以||＝.
4．一物体受到相互垂直的两个力f1，f2的作用，两力大小都为5 N，则两个力的合力的大小为________N.
【解析】根据向量加法的平行四边形法则，合力f的大小为×5＝5(N).
答案：5
5．如图所示，四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线，试用向量证明：AC⊥BD.
【证明】因为＝＋，＝－，
所以·＝(＋)·(－)＝||2－||2＝0.
所以⊥，所以AC⊥BD.
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10(共39张PPT)
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第1课时 余 弦 定 理
基础认知·自主学习
2．三角形的元素与解三角形
(1)三角形的元素
三角形的_______________和它们的____________叫做三角形的元素．
(2)解三角形
已知三角形的_________求其他_____的过程叫做解三角形．
三个角A，B，C
对边a，b，c
几个元素
元素
能力形成·合作探究
学情诊断·课堂测评
余弦定理
方法总结
核心知识
易错提醒
核心素养
1.余弦定理
2.推论：
3.利用余弦定理解三角形
(1)已知三角形三边求角，直接利用余弦定理.
(2)若已知三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，
从而转化为已知三边求角．
(3)已知三角形的任意两边及它们的夹角可以先求出第三边，
然后再求解其他量.
注意“大边对大角、大角对大边”．
数学抽象：余弦定理及其推论.
逻辑推理：余弦定理在边角互化中的应用.
数学运算：解三角形.
A
B
C
A
B
C第1课时 余弦定理
中国海监船肩负着我国海域的维权、执法和保护渔民使命．某时某中国海监船位于中国南海的A处，与我国海岛B相距s海里．据观测得知有一外国探油船位于我国海域C处进行非法资源勘探，这艘中国海监船奉命以v海里/小时的速度前去驱逐．假如能测得∠BAC＝α，BC＝m海里，你能根据上述数据计算出它赶到C处的时间吗？
【问题1】你能利用以前学习的数学知识解决这个问题吗？
【问题2】在这个问题中，△ABC是直角三角形吗？
【问题3】解决这个问题时可能会用到哪些数学知识呢？
1．余弦定理
余弦定理 公式表达 a2＝b2＋c2－2bc__cos__A，b2＝a2＋c2－2ac__cos__B，c2＝a2＋b2－2ab__cos__C
语言叙述 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．
推论 cos A＝，cos B＝，cos C＝
1．本质：把用SAS，SSS判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画，即把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式．
2．混淆：利用定理及推论时，分清使用的角的对边是哪条边．
已知三角形的两边及其一角，三角形的其他元素是否唯一确定？
提示：(1)当已知两边及其夹角时，由余弦定理可知，不妨设a，b边和其夹角C已知，则c2＝a2＋b2－2ab cos C，c唯一，cos B＝，因为0
(2)当已知两边和其中一边的对角时，如已知a，b，A，可用a2＝b2＋c2－2bc cos A求解c，可能有两解．
2．三角形的元素与解三角形
(1)三角形的元素
三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．
(2)解三角形
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
(1)利用余弦定理可以解两类有关三角形的问题
①已知两边及其夹角，解三角形；
②已知三边，解三角形．
(2)余弦定理和勾股定理的关系
在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C，若角C＝90°，则cos C＝0，于是c2＝a2＋b2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．
已知三角形的三个角能不能解三角形？
提示：根据余弦定理知，已知三角形的两边及一角或已知三角形的三条边，可以解三角形，根据三角形的三个角，无法解三角形．
1．在三角形中，勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例吗？.
提示：是．
2．余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况吗？
提示：不是 . 已知两边和其中一边的对角也可以用．
3．已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的吗？
提示：是．
结合教材第43页思考回答勾股定理和余弦定理后，再思考利用余弦定理判断三角形的形状．
提示：1.当A是直角时，cos A＝0，可得b2＋c2－a2＝0，所以有a2＝b2＋c2，△ABC为直角三角形；
2．当A是锐角时，cos A>0，可得b2＋c2－a2>0，所以有a23．当A是钝角时，cos A<0，可得b2＋c2－a2<0，所以有a2>b2＋c2，△ABC为钝角三角形．
1．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c＝______________________.
【解析】根据余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C＝16＋36－2×4×6×cos 120°＝76，c＝2.
答案： 2
2．在△ABC中，已知a2－c2＋b2＝ab，则角C的大小为________．
【解析】由余弦定理，得cos C＝＝＝，
所以C＝.
答案：
基础类型一 已知两边及一角解三角形(数学抽象)
1．在△ABC中，已知b＝2，c＝3，∠A＝60°，则a＝( )
A． B．2 C． D．7
【解析】选C.由余弦定理，得
a2＝b2＋c2－2bc cos A＝22＋32－6＝7，
所以a＝.
2．(2021·成都高一检测)在△ABC中，C＝，AB＝7，BC＝3，则AC＝( )
A． B．5 C． D．6
【解析】选B.在△ABC中，C＝，AB＝7，BC＝3，如图所示：
由余弦定理得72＝AC2＋32－2·3·AC·cos ，
整理得AC2＋3·AC－40＝0，
解得AC＝5或AC＝－8(不合题意，舍去)，
所以AC＝5.
3．在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos C＝，则BC＝________．
【解析】由余弦定理得：()2＝52＋BC2－2×5×BC×，
所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或BC＝5.
答案：4或5
解决“已知两边及一角”解三角问题的步骤
(1)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．
(2)再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角.
微提醒：利用余弦定理解三角形时，可能会求出两解，解出两根时要注意验证，防止出现增根．
基础类型二 已知三边解三角形(逻辑推理、数学运算)
【典例】1.在△ABC中，已知a＝3，b＝5，c＝，则最大角与最小角的和为( )
A．90° B．120°
C．135° D．150°
【解析】选B.在△ABC中，因为a＝3，b＝5，
c＝，所以最大角为B，最小角为A，
所以cos C＝＝＝，
所以C＝60°，所以A＋B＝120°，
所以△ABC中的最大角与最小角的和为120°.
2．在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，则A等于( )
A．90° B．60°
C．120° D．150°
【解析】选B.因为(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，
所以b2＋c2－a2＝bc，
所以cos A＝＝.
因为A∈(0°，180°)，所以A＝60°.
【备选例题】
已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求△ABC的各角的大小．
【解析】设a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k>0)，
利用余弦定理，
有cos A＝＝＝，
所以∠A＝45°.同理可得cos B＝，∠B＝60°.
所以∠C＝180°－∠A－∠B＝75°.
1．已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为0，角为直角；值为负，角为钝角；其思路清晰，结果唯一．
2．若已知三角形的三边的关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解．
微提醒：若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解．
在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C.
【解析】根据余弦定理，cos A＝
＝＝.
因为A∈(0，π)，
所以A＝，cos C＝
＝，
因为C∈(0，π)，所以C＝.
所以B＝π－A－C＝π－－＝，
所以A＝，B＝，C＝.
综合类型 余弦定理的综合应用(逻辑推理、数学运算)
判断三角形的形状
【典例】在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．
【思路探求】根据三角形三边的关系，用a，c表示边b，再结合角B等于60°，利用余弦定理即可求出三角形三边的关系．
【解析】由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B.
因为B＝60°且b＝，
所以＝a2＋c2－2ac cos 60°.
整理，得(a－c)2＝0，所以a＝c，所以a＝b＝c，
所以△ABC为正三角形．
利用余弦定理判断三角形形状的两种途径
1．化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断．
2．化角的关系：将条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换得出关系进行判断．
与余弦定理有关的范围问题
【典例】设2a＋1，a，2a－1为钝角三角形的三边，求实数a的取值范围．
【思路探求】一边大于两边差而小于两边和是任一个三角形三边都成立的条件．若是在锐角或钝角三角形中，三边的制约条件还要更强．若△ABC为锐角三角形，则有a2＜b2＋c2，b2＜a2＋c2，c2＜a2＋b2；若△ABC为钝角三角形，最大边为a，则一定有a2＞b2＋c2，这些都是可以从余弦定理中直接推导的．
【解析】因为2a＋1，a，2a－1是三角形的三边，
所以解得a＞，此时2a＋1最大．
所以要使2a＋1，a，2a－1表示三角形的三边，还需a＋(2a－1)＞2a＋1，解得a＞2.
设最长边2a＋1所对的角为θ，则
cos θ＝＝＜0，
解得＜a＜8，所以a的取值范围是2＜a＜8.
微提醒：本题易忽视构成三角形的条件a＞2，而直接应用余弦定理求解，从而使a的范围扩大．
由于余弦定理及公式的变形较多，且涉及平方和开方等运算，可能会因不细心而导致错误．在利用余弦定理求出三角形的三边时，还要判断一下三边能否构成三角形．
【加固训练】
在钝角三角形ABC中，a＝1，b＝2，c＝t，且C是最大角，求t的取值范围．
【解析】根据题意2＜t＜3.又△ABC是钝角三角形，且C是最大角，所以90°所以cos C<0，所以cos C＝＝<0，
所以t2>5.又t>0，所以t>.
所以t的取值范围为(，3).
1．在△ABC中，已知B＝120°，a＝3，c＝5，则b等于( )
A．4 B． C．7 D．5
【解析】选C.b2＝a2＋c2－2ac cos B
＝32＋52－2×3×5×cos 120°＝49，所以b＝7.
2．(2021·平顶山高一检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝2a cos A，则cos A＝( )
A． B． C． D．
【解析】选D.因为c＝2a cos A，
由余弦定理可得c＝2a·，将a＝3，b＝5代入整理得c＝2，
所以cos A＝＝.
3．在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝( )
A．4 B． C． D．2
【解析】选A.cos C＝2cos2－1＝2×－1＝－，在△ABC中，由余弦定理AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cosC，得AB2＝25＋1－2×1×5×＝32，所以AB＝4.
4．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab＝________．
【解析】因为C＝60°，
所以c2＝a2＋b2－2ab cos 60°，
即c2＝a2＋b2－ab.①
又因为(a＋b)2－c2＝4，
所以c2＝a2＋b2＋2ab－4.②
由①②知－ab＝2ab－4，所以ab＝.
答案：
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8(共47张PPT)
第2课时 正 弦 定 理
基础认知·自主学习
能力形成·合作探究
学情诊断·课堂测评
核心素养
易错提醒
方法总结
核心
知识
1.正弦定理
2 推论.
3.利用正弦定理解三角形.
已知两角及一边解三角形
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边.
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边.
已知两边及一边的对角解三角形
(1)由正弦定理求出另一边对角的正弦值.
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由正弦值可求锐角即为另一边所对的角．
(3)如果已知的角为小边所对的角时，要分类讨论．
已知两边和其中一边所对角解三角形时可能会出现无解、一解、两解的情况.
注意“大边对大角、大角对大边”．
1.数学抽象：正弦定理及其变形、三角形面积公式.
2.逻辑推理：用正弦定理及其变形解决相关问题.
3.数学运算：解三角形.
图示
b
B
a
C
正弦定理
斋
在一个三角形中，各边和它
所对角的正弦的比相等
置
a
b
C
sinA
。
inB
sinC
C
b
b
a
A
B
aa=bsin Al时，一解
C
b
b
a
B
A
B2 B1
bsin Aa≥b时，一解
图(1)
a
b
A
B
A
B
a≤b时，无解
a>b时，一解
图(2)
利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，
化边
通过因式分解、配方等得出边的相应关系，
从而判断三角形的形状
利用正弦定理把已知条件转化为内角的三
角函数间的关系，通过三角函数恒等变形
化角
得出内角的关系，从而判断出三角形的形
状，此时要注意应用A+B+C=π这个结论第2课时 正弦定理
从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，你能根据上述数据计算出河流的宽度BC吗？
【问题1】要求河的宽度，还需要什么条件？
【问题2】你能用以前学习的知识解决这个问题吗？
【问题3】要想解决这个问题，还需要什么条件或什么性质呢？
1．正弦定理
1．本质：任意三角形中，边与角的正弦之间的关系．
2．对正弦定理的理解
(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．
(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．
(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与其对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．
在正弦定理中，三角形的各边与其所对角的正弦的比值等于多少？与该三角形外接圆的直径有什么关系？
提示：这个比值恰好等于该三角形外接圆的直径2R，即＝＝＝2R，其中R是该三角形外接圆的半径．
2．正弦定理的变形
若R为△ABC外接圆的半径，则
(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；
(4)＝2R.
(5)S△ABC＝bc sin A＝ac sin B＝ab sin C．
这些常见的公式的变形形式应熟练掌握，在解决具体问题时，根据不同的题设条件灵活选用不同的变形公式．
在△ABC中，A>B是sin A>sin B的什么条件？
提示：在△ABC中，若A>B，则a>b.由正弦定理得2R sin A>2R sin B，即sin A>sin B．
若sin A>sin B，则2R sin A>2R sin B(R是△ABC的外接圆半径).由正弦定理得a>b.
综上所述，在△ABC中，A>B与sin A>sin B的充要条件．
1．正弦定理不适用于直角三角形吗？
2．在△ABC中必有a sin A＝b sin B吗？
3．在△ABC中，若sin A＝sin B，则必有A＝B吗？
提示：1.不是 2.不是 3.是的
1．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝( )
A． B． C． D．1
【解析】选B.因为a＝3，b＝5，sin A＝，
所以由正弦定理得sin B＝＝＝.
2．在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝( )
A.4 B．2 C． D．
【解析】选B.由正弦定理得＝，
所以AC＝＝2.
基础类型一 已知两角及一边解三角形(数学运算)
1．在△ABC中a＝10，B＝60°，cos C＝，则c等于( )
A．20(＋2) B．20(－2)
C．＋2 D．20
【解析】选B.由cos C＝得，
sin C＝＝＝，
sinA＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C
＝×＋×＝.
由正弦定理得，
c＝a·＝10×＝10××
＝20(－2).
2．(2021·上海高一检测)在△ABC中，若AB＝2，∠B＝，∠C＝，则BC＝________．
【解析】因为A＝π－B－C＝π－－＝，
由正弦定理得＝，
所以BC＝＝＝.
答案：
3．在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．
【解析】因为A＝45°，C＝30°，
所以B＝180°－(A＋C)＝105°.
由＝得a＝＝10×＝10.
因为sin 75°＝sin (30°＋45°)
＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝，
所以b＝＝
＝20×＝5＋5.
已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是：
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角．
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．
基础类型二 已知两边及其中一边的
对角解三角形(数学运算)
【典例】已知△ABC中的下列条件，解三角形：
(1)a＝10，b＝20，A＝60°；
(2)a＝2，c＝，C＝.
【解析】(1)因为＝，
所以sin B＝＝＝>1，
所以三角形无解．
(2)因为＝，
所以sin A＝＝.
因为c＞a，所以C＞A.
所以A＝.
所以B＝，b＝＝＝＋1.
【知识拓展】
在△ABC中，已知边a，b和∠A时，三角形的解的几种情况：
①∠A为锐角时，解的情况如图(1)所示．
②∠A为直角或钝角时，解的情况如图(2)所示．
已知两边及其中一边的对角解三角形的思路：
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；
(2)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．
微提醒：在三角形中，大边对大角，大角对大边，解题时要主动应用这个性质判断三角形的个数．
在△ABC中，若a＝，b＝2，A＝30°，则C＝________．
【解析】由正弦定理＝，
得sin B＝＝＝.
因为B∈(0°，180°)，所以B＝45°或135°，
所以C＝180°－45°－30°＝105°或C＝180°－135°－30°＝15°.
答案：105°或15°
综合类型 正弦定理的综合应用(逻辑推理、数学运算)
判断三角形的形状
①已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若a cos B＝b cos A，则△ABC一定是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
②在△ABC中，已知＝，试判断△ABC的形状．
【解析】①选A.由正弦定理得：a cos B＝b cos A sin A cos B＝sin B cos A sin (A－B)＝0，
由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形．
②因为＝，
所以＝，
所以sin A cos A＝sin B cos B，
即sin 2A＝sin 2B.
所以2∠A＝2∠B或2∠A＋2∠B＝π，
即∠A＝∠B或∠A＋∠B＝.
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．
判断三角形形状的两种途径
【加固训练】
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c－a cos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【解析】选D.已知c－a cos B＝(2a－b)cos A，
由正弦定理得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，
所以sin (A＋B)－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，化简得cos A(sin B－sin A)＝0，
所以cos A＝0或sin B－sin A＝0，
则A＝90°或A＝B，故△ABC为等腰三角形或直角三角形．
正弦定理、余弦定理的综合应用
【典例】在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)a的值；
(2)sin C和△ABC的面积．
条件①：c＝7，cos A＝－；
条件②：cos A＝，cos B＝.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【思路探求】选择条件①(1)由余弦定理求出(a＋b)(a－b)＝49＋2b，再结合a＋b＝11，即可求出a的值，
(2)由正弦定理可得sin C，再根据三角形的面积公式即可求出，
选择条件②(1)根据同角的三角函数的关系和正弦定理可得＝＝，再结合a＋b＝11，即可求出a的值，
(2)由两角和的正弦公式求出sin C，再根据三角形的面积公式即可求出．
【解析】选择条件①：
(1)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，
即a2－b2＝49－14b×＝49＋2b，
所以(a＋b)(a－b)＝49＋2b，因为a＋b＝11，
所以11a－11b＝49＋2b，即11a－13b＝49，
联立解得a＝8，b＝3故a＝8.
(2)在△ABC中sin A＞0，
所以sin A＝＝，
由正弦定理可得＝，
所以sin C＝＝＝，
所以S△ABC＝ab sin C＝×8×3×＝6.
选择条件②：(1)在△ABC中，sin A＞0，sin B＞0，C＝π－(A＋B)，
因为cos A＝，cos B＝，
所以sin A＝＝，
sin B＝＝，
由正弦定理可得＝，所以＝＝，
因为a＋b＝11，所以a＝6，b＝5故a＝6；
(2)在△ABC中，C＝π－(A＋B)，
所以sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝×＋×＝，
所以S△ABC＝ab sin C＝×6×5×＝.
选条件解问题，是新高考改革中出现的新题型，在解决这类问题时，需要综合考虑已知条件与所求量的关系．解决本题时，需要结合三角函数的有关公式探求已知量与未知量之间的“桥梁”，综合应用正弦定理、余弦定理及其变式寻求解决问题的思路、方法．
微提醒：求三角形的面积是在已知两边及其夹角的情况下求得的，所以在解题中要有目的的为具备两边及其夹角的条件作准备．
1．在△ABC中，一定成立的式子是( )
A．a sin A＝b sin B B．a cos A＝b cos B
C．a sin B＝b sin A D．a cos B＝b cos A
【解析】选C.由正弦定理＝＝，得a sin B＝b sin A．
2．在△ABC中，若＝，则C的值为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
【解析】选B.由正弦定理知＝，
所以＝，所以cos C＝sin C，所以tan C＝1，
又因为C∈(0°，180°)，所以C＝45°.
3．在△ABC中，若a＝，b＝，B＝，则A＝________．
【解析】由正弦定理，得sin A＝＝
＝，又A∈(0，π)，a>b，所以A>B，所以A＝或.
答案：或
4．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝________．
【解析】由正弦定理，得＝，
所以sin B＝＝＝.
因为a>b，所以A>B，又因为A＝60°，所以B为锐角．
所以cos B＝＝＝.
答案：
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9(共54张PPT)
第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例
——距离问题
基础认知·自主学习
基线
越高
能力形成·合作探究
学情诊断·课堂测评
余弦定理、正弦定理应用举例
——距离问题
1.数学抽象：常用的测量相关术语；
2.逻辑推理：将实际问题转化为数学问题；
3.数学运算：利用余弦定理、正弦定理求距离；
4.数学模型：在适当的三角形中解距离。
核心知识
核心素养
方法总结
易错提醒
核心素养
1 解决应用题的思想方法
把实际问题转化为数学问题
2.求解三角形应用题的一般步骤
（1）审题（分析题意，根据题意，画出示意图）
（2）建模（将实际问题转化为解斜三角形的数学问题）
（3）求模（正确运用正、余弦定理求解）
（4）还原。
分析转化
实际问题
解三角形问题
数学结论
检验
数学问题
1.选定或确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解
2.若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解
抽象概括
实际问题
三角形
得到解决
理运算
还原说明
实际问题的解
解三角形
A
b
B
(
a
C
B
O
A
D
北
*北
45%
60
●
A
B
60°
C
北
C
米
6
B
D
A
北
A
→东
20
<
40°
0X
21
C
D
B
20
31
B
B
45°
A
D
A
30°
0
北
东
0
Q
W
M第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例——距离问题
如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安市雁塔区陕西师范大学以南．天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处．某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得AB＝60米，BC＝60米，CD＝40米，∠ABC＝60°，∠BCD＝120°，据此可以估计天坛的最下面一层的直径AD大约为多少米？
【问题1】怎样将上述生活实际问题转化为数学问题(数学建模)
【问题2】解决上述问题需要用到我们学习的哪些数学知识？
【问题3】解决上述问题还能锻炼我们的哪些能力？
有关的几个术语
1．基线的定义
在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线，一般地讲，基线越长，测量的精确度越高．
2．方向角：指以观测者为中心，指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，它是方位角的另一种表示形式．如图，左图中表示北偏东30°，右图中表示南偏西60°.
应用：选择合适的基线、方向角可以有效简化运算，提高测量的精确度．
如何不登月测量地月距离？
提示：可以在地球上选两点，与月亮构成三角形，测量地球上两点的距离和这两点与月亮所成的角，通过解三角形求得地月距离．
1．本质：基线、方向角等是在测量过程中人为设置的一些量，选择合适的基线、方向角可以有效简化运算，提高测量的精确度．
2．解与三角形有关的应用题的基本思路：
测量时是否一定要选取基线？
提示：测量时必须选取基线，因为无论应用正弦定理还是余弦定理解三角形时，至少应已知一边的长度．
1．在测量过程中基线越长，测量精确度越高吗？
2．已知三角形的三个角，能够求其三条边吗？
3．两点间不可通又不可视问题的测量方案实质是构造两边及一角或两角及一边解三角形吗．
提示：1.是的 2.不是 3.是的
1．如图所示，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应选用数据( )
A．α，a，b B．α，β，a
C.a，b，γ D．α，β，b
【解析】选C.选择a，b，γ可直接利用余弦定理AB＝求解．
2．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在A所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，可以计算出A，B两点的距离为( )
A.50 m B．50 m
C.25 m D． m
【解析】选A.∠ABC＝180°－45°－105°＝30°，
在△ABC中由＝得AB＝100×
＝50 m．
基础类型一 利用正弦、余弦定理解决
简单的应用问题(数学建模、数学运算)
1．海上A，B两个小岛相距10 海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是( )
A．10海里 B．海里
C．5海里 D．5海里
2．已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2 km，船B在灯塔C北偏西65°且到C的距离为km，则A、B两船的距离为( )
A．2 km B．3 km
C． km D． km
3．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度为( )
A．230 m B．240 m C．50 m D．60 m
【解析】1.选D.根据题意，可得如图所示．
在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10，
所以C＝45°.由正弦定理可得＝，
即＝，所以BC＝5(海里).
2．选D.如图可知∠ACB＝85°＋65°＝150°，
AC＝2 km，BC＝ km，所以AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 150°＝13，所以AB＝ km.
3．选D.在△ABC中∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，
所以∠ACB＝75°，∠ACB＝∠ABC.
所以AC＝AB＝120(m).如图，
作CD⊥AB，垂足为D，则CD即为河的宽度．
在Rt△ACD中，由正弦定理，得
＝，
所以＝，
所以CD＝60(m)，所以河的宽度为60 m．
运用余弦定理、正弦定理的方法：
(1)在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出三角形，然后通过解三角形，得出实际问题的解．
(2)解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决．
微提醒：当题目中出现互补(余)的角时，注意补角(余角)之间的关系．
基础类型二 与方向角有关的
距离问题(逻辑推理、数学运算)
【典例】如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里每小时，该救援船到达D点至少需要多少小时？
【思路探求】根据题目提供的方向角，求出∠DBA和∠DBC的大小，再根据题目提供的距离，解三角形．
【解析】由题意知AB＝5(3＋)，
∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝45°，
所以∠ADB＝105°，
所以sin 105°＝sin 45°cos 60°＋sin 60°cos 45°＝×＋×＝.
在△ABD中，由正弦定理得＝，
所以BD＝＝
＝＝＝10.
又∠DBC＝180°－60°－60°＝60°，BC＝20，
在△DBC中由余弦定理得
CD2＝BD2＋BC2－2×BD×BC cos 60°
＝300＋1 200－2×10×20×＝900，
所以CD＝30(海里)，则至少需要的时间t＝＝1(小时).
(1)解决与距离有关的问题，若所求的线段在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解．
(2)若题目中条件告诉的是方向角时，要善于根据题目提供的方向角计算解题时需要的其它角的大小．
微提醒：题目中有多个三角形时，解题时要写清楚是在哪个三角形中进行计算求解的．
某测量员做地面测量，如图，目标A与B相距3千米，从B处测得目标C在B的北偏西60°的方向上，从A处测得目标C在A的正北方向，他从A向C前进2千米到达D处时，发现B，D两处也相距2千米，试求A与C的距离．
【解析】依题意得AB＝3，AD＝2，BD＝2，∠ACB＝60°.
在△ABD中，由余弦定理得
cos A＝＝＝.
所以sin A＝＝，
所以sin(A＋C)＝sin (A＋60°)
＝sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝×＋×＝.所以sin ∠ABC＝sin [180°－(A＋C)]
＝sin (A＋C)＝.
在△ABC中由正弦定理得＝，
所以AC＝＝＝.
答：A与C之间的距离为千米．
【加固训练】
某观测站C在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上B处有一人，距C为31 km，正沿公路向A城走去，走了20 km后到达D处，此时CD间的距离为21 km，问：这人还要走多少千米才能到达A城？
【解析】如图，
令∠ACD＝α，∠CDB＝β，在△CBD中，
由余弦定理得cos β＝
＝＝－，所以sin β＝.
又sin α＝sin (β－60°)＝sin βcos 60°－sin 60°cos β＝×＋×＝，
在△ACD中＝，
所以AD＝＝15(km).
答：这个人再走15 km就可以到达A城．
综合类型 函数、方程思想在正弦定理、余弦定理中的应用(逻辑推理)
方程思想的应用
【典例】一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由A点开始做匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动，如图所示，已知AB＝4 dm，AD＝17 dm，∠BAD＝45°，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在何处截住足球？
【解析】设机器人最快可在点C处截住足球，点C在线段AD上，连接BC，如图所示，
设BC＝x dm，由题意知CD＝2x dm，AC＝AD－CD＝(17－2x)dm.
在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A，
即x2＝(4)2＋(17－2x)2－8(17－2x)cos 45°，
解得x1＝5，x2＝.
所以AC＝17－2x＝7(dm)或AC＝－(dm)(舍去).
所以该机器人最快可在线段AD上离A点7 dm的点C处截住足球．
方程思想的应用
余弦定理和正弦定理涉及三个边和三个角共六个量，只要知道其中三个独立的量(必须有边)就能求出其余三个量．因此，解三角形的实际应用问题中，直接求相关量较难时，通常将问题的数量关系运用这两个定理转化为数学模型(方程、方程组)加以解决．
函数思想的应用
【典例】某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．
若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
【解析】设相遇时小艇航行的距离为S海里，
则S＝
＝＝.
故当t＝时，Smin＝10 ，v＝＝30 .即小艇以30 海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
函数思想的应用
将三角形中边角之间的关系问题借助余弦定理和正弦定理建立函数关系，结合有关函数的图象和性质，加以分析、转化、解决有关求取值范围、最大(小)值问题．
微提醒：利用函数思想解决实际问题时，要注意实际问题中量的取值范围，即函数的定义域．
【加固训练】
如图，一辆汽车从O点出发，沿海岸一条直线公路以100千米/时的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在O点南偏东方向距O点500千米且与海岸距离MQ为300千米的海上M处有一快艇，与汽车同时出发，要把一件重要的物品递送给这辆汽车的司机，问快艇至少以下哪个速度行驶，才能把物品递送到司机手中．( )
A．40 B．50 C．60 D．70
【解析】选CD.设快艇从M处以v千米/时的速度出发，沿MN方向航行，t小时后与汽车相遇．
在△MON中，MO＝500，ON＝100t，MN＝vt.
设∠MON＝α，由题意，知sin α＝＝，
则cos α＝.
由余弦定理，知MN2＝OM2＋ON2－2OM·ON cos α，
即v2t2＝5002＋1002t2－2×500×100t×.
整理，得v2＝＋3 600.
当＝，即t＝时，v＝3 600，
所以vmin＝60，
即快艇至少须以60千米/时的速度行驶，故选CD.
微提醒：本题除了利用解析中常规解题方法之外，还可以将选择项逐项代入原题，能构成三角形的选项即为答案．
1．某人先向正东方向走了x km，然后他向右转150°，向新的方向走了3 km，结果他离出发点恰好为 km，那么x的值为( )
A． B．2
C．2或 D．3
【解析】选C.如图，在△ABC中由余弦定理得
3＝9＋x2－6x cos 30°，
即x2－3x＋6＝0，
解之得x＝2或.
2．如图，某人向正东方向走了x千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值为( )
A．1 B．4
C．－1 D．－1或4
【解析】选B.由余弦定理，得x2＋9－3x＝13，
整理得x2－3x－4＝0，解得x＝4或x＝－1 ，
又因为x > 0，所以x＝4.
3．在高出海平面200 m的小岛顶上A处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°，此时两船间的距离为________m.
【解析】过点A作AH⊥BC于点H，
由图易知∠BAH＝45°，∠CAH＝60°，AH＝200 m，
则BH＝AH＝200 m，CH＝AH·tan 60°＝200 m.
故两船距离BC＝BH＋CH＝200(＋1)m.
答案：200(＋1)
4．海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为12海里；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为8海里；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在北偏东120°，求：
(1)A处与D处之间的距离；
(2)灯塔C与D处之间的距离．
【解析】由题意，画出示意图．
(1)在△ABD中，由已知∠ADB＝60°，B＝45°，AB＝12.由正弦定理得AD＝·sin 45°＝24(海里).
(2)在△ADC中由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC cos 30°＝242＋(8)2－2×24×8×＝(8)2，
所以CD＝8(海里).
即A处与D处之间的距离为24海里，灯塔C与D处之间的距离为8海里．
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第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例
——高度、角度问题
基础认知·自主学习
1．仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角．目标视线在水平
视线_____时叫仰角，目标视线在水平视线_____时叫俯角，如图所示．
上方
下方
2．方位角
从指北方向_______转到目标方向线所成的水平角．如点B的方位角为α(如图所
示).方位角的取值范围：________．
顺时针
0°～360°
能力形成·合作探究
素养发展·创新应用
学情诊断·课堂测评
余弦定理、正弦
定理应用举例
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
有关概念
实际应用
解决实际测量中的角度问题时
(1)找准观测点以及参照物,根据“上北下南,左西右东”确定正北方向.
(2)分析图中的已知量和未知量,标出有关角和线段的大小.
(3)利用正弦定理或余弦定理解三角形,求出未知量.
高度问题
角度问题
1.数学抽象：常用的测量相关术语.
2.逻辑推理：将实际问题转化为数学问题.
3.数学运算：利用余弦定理、正弦定理求高度、角度.
4.数学模型：在适当的三角形中求解高度、角度.
解决测量高度问题的一般步骤是第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例——高度、角度问题
济南泉城广场上的泉标模仿的是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．某数学兴趣小组想测量泉标的高度，于是他们在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°，他们又沿着泉标底部方向前进，到达B点，又测得泉标顶部仰角为80°.
【问题1】要想求出“泉标”的高度，还需要知道哪些量？
【问题2】计算“泉标”的高度，需要用到哪些数学知识与数学方法？
【问题3】你能帮助该兴趣小组计算出“泉标”的高度吗？
1．仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角．目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示．
2．方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角．如点B的方位角为α(如图所示).方位角的取值范围：0°～360°．
1．本质：仰角、俯角、方位角等都是人民在生产、生活中为方便使用而人为定义的一些角．
2．混淆：方向角和方位角不是相同的角．方向角是指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，而方位角是从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角．
3．视角
视角不是仰角，也不是俯角．视角是指观察物体的两端视线张开的角度．如图所示，视角60°指的是观察该物体上下两端点时，视线的张角．
方位角的范围为什么不是(0，π)
提示：方位角的概念表明，“从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角”，显然方位角的范围应该是[0，2π).
1．若P在Q的北偏东44°，则Q在P的东偏北44°方向吗？
2．方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系，其范围均是吗？
3．已知三角形的三个角，能够求其三条边吗？
提示：1.不是.2.不是.3.不是．
1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系是( )
A．α＞β B．α＝β
C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°
【解析】选B.由仰角与俯角的水平线平行可知α＝β.
2．已知两座建筑A，B与规划测量点C的距离相等，A在C的北偏东40°，B在C的南偏东60°，则A在B的( )
A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东10° D．南偏西10°
【解析】选B.如图，因为△ABC为等腰三角形，
所以∠CBA＝(180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°.即A在B的北偏西10°.
基础类型一 利用余弦定理、
正弦定理求高度问题(数学运算)
1．(2021·南京高一检测)下面是如皋定慧寺观音塔的示意图，游客(视为质点)从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿直线DB前进51米达到E点，此时看点C点的仰角为45°，若2BC＝3AC，则该观音塔的高AB约为( )
(≈1.73)
A.8米 B．9米 C．40米 D．45米
【解析】1.选D.不妨设AC＝x，根据条件可得BC＝BE＝x，AB＝AC＋BC＝x，
因为tan ∠ADB＝
所以BD＝＝x，
所以DE＝BD－BE＝(－)x＝51，
所以x＝≈18.02，
所以AB＝x≈45米．
2．在一幢20 m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高是( )
A．20 m B．20(1＋) m
C．10(＋) m D．20(＋) m
【解析】2．选B.如图，由条件知四边形ABCD为正方形，所以AB＝CD＝20 m，BC＝AD＝20 m.
在△DCE中，∠EDC＝60°，∠DCE＝90°，CD＝20 m，
所以EC＝CD·tan 60°＝20 m，
所以BE＝BC＋CE＝(20＋20) m.
3．如图，要在山坡上A，B两处测量与地面垂直的铁塔CD的高，由A，B两处测得塔顶C的仰角分别为60°和45°，AB长为40 m，斜坡与水平面成30°角，则铁塔CD的高为____________m.
【解析】3．延长CD交过A，B的水平线于点E，F，
因为∠CAE＝60°，∠CBF＝45°，∠DBF＝30°，
所以∠BCF＝45°，∠ACE＝30°，∠BDF＝60°，
所以∠BCA＝15°，∠ADC＝120°，∠CBA＝15°，∠CAD＝30°.
所以AC＝AB＝40 m，
在△ACD中，由正弦定理得，＝，
即＝，解得CD＝ m.
答案：
解决测量高度问题的一般步骤
(1)画图：根据已知条件画出示意图．
(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形，在高度问题中，经常用到直角三角形．
(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用．
【加固训练】
在本节的导学素材中，假如测得AB相距15.2 m，你能帮助兴趣小组求出泉标的高度吗？(精确到1 m)
【解析】如图所示，点C，D分别为泉标的底部和顶端．
依题意，∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，AB＝15.2 m，
则∠ABD＝100°，
故∠ADB＝180°－(60°＋100°)＝20°.
在△ABD中，根据正弦定理，＝.
所以BD＝＝≈38.5(m).
在Rt△BCD中，CD＝BD sin 80°＝38.5×sin 80°
≈38(m)，即泉城广场上泉标的高约为38 m．
基础类型二 角度问题(逻辑推理、数学运算)
【典例】某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离为10 km的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10 km/h的速度向小岛靠拢，海军舰艇立即以10 km/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．
【解析】如图所示，设t小时后，舰艇与渔船在B处靠近，
则AB＝10t，CB＝10t，在△ABC中，根据余弦定理，
则有AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°，可得(10t)2＝102＋(10t)2－2×10×10t cos 120°，
整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－(舍去).
所以舰艇需1小时靠近渔船．
此时AB＝10 km，BC＝10 km.
在△ABC中，由正弦定理，得＝，
所以sin ∠CAB＝＝＝.
又因为∠CAB为锐角，所以∠CAB＝30°.
所以舰艇航行的方位角∠BAD＝45°＋30°＝75°.
答：舰艇航行的方位角为75°，航行的时间为1小时．
解决角度问题时的注意方法：
1．测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
2．在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求角．因为余弦函数在(0，π)上是单调递减的，而正弦函数在(0，π)上不是单调函数，一个正弦值可以对应两个角．但角在上时，用正、余弦定理皆可．
微提醒：根据题意解决角度问题时，准确作图是关键，作图时注意各个量的含义，特别注意方向角与方位角的区别．
地图测绘人员在点A测得某一目标参照物P在他的北偏东30°的方向，且距离为40 m，之后该测绘人员沿正北方向行走了40 m，达到点B.试确定此时目标参照物P在他北偏东的度数以及他与目标参照物P的距离．
【解析】如图，在△PAB中，∠PAB＝30°，PA＝40 m，AB＝40 m.
由余弦定理，得
PB＝
＝＝40 m.
因为AB＝40 m，
所以AB＝PB，所以∠APB＝∠PAB＝30°，
所以∠PBA＝120°.
因此测绘人员到达点B时，目标参照物P在他的北偏东60°方向上，且目标参照物P与他的距离为40m .
综合类型 余弦定理、正弦定理的
综合应用(逻辑推理、数学运算)
底部(顶部)不可到达的高度测量问题
(1)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝____________m.
【解析】(1)由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.
又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，
解得BC＝300 m.
在Rt△BCD中，
CD＝BC·tan 30°＝300×＝100 m.
答案：100
(2)如图，某人在地面上C处观察一架迎面飞来的飞机在A处的仰角为30°，过一分钟后到B再测得仰角为45°，如果该飞机以每小时450 km的速度沿水平方向飞行，则飞机的高度为____________ km.
【解析】(2)由题意知，∠DCA＝60°，∠DCB＝45°，
设飞机高为h km，则BD＝h km，AD＝h km.
又AB＝450×＝7.5 km，
由AD－BD＝AB得h－h＝7.5.
所以h＝＝ km.
答案：
1．对于底部不可到达的建筑物的高度测量问题，我们可选择一条过建筑物底部点的基线，在基线上取另外两点，这样四点可以构成两个三角形．其中，把不含未知高度的那个三角形作为依托，从中解出相关量，进而应用到含未知高度的三角形中，利用正弦或余弦定理求解即可．
2．对于顶部不能到达的建筑物高度的测量，我们可以选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成的三角形，在此三角形中利用正弦或余弦定理求解即可．
余弦定理、正弦定理在三角形综合问题中的应用
【典例】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b cos A＝(2c＋a)cos (π－B).
(1)求角B的大小；
(2)若b＝4，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【解析】(1)因为b cos A＝(2c＋a)cos (π－B)，
所以b cos A＝(2c＋a)(－cos B).
由正弦定理可得sin B cos A＝(－2sin C－sin A)cos B，
即sin (A＋B)＝－2sin C cos B，
sin C＝－2sin C cos B.
又角C为△ABC的内角，所以sin C>0，
所以cos B＝－.
又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)由S△ABC＝ac sin B＝，得ac＝4.
又b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac＝16.
所以a＋c＝2，所以△ABC的周长为4＋2.
在本例(2)中，去掉条件“△ABC的面积为”，求△ABC周长的取值范围．
【解析】由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，
即b2＝a2＋c2＋ac.又b＝4，所以
16＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac
≥(a＋c)2－.
所以(a＋c)2≤16，所以(a＋c)2≤.
即4所以8所以△ABC周长的取值范围是(8，4＋).
解三角形综合问题的方法
(1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起，要注意选择合适的方法、知识进行求解．
(2)解三角形还常与向量、三角函数及三角恒等变换知识综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解．
【加固训练】
在△ABC中，已知A＝60°，AB∶AC＝8∶5，面积为10，则△ABC的周长为________．
【解析】设AB＝8k，AC＝5k，k>0，
所以S△ABC＝AB·AC sin A＝10k2＝10，
所以k＝1，AB＝8，AC＝5，
由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A＝82＋52－2×8×5×＝49，所以BC＝7，所以△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝20.
答案：20
创新题型 三角形的面积问题(数学运算)
【典例】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.
已知A＝，b sin －c sin ＝a.
(1)求证：B－C＝；
(2)若a＝，求△ABC的面积．
【解析】(1)证明：由b sin －c sin ＝a及正弦定理，得sin B sin －sin C sin
＝sin A，即sin B－
sin C＝，
整理得sin B cos C－cos B sin C＝1即sin (B－C)＝1.
由于0(2)因为B＋C＝π－A＝，B－C＝，
所以B＝，C＝.
由a＝，A＝，得b＝＝2sin ，
c＝＝2sin ，
所以△ABC的面积S＝bc sin A
＝sin sin ＝cos sin ＝sin＝.
三角形中几何计算问题的解题思路
(1)正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决．
(2)若所给图形为平面三角形，则需运用正、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式S＝ab sin C或S＝bc sin A或S＝ac sin B进行求解．
【加固训练】
已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sinA sin C.
(1)若a＝b，求cos B.
(2)若B＝90°，且a＝，求△ABC的面积．
【解析】(1)因为sin2B＝2sinA sin C，
由正弦定理得b2＝2ac，因为a＝b，所以a＝2c.
由余弦定理得cos B＝＝＝＝.
(2)因为B＝90°，所以a2＋c2＝b2，
又b2＝2ac，
所以a2＋c2＝2ac，即a＝c＝，
所以S△ABC＝××＝1.
1．设甲、乙两幢楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两幢楼的高分别是( )
A．20 m， m B．10 m，20 m
C．10(－) m，20 m D． m， m
【解析】选A.由题意，知h甲＝20tan 60°＝20(m)，
h乙＝20tan 60°－20tan 30°＝(m).
2．如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD＝120°，C，D两地相距500 m，则电视塔AB的高度是( )
A.100 m B．400 m C．200 m D．500 m
【解析】选D.设AB＝x m，
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，所以BC＝AB＝x m；
在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，所以BD＝x m，
在△BCD中，∠BCD＝120°，CD＝500 m，
由余弦定理得(x)2＝x2＋5002－2x×500×cos 120°，
解得x＝500(负值舍去).
3．若点A在点C的北偏东30°方向上，点B在点C的南偏东60°方向上，且AC＝BC，则点A在点B的( )
A．北偏东15°方向上 B．北偏西15°方向上
C．北偏东10°方向上 D．北偏西10°方向上
【解析】选B.
如图所示，∠ACB＝90°.
又因为AC＝BC，所以∠CBA＝45°.
因为β＝30°，所以α＝90°－45°－30°＝15°.
所以点A在点B的北偏西15°方向上．
4．如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山脚A处测得AC＝60 m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为________m.
【解析】由题图可得∠B＝45°，∠BAC＝30°，
故BC＝
＝＝30(m).
答案：30
5.如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，求塔高．
【解析】在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°，
由正弦定理得＝，
所以BC＝＝15.
在Rt△ABC中，
AB＝BC tan ∠ACB＝15tan 60°＝15(米).
所以塔高AB＝15米．
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