(共35张PPT)
阶段复习课
第一课 平面向量及其应用
思维脉图构建
【答案速填】
①__三角形法则__
②__平行四边形法则__
③__共线向量__
④__向量垂直__
⑤__向量的投影__
⑥__线段长度__
⑦__余弦定理__
⑧__正弦定理__
易错案例警示
易错一 忽视向量加法与减法的三角形法则
【案例1】已知向量|a|=2,|b|=3，且|a+b|=|a-b|，则|2a+b|=( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【解析】选B.方法一:因为向量|a|=2,|b|=3,且|a+b|=|a-b|,如图,由向
量加法与减法的几何意义,得a⊥b,|2a|=4,所以得到矩形的对角线长度为
|2a+b|=5.
方法二:因为向量|a|=2,|b|=3,且|a+b|=|a-b|,所以
|a+b|2=|a-b|2,即a2+b2+2a·b=a2+b2-2a·b,得a·b=0.
所以|2a+b|= =5.
【错因探究】如果忽视了向量加法的平行四边形法则和向量减法的三角形法则,
简单认为|2a+b|=|2a|+|b|=7,本题易得到错误答案D.
【避错警示】
1.向量加法的平行四边形法则是:
在 ABCD中, (共起点,为邻边,平行四边形的对角线).
2.注意向量加法与减法的三角形法则是:
(首尾相接,始终连线), (共起点,连终点,指向被
减).
易错二 忽视零与零向量的差异
【案例2】已知△ABC所在平面内一点P满足
=______.
【解析】如图,设D为△ABC的边BC的中点,则 又
所以
点P为△ABC的重心,且
所以 =0.
答案:0
【错因探究】如果忽视了零和零向量的差异,本题易得到错误答案0.
【避错警示】零和零向量不同,不能混为一谈:0是实数,没有方向,0是向量,其方向是任意的,规定零向量与任意向量共线.
易错三 判断条件与结论互推时出错
【案例3】(2019·北京高考)设点A,B,C不共线,则“ 与 的夹角为锐角”
是“| + |>| |”的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.因为| |=| - |,所以| + |>| | | + |>
| - | | + |2>| - |2 · >0 与 的夹角为锐角
或0°,又因为点A,B,C不共线,所以 与 的夹角不为0°,即| + |>
| | 与 的夹角为锐角.
【错因探究】如果不能灵活对条件和结论进行真假判断,就会错选B,这是忽视
了逆向思维在解题中的应用.
【避错警示】本题以向量的夹角和向量的模的不等式为载体考查了充要条件的
判断,
1.从条件与结论的关系判断:设p为条件,q为结论
(1)p q,且p q,则p是q的充分不必要条件,同时,q是p的必要不充分条件;
(2)p q,且p q,则p是q的充要条件,同时,q是p的充要条件;
(3)p q,且p q,则p是q的既不充分也不必要条件,同时,q是p的既不充分也
不必要条件.
2.从集合的包含关系判断:
设集合A={x|p(x)},B={x|q(x)},A与B的包含关系有:
文字语言 符号语言 图形语言
p是q充分不必要条件
q是p必要不充分条件 “p q”,
且“p q”,
A B
p与q互为充要条件 p q
A=B
p是q的既不充分也不必要条件 p q
A B,B A
易错四 忽视向量的夹角
【案例4】设平面向量a=(-2,1),b=(λ,-1),若a与b的夹角为钝角,则λ的取值
范围是 ( )
A.(2,+∞) B.(-∞,- )
C.(- ,+∞) D.(- ,2)∪(2,+∞)
【解析】选D.方法一:因为a=(-2,1),b=(λ,-1),
且a与b的夹角为钝角,则a·b<0,得-2λ-1<0,
解得λ>- .设b=ma,得(λ,-1)=(-2m,m),
所以m=-1,λ=-2m=2,所以当λ=2时,向量a与b的方向相反,a与b的夹角为平角,
不满足题意,
所以λ≠2.综上所述,λ的取值范围是(- ,2)∪(2,+∞).
方法二:作向量 =a=(-2,1), =b=(λ,-1),如图,由a·b=0,得-2λ-1=0,
解得λ=- .设b=ma,得(λ,-1)=(-2m,m),
解得m=-1,λ=-2m=2,所以当λ=2时,向量a与b的方向相反,a与b的夹角为平角,
不满足题意,
所以λ≠2.结合图形,所以λ的取值范围是(- ,2)∪(2,+∞).
【错因探究】忽视了a与b方向相反的情况,易误选C,这是因为a·b<0时,a与b的夹角为钝角或平角,即a·b<0是a与b的夹角为钝角的必要不充分条件,而非充要条件.
【避错警示】对于非零向量a与b,夹角为θ,有以下结论:a·b=0 θ= ;
a·b>0且a与b方向不相同 θ∈
a·b<0且a与b方向不相反 θ∈
易错五 忽视三点共线的条件
【案例5】如图,在△ABC中, P是BN上的一点,若
则实数m的值为________.
【解析】方法一:因为
所以1-k=m,且 解得
方法二:因为 所以
得
因为B、P、N三点共线,所以m+ =1,解得m=
答案:
【错因探究】本题如果忽视了B,P,N三点共线时,满足m+ =1这一重要结论,
解题过程将变得烦琐甚至无法得解.
【避错警示】三点共线的充要条件:对于空间任一点O,三点A、B、P在同一条直
线上的充要条件是:存在实数t,使 (或者
(x+y=1)).
易错六 忽视三角形中隐含条件出现错题
【案例6】已知向量m=(sin(A-B),sin( -A)),n=(1,2sinB),且m·n=-sin2C,
其中A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角.
(1)求角C的大小;
(2)若sin A+sinB= sinC,且S△ABC= ,求边c的长.
【解析】(1)m·n=sin(A-B)+2cos AsinB
=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B),
在△ABC中,A+B=π-C,0
所以sin(A+B)=sin C,又m·n=-sin2C.
所以sin C=-sin2C=-2sin Ccos C,
所以cos C=- .即C=
(2)因为sin A+sinB= sinC,
由正弦定理得a+b= c.
S△ABC= absin C= ab= 得ab=4.
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C
=a2+b2+ab=(a+b)2-ab= c2-4
解得c=
【错因探究】本题第(2)问看似无懈可击,其实,在△ABC中,由条件C=
sin A+sin B= sin C,且S△ABC= ,求边c的长,这样的三角形不成立.
事实上,由C= S△ABC= ,可得ab=4.
又条件sin A+sinB= sinC
即a+b=
得a+b=
此时,(a-b)2=(a+b)2-4ab=- 矛盾.
【避错警示】产生上述错误的原因是什么呢
问题就是:在三角形中,若ab=4,C= ,且
a+b=mc,这里参数m的值是需要严格限制的.
由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C
=a2+b2+ab=(a+b)2-ab
又a+b=mc,必有(a+b)2-ab= (a+b)2,
所以
因为(a-b)2=(a+b)2-4ab≥0,
所以
事实上,本题当m= 时,m2= 出现错误.
本题若将sin A+sinB= sinC换为sin A+sinB= sinC,其余条件不变,问题
不变,则可求得c=4.
易错七 忽视非等价转化出现错题
【案例7】在△ABC中,sin A+cos A= ,AC=2,AB=3,求tanA的值和△ABC的面积.
【解析】方法一:因为sin A+cos A= ,所以 cos(A-45°)= 得cos(A-
45°)= ,又0°所以tan A=tan(45°+60°)=-2- ,sin A=sin(45°+60°)=
S△ABC= AC·AB·sin A=
方法二:因为sin A+cos A= ,所以2sin Acos A=- .
又0°0,cos A<0,
因为(sin A-cos A)2=1-2sin Acos A= ,
所以sin A-cos A=
解得sin A= cos A=
tanA=
S△ABC= AB·ACsin A= ×2×3×
【错因探究】本题若对条件sin A+cos A= 两边平方,容易出现增解:即
2sin Acos A=- ,所以sin2A=- ,
又0°<2A<360°,所以2A=210°或2A=330°得A=105°或A=165°,
当A=105°时,tanA=tan(45°+60°)= =-2- ,sin A=sin(45°+60°)
= 所以△ABC的面积为 AB·ACsin A= ×2×3×
当A=165°时,tan A=tan(45°+120°)=-2+ ,sin A=sin(45°+120°)
= △ABC的面积为 AB·ACsin A= ×2×3×
【避错警示】本题若对条件sin A+cos A= 两边平方,是没有注意到平方是
非等价转化的过程,产生了增根,事实上,若A=165°,sin A=
cos A=- ,
此时sin A+cos A=- ,显然与已知条件sin A+cos A= 矛盾.(共32张PPT)
阶段提升课
第一课 平面向量及其应用
知识体系·思维建模
知识体系·思维建模
考点整合·素养提升
基础知识
核心素养
1
平面向量的概念
加、减运算
直观想象
平面向量
数乘运算
的运算
数量积
基本定理
平面向量基
平面向量
平面向量的
本定理及坐
坐标表示
数学运算
及其应用
标表示
平面向量运算
的坐标表示
在平面几何中
的应用
平面向量
在物理中的
的应用
应用
距离、高度、
余弦定理、正
角度问题应用
数学建模
弦定理及应用
D
C
E
A
B第一课 平面向量及其应用
知能题组一 平面向量的加、减、数乘运算
1．如图，平行四边形ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则＝( )
A．a－b B．a＋b
C．a＋b D．a－b
2．如图所示，在△ABC中，设＝a，＝b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P，则＝( )
A.a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
【解析】1.选D.＝＋＝＋
＝－＝a－b.
2．选C.连接BP，则＝＋＝b＋①
＝＋＝a＋－.②
由①＋②，得2＝a＋b－.③
又＝＝(－)＝④
将④代入③，得2＝a＋b－，
解得＝a＋b.
用已知向量表示其他向量的两种方法
1．直接法
2．方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
知能题组二 平面向量的数量积
1．已知单位向量e1，e2的夹角为，a＝2e1－e2，a与e1夹角为θ，则|a|cos θ＝____________．
2．已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，a与a＋b夹角为α，则cos α＝( )
A．－ B．－ C． D．
3．设a，b为单位向量，且＝1，则＝( )
A． B． C．3 D．7
【解析】1.|a|cos θ＝＝a·e1＝(2e1－e2)·e1
＝2e－e1·e2＝2－1×1×cos ＝.
答案：
2．选D.向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，
可得|a＋b|＝＝＝7，
cos α＝＝＝＝.
3．选B.因为a，b为单位向量，且＝1，
所以2＝1，所以a2－2a·b＋b2＝1，
解得a·b＝，
所以＝＝＝.
知能题组三 平面向量的坐标运算
1．已知正方形ABCD的边长为2，M为正方形ABCD内一点(包含边界)，则(＋)·的最小值为( )
A．－11 B．－12 C．－13 D．－14
【解析】1.选B.
如图，建立以A为坐标原点的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2).
设点M的坐标为(x，y)，
则＋＝(2－2x，－2y)，
又＝(2，2)，所以(＋)·＝4－4x－4y＝4－4(x＋y).
因为M为正方形ABCD内一点(包含边界)，则0≤x≤2，0≤y≤2，
即0≤x＋y≤4，所以(＋)·＝4－4(x＋y)≥－12，
故(＋)·的最小值为－12.
2．已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，－3).与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
【解析】2.＝(0，4)－(2，1)＝(－2，3)，
＝(5，－3)－(1，3)＝(4，－6)，
因为(－2)×(－6)－3×4＝0，
所以，共线．
又＝－2，所以，方向相反．
综上，与共线且方向相反．
(1)有垂直特征的向量运算可以建立平面坐标系，转化为坐标运算．
(2)利用平面向量解决几何问题的关键是恰当地引入向量，通过向量运算，解释几何性质，充分体现向量的工具作用．
(3)利用向量平行的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．
知能题组四 平面向量在平面几何
和物理中的应用
1．用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体，如图所示，已知物体的重力大小为10 N，则每根绳子的拉力大小是____________．
【解析】1.因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60°，故每根绳子的拉力大小都是10 N.
答案：10 N
2．如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.
【解析】2．方法一：(基向量法)设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0＜a＜1)，则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝a，
所以·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·
＝1×a×cos 180°＋1×(1－a)×cos 90°＋a×a×cos 45°＋a×(1－a)×cos 45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0，
所以⊥，即DP⊥EF.
方法二：(坐标法)设正方形边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，
设P(x，x)，则D(0，1)，E(x，0)，F(1，x)，
所以＝(x，x－1)，＝(1－x，x)，
由·＝x(1－x)＋x(x－1)＝0，
所以⊥，即DP⊥EF.
平面向量两个方面的应用
(1)平面几何应用
向量 几何问题
共线向量 点共线问题、直线与直线平行
数乘向量 求线段长度之比
数量积 线段的长度、直线与直线的夹角
(2)物理应用：速度、位移、力、功．
知能题组五 余弦定理、正弦定理及其应用
1．(2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为( )
(≈1.732)
A．346 B．373 C．446 D．473
【解析】选B.过点C作CH⊥BB′，过B作BD⊥AA′，故AA′－CC′＝AA′－(BB′－BH)＝AA′－BB′＋100＝AD＋100，
易知△ADB为等腰直角三角形，所以AD＝DB，
所以AA′－CC′＝DB＋100＝A′B′＋100.
因为∠BCH＝15°，所以CH＝C′B′＝.
在△A′B′C′中，由正弦定理得：＝＝＝.
所以A′B′＝＝100(＋1)≈273.
所以AA′－CC′＝A′B′＋100≈373.
2．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于________，AC的取值范围为________．
【解析】设A＝θ B＝2θ.
由正弦定理得＝，所以＝1 ＝2.
由锐角△ABC得0°<2θ<90° 0°<θ<45°.
又0°<180°－3θ<90° 30°<θ<60°，
故30°<θ<45° 所以AC＝2cos θ∈(，).
答案：2 (，)
正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用．常用的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题等．解决的基本思路是画出正确的示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题还要注意近似计算的要求．
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