(共30张PPT)
7．1 复数的概念
7．1.1 数系的扩充和复数的概念
基础认知·自主学习
能力形成·合作探究
学情诊断·课堂测评
数系的扩充和复数的概念
核心知识
方法总结
核心素养
易错提醒
1.数系的扩充.
2. 复数有关的概念
(1)判断复数是实数、虚数或者纯虚数：①保证复数的实部、虚部均有意义．②根据分类的标准，列出实部、虚部应满足的关系式再求解．
(2)复数相等求参数的步骤：分别确定两个复数的实部与虚部，
利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组求解．
(1)两个复数不全是实数，就不能比较大小．
(2)一个数的平方非负在实数范围内是真命题，在复数范围内是假命题.
(3)对于复数实部、虚部的确定不但要把复数化为a＋bi的形式，更要
注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部．
1.数学抽象：复数及相关概念.
2.逻辑推理：复数的分类.
3.数学运算：复数相等求参数.
1、复数的代数形式.
2、复数的实部、虚部.
3、虚数、纯虚数.
4、复数相等.
虚部
复数的代数形式
z=a+bi-
虚数单位，2=-1
实部
虚数集
复数集
纯虚数巢
实数集(共34张PPT)
第七章 复 数
7.1 复数的概念
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
【情境探究】
1.回顾一元二次方程的解,明确实数的概念与分类:
(1)方程x2-2x-3=0的正整数解是__,有理数解是_____,实数解是_____.
(2)方程x2-2x-1=0的无理数解是 ,实数解是 .
必备知识生成
3
3,-1
3,-1
2.(1)方程x2=-1在实数集中是否有解
提示:因为实数的平方都是非负数,所以方程x2=-1在实数集中无解.
(2)为了解决此类方程无实数解的问题,我们引入新数i,定义i·i=i2=-1,将实数
集加以扩充,得到一个新的数集,那么此方程在这个数集中就有一个解为__.
i
3.(1)复数a+bi(a,b∈R)何时表示零
提示:当且仅当a=b=0时表示零.
(2)实数集R与复数集C有什么关系
提示:用文字语言描述:实数集R是复数集C的真子集,
即R C.
用图形语言描述:
【知识生成】
1.数系的扩充与复数的概念:
(1)复数的定义
形如_____________的数叫做复数,其中i叫做_________,满足i2=___,全体复数
所构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做_______.
(2)复数的表示
复数通常用字母z表示,即z=_____________,a与b分别叫做复数z的_____与_____.
(3)复数相等
设a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+di _________.
a+bi(a,b∈R)
虚数单位
-1
复数集
a+bi(a,b∈R)
实部
虚部
a=c且b=d
2.复数的分类与数系表
关键能力探究
探究点一 复数的有关概念与表示
【典例1】1.给出下列三个命题:①若z∈C,则z2≥0;②2i-1虚部是2i;③2i的实
部是0.其中真命题的个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分别是
________、________.
3.判断下列命题的真假.
①若实数a与ai对应,则实数集与纯虚数集一一对应;
②实数集的补集是虚数集.
【思维导引】利用复数的概念判断.
【解析】1.选B.对于①,当z∈R时,z2≥0成立,否则不成立,如z=i,z2=-1<0,所
以①为假命题;
对于②,2i-1=-1+2i,其虚部为2,不是2i,所以②为假命题;
对于③,2i=0+2i,其实部是0,所以③为真命题.
2.由题意得:a2=2,-(2-b)=3,所以a=± ,b=5.
答案:± 5
3.①当a=0时,ai=0为实数,故①为假命题.
②由复数集的分类知,②正确,是真命题.
【类题通法】判断与复数有关的命题是否正确的策略
(1)复数的代数形式:
若z=a+bi,只有当a,b∈R时,a才是z的实部,b才是z的虚部,且注意虚部不是bi,
而是b.
(2)不要将复数与虚数的概念混淆,实数也是复数,实数和虚数是复数的两大构
成部分.
(3)举反例:判断一个命题为假命题,只要举一个反例即可,所以解答这类题时,
可按照“先特殊,后一般,先否定,后肯定”的方法进行解答.
【定向训练】
1.已知纯虚数z=(a-1)+(a-b)i,则实数a,b满足的条件是 ( )
A.a=1,b=1 B.a≠1,b=1
C.a≠1,b≠1 D.a=1,b≠1
【解析】选D.因为纯虚数z=(a-1)+(a-b)i,则a-1=0,且a-b≠0,所以a=1,b≠1.
2.已知复数z=(a-1)-(2-b)i的实部和虚部分别是2和1,则实数a,b的值分别是
________.
【解析】由题意得:a-1=2,-(2-b)=1,所以a=3,b=3.
答案:3,3
探究点二 复数的分类
【典例2】1.已知x∈R,复数z=(x2-1)+(x+1)i为纯虚数,则z=________.
2.已知m∈R,复数z= +(m2+2m-3)i,
当m为何值时,z分别满足下列条件
(1)z∈R;(2)z是虚数;(3)z是纯虚数.
【思维导引】
z=a+bi
【解析】1.由于复数z=(x2-1)+(x+1)i为纯虚数,则实数x满足 解得
x=1,所以z=2i.
答案:2i
2.复数z= +(m2+2m-3)i,m∈R.
(1)由z∈R,得 解得m=-3.
(2)由z是虚数,得m2+2m-3≠0且m-1≠0,
解得m≠1且m≠-3.
(3)由z是纯虚数,得
解得m=0或m=-2.
【类题通法】
1.解决复数分类问题的方法与步骤
(1)化标准式:解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部
和虚部.
(2)定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问
题,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.
(3)下结论:设所给复数为z=a+bi(a,b∈R),①z为实数 b=0;②z为虚数 b≠0;
③z为纯虚数 a=0且b≠0.
2.复数分类的应用
(1)参数自身:判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数,
首先要保证参数值使表达式有意义,其次对参数值的取舍,是取“并”还是
“交”,非常关键,解答后进行验证是很必要的.
(2)整体与局部:对于复数z=a+bi(a,b∈R),既要从整体的角度去认识它,把复
数z看成一个整体,又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它.这是解复
数问题的重要思路之一.
【定向训练】
1.若复数z=(m+1)+(m2-9)i<0,则实数m的值等于________.
【解析】因为z<0,所以 所以m=-3.
答案:-3
2.已知复数z=m(m-1)+(m2+2m-3)i,当实数m取什么值时,复数z是(1)零;(2)纯
虚数.
【解析】(1)因为z是零,所以 解得m=1.
(2)因为z是纯虚数,所以 解得m=0.
综上,当m=1时,z是零;当m=0时,z是纯虚数.
【补偿训练】
下列复数中,实数为________,虚数为________,纯虚数为________.
(将序号填在相应的横线上)
①1+2i; ②1-2i2; ③-3i; ④2i-3;
⑤1+0i; ⑥cos π+isin π.
【解析】1+2i,-3i,2i-3是虚数;-3i是纯虚数;1-2i2=3,1+0i=1,cos π+isin π
=-1,都是实数.
答案:②⑤⑥ ①③④ ③
探究点三 复数相等及其应用
【典例3】1.已知复数z1=a+2i,z2=2(1+bi),若z1=z2,则实数a,b的值分别为
( )
A.a=1,b=1 B.a=1,b=2
C.a=2,b=1 D.a=2,b=2
2.已知关于x的方程x2+(1-2i)x+(3m-i)=0有实数根,求实数m的值及方程的实
数根.
【思维导引】1.根据复数相等的充要条件:实部与虚部分别相等求a,b的值.
2.设出方程的实数解,代入原式整理为a+bi=0(a,b∈R)的形式解决.
【解析】1.选C.因为复数z1=a+2i,z2=2+2bi,且z1=z2,则实数a=2,2b=2,即a=2,
b=1.
2.设a是原方程的实数根,则a2+(1-2i)a+(3m-i)=0,
即(a2+a+3m)-(2a+1)i=0+0i,
所以a2+a+3m=0且2a+1=0,
所以 且
所以
所以 ,方程的实数根为
【类题通法】
复数相等问题的解题技巧
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等,虚部与虚部相等列方
程组求参数的解.
(2)根据复数相等的条件,将复数问题转化为实数问题,为应用方程思想提供了
条件,同时这也是复数问题实数化思想的体现.
(3)如果两个复数都是实数,可以比较大小,否则两个虚数不能比较大小.
【定向训练】
已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,则实数m的值为_____.
【解析】因为M∪P=P,所以M P.
由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,得 解之得m=1.
或由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,得 解之得m=2.
综上可知m=1或m=2.
答案:1或2
【补偿训练】
求适合等式(2x-1)+i=y+(y-3)i的x,y的值.其中x∈R,y∈R.
【解析】由复数相等的充要条件可知 解得
数系的扩充和复数的概念
核心知识
方法总结
核心素养
易错提醒
1.数系的扩充.
2. 复数有关的概念
(1)判断复数是实数、虚数或者纯虚数：①保证复数的实部、虚部均有意义．②根据分类的标准，列出实部、虚部应满足的关系式再求解．
(2)复数相等求参数的步骤：分别确定两个复数的实部与虚部，
利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组求解．
(1)两个复数不全是实数，就不能比较大小．
(2)一个数的平方非负在实数范围内是真命题，在复数范围内是假命题.
(3)对于复数实部、虚部的确定不但要把复数化为a＋bi的形式，更要
注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部．
1.数学抽象：复数及相关概念.
2.逻辑推理：复数的分类.
3.数学运算：复数相等求参数.
1、复数的代数形式.
2、复数的实部、虚部.
3、虚数、纯虚数.
4、复数相等.
课堂素养达标
1.复数z=(m2+m)+mi(m∈R,i为虚数单位)是纯虚数,则实数m的值为( )
A.0或-1 B.0 C.1 D.-1
【解析】选D.因为z为纯虚数,所以 所以m=-1.
2.下列命题中,正确命题的个数是 ( )
①若x,y∈C,则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1;
②若a,b∈R且a>b,则a+i>b+i;
③若x2+y2=0,则x=y=0.
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选A.①由于x,y∈C,所以x+yi不一定是复数的代数形式,不符合复数
相等的充要条件,①是假命题.
②由于两个虚数不能比较大小,所以②是假命题.
③当x=1,y=i时,x2+y2=0成立,所以③是假命题.
3.已知x是方程x2=-1的解,则1+x= ( )
A.1+i B.1-i C.1±i D.0
【解析】选C.由x2=-1,可知x=±i,所以1+x=1±i.
4.已知复数z=a-2 019i的实部与虚部互为相反数,则实数a=______.
【解析】由于复数z=a-2 019i=a+(-2 019)i的实部与虚部分别为a和-2 019,
且复数的实部与虚部互为相反数,则实数a=2 019.
答案:2 019数系的扩充和复数的概念
【问题】任意两个数都能比较大小吗？
1．复数的概念：z＝a＋bi(a，b∈R)
全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}，叫做复数集．
2．复数的分类
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)
(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
1．本质：复数是数系的扩充，复数集是对实数集的扩展．
2．混淆：复数与实数不一样，两个复数不能比较大小．
3．对复数概念的三点说明
(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.
(2)复数的虚部是实数b而非bi.
(3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．
3．复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d.
1.若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数吗？
2．复数i的实部不存在，则虚部为0吗？
3．bi是纯虚数吗？
4．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等吗？
提示：1.不是2.不是3.不是4.是
1．复数2－3i的虚部是( )
A．3 B．－3 C．3i D．－3i
【解析】选B.复数2－3i的虚部为－3.
2．若(x＋2y)i＝2x－1，则实数x，y的值分别为______．
【解析】因为(x＋2y)i＝2x－1，
所以所以
答案：，－
基础类型一 复数的概念(数学抽象)
1．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是( )
A.3－3i B．3＋i
C.－＋i D．＋i
2．若a∈R，i为虚数单位，则“a＝1”是“复数(a－1)(a＋2)＋(a＋3)i为纯虚数”的( )
A.充要条件 B．必要不充分条件
C.充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件
【解析】1.选A.3i－的虚部为3，3i2＋i的实部为－3，所以所求复数为3－3i.
2．选C.当a＝1时，复数(a－1)(a＋2)＋(a＋3)i＝4i为纯虚数，当复数(a－1)(a＋2)＋(a＋3)i为纯虚数时，a＝1或a＝－2.
判断与复数有关的命题是否正确的方法
1．举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类型题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．
2．化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部．
基础类型二 复数的分类(逻辑推理)
【典例】实数x分别取什么值时，
复数z＝＋(x2－2x－15)i是①实数？②虚数？③纯虚数？
【解析】①当x满足
即x＝5时，是实数．
②当x满足即x≠－3且x≠5时，是虚数．
③当x满足
即x＝－2或x＝3时，是纯虚数．
解决复数分类问题的方法与步骤
(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
(2)定条件：把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可．
(3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，
①z为实数b＝0；
②z为虚数b≠0；
③z为纯虚数a＝0且b≠0.
综合类型 复数概念的应用(数学运算、逻辑推理)
复数的相等问题
【典例】
已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i，求实数x，y的值．
【解析】因为x，y为实数，
所以2x－1，y＋1，x－y，－x－y均为实数．
由复数相等的充要条件，知
所以
复数相等的充要条件
复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，解决复数相等问题的步骤是：利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解．
微提醒：在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不成立．
【加固训练】
若(3x－2y)i＝2－x，求实数x，y的值．
【解析】因为(3x－2y)i＝2－x，且x，y是实数，
所以解得
即x，y的值分别是2和3.
复数中比较大小问题
【典例】已知复数x2－1＋(y＋1)i大于复数2x＋3＋(y2－1)i，试求实数x，y的取值范围．
【解析】因为x2－1＋(y＋1)i＞2x＋3＋(y2－1)i，
所以且x2－1＞2x＋3，
解得y＝－1且x＜1－或x＞1＋，
即实数x，y的取值范围是
x＜1－或x＞1＋，y＝－1.
复数中比较大小问题：
1．两个虚数不能比较大小．
2．若两个复数能比较大小，则这两个复数必为实数(即两个复数的虚部均为0).
【加固训练】
若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值是____________．
【解析】因为log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，
所以
即
解得x＝－2.
答案：－2
1．(2021·无锡高一检测)已知a是实数，则复数(a2－2a)＋(a2＋a－6)i为纯虚数的充要条件是( )
A．a＝0或a＝2
B．a＝0
C．a∈R且a≠2且a≠－3
D．a∈R，且a≠2
【解析】选B.因为a是实数，则复数(a2－2a)＋(a2＋a－6)i为纯虚数需满足，解得a＝0.
2．以3i－1的虚部为实部，以－2＋i的实部为虚部的复数是( )
A．－2＋3i B．－3＋i
C．－2i＋3 D．1－3i
【解析】选C.3i－1的虚部为3，－2＋i的实部为－2，故以3i－1的虚部为实部，以－2＋i的实部为虚部的复数是3－2i.
3．给出下列三个命题：(1)若z∈C，则z2≥0；(2)2i－1的虚部是2i；(3)2i的实部是0.其中正确命题的个数为( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解析】选B.(1)错误，例如z＝i，则z2＝－1；
(2)错误，因为2i－1的虚部是2；
(3)正确，因为2i＝0＋2i.
4．如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞1，则实数m的值为________.
【解析】由题意得解得m＝2.
答案：2
5．若y为纯虚数，x为实数，且满足1＋y＝2x－1＋2i，求x，y的值．
【解析】设y＝ai(a是不为0的实数)，
则1＋ai＝2x－1＋2i，所以
得所以x＝1，y＝2i.
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6(共40张PPT)
7．1.2 复数的几何意义
基础认知·自主学习
能力形成·合作探究
学情诊断·课堂测评
复数的
几何意义
方法总结
核心知识
易错提醒
核心素养
(1)已知复平面内对应的点满足的条件求参数取值范围时，可根据
复数与点的对应关系，通过解方程(组)或不等式(组)求解．
(2)根据|a＋bi|＝ 可把复数模的问题转化为实数问题解决.
(3)根据|z|＝| |，可把复数模的问题转化为向量模的问题解决．
1.原点确定的复数是实数0，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
2.复数的模是非负实数，因此复数的模可以比较大小.
1.数学抽象：复平面及复数的几何意义的理解.
2.逻辑推理：根据平面与向量的关系推出复数与向量的一一对应及复数模公式.
3.数学运算：根据复数与复平面的点一一对应求参数和求复数的模.
4.数学建模：根据复数的代数形式，数形结合，多方位了解复数的几何意义.
1. 复平面.
2. 复数与点的对应.
3. 复数与向量的对应.
4. 复数的模.
y术
Z:a+bi
r
b
I
I
0
a
衣
复平面
I
I
实抽
I
-Z:a+bi
I
1
I
I
I
I
0
a
元
1
I
1
I
1
虚轴
1
I
复数z=a+
bi(a,b∈R)
一一对应
一一对应
复平面内
向量0Z
的点
(起点为原
Z(a,b)
一一对应
点O)(共39张PPT)
7.1.2 复数的几何意义
【情境探究】
1.回顾平面直角坐标系与点的坐标:
(1)在平面直角坐标系xOy中,O为原点,点Z(a,b)对应的向量 =_____,对应的
复数z=_____.
(2)在复平面内,复数z=a+bi,a,b∈R,对应的点Z的坐标为______,对应的向量
= ______.
必备知识生成
(a,b)
a+bi
(a,b)
(a,b)
2.(1)若复数z=a+bi(a,b∈R)对应的点位于复平面内的第三象限,则复数的实部
与虚部满足什么条件
提示:当a<0,b<0时,复数对应的点位于复平面内的第三象限.
(2)虚轴上的点都表示纯虚数吗
提示:除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.
3.(1)设Z(a,b),O为原点,则向量 的模如何用a,b表示
提示:
(2)复数可以用向量表示,那么向量的模与复数的模有什么关系
提示:用文字语言描述:向量的模就是复数的模.
用符号语言描述:|z|
4.复数z=a+bi与复数 =a-bi对应的点有什么关系
提示:复数z=a+bi对应的点为(a,b),复数 =a-bi对应的点为(a,-b),两点关于
x轴对称.
特别地,当b=0时,两点重合.
【知识生成】
1.复平面的定义
如图,这个建立了___________来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做___轴,y
轴叫做___轴.实轴上的点都表示实数;除_____外,虚轴上的点都表示纯虚数.
直角坐标系
实
虚
原点
2.复数的几何意义
已知原点O,复数z=a+bi,a,b∈R既可以与点Z(a,b)建立一一对应,又可以与平
面向量 建立一一对应关系,三者的关系如下:
3.复数的模(或绝对值)
向量 的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值,记作|z|或|a+bi|,即
|z| 其中a,b∈R.
如果b=0,那么z=a+bi就是实数a,它的模等于|a|(实数a的绝对值).
4.共轭复数
一般地,当两个复数的实部_____,虚部互为_____数时,这两个复数叫做互为共
轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用
表示,即如果z=a+bi,那么 =a-bi,其中a,b∈R.
相等
相反
关键能力探究
探究点一 复数与点的一一对应
【典例1】1.在复平面内,复数4+5i,-2+i对应的点分别为A,B,若C为线段AB的
中点,则点C对应的复数是 ( )
A.1+2i B.1+3i C.3+3i D.3+4i
2.实数m取什么值时,复平面内表示复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i的点
(1)位于第四象限;(2)位于直线y=x+1上.
【思维导引】1.利用相等向量计算,也可以利用线段的中点坐标公式计算;
2.根据点的位置列方程或不等式组求解.
【解析】1.选B.方法一:在复平面内,复数4+5i,-2+i对应的点分别为A(4,5),
B(-2,1),
设线段AB的中点C为(x,y),则
即(x-4,y-5)=(-2-x,1-y),
得x-4=-2-x,y-5=1-y,解得x=1,y=3.
所以C(1,3)对应的复数为1+3i.
方法二:复数4+5i,-2+i对应的点分别为A(4,5),B(-2,1),则线段AB的中点
C(1,3),所以C(1,3)对应的复数为1+3i.
2.(1)由
解得-2
(2)要使复数z表示的点在直线y=x+1上,需m2-5m-14=m2-8m+15+1,解得m=10.
此时,复数z对应的点位于直线y=x+1上.
【类题通法】复数与点的对应关系及应用
(1)复平面内复数与点的对应关系的实质是:复数的实部就是该点的横坐标,虚
部就是该点的纵坐标.
(2)已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数的取值范围时,可根据复数
与点的对应关系,建立复数的实部与虚部满足的方程(组)或不等式(组)求解.
【定向训练】
1.已知a、b∈R,那么在复平面内对应于复数a-bi,-a-bi的两个点的位置关系是
( )
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称
【解析】选B.在复平面内对应于复数a-bi,-a-bi的两个点为(a,-b)和(-a,-b)
关于y轴对称.
2.实数m取什么值时,复数z=2m+(4-m2)i在复平面内对应的点在
(1)虚轴上
(2)第一、三象限
(3)以原点为圆心,4为半径的圆上
【解析】(1)若复数z在复平面内对应的点位于虚轴上,则2m=0,即m=0.
(2)若复数z在复平面内的对应点位于第一、三象限,则2m(4-m2)>0,解得m<-2或
0(3)若复数z的对应点位于以原点为圆心,4为半径的圆上,则
即m4-4m2=0,解得m=0或m=±2.
探究点二 复数与向量的一一对应
【典例2】1.已知A(1,2),B(-3,5),则向量 对应的复数为 ( )
A.1+2i B.-3+5i
C.-2+7i D.-4+3i
2.已知向量 对应的复数是4+3i,点A关于实轴的对称点为A1,将向量 平移,
使其起点移动到A点,这时终点为A2.
(1)求向量 对应的复数;
(2)求点A2对应的复数.
【思维导引】1.求出向量 的坐标,再确定对应的复数.
2.根据复数与点以及复数与向量的对应关系求解.
【解析】1.选D.由于A(1,2),B(-3,5),则向量 =(-4,3),所以 对应的复数
为-4+3i.
2.(1)因为向量 对应的复数是4+3i,
所以点A对应的复数也是4+3i,
因此点A坐标为(4,3),
所以点A关于实轴的对称点A1为(4,-3),
故向量 对应的复数是4-3i.
(2)依题意知 = ,而 =(4,-3),
设A2(x,y),则有(4,-3)=(x-4,y-3),
所以x=8,y=0,即A2(8,0).
所以点A2对应的复数是8.
【类题通法】复数与向量的对应关系的两个关注点
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)是与以原点O为起点,Z(a,b)为终点的向量 一一对
应的.
(2)一个向量可以平移,其对应的复数不变,但是其起点与终点所对应的复数可
能改变.
提醒:向量是自由向量,其长度与方向与起点的位置无关, =(xB-xA,yB-yA),对
应的复数的实部和虚部分别是向量的横坐标和纵坐标.
【定向训练】
1.向量 对应的复数是5-4i,向量 对应的复数是-5+4i,则 + 对应
的复数是 ( )
A.-10+8i B.10-8i C.0 D.10+8i
【解析】选C.因为向量 对应的复数是5-4i,向量 对应的复数是-5+4i,所
以 =(5,-4), =(-5,4),所以 + =(5,-4)+(-5,4)=(0,0),所以 +
对应的复数是0.
2.已知平面直角坐标系中O是原点,向量 , 对应的复数分别为2-3i,-3+2i,
那么向量 对应的复数是 ( )
A.-5+5i B.5-5i
C.5+5i D.-5-5i
【解析】选B.向量 , 对应的复数分别为2-3i,-3+2i,根据复数与复平面
内的点一一对应,可得向量 =(2,-3), =(-3,2).
由向量减法的坐标运算可得向量 = - =(2+3,-3-2)=(5,-5),根据复数
与复平面内的点一一对应,可得向量 对应的复数是5-5i.
【补偿训练】
在复平面内,O为原点,向量 对应的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x的对称
点为点B,则向量 对应的复数为 ( )
A.-2-i B.-2+i
C.1+2i D.-1+2i
【解析】选B.因为复数-1+2i对应的点为A(-1,2),点A关于直线y=-x的对称点
为B(-2,1),所以 对应的复数为-2+i.
探究点三 共轭复数与复数的模
【典例3】1.已知复数z与复数z1=3-4i的模相等且与复数z2=a+5i,a∈R互为共
轭复数,则z=( )
A.3+4i B.3-5i C.5i D.-5i
2.已知复数z满足z+|z|=2+8i,求复数z.
【思维导引】1.两个共轭复数实部相等,虚部相反,且二者的模相等.
2.设z=a+bi(a,b∈R),代入等式后,可利用复数相等的充要条件求出a,b.
【解析】1.选D.因为复数z与复数z1=3-4i的模相等且与复数z2=a+5i互为共轭
复数,则|z|=|z1|=|z2|,得 所以a=0,z2=5i,z= =-5i.
2.方法一:设z=a+bi(a、b∈R),则|z|= ,代入方程得a+bi+ =2+8i,
所以 ，解得 .所以z=-15+8i.
方法二:原式可化为z=2-|z|+8i,因为|z|∈R,所以2-|z|是z的实部,于是
|z| 即|z|2=68-4|z|+|z|2,所以|z|=17.代入z=2-|z|+8i
得z=-15+8i.
【类题通法】明确复数的模即两点间的距离问题
(1)复数的模表示对应向量的长度,也就是对应的两点之间的距离.
(2)注意复平面上两点间的距离公式的多角度应用:
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R), 则
【定向训练】
1.设复数z1=a+2i,z2=-2+i,且|z1|<|z2|,则实数a的取值范围是 ( )
A.a<-1或a>1 B.-1C.a>1 D.a>0
【解析】选B.因为|z1|= ,|z2|= = ,
所以 即a2+4<5,所以a2<1,解得-12.已知复数z1=-2+i,z2=1-3i,对应的点分别为A,B,则向量 =______.
【解析】复数z1=-2+i,z2=1-3i,对应的点分别为A(-2,1),B(1,-3),
则向量 =(3,-4),所以 =5.
答案:5
复数的
几何意义
方法总结
核心知识
易错提醒
核心素养
(1)已知复平面内对应的点满足的条件求参数取值范围时，可根据
复数与点的对应关系，通过解方程(组)或不等式(组)求解．
(2)根据|a＋bi|＝ 可把复数模的问题转化为实数问题解决.
(3)根据|z|＝| |，可把复数模的问题转化为向量模的问题解决．
1.原点确定的复数是实数0，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
2.复数的模是非负实数，因此复数的模可以比较大小.
1.数学抽象：复平面及复数的几何意义的理解.
2.逻辑推理：根据平面与向量的关系推出复数与向量的一一对应及复数模公式.
3.数学运算：根据复数与复平面的点一一对应求参数和求复数的模.
4.数学建模：根据复数的代数形式，数形结合，多方位了解复数的几何意义.
1. 复平面.
2. 复数与点的对应.
3. 复数与向量的对应.
4. 复数的模.
课堂素养达标
1.下列命题中为假命题的是 ( )
A.复数的模是非负实数
B.复数等于零的充要条件是它的模等于零
C.两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件
D.复数z1>z2的充要条件是|z1|>|z2|
【解析】选D.A中任意复数z=a+bi(a、b∈R)的模|z|= ≥0总成立,所以
A正确;B中由复数为零的条件z=0 |z|=0,故B正确;C中若z1=a1+b1i,
z2=a2+b2i(a1、b1、a2、b2∈R),若z1=z2,则有a1=a2,b1=b2,所以|z1|=|z2|,反之
由|z1|=|z2|,推不出z1=z2,如z1=1+3i,z2=1-3i时,|z1|=|z2|,故C正确;D中两个
复数不能比较大小,但任意两个复数的模总能比较大小,所以D错.
2.在复平面内,复数z=sin 2+icos 2对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选D.因为 <2<π,所以sin 2>0,cos 2<0.
故z=sin 2+icos 2对应的点在第四象限.
3.已知复数z=a+ i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限,且|z|=2,则复
数z等于 ( )
A.-1+ i B.1+ i
C.-1+ i或1+ i D.-2+ i
【解析】选A.因为z在复平面内对应的点位于第二象限,所以a<0.由|z|=2知,
=2,解得a=±1.
故a=-1,所以z=-1+ i.
4.已知O为坐标原点, 对应的复数为-3+4i, 对应的复数为2a+i(a∈R).
若 与 共线,求a的值.
【解析】因为 对应的复数为-3+4i, 对应的复数为2a+i,所以 =(-3,4),
=(2a,1).
因为 与 共线,所以存在实数k使 =k ,即(2a,1)=k(-3,4)=(-3k,4k),
所以 所以 即a的值为复数的几何意义
1777年，数学家欧拉首次提出用i表示平方等于－1的新数，1801年，数学家高斯系统使用了i这个符号，使之通行于世．高斯不仅阐述了复数的加减法和乘法，而且将复数a＋bi表示为复平面的一点(a，b)，这也和向量运算是一致的．使人们对复数不再有种神秘的印象，几何表示可以使人们对复数真正有一个新的认识．
【问题1】把复数放到坐标平面时，横轴、纵轴会发生怎样的变化？
【问题2】把复数放到坐标平面时，这一坐标平面怎么称呼？
1．复平面
通过建立平面直角坐标系来表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
2．复数的几何意义
1．本质：建立了复数与复平面上的点，复数与向量的对应关系．
2．混淆：复数与原点为起点的向量一一对应，并非复平面上的所有向量．
复平面、实轴、虚轴与复数的对应
(1)复平面内点的坐标与复数实部虚部的对应：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可用点Z(a，b)表示．
(2)实轴与复数的对应：实轴上的点都表示实数．
(3)虚轴与复数的对应：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？
提示：不正确．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
3．复数的模
向量的模称为复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|.即|z|＝|a＋bi|＝，其中a，b∈R.如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模就等于|a|(a的绝对值).
4．共轭复数
(1)定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
(2)表示方法：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝a－bi.
对复数模的三点说明
(1)数学上所谓大小的定义是：在(实)数轴上右边的比左边的大，而复数的表示要引入虚数轴，在平面上表示，所以也就不符合关于大和小的定义，而且定义复数的大小也没有什么意义，所以我们说两个复数不能比较大小．
(2)数的角度理解：复数a＋bi(a，b∈R)的模|a＋bi|＝，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小．
(3)几何角度理解：表示复数的点Z到原点的距离．|z1－z2|表示复数z1，z2对应的两点之间的距离．
1．复数的模一定是正数吗？
提示：不一定，复数的模是非负数，即|z|≥0，当z＝0时，|z|＝0；反之，当|z|＝0时，必有z＝0.
2．互为共轭复数的两个复数有什么特点？
提示：实部相等，虚部相反，模相同．
1.复平面内的点与复数是一一对应吗？
2．复数即为向量，反之，向量即为复数，这种说法是否正确？
3．复数的模一定是正实数吗？
4．复数与向量一一对应吗？
提示：1.是 2.不是 3.不是 4.不是
1．已知复数z＝－i，复平面内对应点Z的坐标为( )
A．(0，－1) B．(－1，0)
C．(0，0) D．(－1，－1)
【解析】选A.复数z＝－i的实部为0，虚部为－1，故复平面内对应点Z的坐标为(0，－1).
2．已知复数z的实部为－1，虚部为2，则|z|＝________．
【解析】|z|＝＝.
答案：
基础类型一 复数与复平面上点的
对应关系(直观想象)
1．(2021·白银高一检测)已知复数z＝2＋i3，则z在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．向量a＝(－2，1)所对应的复数是( )
A．z＝1＋2i
B．z＝1－2i
C．z＝－1＋2i
D．z＝－2＋i
3．实数x分别取什么值时，复数z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i对应的点Z在：
(1)第三象限；
(2)直线x－y－3＝0上．
【解析】1.选D.复数z＝2－i在复平面内对应的点为(2，－1)，在第四象限．
2．选D.向量a＝(－2，1)所对应的复数是z＝－2＋i.
3．因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．
(1)当实数x满足
即当－3＜x＜2时，点Z在第三象限．
(2)z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i对应点Z(x2＋x－6，x2－2x－15)，
当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，
即当x＝－2时，点Z在直线x－y－3＝0上．
利用复数与点的对应解题的步骤
(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据．
(2)列出方程(组)或不等式(组)：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．
微提醒：复数与复平面内的点是一一对应关系，因此复数可以用点来表示．
基础类型二 复数与向量的对应关系(数学抽象)
【典例】在复平面内，点A，B，C对应的复数分别为1＋4i，－3i，2，O为复平面的坐标原点．
(1)求向量＋和对应的复数；
(2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数．
【解析】(1)由已知得，，所对应的复数分别为1＋4i，－3i，2，则＝(1，4)，＝(0，－3)，＝(2，0)，
因此＋＝(1，1)，＝－＝(1，－4)，
故＋对应的复数为1＋i，对应的复数为1－4i.
(2)方法一：由已知得点A，B，C的坐标分别为(1，4)，(0，－3)，(2，0)，
则AC的中点为，
由平行四边形的性质知BD的中点也是，
若设D(x0，y0)，则有解得
故D(3，7). 点D对应的复数为3＋7i.
方法二：由已知得＝(1，4)，＝(0，－3)，＝(2，0)，
所以＝(1，7)，＝(2，3)，
由平行四边形的性质得＝＋＝(3，10)，
所以＝＋＝(3，7)，于是D(3，7).点D对应的复数为3＋7i.
【备选例题】
在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2＋i.
(1)如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数；
(2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数．
【解析】(1)设向量对应的复数为z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，则点B的坐标为(x1，y1)，由题意可知，点A的坐标为(2，1).
根据对称性可知：x1＝2，y1＝－1，故z1＝2－i.
(2)设点C对应的复数为z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，
则点C的坐标为(x2，y2)，由对称性可知：x2＝－2，y2＝－1，故z2＝－2－i.
【知识拓展】
点A(a，b)关于x轴的对称点为B(a，－b)，点A(a，b)关于y轴的对称点为B(－a，b)，点A(a，b)关于原点的对称点为B(－a，－b)，点A(a，b)关于y＝x的对称点为B(b，a)，点A(a，b)关于y＝－x的对称点为B(－b，－a).
1．若复数z＝a＋bi(a，b∈R)则复数z在复平面内对应的向量＝(a，b).
2．解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
微提醒：一个向量不管怎样平移，它所对应的复数是不变的，但其起点与终点对应的复数可能改变．
复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量表示的复数是____________．
【解析】因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，所以＝(4，3)，＝(－2，－5)，又＝－＝(－2，－5)－(4，3)＝(－6，－8)，
所以向量表示的复数是－6－8i.
答案：－6－8i
综合类型 复数的模与共轭复数(逻辑推理、数学运算)
复数的模
【典例】设z为纯虚数，且|z－1|＝|－1＋i|，则复数z＝____________．
【解析】因为z为纯虚数，所以设z＝ai(a∈R，且a≠0)，
则|z－1|＝|ai－1|＝.
又因为|－1＋i|＝，所以＝，即a2＝1，
所以a＝±1，即z＝±i.
答案：±i
1．复数z＝a＋bi模的计算：|z|＝.
2．转化思想：利用模的定义将复数模的条件转化为其实虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想．
【加固训练】
若复数z＝＋(a2－a－6)i是实数，其中a是实数，则z1＝(a－1)＋(1－2a)i的模为________．
【解析】因为z为实数，所以a2－a－6＝0，
所以a＝－2或3.因为a＝－2时，z无意义，所以a＝3，所以z1＝2－5i，所以|z1|＝.
答案：
共轭复数
【典例】(2021·西安高一检测)在复平面内，复数z＝1＋i，则对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】选D.因为复数z＝1＋i，所以＝1－i，则在复平面内对应的点的坐标为(1，－1)，位于第四象限．
共轭复数的求法及其关系
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为＝a－bi.
(2)互为共轭复数的模相等．
微提醒：互为共轭复数的两个复数对应的点关于实轴对称．实数的共轭复数是它本身．
【加固训练】
已知复数z＝6－2i(i为虚数单位)，则在复平面内z的共轭复数所对应的点为( )
A．(6，－2) B．(6，2)
C．(－2，6) D．(2，6)
【解析】选B.由题意，可知＝6＋2i，则在复平面内所对应的点为(6，2).
1．已知z＝m－1＋(m＋2)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－1，2) B．(－2，1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－2)
【解析】选B.因为z＝m－1＋(m＋2)i在复平面内对应的点在第二象限，所以m－1<0，m＋2>0，解得－22．在复平面内，若＝(0，－5)，则对应的复数为( )
A．0 B．－5 C．－5i D．5
【解析】选C.对应的复数z＝0－5i＝－5i.
3．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为( )
A．1或3 B．1
C．3 D．2
【解析】选A.依题意可得＝2，解得m＝1或3.
4．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝____________．
【解析】因为z1＝2－3i，所以z1对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2，3).所以z2＝－2＋3i.
答案：－2＋3i
5．已知复数z满足|z|＝1，|z－1|＝1，求复数z.
【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)，
解得或
所以z＝±i.
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