(共36张PPT)
7．2 复数的四则运算
7．2.1 复数的加、减运算及其几何意义
基础认知·自主学习
(a＋c)＋(b＋d)i
(a－c)＋(b－d)i
z1＋z2＝z2＋z1
z1＋(z2＋z3)
z1＋z2
z1-z2
能力形成·合作探究
学情诊断·课堂测评
核心素养
易错提醒
方法总结
核心
知识
1.复数的加法法则
2.加法的几何意义
3.复数的减法法则
4.减法的几何意义
1.复数代数形式的加、减法运算：将实部与实部，虚部与虚部分别相加减之后分别作为结果的实部与虚部
2.复数加、减运算几何意义：复数的加减运算可转化为向量的坐标运算．利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则.
(1) 实数加法的交换律、结合律在复数集C中仍然成立
(2)复数的加、减运算结果仍是复数
1.逻辑推理：根据复数与平面向量的对应关系推导其几何意义;
2.数学运算：复数加、减运算及其几何意义求相关问题;
3.数学建模：结合复数加、减运算的几何意义和平面图形，数形结合，综合应用.
Y
Z
Ze
z2
Z
Z1
产
0
y
B
C
A
O
X
y
C
A(1,2)
1
1
B(-2,1)
0
X
V
Ze
Z
O
龙
Zs
Zi(共34张PPT)
7.2 复数的四则运算
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
【情境探究】
1.回顾向量的加法运算,联想复数的加法运算:
设向量 =(a,b), =(c,d),对应复数z1=a+bi,z2=c+di,
其中,a,b,c,d∈R,则 + = __________,z1+z2= _____________.
2.向量的加法运算法则是什么 是否适合复数的加法运算法则
提示:平行四边形法则,由于复数与平面向量是一一对应的,所以向量加法的平
行四边形法则适合复数的加法运算法则.
必备知识生成
(a+c,b+d)
(a+c)+(b+d)i
3.复数的减法法则:设向量 =(a,b), =(c,d),对应复数z1=a+bi,z2=c+di,
其中,a,b,c,d∈R,则 - = __________,z1-z2= _____________.
4.复数的减法运算与加法运算有什么联系
(a-c,b-d)
(a-c)+(b-d)i
提示:复数的减法运算与加法运算互为逆运算,可以由复数的加法运算法则得到
减法运算法则,
即z1-z2=z z1=z+z2.
设复数a+bi减去复数c+di的差为x+yi,其中a,b,c,d,x,y∈R,
即x+yi=(a+bi)-(c+di),
等价于(c+di)+(x+yi)=a+bi,
通过相等复数解方程得x=a-c,y=b-d,
于是直接可得复数的减法运算法则(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
5.如何推导计算复平面内点Z1(x1,y1)与点Z2(x2,y2)之间的距离公式
提示:根据复数的几何意义,复平面内点Z1(x1,y1)与点Z2(x2,y2)分别对应复数
z1=x1+y1i,z2=x2+y2i,所以
【知识生成】
1.复数的加减运算
已知复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)
(1)复数的加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= _____________.
(2)复数的减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= _____________.
与多项式加(减)法类似,复数的加(减)运算就是把复数的实部与实部,虚部与虚
部分别相加(减),结果仍然是一个复数.
(a+c)+(b+d)i
(a-c)+(b-d)i
2.复数加法的运算律
复数的加法运算满足交换律、结合律.
(1)加法交换律:z1+z2=_____.
(2)加法结合律:(z1+z2)+z3= __________.
z2+z1
z1+(z2+z3)
3.复数加法与减法运算的几何意义
设z1=a+bi,z2=c+di对应向量 =(a,b), =(c,d),
(a,b,c,d∈R),其中, 与 不共线
加法 减法
运算法则 z1+z2=(a+c)+(b+d)i z1-z2=(a-c)+(b-d)i
几何
意义 平行四边形法则 三角形法则
关键能力探究
探究点一 复数的加减运算
【典例1】1.复平面内,若复数z满足z+i-1=2-i,则 对应的点在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.计算:(1+2i)-(2-3i)+(4-3i)-(i-3).
【思维导引】1.利用复数的加减运算和共轭复数判断.
2.利用复数的加减运算法则以及运算律进行计算.
【解析】1.选A.由z+i-1=2-i,
得z=(2-i)-(i-1)=3-2i,则 =3+2i,
对应的点在第一象限.
2.(1+2i)-(2-3i)+(4-3i)-(i-3)
=[(1+2i)-(2-3i)]+[(4-3i)-(i-3)]
=(-1+5i)+(7-4i)=6+i.
【类题通法】复数加减运算的注意事项
(1)复数的加减运算法则:分别对复数的实部和虚部相加减.
(2)分清两个复数的实部和虚部是进行加减运算的关键,多个复数的加减混合
运算,可以利用加法交换律和结合律进行简便运算.
提醒:复数的减法运算不满足交换律和结合律.
【定向训练】
1.(2020·全国Ⅱ卷)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2= +i,则|z1-z2|=
__________.
【解析】因为|z1|=|z2|=2,可设z1=2cos θ+2sin θ·i,z2=2cos α+
2sin α·i,所以z1+z2=2(cos θ+cos α)+2(sin θ+sin α)·i= +i,
所以 ，两式平方作和得:
4(2+2cos θcos α+2sin θsin α)=4,
化简得cos θcos α+sin θsin α=- ,
所以|z1-z2|=|2(cos θ-cos α)+2(sin θ-sin α)·i|
答案:2
2.已知复数z1=1+i,z2=2-3i,则 =______.
【解析】由复数z1=1+i,z2=2-3i,得z1+z2=3-2i,其共轭复数为 =3+2i.
答案:3+2i
3.计算:(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…-(2 018-2 019i)+(2 019-2 020i).
【解析】方法一:(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…-(2 018-2 019i)+(2 019
-2 020i)=(1-2+3-4+…-2 018+2 019)+(-2+3-4+5-…+2 019-2 020)i
=(-1 009+2 019)+(1 009-2 020)i=1 010-1 011i.
方法二:因为(1-2i)-(2-3i)=-1+i,
(3-4i)-(4-5i)=-1+i,……,
(2 017-2 018i)-(2 018-2 019i)=-1+i,
所以将以上1 009个等式累加得(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…-(2 018-
2 019i)=-1 009+1 009i.
所以原式=-1 009+1 009i+(2 019-2 020i)=1 010-1 011i.
探究点二 复数加减运算的几何意义
【典例2】如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别表示0,3+2i,-2+4i.求:
(1) 表示的复数;
(2)对角线 表示的复数;
(3)对角线 表示的复数.
【思维导引】利用复数与平面向量的一一对应关系,转化为复数进行加减运算.
【解析】(1)因为 所以 表示的复数为-3-2i.
(2)因为 所以 表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
(3)因为 所以 表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.
【类题通法】复数与向量加减运算的对应关系的两个关注点
(1)应用数形结合思想将向量表示为复数.
(2)注意位置向量 与普通向量 的异同.
【定向训练】
已知复平面上,复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i对应的点是一个正方形的三个
顶点,求这个正方形的第四个顶点对应的复数.
【解析】设复数z1,z2,z3所对应的点分别为A,B,C,正方形的第四个顶点D对应
的复数为x+yi(x,y∈R).
方法一: (x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i; (-1-2i)-
(-2+i)=1-3i.
因为 即(x-1)+(y-2)i=1-3i,
所以 解得
故点D对应的复数为2-i.
方法二:因为点A与点C关于原点对称,所以原点O为正方形的中心,于是(-2+i)
+(x+yi)=0,
所以x=2,y=-1,故点D对应的复数为2-i.
探究点三 两点间的距离与轨迹问题
【典例3】1.若复数z满足 =1,则复数z对应的点的轨迹为 ( )
A.点 B.射线 C.直线 D.圆
2.若复数z满足 =1,求 的取值范围.
【思维导引】1.由复平面内两点之间的距离及其几何意义判断.
2.利用复数减法以及复数的模的几何意义转化为两点间的距离问题求取值范
围.
【解析】1.选D.由 =1,得复数z对应的动点Z与复数z1=i对应的定点Z1(0,1)
之间的距离为1,由圆的定义得,复数z对应的点的轨迹为圆,其中圆心为Z1(0,1),
半径为1.
2.由 =1,得复数z对应的动点Z的轨迹是圆心为Z1(0,1),半径为1的圆,如图.
的几何意义是复数z对应的动点Z到复数z2=2+i对应的定点Z2(2,1)之间
的距离,由于|Z1Z2|=2,r=1,所以2-r≤ ≤2+r,即 的取值范围是
[1,3].
【类题通法】
复数的减法与复数的模及其几何意义
从两个方面理解复数及其模的几何意义:
(1)复数z、复平面上的点Z及向量 相互联系,即
z=a+bi(a,b∈R) Z(a,b) .
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|= ,实际上就是指复平面上的点Z到原点
O的距离.|z1-z2|的几何意义是复平面上的点Z1,Z2两点间的距离.
【定向训练】
1.如果复数z满足|z+3i|+|z-3i|=6,那么|z+1+i|的最小值是 ( )
A.1 B. C.2 D.
2.若复数z满足|z+ +i|≤1,求|z|的最大值和最小值.
【解题指南】1.先由|z+3i|+|z-3i|=6确定复数z所对应的轨迹,再依据|z+1+i|
的几何意义求最小值.
2.明确满足条件|z+ +i|≤1的复数z的几何意义为:圆心为(- ,-1),半径为
1的圆内区域,包括边界,|z|则表示圆面上一点到原点的距离.
【解析】1.选A.因为|z+3i|+|z-3i|=6表示为点Z到点A(0,-3)与到点B(0,3)的
距离之和为6.所以点Z的轨迹为线段AB.而|z+i+1|表示为点Z到点(-1,-1)的距
离.数形结合,得最小距离为1.
2.如图所示:
所以|z|max=2+1=3,|z|min=2-1=1.
核心素养
易错提醒
方法总结
核心
知识
1.复数的加法法则
2.加法的几何意义
3.复数的减法法则
4.减法的几何意义
1.复数代数形式的加、减法运算：将实部与实部，虚部与虚部分别相加减之后分别作为结果的实部与虚部
2.复数加、减运算几何意义：复数的加减运算可转化为向量的坐标运算．利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则.
(1) 实数加法的交换律、结合律在复数集C中仍然成立
(2)复数的加、减运算结果仍是复数
1.逻辑推理：根据复数与平面向量的对应关系推导其几何意义;
2.数学运算：复数加、减运算及其几何意义求相关问题;
3.数学建模：结合复数加、减运算的几何意义和平面图形，数形结合，综合应用.
课堂素养达标
1.已知复数z1=2-i,z2=1+2i,则z1+z2= ( )
A.3+i B.3-i
C.1+3i D.1-3i
【解析】选A.由z1=2-i,z2=1+2i,得z1+z2=2-i+1+2i=3+i.
2.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量 、 对应的复数
分别是3+i、-1+3i,则 对应的复数是 ( )
A.2+4i B.-2+4i
C.-4+2i D.4-2i
【解析】选D.依题意有 而(3+i)-(-1+3i)=4-2i,即 对应的
复数为4-2i.
3.复平面内,复数z1=3-i,z2=-1+2i对应两点间的距离为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】选D.复平面内复数z1=3-i,z2=-1+2i对应两点间的距离为
4.在复平面内,点A,B,C分别对应复数z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i.以AB,AC为邻边
作平行四边形ABDC,求点D对应的复数z4及AD的长.
【解析】如图,由复数加减法的几何意义,知
所以z4-z1=(z2-z1)+(z3-z1),
所以z4=z2+z3-z1=(5+i)+(3+3i)-(1+i)=7+3i,
所以| |=|z4-z1|=|(7+3i)-(1+i)|=|6+2i|=2 .复数的加、减运算及其几何意义
【问题1】复数集内可进行复数的加减运算吗？
【问题2】复数的加减运算有什么运算法则吗？
【问题3】复数的加减运算有什么几何意义呢？
1．复数的加、减法运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，
z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i．
2．复数加法的运算律
(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；
(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
1．本质：复数的加法与减法运算就是把两个复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加(减).
2．混淆：复数的加、减运算，应注意以下几点
(1)一种规定：复数代数形式的加法法则是一种规定，减法是加法的逆运算；
特殊情形：当复数的虚部为零时，与实数的加法、减法法则一致．
(2)运算律：实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立．实数的移项法则在复数中仍然成立．
(3)运算结果：两个复数的和(差)是唯一确定的复数．
若复数z1，z2满足z1－z2>0，能否认为z1>z2
提示：不能，如2＋i－i>0，但2＋i与i不能比较大小．
3．复数加、减法的几何意义
如图所示，设复数z1，z2对应向量分别为1，2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应．
类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？
提示：|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离．
1.两个虚数的和或差可能是实数吗？
2．复数加法的运算法则类同于实数的加法法则吗？
3．复数的加法可以推广到多个复数相加的情形吗？
4．(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)成立吗？
提示：1.可能 2.是的 3.可以 4.成立
1．复数z1＝2－i，z2＝－2i，则z1＋z2等于( )
A．0 B．＋i
C．－i D．－i
【解析】选C.z1＋z2＝＋i＝－i.
2．已知向量1对应的复数为2－3i，向量2对应的复数为3－4i，则向量对应的复数为________．
【解析】＝－＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i.
答案：1－i
基础类型一 复数的加法、减法运算(数学运算)
1．a，b为实数，设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为( )
A．1＋i B．2＋i C．3 D．－2－i
2．(2021·温州高一检测)若复数z满足z＋(5－6i)＝3，则z的虚部是( )
A．－2i B．6i C．1 D．6
3．已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，则z＝________．
【解析】1.选D.因为z1＝2＋bi，z2＝a＋i，
所以z1＋z2＝2＋bi＋(a＋i)＝0，
所以a＝－2，b＝－1，
即a＋bi＝－2－i.
2．选D.z＝3－(5－6i)＝－2＋6i，则z的虚部是6.
3．方法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
因为z＋1－3i＝5－2i，
所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i，
即x＋1＝5且y－3＝－2，
解得x＝4，y＝1，所以z＝4＋i.
答案：4＋i.
方法二：因为z＋1－3i＝5－2i，
所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.
答案：4＋i
复数加、减运算的法则
(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．
(2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．
微提醒：当一个等式中同时含有|z|与z时，一般用待定系数法，设z＝x＋yi(x，y∈R).
基础类型二 复数加法的几何意义
(数学抽象、数学运算)
【典例】如图，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应复数分别为0，3＋2i，－2＋4i，试求
(1)所表示的复数，所表示的复数；
(2)对角线所表示的复数；
(3)对角线所表示的复数及的长度．
【思路探求】要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量的相等直接给出所求的结论．
【解析】(1)＝－，所以所表示的复数为－3－2i.
因为＝，所以所表示的复数为－3－2i.
(2)＝－.
所以所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)对角线＝＋，它所对应的复数z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，||＝＝.
利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论
(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．
(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．
(2021·苏州高一检测)如图，在复平面上，一个正方形的三个顶点A，B，O.对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，0，那么这个正方形的第四个顶点C对应的复数为( )
A．3＋i B．3－i C．1－3i D．－1＋3i
【解析】选D.因为＝＋ ，
所以对应的复数为1＋2i－2＋i＝－1＋3i，
所以点C对应的复数为－1＋3i.
综合类型 复数模的最值问题(数学运算、逻辑推理)
代数法求复数模的最值
【典例】复数z1＝1＋icos θ，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的最大值为( )
A．3－2 B．－1
C．3＋2 D．＋1
【思路导引】根据已知复数的代数形式，求出复数z1－z2，再根据三角函数的有界性求出复数模的最大值．
【解析】选D.|z1－z2|＝|(1＋icos θ)－(sin θ－i)|＝＝＝
≤＝＋1.
利用代数法求复数模的最值，先根据复数的加减运算对复数进行运算，再结合其它数学知识求出最值．
【加固训练】
已知复数z1＝cos θ＋i，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的最大值为( )
A． B． C．6 D．
【解析】选D.由题意，得|z1－z2|＝|(cos θ－sin θ)＋2i|＝＝＝≤，故|z1－z2|的最大值为.
几何法求复数模的最值
【典例】如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是( )
A．1 B． C．2 D．
【解析】选A.设复数－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.
问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|＝1，所以|z＋i＋1|min＝1.
若典例条件改为“设复数z满足|z－3－4i|＝1”，求|z|的最大值．
【解析】因为|z－3－4i|＝1
所以复数z所对应点在以C(3，4)为圆心，半径为1的圆上，
由几何性质得|z|的最大值是＋1＝6.
复数的模的几何意义：
复数的模的几何意义是复数所对应的点到原点的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解．
【加固训练】
设z∈C，且|z－i|＝|z－1|，则复数z在复平面内的对应点Z(x，y)的轨迹方程是________，|z＋i|的最小值是________．
【解析】|z－i|＝|z－1|表示复数z在复平面内的对应点Z到点A(0，1)，B(1，0)的距离相等，是线段AB的垂直平分线，所以点Z轨迹方程是x－y＝0.
|z＋i|的最小值为点(0，－1)到直线x－y＝0的距离，
所以|z＋i|min＝.
答案：x－y＝0
1．(2021·杭州高一检测)已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝( )
A．8i B．6
C．6＋8i D．6－8i
【解析】选B.z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.
2．若(－3a＋bi)－(2b＋ai)＝3－5i，a，b∈R，则a＋b＝( )
A． B．－ C．－ D．5
【解析】选B.(－3a＋bi)－(2b＋ai)＝(－3a－2b)＋(b－a)i＝3－5i，所以
解得a＝，b＝－，故有a＋b＝－.
3．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是( )
A．2＋4i B．－2＋4i
C．－4＋2i D．4－2i
【解析】选D.依题意有＝＝－，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，即对应的复数为4－2i.
4．已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝________．
【解析】由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i，又z1＋z2是纯虚数，所以解得a＝3.
答案：3
5．已知复数z满足2z－＝1＋3i，求复数z.
【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
所以2z－＝2(a＋bi)－(a－bi)＝a＋3bi＝1＋3i，
所以，解得，
所以z＝1＋i.
PAGE
7(共38张PPT)
7．2.2 复数的乘、除运算
基础认知·自主学习
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
z2z1
z1(z2z3)
z1z2＋z1z3
能力形成·合作探究
学情诊断·课堂测评
1. 复数的乘法运算
2. 复数乘法的运算律
3. 复数的除法法则
复数的乘除运算
1. 复数乘法与实数多项式乘法类似,在计算两个复数的乘积时,先按照多项
式的乘法展开,再将i2换成-1,最后合并同类项即可.
2.根据复数的除法法则,通过分子、分母都乘分母的共轭复数,使“分母实数化”,这个过程与“分母有理化”类似.
与复数有关的方程问题,一般是利用复数相等的充要条件,把复数问题实数化进行求解,根与系数的关系仍适用,但判别式“Δ”不再适用.
1.数学抽象：复数乘法、除法运算法则;
2.逻辑推理：复数乘法运算律的推导;
3.数学运算：复数四则运算;
4.数学建模：结合实数范围内求根公式和复数四则运算，解决复数范围内的方程根问题.
方法总结
易错提醒
核心知识
ixi=
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B
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X
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7.2.2 复数的乘、除运算
【情境探究】
1.回顾二项式乘法运算,类比复数的乘法运算:
(1)设复数z1=a+bi,z2=c+di,其中,a,b,c,d∈R,则z1z2= _________________.
(2)z1 =_____.
(3) =__________.
必备知识生成
(ac-bd)+(ad+bc)i
a2+b2
a2-b2+2abi
2.复数的除法运算与乘法运算有什么联系 怎样由复数的乘法运算进行复数的
除法运算
提示:复数的除法运算与乘法运算互为逆运算,可以由复数的乘法运算法则得到
除法运算法则,即 =z z1=zz2.设复数a+bi除以非零复数c+di的商为x+yi,即
x+yi= ,等价于(x+yi)(c+di)=a+bi,通过相等复数解方程可得,即(xc-yd)
+(xd+yc)i=a+bi,所以 消去y,解得x= ，同理消去x,解得
y= .所以 = + i(c+di≠0).
【知识生成】
1.复数代数形式的乘法法则
已知z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,则z1·z2=(a+bi)(c+di)=_________________.
2.复数乘法的运算律
运算律 恒等式
交换律 z1z2=____
结合律 (z1z2)z3= ________
分配律 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
(ac-bd)+(ad+bc)i
z2z1
z1(z2z3)
3.复数的除法运算(分母实数化)
= = + i(a,b,c,d∈R,且c+di≠0).
关键能力探究
探究点一 复数的乘法运算
【典例1】1.(2020·江苏高考)已知i是虚数单位,则复数z= 的实部是
________.
2.计算:(1+2i)(2-i)2(1-2i).
【思维导引】1.利用复数的乘法运算结果判断.
2.利用复数的乘法运算法则进行计算.
【解析】1.z= =3+i,则实部为3.
答案:3
2.(1+2i)(2-i)2(1-2i)=[(1+2i)(1-2i)](2-i)2=5×(3-4i)=15-20i.
【类题通法】复数乘法运算的注意事项
(1)复数的乘法运算与二项式乘二项式类似,展开后化简即可,注意i2=-1的应用.
(2)多个复数的乘法运算,可以利用加法交换律和结合律进行简便运算,注意两
个共轭复数的积是实数.
提醒:灵活运用“平方差公式”“完全平方公式”解析复数乘法计算.
复数的减法不满足交换律和结合律.
1.复数z=(1+bi)(2+i)是纯虚数,则实数b= ( )
A.-2 B.- C. D.2
【解析】选D.复数z=(1+bi)(2+i)=(2-b)+(2b+1)i是纯虚数,则实数b=2.
2.计算:
【解析】方法一:
方法二:
探究点二 复数的除法运算
【典例2】1.(2019·全国卷Ⅰ)设z= ,则|z|= ( )
A.2 B.
C. D.1
2.计算:(1+i)÷[(1+i)÷(2-i)].
【思维导引】1.通过复数的除法运算化简结果再计算复数的模.
2.先对括号内的复数进行计算,再进行复数乘法运算.
【解析】1.选C.因为z=
所以z= = - i,
所以|z|= 故选C.
2.方法一:因为
所以所以(1+i)÷[(1+i)÷(2-i)]=(1+i)÷
=(1+i)÷
= = =2-i.
方法二:(1+i)÷[(1+i)÷(2-i)]=(1+i)÷ =(1+i)× =2-i.
【类题通法】复数除法运算的注意事项
(1)将复数的除法运算转化为“分式”的形式,再分子分母同乘以分母的“共
轭复数”计算.
(2)多个复数的除法运算,有括号先算括号内的,没有括号按照从左向右的顺序
进行计算.
提醒:复数的除法运算不满足交换律和结合律.
【定向训练】
1.(2020·新高考全国Ⅰ卷) = ( )
A.1 B.-1
C.i D.-i
【解析】选D.
2.(2020·全国Ⅲ卷)复数 的虚部是 ( )
【解析】选D.因为 所以复数 的虚部为
探究点三 复数乘方运算以及周期性
【典例3】计算i+i2+i3+…+i2 020=________.
【思维导引】计算in,n∈N*的值,明确周期性计算.
【解析】计算得i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0,
i5+i6+i7+i8=i4(i+i2+i3+i4)=0,…
所以i+i2+i3+…+i2 020=505×0=0.
答案:0
【类题通法】
in(n∈N*)的周期性
计算复数的乘积要用到虚数单位i的乘方,in有如下性质:i1=i,i2=-1,
i3=i·i2=-i,i4=i3·i=-i2=1,从而对于任何n∈N*,有i4n+1=i4n·i=(i4)n·i=i,
同理可证i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1,
这就是说,如果n∈N*,那么有i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1.
注意:(1)上述公式中,说明in(n∈N*)具有周期性,且最小正周期是4.
(2)n可推广到整数集.
(3)4k(k∈Z)是in(n∈N*)的周期.
显然in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N*).
因为in(n∈N*)具有周期性,解题时要灵活运用,或适当变形,创造条件转化为i
的计算.一般地,有(1±i)2=±2i, =i, =-i.
【定向训练】
已知w= 求证:w3=-1.
【证明】方法一:由w=
得w2= =
所以w3=w2w=
=- - =-1.
方法二:由于w= 要证w3=-1,只需证w3+1=0,
即证(w+1)(w2-w+1)=0,即证w2-w+1=0,
即证w2-w=w(w-1)=-1,
因为w(w-1)=
= i2 - =-1,所以得证.
探究点四 实系数一元二次方程的求根公式
【典例4】已知关于x的方程 其中a、b为实数.
(1)若x=1- i是该方程的根,求a、b的值;
(2)当a>0且 时,证明该方程没有实数根.
【思维导引】(1)将x=1- i代入方程,利用复数相等的充要条件求解.
(2)将方程转化为有理式,用判别式判断.
【解析】(1)将 代入 化简得
所以 解得a=b=2.
(2)原方程化为x2-ax+ab=0,假设原方程有实数解,那么Δ=(-a)2-4ab≥0,即
a2≥4ab.
因为a>0,所以 ≤ ,这与题设 > 相矛盾.故原方程无实数根.
【类题通法】实系数一元二次方程的求根公式
(1)对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0,a,b,c∈R,a≠0,Δ=b2-4ac,
①当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根x1,2= ,若这两个根为二次根
式,二者互为有理化因式(也叫共轭根式);
②当Δ=0时,方程有两个相等的实数根x1,2=- ;
③当Δ<0时,方程有两个不相等的虚数根x1,2= ,这两个虚根互为共
轭虚数.
(2)对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0,a,b,c∈R,设其两个复数根分别为
x1,x2,根与系数的关系(即韦达定理)仍然成立:x1+x2=- ,x1x2= .
【定向训练】
1.解方程x2+2x+3=0.
【解析】由方程x2+2x+3=0,得Δ=b2-4ac=-8,所以方程的两根为x1,2=
=-1± i.
2.已知一元二次方程x2-ax+2a+1=0,a∈R且a≠0的一个根是1+2i,求a的值以及
另一个根.
【解析】方法一:因为一元二次方程x2-ax+2a+1=0,a∈R的一个根是1+2i,
则(1+2i)2-a(1+2i)+2a+1=0,得(a-2)+(4-2a)i=0,所以a=2.
方程为x2-2x+5=0,Δ=b2-4ac=-16,所以方程的两根为x1,2=
=1±2i,所以方程另一个根为1-2i.
方法二:因为一元二次方程x2-ax+2a+1=0,a∈R的一个根是1+2i,则另一个根为
1-2i,
由根与系数的关系,得x1+x2=a,即a=2.
1. 复数的乘法运算
2. 复数乘法的运算律
3. 复数的除法法则
复数的乘除运算
1. 复数乘法与实数多项式乘法类似,在计算两个复数的乘积时,先按照多项
式的乘法展开,再将i2换成-1,最后合并同类项即可.
2.根据复数的除法法则,通过分子、分母都乘分母的共轭复数,使“分母实数化”,这个过程与“分母有理化”类似.
与复数有关的方程问题,一般是利用复数相等的充要条件,把复数问题实数化进行求解,根与系数的关系仍适用,但判别式“Δ”不再适用.
1.数学抽象：复数乘法、除法运算法则;
2.逻辑推理：复数乘法运算律的推导;
3.数学运算：复数四则运算;
4.数学建模：结合实数范围内求根公式和复数四则运算，解决复数范围内的方程根问题.
方法总结
易错提醒
核心知识
课堂素养达标
1.若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位),则 = ( )
A.2-3i B.2+3i C.3+2i D.3-2i
【解析】选A.因为z=i(3-2i)=3i-2i2=2+3i,所以 =2-3i.
2.在复平面内与复数z= 所对应的点关于虚轴对称的点为A,则A对应的复
数为 ( )
A.1+2i B.1-2i C.-2+i D.2+i
【解析】选C.复数z= =i(1-2i)=2+i,z对应的点的坐标是
(2,1),该点关于虚轴对称的点A(-2,1)对应的复数为-2+i.
3.设复数z(2-3i)=6+4i(其中i是虚数单位),则z的模为________.
【解析】由z(2-3i)=6+4i,得 所以|z|=2.
答案:2
4.计算:
【解析】复数的乘、除运算
根据复数的几何意义和平面向量在坐标表示下的加(减)法运算，我们很容易规定了复数的加(减)法规则，因为实数是复数的一部分，且实数有其乘法运算，因此我们有理由且应当规定复数集内的乘法运算，使实数的乘法作为复数乘法的一种特殊情况，那么，复数有哪些乘法规则呢？
【问题1】复数的乘除中，最关键的量是什么？
【问题2】复数的乘除法中，有哪些运算律呢？
【问题3】复数的乘除法中，有哪些运算性质？
1．复数乘法的运算法则和运算律
(1)复数乘法的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．
(2)复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝z2z1
结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3)
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
1．本质：复数乘法的关键是i2＝－1的应用．
2．混淆：复数乘法运算律与多项式乘法的运算律分辨不清．
3．复数的乘法的两点说明
(1)复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开(i2换成－1).
(2)多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用．
2．复数代数形式的除法法则
(a＋bi)÷(c＋di)＝＝＋i(c＋di≠0).
1．本质：复数除法的实质是分母实数化的过程，两个复数相除，就是先把它们的商写成分数的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简即可．
2．对复数除法的两点说明
(1)实数化：分子、分母同时乘以分母的共轭复数，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．
(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开．
两个共轭复数的和一定是实数吗？两个共轭复数的差一定是纯虚数吗？
提示：若z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，则z＋＝2a∈R.因此，和一定是实数；而z－＝2bi.当b＝0时，两共轭复数的差是实数，而当b≠0时，两共轭复数的差是纯虚数．
1.两个复数的积与商一定是虚数吗？
2．两个共轭复数的和与积是实数吗？
3．复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减吗？
提示：1.不是 2.是的 3.是的
1．复数(3＋2i)i等于( )
A.－2－3i B．－2＋3i
C.2－3i D．2＋3i
【解析】选B.(3＋2i)i＝3i＋2i·i＝－2＋3i.
2．已知复数z满足(2＋i)z＝3＋4i，则z＝( )
A.2＋i B．2－i C．1＋2i D．1－2i
【解析】选A.z＝＝＝2＋i.
基础类型一 复数的乘法运算(数学运算)
1．(1＋2i)(2＋i)＝( )
A．4＋5i B．5i
C.－5i D．2＋3i
2．(2＋5i)(1－2i)＝( )
A.－12＋i B．－12－i
C.12－i D．12＋i
3．计算：(1)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i；
(2)(1－i)2(1＋i)2＋4.
【解析】1.选B.(1＋2i)(2＋i)＝2＋i＋4i＋2i2＝5i.
2．选D.因为(2＋5i)(1－2i)＝2＋5i－4i＋10＝12＋i.
3．(1)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i
＝(2＋i)(2－i)(1＋2i)－5i
＝(4－i2)(1＋2i)－5i＝5(1＋2i)－5i
＝5＋10i－5i＝5＋5i.
(2)(1－i)2(1＋i)2＋4＝[(1－i)(1＋i)]2＋4
＝(1－i2)2＋4＝22＋4＝8.
1.两个复数代数形式乘法的一般方法：复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．
2．常用结论
(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)；
(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
(3)(1±i)2＝±2i.
基础类型二 复数的除法运算(数学运算)
【典例】1.(2021·杭州高一检测)计算的值是 ( )
A. B． C． D．
2.如图所示，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3．计算：＋－.
【解析】1.选A.＝＝＝.
2．选B.由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i，
所以＝＝－1＋2i，对应的点在第二象限．
3．原式＝[(1＋i)2]3·＋[(1－i)2]3·－＝(2i)3·i＋
(－2i)3·(－i)－＝8＋8－16－16i＝－16i.
两个复数代数形式的除法运算步骤
(1)首先将除式写为分式；
(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；
(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．
计算：
(1)＋；(2).
【解析】(1)＋＝＋
＝i－i＝0.
(2)＝
＝＝＝＝－1＋i.
综合类型 复数乘除的综合应用(数学运算、逻辑推理)
i的乘方的周期性及应用
【典例】(1)(2021·包头高一检测)(1＋i)3＝( )
A．－2－2i B．－2＋2i
C．2＋2i D．2－2i
(2)化简i＋2i2＋3i3＋…＋100i100.
【解析】(1)选B.(1＋i)3＝(1＋i)2(1＋i)＝2i(1＋i)＝－2＋2i.
(2)设S＝i＋2i2＋3i3＋…＋100i100，①
所以iS＝i2＋2i3＋…＋99i100＋100i101，②
①－②得(1－i)S＝i＋i2＋i3＋…＋i100－100i101
＝－100i101＝0－100i＝－100i.
所以S＝＝＝＝50－50i.所以i＋2i2＋3i3＋…＋100i100＝50－50i.
1．虚数单位i的周期性
(1)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N).n也可以推广到整数集．
(2)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N).
2．常用结论：
(1)(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；
(2)＝－i，＝i；
(3)＝－i.
【加固训练】
计算···…·＝________．
【解析】因为＝i，所以原式＝i·i2·i3·…·i10＝i1＋2＋3＋…＋10＝i55＝i3＝－i.
答案：－i
共轭复数及其应用
【典例】已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·等于( )
A． B． C．1 D．2
【思路探求】可以化简成复数的代数形式，再利用复数的运算性质求解；也可以利用共轭复数的性质求解．
【解析】选A.方法一：因为z＝＝＝＝＝＝－＋，
所以＝－－，所以z·＝.
方法二：因为z＝，
所以|z|＝＝＝＝，所以z·＝.
在典例条件不变的情况下，改为求.
【解析】由典例的解析可知z＝－＋，＝－－，z·＝，所以＝＝＝－i.
共轭复数的求解与应用
(1)若复数z的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出，再进行复数的四则运算．
(2)共轭复数应用的另一种常见题型是：已知关于z和的方程，而复数z的代数形式未知，求z，解此类题的常规思路为设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．
微提醒：应用共轭复数解决问题时，一定要注意i2＝－1和平方差公式的应用．
【加固训练】
已知z∈C，为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z.
【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，(a，b∈R)，
由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
则有解得或
所以z＝－1或z＝－1＋3i.
1．已知复数z＝2－i，则z·的值为( )
A．5 B． C．3 D．
【解析】选A.z·＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5.
2．在复平面内，复数z＝对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】选D.z＝＝＝＝＝－i，故复数z对应的点为Z，它位于第四象限．
3．(1＋i)2－＝________．
【解析】(1＋i)2－＝2i－＝－＋i.
答案：－＋i
4．已知复数z1＝(－1＋i)(1＋bi)，z2＝，其中a，b∈R.若z1与z2互为共轭复数，求a，b的值．
【解析】z1＝(－1＋i)(1＋bi)＝－1－bi＋i－b
＝(－b－1)＋(1－b)i，
z2＝＝＝＝＋i.
由于z1和z2互为共轭复数，
所以有解得
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