(共39张PPT)
10．1 随机事件与概率
10．1.1 有限样本空间与随机事件
基础认知·自主学习
相同条件
不止一
不能确定
能力形成·合作探究
素养发展·创新应用
学情诊断·课堂测评
1
2
3
4
易错提醒
核心知识
有限样本空间与随机事件
方法总结
核心素养
在列举样本点时注意分类思想的运用，做到不重不漏
数学抽象：形成随机事件的概念的过程
数学建模：写出样本空间中的样本点，分析随机试验
随机试验
样本空间
确定样本空间的方法：
通过列表、画树状图等方法列举样本点
随机事件
样本点
特点
基本事件
概念
有限样本空间
必然事件
不可能事件有限样本空间与随机事件
以下三个事件：
1．标准大气压下，水加热到50 ℃沸腾；
2．经过有信号灯的路口，遇上红灯；
3．煤炭燃烧产生热量．
【问题1】哪个事件一定发生？
【问题2】哪个事件一定不发生？
【问题3】哪个事件可能发生，也可能不发生？
1．随机试验
(1)定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验．
(2)特点：①试验可以在相同条件下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
(1)我们能够确定随机试验的结果吗？
提示：不能确定试验的结果，但是可以确定有哪些可能结果．
(2)随机试验可以重复吗？
提示：可以重复．
2．样本点、样本空间与随机事件
1．本质：样本空间是试验的所有可能结果的集合，只含一个样本点的事件就是基本事件，基本事件是构成事件的最小单位，每个随机事件都由若干个基本事件构成．
2．混淆：关于样本点和样本空间
样本点是指随机试验的每个可能的基本结果，全体样本点的集合称为试验的样本空间．
3．事件与基本事件
(1)随机事件是样本空间的子集．随机事件是由若干个基本事件构成的，当然，基本事件也是随机事件．
(2)必然事件与不可能事件不具有随机性，是随机事件的两个极端情形．
1．随机事件一定发生吗？
2．随机试验的结果不止一个，试验之前不能确定出现哪个结果，是吗？
3．四边形的内角和为360°是必然事件吗？
4．只含一个样本点的事件是基本事件吗？
提示：1.不一定；2.是；3.是；4.是．
教材第227页例3中，若改为三枚硬币，你能写出试验的样本空间吗？
提示：Ω＝.
1．下列事件是不可能事件的是( )
A．明年除夕不下雪
B．没有水，种子发芽
C．对任意x∈R，有x＋1>2x
D．抛掷一枚硬币，正面朝上
【解析】选B.A，C，D是随机事件，B是不可能事件．
2．一个盒子中装有8个完全相同的球，分别标上号码1，2，3，…，8，从中任取一个球，写出样本点空间______．
【解析】记取得球的标号为i，则Ω＝{1，2，3，…，8}．
答案：Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}
基础类型一 事件类型的判断(数学抽象)
1．下列事件不是随机事件的是( )
A．东边日出西边雨 B．三角形内角和为180°
C．清明时节雨纷纷 D．梅子黄时日日晴
【解析】选B.B是必然事件，A，C，D都是随机事件．
2．在10件同类产品中，有8件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件的必然事件是( )
A．3件都是正品
B．至少有1件是次品
C．3件都是次品
D．至少有1件是正品
【解析】选D.因为只有2件次品，共抽3件，所以至少能抽取1件正品，即“至少有1件是正品”是必然事件．
3．下列事件中，不可能事件为( )
A．钝角三角形两个小角之和小于90°
B．三角形中大边对大角，大角对大边
C．锐角三角形中两个内角和小于90°
D．三角形中任意两边的和大于第三边
【解析】选C.若两内角的和小于90°，则第三个内角必大于90°，故不是锐角三角形，所以C为不可能事件，而A，B，D均为必然事件．
事件类型判断的关注点
(1)条件：在一定条件下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生；
(2)结果发生与否：若一定发生的，则为必然事件，一定不发生的则为不可能事件；若不确定发生与否，则称其为随机事件，随机事件有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况．
基础类型二 确定样本空间(数学抽象)
【典例】袋中装有红、白、黄、黑除颜色外其他方面都相同的四个小球，从中任取一球的样本空间Ω1＝______，从中任取两球的样本空间Ω2＝______．
【解析】从中任取一球有4种可能，分别为红、白、黄、黑，构成的样本空间Ω1＝{红，白，黄，黑}．
从中任取两球有6种可能，分别为(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)，构成的样本空间Ω2＝{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}．
答案：{红，白，黄，黑} {(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}
确定样本空间的方法
(1)列举法：当样本点个数较少时，可直接列举出所有样本点．
(2)树状图法：当样本点个数较多且相对复杂时，可采用树状图法，树状图法便于分析事件间的关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段．
微提醒：在书写样本空间时，一般按顺序书写做到不重不漏．
写出下列试验的样本空间：
(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)______；
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数______．
【解析】(1)对于甲队来说，有胜、平、负三种结果；
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，其次品的个数可能为0，1，2，3，4，不可能再有其他结果．
答案：(1)Ω＝{胜，平，负} (2)Ω＝{0，1，2，3，4}
【加固训练】
从1，2，3，4中任取三个数字组成三位数，写出该试验的样本空间．
【解析】画出树状图，如图：
由图可知样本空间Ω＝{123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432}．Ｋ
综合类型 随机事件及其表示(数学建模)
【典例】做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数．
(1)这个试验的样本空间；
(2)指出事件A＝{(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)}的含义．
(3)写出事件“出现点数之和大于8”所包含的样本点．
【解析】(1)这个试验的样本空间Ω为
{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，
(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，
(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，
(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，
(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}．
(2)事件A的含义为抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为7.
(3)事件“出现点数之和大于8”所包含的样本点为(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6).
事件及其表示的关注点
(1)要明确事件发生的条件；
(2)要注意试验结果出现的机会是均等的，由题意按规律去写样本空间，要做到既不重复也不遗漏．
【加固训练】
先后抛掷均匀的1角、5角硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个样本点的是( )
A．“至少一枚硬币正面向上”
B．“只有一枚硬币正面向上”
C．“两枚硬币都是正面向上”
D．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”
【解析】选A.“至少一枚硬币正面向上”包括“1角向上，5角向下”、“1角向下，5角向上”、“1角、5角都向上”三个样本点．
创新题型 开放性问题(数学抽象)
【典例】从装有3个红球2个绿球的袋子中任取两个小球，请写出这一过程中的一个随机事件．
【解析】两个小球都是绿色(答案不唯一)
数学开放性问题命题形式动态化、解题思路发散性，问题结论不确定性，常见题型：开放条件，开放结论，条件和结论都开放，是新高考命题的一个热点．
【加固训练】
任意说出星期一到星期日中的两天(不重复)，请写出含有6个样本点的一个随机事件．
【解析】设事件A：恰有一天是星期六，A＝{(1，6)，(2，6)，(3，6)，(4，6)，(5，6)，(6，7)}共有6个样本点．
1．下列事件中，随机事件的个数为( )
①2022年卡塔尔世界杯足球赛上，法国队获得冠军；
②市中学生运动会组委会到某学校抽取志愿者，抽到学生李明；
③在标准大气压下，水在4 ℃时结冰．
A．1 B．2 C．3 D．0
【解析】选B.在①中，2022年世界杯上，法国队获得冠军是随机事件；在②中，组委会抽取志愿者，抽到李明是随机事件；在③中，在标准大气压下，水在4℃时结冰是不可能事件．
2．下列现象中，不可能事件是( )
A．三角形的一个内角为100°
B．a∥b，b∥c，则a∥c
C．两个偶数之和为奇数
D．三角形中任意两边之差小于第三边
【解析】选C.两个偶数之和为偶数．
3．先后两次掷一个均匀的骰子，观察朝上的面的点数．若事件A：点数之和为3，则A事件包含的样本点为( )
A．(3) B．(3，3)
C．(1，2)，(2，1) D．(3)，(1，2)，(2，1)
【解析】选C.用(1，2)表示第一次掷出1点，第二次掷出2点，则可知所有样本点均可表示成(i，j)的形式，其中i，j都是1，2，3，4，5，6中的数，由题意A＝{(1，2)，(2，1)}．
4．用红、黑、黄3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，若事件A＝{(红，红)，(黑，黑)，(黄，黄)}，则事件A的含义是______．
【解析】每个样本点中两个字表示甲、乙两个小球所涂的颜色，A事件中颜色相同，所以事件A的含义是“甲、乙两个小球所涂颜色相同”．
答案：甲、乙两个小球所涂颜色相同
5．从1，2，3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为______，“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为______．
【解析】任选一个数，共有10种不同选法，故样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，其中偶数共有5种，故“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为5.
答案：Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10} 5
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8(共48张PPT)
10．1.2 事件的关系和运算
基础认知·自主学习
一定发生
B A
A B
A＝B
不能同时发生
A∩B＝
有且仅有一个发生
A∩B＝
___________________________
事件A与事件B至少有一个发生
A∪B
A＋B
事件A与事件B同时发生
A∩B
AB
事件关系
或运算 含义 符号表示
包含 A发生导致B发生 A B
并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A＋B
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B＝
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B＝ ，A∪B＝Ω
能力形成·合作探究
学情诊断·课堂测评
易错提醒
核心知识
方法总结
核心素养
互斥事件与对立事件的判断方法：
不能同时发生的是互斥事件，对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生。
数学建模：利用事件的关系判断问题
无论是包含、相等，还是互
斥、对立其发生的条件都是一样的
对立事件是针对两个事件来说的，而互斥事件可以是对多个事件
互斥事件
对立事件
关系
运算
包含
相等
交事件
并事件
事件的关系和运算事件的关系和运算
在掷骰子试验中，定义如下事件：C1＝{出现1点}；C2＝{出现2点}；C3＝{出现3点}；C4＝{出现4点}；C5＝{出现5点}；C6＝{出现6点}；D1＝{出现的点数不大于1}；D2＝{出现的点数不大于3}；D3＝{出现的点数不大于5}；E＝{出现的点数为偶数}，F＝{出现的点数为奇数}．
在上述事件中，
【问题1】事件D2与事件C2间有什么关系？
【问题2】事件C1与事件C2间有什么关系？
【问题3】事件E与事件F间有什么关系？
1．事件的关系
定义 表示法 图示
包含关系 若事件A发生，事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B A(或A B)
相等关系 若事件B包含事件A，事件A也包含事件B，称事件A与事件B相等 A＝B
互斥事件 如果事件A与事件B不能同时发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容) 若A∩B＝ ，则A与B互斥
对立事件 如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 若A∩B＝ ，且A∪B＝Ω，则A与B对立
2．事件的运算
定义 表示法 图示
并事件 事件A与事件B至少有一个发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B)
交事件 事件A与事件B同时发生，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB)
事件的关系和运算的理解
1．本质：必然事件对应全集，随机事件对应全集的子集，从而事件具有包含关系和相等关系，具有并和交的运算，当两个事件的并或交满足特殊条件时，就有了事件互斥和对立的概念．
2．混淆：对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．
3．事件关系或运算的含义：
事件关系或运算 含义 符号表示
包含 A发生导致B发生 A B
并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A＋B
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B＝
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B＝ ，A∪B＝Ω
如何从集合的角度理解互斥事件与对立事件？
提示：(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．
(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
1．任意两个随机事件一定具有包含关系吗？
2．两个事件的并发生是指两个事件至少有一个发生吗？
3．如果B A且A B，那么A＝B吗？
4．互斥事件一定是对立事件吗？
提示：1.不一定；2.是；3.是；4.不是．
观察教材第230页图10.1－6，图中事件A，B是互斥事件吗？为什么？
提示：不是，因为A∩B≠ .
1．一枚骰子掷一次，记事件A＝{出现点数大于4}，事件B＝{出现的点数为5}，则( )
A．A B B．A B
C.A∪B＝Ω D．A∩B＝
【解析】选B.事件A＝{出现点数大于4}，即{出现的点数为5}或{出现的点数为6}，故A B.
2．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )
A.至多有一次中靶
B.两次都中靶
C.只有一次中靶
D.两次都不中靶
【解析】选D.事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况．由互斥事件的定义，可知“两次都不中靶”与之互斥．
基础类型一 事件关系的判断(数学抽象)
1．掷一枚质地均匀的骰子，下列事件具有包含关系的是( )
A.“出现小于2点”与“出现大于2点”
B.“出现奇数点”与“出现偶数点”
C.“出现2点”与“出现偶数点”
D.“出现小于4点”与“出现大于2点”
2．同时掷两枚硬币，向上面都是正面的事件为A，向上面至少有一枚是正面为事件B，则有( )
A.A B B．A B
C.A＝B D．A3．做试验“从1，2，3这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”．记A＝“第1次取出的数字是2”，B＝“第2次取出的数字是3或1”，则事件A与B的关系为________．
【解析】1.选C.出现偶数点，即出现2点、4点或6点，与出现2点是包含关系．
2．选A.事件B包含“有一枚硬币正面向上”与“两枚硬币都是正面向上”，故A B.
3．这个试验的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，3)，(3，1)，(3，2)}．则A＝{(2，1)，(2，3)}，B＝{(1，3)，(2，1)，(2，3)，(3，1)}，所以A B.
答案：A B
包含关系、相等关系的判定
(1)事件的包含关系与集合的包含关系相似；
(2)两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生．
基础类型二 事件的运算(逻辑推理)
【典例】1.抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“向上的点数是奇数”，事件B表示“向上的点数不超过3”，则A∪B表示( )
A.向上的点数为奇数
B.向上的点数不超过3
C.向上的点数为1，3点
D.向上的点数为1，2，3，5点
【解析】选D.A包含向上点数是1，3，5的情况，B包含向上的点数是1，2，3的情况，所以A∪B包含了向上点数是1，2，3，5的情况．
2．(多选题)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系正确的是( )
A.A∩D≠ B．B∩D＝
C.A∪C＝D D．A∪B＝B∪D
【解析】选ABC.“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中，故A∩D≠ ，B∩D＝ ，A∪C＝D，A∪B≠B∪D.
事件的运算应注意的2个问题
(1)要紧扣运算的定义，在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断．但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理．
(2)要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．
盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，
设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，
事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，
事件C＝{3个球中至少有1个红球}，
事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
(3)设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有1个白球}，那么事件C与B，E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？
【解析】(1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.
(3)由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故B C，E C，而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球2个白球，2个红球1个白球}＝D.
【加固训练】
向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件A表示两次点数之和不小于10，事件B表示两次点数之和能被5整除，则事件AB用样本点表示为______．
【解析】由题意，A＝{(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，B＝{(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(4，6)，(5，5)，(6，4)}，所以AB＝{(4，6)，(5，5)，(6，4)}．
答案：{(4，6)，(5，5)，(6，4)}
综合类型 互斥事件与对立事件(逻辑推理)
互斥事件与对立事件的概念
【典例】对同一事件来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是( )
A.互斥不对立 B．对立不互斥
C.互斥且对立 D．不互斥、不对立
【解析】选C.必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有一个发生，故事件A与事件B的关系是互斥且对立．
对互斥、对立事件的理解
互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而事件对立是互斥的特殊情况，事件A的对立事件只有一个，事件A的互斥事件可以有多个．
【加固训练】
如果事件A，B互斥，记，分别为事件A，B的对立事件，那么( )
A.A∪B是必然事件
B.∪是必然事件
C.与一定互斥
D.与一定不互斥
【解析】选B.用Venn图解决此类问题较为直观．如图所示，∪是必然事件．
互斥事件与对立事件的判断
【典例】某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每组事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件：
(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；
(5)C与E.
【解析】(1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件；由于事件B与事件E必有一个发生，故B与E是对立事件．
(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件．
(4)事件B“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”．也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．
(5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况，所以事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件．
本例中事件C与D是互斥事件吗？为什么？
【解析】事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”，事件D为“不订甲报”，即“只订乙报”或者“一种报纸也不订”，故C与D可能同时发生，不是互斥事件．
互斥事件、对立事件的判定方法
(1)利用基本概念
①互斥事件不可能同时发生；
②对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生．
(2)利用集合的观点来判断
设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B.
①事件A与B互斥，即集合A∩B＝ ；
②事件A与B对立，即集合A∩B＝ ，且A∪B＝Ω，即A＝ΩB或B＝ΩA.
【加固训练】
抛掷编号为1，2的两枚骰子，记“1号骰子出现2点”为事件A，“2号骰子出现3点”为事件B，判断下列各题中的两个事件是否为互斥事件，为什么？
(1)事件A与事件B；
(2)事件A与事件B.
【解析】由题意得，事件A＝{(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)}，事件B＝{(1，3)，(2，3)，(3，3)，(4，3)，(5，3)，(6，3)}．
(1)因为A∩B＝{(2，3)}≠ ，所以事件A与事件B不是互斥事件．
(2)事件＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，所以B＝{(1，3)，(3，3)，(4，3)，(5，3)，(6，3)}，
所以A∩B＝ ，所以事件A与事件B是互斥事件．
1．给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则( )
A.A B B．A B
C．A与B互斥 D．A与B互为对立事件
【解析】选C.由互斥事件的定义可知，C正确．
2．掷一枚骰子，观察结果，A＝{向上的点数为1}，B＝{向上的点数为2}，则A∪B＝( )
A．{向上的点数为1} B．{向上的点数为2}
C．{向上的点数小于2} D．{向上的点数小于3}
【解析】选D.{向上的点数小于3}即{向上的点数为1或2}，即A∪B.
3．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”是( )
A．互斥但非对立事件 B．对立事件
C．非互斥事件 D．以上都不对
【解析】选A.由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件．
4．某人在打靶中，连续射击2次，事件A：“至少有一次中靶”，事件B：“至多有一次不中靶”，则事件A与事件B的关系是______．
【解析】至少有一次中靶，即有一次中靶或者两次都中靶，与至多有一次不中靶的含义相同，故A＝B.
答案：A＝B
5．抛掷一枚骰子，根据向上的点数可以定义下列事件，事件A＝{出现3点}，事件B＝{出现3点或6点}，事件C＝{出现的点数是奇数}，事件D＝{出现的点数大于3点}，则C∩D＝______，A∪B＝______．
【解析】因为事件C＝{出现1点或3点或5点}，事件D＝{出现4点或5点或6点}，所以C∩D＝{出现5点}，A∪B＝{出现3点或6点}．
答案：{出现5点} {出现3点或6点}
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8(共53张PPT)
10．1.3 古 典 概 型
基础认知·自主学习
1．概率
对随机事件发生___________的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率
用____表示．
2．古典概型
古典概型的特征及概率公式
古典概型 具有以下特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
特征 ①样本空间的样本点只有_______；
②每个样本点发生的可能性_____．
可能性大小
P(A)
有限个
相等
概率公式 若试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则事件A的概率：P(A)＝ ＝ ．其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
能力形成·合作探究
硬币种类 试验结果(共8种)
壹角 正 正 正 正 反 反 反 反
伍角 正 反 正 反 正 反 正 反
壹元 正 反 反 正 正 反 反 正
素养发展·创新应用
学情诊断·课堂测评
核心知识
概率
古典概型
特点
公式
方法总结
求样本空间的方法：
（1）较简单的问题可用列举法；
（2）较复杂的问题可用坐标系、表格或树状图
易错提醒
1首先判断概率模型是否是古典概型
2.求样本点空间时注意是否有顺序要求
核心素养
数学运算：体现在求概率的过程
古典概型古典概型
据《西墅记》所载，唐明皇与杨贵妃掷骰子戏娱，唐明皇的战况不佳，只有让六颗骰子中的两颗骰子同时出现“四”才能转败为胜．于是唐明皇一面举骰投掷，一面连呼“重四”．骰子停定，正好重四．唐明皇大悦，命令高力士将骰子的四点涂为红色．红色通常是不能乱用的，因此直到今天，骰子的一、四两面为红色，其余四面都是黑色．
【问题1】若同时掷两颗骰子，朝上的点数有多少种不同的结果？
【问题2】上述试验中所有不同的样本点有何特点？
【问题3】你能算出唐明皇转败为胜的概率是多少吗？
1．概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．
2．古典概型
古典概型的特征及概率公式
古典概型 具有以下特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
特征 ①样本空间的样本点只有有限个；②每个样本点发生的可能性相等．
概率公式 若试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则事件A的概率：P(A)＝．其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
古典概型的理解与求法
1．本质：古典概型概率公式实质上就是事件包含的样本点在样本空间中包含的样本点中所占的比例大小．
2．混淆：一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性．并不是所有的试验都是古典概型．
下列三类试验都不是古典概型：
(1)样本点个数有限，但非等可能．
(2)样本点个数无限，但等可能．
(3)样本点个数无限，也不等可能．
3．求解古典概型问题的一般思路
(1)明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的样本点(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有样本点)；
(2)根据实际问题情景判断样本点的等可能性；
(3)计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率．
(1)若一次试验的结果所包含的样本点的个数是有限个，则该试验是古典概型吗？
提示：不一定是，还要看每个样本点发生的可能性是否相同，若相同才是，否则不是．
(2)“在区间[2，8]上任取一个数，这个数恰好大于3的概率是多少？”这个概率模型属于古典概型吗？
提示：不是，因为在区间[2，8]上任取一个数，其试验结果有无限个，故其样本点有无限个，所以不是古典概型．
1.古典概型的有限性是指样本空间Ω为有限样本空间吗？
2．古典概型中任何两个样本点都是互斥的吗？
3．任何事件发生的可能性都相同吗？
4．样本点的总数为n，随机事件A包含m个样本点，则P(A)＝吗？
提示：1.是；2.是；3.不是；4.不是．
教材P234思考(2)，若事件C＝“有两次正面朝上”，则事件C发生的概率是多少？
提示：用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则试验的样本空间Ω＝{(1，1，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)，(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(0，0，0)}，共8个样本点，C事件包含{(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)}3个样本点，故P(C)＝.
1．袋中有2个红球，2个白球，2个黑球，从里面任意摸2个小球，下列不是样本点的是( )
A．正好2个红球 B．正好2个黑球
C．正好2个白球 D．至少一个红球
【解析】选D.至少一个红球包含：一红一白或一红一黑或2个红球，所以至少一个红球不是样本点．
2．老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做发言，甲被选中的概率为________．
【解析】从甲、乙、丙三人中任选两人有：(甲、乙)，(甲、丙)，(乙、丙)共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P＝.
答案：
基础类型一 古典概型的判断(数学抽象)
1.下列概率模型属于古典概型的是( )
A．某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环
B．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲
C．一只使用中的灯泡的寿命长短
D．中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”
【解析】选B.A不属于，原因是命中0环，1环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；B属于，显然满足有限性和等可能性；C不属于，原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；D不属于，原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性．
2．下列试验不是古典概型的是( )
A．从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小
B．同时掷两颗骰子，点数和为6的概率
C．近三天中有一天降雨的概率
D．10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
【解析】选C.A，B，D是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．C不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响．
3．袋中有大小相同的3个白球，2个红球，2个黄球，每个球有一个区别于其他球的编号，从中随机摸出一个球．
(1)把每个球的编号看作一个样本点建立的概率模型是不是古典概型？
(2)把球的颜色作为划分样本点的依据，有多少个样本点？以这些样本点建立的概率模型是不是古典概型？
【解析】(1)因为样本点个数有限，而且每个样本点发生的可能性相同，所以是古典概型．
(2)把球的颜色作为划分样本点的依据，可得到“取得一个白色球”“取得一个红色球”“取得一个黄色球”，共3个样本点．这些样本点个数有限，但“取得一个白色球”的概率与“取得一个红色球”或“取得一个黄色球”的概率不相等，即不满足等可能性，故不是古典概型．
判断一个试验是不是古典概型要抓住两点：一是有限性；二是等可能性．
基础类型二 样本点的计数问题(数学抽象)
【典例】(1)先后抛掷3枚均匀的壹角、伍角、壹元硬币，则试验的样本点的总数为________．
(2)袋中有2个标号分别为1，2的白球和2个标号分别为3，4的黑球．这4个球除颜色、标号外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出1个球，则前2个人摸到颜色不同的球的样本点的个数为________．
【解析】(1)因为抛掷壹角、伍角、壹元硬币时，各自都会出现正面和反面2种情况，所以一共可能出现的结果有8种．可列表为：
硬币种类 试验结果(共8种)
壹角 正 正 正 正 反 反 反 反
伍角 正 反 正 反 正 反 正 反
壹元 正 反 反 正 正 反 反 正
所以试验样本点总数为8.
答案：8
(2)4个人按顺序依次从袋中摸出1个球的所有可能结果用树状图表示如图所示：
共24个样本点．前2个人摸到颜色不同的球共包含16个样本点．
答案：16
样本点的三种列举方法
(1)列举法：适用于较简单的试验问题；
(2)列表法：适用于较简单的试验问题；
(3)树状图法：适用于较复杂的试验问题．
某小说有三册，任意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好为第1，2，3册的样本点有______个．( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选B.所有样本点为(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1).其中从左到右或从右到左恰好为第1，2，3册包含2个样本点，即(1，2，3)，(3，2，1).
【加固训练】
一个口袋内装有大小相同的5个球，其中2个白球，3个黑球，写出按下列要求的随机事件的样本点的数量.
(1)一次摸两个，摸出的全是黑球；
(2)先摸一个不放回，再摸一个，摸出的全是黑球．
【解析】2个白球分别记为A，B，3个黑球分别记为a，b，c.
(1)列举法：样本空间：(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10个样本点；摸出的全是黑球的样本点：(a，b)，(a，c)，(b，c)共3个．
(2)树状图法：
样本空间：(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，A)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，A)，(a，B)，(a，b)，(a，c)，(b，A)，(b，B)，(b，a)，(b，c)，(c，A)，(c，B)，(c，a)，(c，b)，共20个样本点；摸出的全是黑球的样本点： (a，b)，(a，c)，(b，a)，(b，c)，(c，a)，(c，b)共6个．
综合类型 古典概型的概率计算(数学建模、数学运算)
简单的古典概型问题
【典例】(2020·全国卷Ⅰ)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为( )
A． B． C． D．
【解析】选A.如图，从O，A，B，C，D 5个点中任取3个点有{O，A，B}，{O，A，C}，{O，A，D}，{O，B，C}，{O，B，D}，{O，C，D}，{A，B，C}，{A，B，D}，{A，C，D}，{B，C，D}共10种不同取法，3点共线只有{O，A，C}与{O，B，D}共2种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的概率为＝.
本例若在O，A，B，C，D中任取2点，则取到的2点连线不经过点O的概率为________．
【解析】从O，A，B，C，D 5个点中任取2个点有{O，A}，{O，B}，{O，C}，{O，D}，{A，B}，{A，C}，{A，D}，{B，C}，{B，D}，{C，D}共10种不同取法，2点连线不经过O点的有{A，B}，{A，D}，{B，C}，{C，D}共4种情况， 由古典概型的概率计算公式知， 取到的2点连线不经过点O的概率为＝.
答案：
求解古典概型的概率“四步”法
【加固训练】
五位数abcde＝10 000a＋1 000b＋100c＋10d＋e，当五位数abcde满足ad>e时，称这个五位数为“凸数”．由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共120个，从中任意抽取一个，则其恰好为“凸数”的概率为( )
A． B． C． D．
【解析】选D.由题意，由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数恰好为“凸数”的有：12543，13542，14532，23541，24531，34521，共6个样本点，所以恰好为“凸数”的概率为P＝＝.
“放回”与“不放回”问题
【典例】一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．
【思路导引】要区分两种取球方法的不同点．
【解析】(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个．从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2，1和3，共2个，因此所求事件的概率为P＝＝.
(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个．
又满足条件n＜m＋2的有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共13个．
所以，满足条件n＜m＋2的事件的概率为P1＝.
解决放回与不放回问题应注意两点
(1)关于不放回抽样，计算基本事件个数时，可以看作是没有顺序的，元素是不能重复的．
(2)关于有放回抽样，计算基本事件个数时，可以看作是有顺序的，元素可以重复．
【加固训练】
袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a，b的2个黑球和编号为c，d，e的3个红球．
(1)若从中任意摸出2个球，求恰有一个黑球和一个红球的概率；
(2)若从中任取一个球给小朋友甲，然后再从中任取一个球给小朋友乙，求甲、乙两位小朋友拿到的球中至少有一个黑球的概率．
【解析】(1)从5个小球中任取2个，所有可能的结果为{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，{c，d}，{c，e}，{d，e}，共10个，其中恰有一个黑球和一个红球的情形有{a，c}，{a，d}，{a，e}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，共6个，所以恰有一个黑球和一个红球的概率为P＝＝.
(2)从5个小球中任取2个，一个给甲，一个给乙的所有可能的结果为(括号内第一个给甲，第二个给乙)(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，a)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，a)，(c，b)，(c，d)，(c，e)，(d，a)，(d，b)，(d，c)，(d，e)，(e，a)，(e，b)，(e，c)，(e，d)，共20个，其中至少有一个黑球的有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，a)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，a)，(c，b)，(d，a)，(d，b)，(e，a)，(e，b)，共14个，所以至少有一个黑球的概率为P＝＝.
创新思维 巧转化，妙解题(逻辑推理)
【典例】甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排，求甲站在乙左边的概率．
【解析】(方法一：利用普通思路)利用树状图列举样本点，如图所示：
由树状图可知，共有24个样本点．设事件A＝“甲站在乙的左边”，则A事件包含的样本点为：(甲乙丙丁)，(甲乙丁丙)，(甲丙乙丁)，(甲丙丁乙)，(甲丁乙丙)，(甲丁丙乙)，(丙甲乙丁)，(丙甲丁乙)，(丙丁甲乙)，(丁甲乙丙)，(丁甲丙乙)，(丁丙甲乙)，共12个，所以甲站在乙左边的概率P＝＝.
(方法二：巧妙转化)因为要计算“甲站在乙左边的概率”，所以可以只考虑甲、乙两个人排队．所有样本点为(甲乙)，(乙甲)，共2个，事件“甲站在乙的左边”包含1个样本点，即(甲乙)，所以甲站在乙左边的概率P＝.
由于试验结果具有对称性，可巧妙转化，从而简化解答．
【加固训练】
鞋柜里有爸爸、妈妈和小明的三双鞋，小明随手拿出了四只，则拿出的鞋子恰好有爸爸的一双的概率是________．
【解析】爸爸的鞋子记为A1，A2，妈妈的鞋子记为B1，B2，小明的鞋子记为C1，C2，考虑到取出4只鞋子列举起来麻烦，可以列举留在鞋柜里的两只鞋子，事件“拿出的4只鞋子恰好有爸爸的一双”等价于“剩下的2只鞋子没有爸爸的”，样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，C1)，(B2，C2)，(C1，C2)}，共15个样本点，事件“剩下的2只鞋子没有爸爸的”包含(B1，B2)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，C1)，(B2，C2)，(C1，C2)6个样本点，故P＝＝.
答案：
1．下列关于古典概型的说法中正确的是( )
①样本空间的样本点只有有限个；
②每个事件出现的可能性相等；
③每个样本点发生的可能性相等；
④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则P(A)＝.
A．②④ B．①③④ C．①④ D．③④
【解析】选B.根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确．
2．甲、乙、丙三个人站成一排，甲站在中间的概率是( )
A． B． C． D．
【解析】选C.样本空间为{(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，丙，甲)，(乙，甲，丙)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)}，共6个样本点，甲站在中间的事件有2个，故P(甲)＝＝.
3．投掷一枚质地均匀的骰子两次，若第一次向上的点数小于第二次向上的点数，则我们称其为正试验；若第二次向上的点数小于第一次向上的点数，则我们称其为负试验；若两次，向上的点数相等，则我们称其为无效试验．则一个人投掷该骰子两次出现无效试验的概率是( )
A． B． C． D．
【解析】选C.连续抛一枚骰子两次，向上的点数记为(x，y)，则有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共有36个基本事件，设“出现无效试验”为事件A，则事件A包含(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)，共6个基本事件，则P(A)＝＝.
4．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为________．
【解析】用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为：(1，2)，(1，4)，(2，3)，(3，4)，共4种可能．
答案：4
5．从a，b，c，d四名学生中任选两名去参加不同的活动，则选到学生a的概率为________．
【解析】所有样本点有(a，b)，(b，a)，(a，c)，(c，a)，(a，d)，(d，a), (b，c)，(c，b)，(b，d)，(d，b), (c，d), (d，c)，共12个，其中含有字母a的样本点有(a，b)，(b，a)，(a，c)，(c，a)，(a，d)，(d，a)，共6个，所以所求事件的概率是P＝.
答案：
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11(共53张PPT)
10.1.4 概率的基本性质
基础认知·自主学习
概率的基本性质
性质1：对任意的事件A，都有___________；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝__，P( )＝__．
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝__________.
推广 如果事件A1，A2，…，Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的
概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P(A1∪A2∪…∪Am)＝
_______________________．
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝_______，P(A)＝1－
P(B).
P(A)≥0
1
0
P(A)＋P(B)
P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am)
1－P(A)
性质5：如果A B，那么_________)．
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，那么有P(A∪B)＝
___________________．
P(A)≤P(B
P(A)＋P(B)－P(A∩B)
能力形成·合作探究
组合 物化生A 政历地B 物化地C 生历地D
男生E 40 5 25 20
女生F 15 55 10 30
素养发展·创新应用
学情诊断·课堂测评
核心知识
1.非负性：P(A)≥0
2.特殊事
件的概率
3.互斥事件的概率：
P(A∪B)=P(A)+P(B)
P(Ω)=1
P(φ)=0
方法总结
求较复杂事件的概率：
（1）将所求事件转化为彼此互斥事件的并事件；
（2）先求对立事件的概率，再求符合条件的事件的概率.
易错提醒
利用加法公式求事件的概率时，首先要判断是否为互斥事件.
核心素养
数学运算：利用概率的基本性质求概率
概率的基本性质
4.对立事件的概率：
P(A)=1-P(B)，
P(B)=1-P(A)
5.包含事件的概率：
若A B，则P(A)≤P(B)
6.随机事件的概率：
P(A∪B)=P(A)+P(B)
-P(A∩B)概率的基本性质
甲、乙两人下棋，甲不输的概率是a，两人下成平局的概率是b.
【问题1】a，b的取值范围是什么？
【问题2】事件“甲不输”、“两人下成平局”、“甲赢”是什么关系？
【问题3】甲赢的概率是多少？
概率的基本性质
性质1：对任意的事件A，都有__P(A)≥0__；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P( )＝0．
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
推广 如果事件A1，A2，…，Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P(A1∪A2∪…∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am)．
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B).
性质5：如果A B，那么P(A)≤P(B)．
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，那么有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
1.本质：概率的基本性质，描述了概率的取值范围，特殊事件的概率公式．
2．混淆：(1)只有当事件A与事件B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；若事件A与事件B不互斥，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)；
(2)如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(A)＋P(B)＝1.其逆命题不一定成立．
1.任一事件的概率总在(0，1)内吗？
2．事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率吗？
3．若P(A)＝1－P(B)，则事件A与B是对立事件吗？
4．必然事件的概率一定是1吗？
提示：1.不是；2.不一定；3.不一定；4.是．
教材P241性质6公式下面一行“显然，性质3是性质6的特殊情况”，为什么？
提示：性质6：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，是求任意两个事件的并事件的概率的公式，如果事件A与B互斥，则A∩B＝ ，所以P(AB)＝0，公式就变为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，即性质3.
1．已知A与B是对立事件，且P(A)＝0.2，P(B)＝________．
【解析】因为A与B对立，
所以P(B)＝1－P(A)＝1－0.2＝0.8.
答案：0.8
2．一枚均匀的正六面体骰子，设A表示事件“出现3点”，B表示事件“出现偶数点”，则P(A∪B)等于________．
【解析】显然事件A与事件B互斥，
所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
答案：
基础类型一 互斥事件的概率(逻辑推理、数学运算)
1.若A，B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，则P(B)等于( )
A．0.3 B．0.7 C．0.1 D．1
【解析】选A.因为A，B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5，因为P(A)＝0.2，所以P(B)＝0.5－0.2＝0.3.
2．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )
A． B． C． D．1
【解析】选C.设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与事件B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.
3．某城市的空气质量状况如下表所示：
污染指数T 30 60 100 110 130 140
概率P
其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染．该城市空气质量达到良或优的概率为________．
【解析】所求概率为＋＋＝.
答案：
互斥事件的概率的加法公式的关注点
(1)公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
(2)条件：A，B两事件是互斥事件；
(3)目的：求互斥的两个事件的并事件的概率；
(4)推广：公式可推广为求有限个互斥事件的并事件的概率．
基础类型二 对立事件的概率(逻辑推理、数学运算)
【典例】(1)某射手在一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2，0.3，0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为( )
A.0.5 B．0.3 C．0.6 D．0.9
【解析】选A.此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－0.2－0.3＝0.5.
(2)同时抛掷两枚骰子，既不出现5点也不出现6点的概率为，则5点或6点至少出现一个的概率是________.
【解析】记事件A＝“既不出现5点也不出现6点”，则P(A)＝，事件B＝“5点或6点至少出现一个”．因A∩B＝ ，A∪B为必然事件，故A与B为对立事件，则P(B)＝1－P(A)＝1－＝.
答案：
公式P(A)＝1－P()的应用说明
(1)当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时，常常使用该公式转化为求其对立事件的概率．
(2)该公式的使用实际是运用逆向思维(正难则反)，比较适合含有“至多”，“至少”，“最少”等关键词语型题目．
一商店有奖促销活动中只有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.25，则不中奖的概率为________．
【解析】中奖的概率为0.1＋0.25＝0.35，中奖与不中奖互为对立事件，所以不中奖的概率为1－0.35＝0.65.
答案：0.65
【加固训练】
在数学考试中，小明的成绩在90分及90分以上的概率是0.18，在80～89分(包括80分与89分，下同)的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，60分以下的概率是0.07.计算下列事件的概率：
(1)小明在数学考试中取得80分及80分以上的成绩；
(2)小明考试及格．
【解析】分别记小明的成绩在“90分及90分以上”，在“80～89分”，在“70～79分”，在“60～69分”为事件B，C，D，E，显然这四个事件彼此互斥．
(1)小明的成绩在80分及80分以上的概率是P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.
(2)法一：小明考试及格的概率是P(B＋C＋D＋E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.
法二：因为小明考试不及格的概率是0.07，所以小明考试及格的概率是1－0.07＝0.93.
综合类型 概率性质的综合应用(数学建模、逻辑推理)
与古典概型的综合应用
【典例】一个盒子里有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足|a－b|＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
【解析】(1)由题意知，(a，b，c)所有的可能结果为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足|a－b|＝c”为事件A，“抽取的卡片上的数字满足a－b＝c”为事件B，“抽取的卡片上的数字满足b－a＝c”为事件C.则事件B包括(2，1，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，共3种，所以P(B)＝＝；事件C包括(1，2，1)，(1，3，2)，(2，3，1)，共3种，所以P(C)＝＝.由于事件B与事件C是互斥事件，且A＝B∪C，所以P(A)＝ P(B)＋P(C)＝.
即“抽取的卡片上的数字满足|a－b|＝c”的概率为.
(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件B的对立事件包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种，所以P(B)＝1－P()＝1－＝.即“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.
本例条件不变，求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率．
【解析】设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种．所以P(A)＝＝.
即“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.
与古典概型的综合问题的转化策略
(1)设法把一个复杂事件分拆为几个互斥事件，然后求出各事件的概率，用加法公式得出结果．
(2)当直接计算复合条件的事件的概率比较麻烦时，可间接地计算出其对立事件的概率，再用对立事件的概率公式求解．
【加固训练】
某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：
(1)该队员只属于一支球队的概率；
(2)该队员最多属于两支球队的概率．
【解析】分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件A，B，C.由图知3支球队共有球员20名，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)令“抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件D.则D＝A＋B＋C，因为事件A，B，C两两互斥，所以P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＋＋＝.
(2)令“抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件E，则为“抽取一名队员，该队员属于3支球队”，所以P(E)＝1－P()＝1－＝.
与统计图表的综合应用
2017年被称为“新高考元年”，随着上海、浙江两地顺利实施“语数外＋3”新高考方案，新一轮的高考改革在全国推进．某学校选出高一的200名学生进行了“学生模拟选课数据”调查，每个学生只能从表格中的4种课程组合选择一种学习．模拟选课数据统计如下表：
组合 物化生A 政历地B 物化地C 生历地D
男生E 40 5 25 20
女生F 15 55 10 30
从这200名学生中随机选一名学生，求下列概率：
(1)P(A)，P(C)，P(E)；
(2)P(AC)，P(AE)；
(3)P(A∪C)，P(A∪E).
【解析】根据表格数据，男生E有90人，选A，C组合的人数分别为55人、35人，故：
(1)P(A)＝＝，P(C)＝＝，
P(E)＝＝.
(2)因为A∩C＝ ，所以P(AC)＝0；
因为事件A∩E有40人，所以P(AE)＝＝.
(3)事件A、C是互斥事件，
所以P＝P＋P＝＋＝；
事件A、E不是互斥事件，所以P＝P＋P－P
＝＋－＝.
概率与统计图表的综合问题的关注点
(1)读懂统计图表；(2)把频率看作概率．
【加固训练】
从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155 cm和195 cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160)，第二组[160，165)，…，第八组[190，195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组比第七组多1人，第一组和第八组人数相同．
(1)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图．
(2)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名，记他们的身高分别为x，y，求|x－y|≤5的概率．
【解析】(1)由频率分布直方图知，前五组的频率为
(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，
所以后三组的频率为1－0.82＝0.18，
人数为0.18×50＝9，
由频率分布直方图得第八组的频率为0.008×5＝0.04，人数为0.04×50＝2，设第六组人数为m，则第七组人数为m－1，又m＋m－1＋2＝9，所以m＝4，即第六组人数为4，第七组人数为3，频率分别为0.08，0.06，频率除以组距分别等于0.016，0.012，则完整的频率分布直方图如图所示：
(2)由(1)知身高在[180，185)内的男生有四名，设为a，b，c，d，身高在[190，195]内的男生有两名，设为A，B.若x，y∈[180，185)，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6种情况；
若x，y∈[190，195]，只有AB这1种情况；
若x，y分别在[180，185)，[190，195]内，有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB共8种情况，
所以基本事件的总数为6＋8＋1＝15，
事件|x－y|≤5包含的基本事件的个数为6＋1＝7，
故所求概率为.
创新思维 概率的应用(逻辑推理)
【典例】在一次联欢会上，参演的女演员比男演员多12人，从所有演员中随机抽取一人，抽到男演员的概率是，则参加演出的演员共有________人．
【解析】设参加演出的演员共有x人，由于从所有演员中抽取一人，“抽到男演员”和“抽到女演员”是对立事件，所以抽到女演员的概率为1－＝，由题意，x－x＝12，解得x＝120.
答案：120
已知概率，利用逆向思维求解．
【加固训练】
在5件产品中，有3件一级品和2件二级品，从中任取2件，下列事件中概率为的是( )
A．都是一级品
B．都是二级品
C．一级品和二级品各1件
D．至少有1件二级品
【解析】选D.样本点总数为10，2件都是一级品包含3个样本点，其概率为，其对立事件是至少有1件二级品，且概率为.
1．若A与B为互斥事件，则( )
A．P(A)＋P(B)<1 B．P(A)＋P(B)>1
C．P(A)＋P(B)＝1 D．P(A)＋P(B)≤1
【解析】选D.若A与B为互斥事件，则P(A)＋P(B)≤1.
2．从1，2，3，…，30这30个数中任意摸出一个数，则事件“摸出的数是偶数或能被5整除的数”的概率是( )
A． B． C． D．
【解析】选B.法一：这30个数中“是偶数”的有15个，“能被5整除的数”有6个，这两个事件不互斥，既是偶然又能被5整除的数有3个，所以事件“是偶数或能被5整除的数”包含的样本点是18个，而样本点共有30个，所以所求的概率为＝.
法二：设事件A“摸出的数为偶数”，事件B“摸出的数能被5整除”，则P(A)＝，P(B)＝＝，P(A∩B)＝＝，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝.
3．若事件A和B是互斥事件，且P(A)＝0.3，则P(B)的取值范围是( )
A．[0，0.7] B．[0.3，0.7]
C．(0，0.7] D．[0，1]
【解析】选A.由于事件A和B是互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.3＋P(B)，又0≤P(A∪B)≤1，所以0≤0.3＋P(B)≤1，所以0≤P(B)≤0.7.
4．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．
【解析】由题意知事件“甲夺得冠军”与“乙夺得冠军”互斥，故所求事件的概率为＋＝.
答案：
5．盒中有大小、形状相同的黑球、白球和黄球，从中摸出一个球，摸出黑球的概率为0.42，摸出黄球的概率为0.18，则摸出白球的概率为________．
【解析】设A＝{摸出黑球}，B＝{摸出白球}，C＝{摸出黄球}，由题意P(A)＝0.42，P(C)＝0.18，所以P(B)＝1－P(A)－P(C)＝0.4.
答案：0.4
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