(共25张PPT)
第十章 概 率
10.1 随机事件与概率
10.1.1 有限样本空间与随机事件
【情境探究】
1.随机现象是否为一种杂乱无章的现象
2.同时转动如图所示的两个转盘,记转盘①得到的数为x,转盘②得到的数为y,结果为(x,y),你知道这个试验有多少种不同的结果吗
必备知识生成
继续探究:
(1)如果某个练习投篮的中学生决定投篮5次,那么“他投进6次”“他投进的次数比6小”“他投进3次”分别能否发生
提示:“他投进6次”不可能发生;“他投进的次数比6小”总会发生;“他投进3次”可能发生也可能不发生.
(2)举例说明随机现象与随机事件的区别.
提示:行人在十字路口看到的交通信号灯颜色是一种随机现象,看到的是红色是随机事件,看到的是黄色或者是绿色都是随机事件.因此随机事件是在同样的条件下重复进行试验时,可能出现的结果,随机现象指的是一个现象在相同的条件下多次观察它,每次观察到的结果不一定相同.
【知识生成】
1.随机试验及其特点
(1)定义:把对_________的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验.
(2)表示:常用字母__.
(3)特点:①试验可以在_________下重复进行.
②试验的这些可能结果是_________的,并且不止一个.
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先_________出现哪一个
结果.
随机现象
E
相同条件
明确可知
不能确定
2.样本点和样本空间
(1)定义:把随机试验E的每个_______________称为样本点,全体样本点的
_____称为试验E的样本空间.
(2)表示:样本空间常用大写希腊字母___表示.用___表示样本点.
可能的基本结果
集合
Ω
ω
3.随机事件
(1)定义:将样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本
点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写英文字母_________表示.
(2)不可能事件:空集 不包含任何样本点,在每次试验中都_________,我们称
为不可能事件.
(3)必然事件:Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一
个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称Ω为必然事件.
A,B,C,…
不会发生
关键能力探究
探究点一 事件类型的判断
【典例1】判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件.
(1)“抛一石块,下落”;
(2)“在标准大气压下且温度低于0 ℃时,冰融化”;
(3)“某人射击一次,中靶”;
(4)“如果a>b,那么a-b>0”;
(5)“掷一枚硬币,出现正面”;
(6)“导体通电后,发热”;
(7)“从分别标有数字1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到4号签”;
(8)“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”;
(9)“没有水分,种子能发芽”;
(10)“在常温下,焊锡熔化”.
【思维导引】根据事件的概念判断:必然事件必然发生;不可能事件不可能发生;随机事件可能发生也可能不发生.
【解析】事件(1)(4)(6)是必然事件;事件(2)(9)(10)是不可能事件;事件(3)(5)(7)(8)是随机事件.
【类题通法】
对事件分类的两个关键点
(1)条件:在条件S下事件发生与否是与条件相对而言的,没有条件,无法判断事件是否发生;
(2)结果发生与否:有时结果较复杂,要准确理解结果包含的各种情况.
【定向训练】
指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件:
(1)某人购买福利彩票一注,中奖500万元;
(2)科学技术达到一定水平后,不需任何能量的“永动机”将会出现.
【解析】(1)购买一注彩票,可能中奖,也可能不中奖,所以是随机事件.
(2)由能量守恒定律可知,不需任何能量的“永动机”不会出现,所以是不可能事件.
探究点二 样本点和样本空间
【典例2】连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.
(1)写出这个随机试验的样本空间;
(2)求这个随机试验样本点的总数;
(3)“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个随机试验样本点
【思维导引】用列举法按照顺序列举出所要求的随机试验的样本空间.
【解析】(1)随机试验的样本空间Ω={(正,正,正),(正,正,反),
(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)}.
(2)随机试验样本点的总数是8.
(3)“恰有两枚正面向上”包含以下3个随机试验样本点:(正,正,反),
(正,反,正),(反,正,正).
【延伸探究】
(变结论)连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面,写出这个试验中“恰有一枚正面向上”这一事件包含的随机试验样本点.
【解析】“恰有一枚正面向上”包含3个随机试验样本点,分别是:
(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正).
【类题通法】确定随机试验样本空间的方法
(1)必须明确事件发生的条件.
(2)根据题意,按一定的次序列出问题的答案.特别要注意结果出现的机会是均等的,按规律去写,要做到既不重复也不遗漏.
【定向训练】
甲、乙两人做出拳游戏(锤、剪、布).
(1)写出随机试验的样本空间Ω.
(2)写出事件“甲赢”.
(3)写出事件“平局”.
【解析】(1)Ω={(锤,剪),(锤,布),(锤,锤),(剪,锤)(剪,剪),(剪,布),
(布,锤),(布,剪),(布,布)}.
(2)记“甲赢”为事件A,则A={(锤,剪),(剪,布),(布,锤)}.
(3)记“平局”为事件B,则B={(锤,锤),(剪,剪),(布,布)}.
1
2
3
4
易错提醒
核心知识
有限样本空间与随机事件
方法总结
核心素养
在列举样本点时注意分类思想的运用，做到不重不漏
数学抽象：形成随机事件的概念的过程
数学建模：写出样本空间中的样本点，分析随机试验
随机试验
样本空间
确定样本空间的方法：
通过列表、画树状图等方法列举样本点
随机事件
样本点
特点
基本事件
概念
有限样本空间
必然事件
不可能事件
课堂素养达标
1.下列试验:①当x是实数时,x-|x|=2.
②某班一次数学测试,及格率低于75%.
③从分别标有0,1,2,3,…,9这十个数字的纸团中任取一个,取出的纸团是偶数.
④体育彩票某期的特等奖号码.其中是随机试验的是 ( )
A.①②③ B.①③④
C.②③④ D.①②④
【解析】选C.由随机试验的定义知②③④是随机试验.
2.下列事件中,是不可能事件的是 ( )
A.三角形的内角和为180°
B.三角形中大角对大边,小角对小边
C.锐角三角形中两内角和小于90°
D.三角形中任意两边之和大于第三边
【解析】选C.锐角三角形中两内角和大于90°.
3.同时掷两枚大小相同的骰子,用(x,y)表示结果,记事件A为“所得点数之和小于5”,则事件A包含的样本点数是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】选D.因为事件A={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)},共包含6个样本点.故选D.
4.先后掷两枚质地均匀的骰子,骰子朝上的面的点数分别为x,y,则事件:log2xy=1包含的样本点有____________.
【解析】先后掷两枚质地均匀的骰子,骰子朝上的面的点数有36种结果.解方程log2xy=1得y=2x,则符合条件的样本点有(1,2),(2,4),(3,6).
答案:(1,2),(2,4),(3,6)
5.随意安排甲、乙、丙三人在3天节假日中值班,每天1人值班,试写出值班顺序的样本空间.
【解析】样本空间Ω={(甲,乙,丙),(甲,丙,乙),(乙,丙,甲),(乙,甲,丙),
(丙,甲,乙),(丙,乙,甲)}.(共30张PPT)
10.1.2 事件的关系和运算
【情境探究】
1.篮球比赛是青少年朋友们最喜欢的运动项目之一,在紧张激烈的比赛中,跑步上篮,一个漂亮的投篮动作,往往赢得满场喝彩.但是,要使投篮连投连中却是很不容易的,你知道为什么吗
2.事件A∪B中的基本事件与事件A、B中的基本事件有什么关系
必备知识生成
继续探究:
一袋中有2个红球,2个白球,从中摸出两个球,记“摸出的两球是红球”为事件A,“摸出的两球是白球”为事件B,“摸出的两球是一红一白”为事件C,“摸出的两球至少有一个红球”为事件D,“摸出的两球至少有一个白球”为事件E.
3.若事件A发生,事件D发生吗 它们是什么关系
提示:事件A发生,则事件D一定发生,它们是包含关系.
4.若事件C发生,则事件D会发生吗 事件A,C,D之间有何关系
提示:事件C发生,则事件D一定会发生;事件D包含事件A和事件C两个事件.
5.若事件C发生,那么事件E会发生吗 事件C,D,E又有何关系
提示:若事件C发生,那么事件E一定会发生;事件D,事件E均包含事件C.
6.事件A与事件B能同时发生吗 事件A与事件E能同时发生吗 事件A与事件E的并事件是什么事件 交事件又是什么事件
提示:事件A与事件B不能同时发生;事件A与事件E也不能同时发生;A∪E是必然事件;A∩E是不可能事件.
【知识生成】
1.事件的关系
定义 表示法 图示
事件的关系 包含关系 若事件A发生,则事件B一定_____,称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) ____或____
互斥事件 若事件A与事件B不能同时发生,即A∩B是一个_______
_____,则称事件A与事件B互斥 若_______,则A与B互斥
对立事件 若A∩B为___________,A∪B为_________,那么称事件A与事件B互为对立事件,事件A的对立事件记作 若 _______,且A∪B=Ω,则A与B对立
发生
B A
A B
不可能
事件
A∩B=
不可能事件
必然事件
A∩B=
2.事件的并、交运算
定义 表示法 图示
事件的运算 并事件 一般地,事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,或者在事件B中,我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) _____或
____
交事件 一般地,事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中,我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) _____或
___
A∪B
A+B
A∩B
AB
关键能力探究
探究点一 事件的运算
【典例1】掷一枚骰子,下列事件:
A={出现奇数点},B={出现偶数点},
C={点数小于3},D={点数大于2},E={点数是3的倍数}.
求:(1)A∩B,BC;
(2)A∪B,B∪C;
(3)记H是事件D的对立事件,H,AC,H∪E.
【思维导引】类比集合间的关系、运算,利用事件的关系的定义进行运算.
【解析】(1)A∩B= ,BC={出现2点}.
(2)A∪B={出现1,2,3,4,5或6点},B∪C={出现1,2,4或6点}.
(3)H={点数小于或等于2}={出现1或2点};
AC={出现1点};
H∪E={出现1,2,3或6点}.
【类题通法】
事件间的运算方法
(1)利用事件间运算的定义,列出同一条件下的试验所有可能出现的结果,分析并利用这些结果进行事件间的运算.
(2)利用Venn图,借助集合间运算的思想,分析同一条件下的试验所有可能出现的结果,把这些结果在图中列出,进行运算.
提醒:在一些比较简单的题目中,可以根据常识来判断事件之间的关系,但对于比较复杂的题目,就得严格按照事件之间关系的定义来推理.
【定向训练】
盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取三个球,设事件A={3个球中有1个红球,2个白球},事件B={3个球中有2个红球,1个白球},事件C={3个球中至少有1个红球},事件D={3个球中既有红球又有白球}.
问:(1)事件D与A,B是什么样的运算关系
(2)事件C与A的交事件是什么事件
【解析】(1)对于事件D,可能的结果为1个红球2个白球,或2个红球1个白球,故D=A∪B.
(2)对于事件C,可能的结果为1个红球2个白球,2个红球1个白球,3个红球,故C∩A=A.
探究点二 事件关系的判断
【典例2】(1)某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件:
①“恰有1名男生”与“恰有2名男生”;
②“至少有1名男生”与“全是男生”;
③“至少有1名男生”与“全是女生”;
④“至少有1名男生”与“至少有1名女生”.
(2)对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,每次射击可能击中或未击中,设事件A=“第一次击中飞机”,B=“第二次击中飞机”,C=“两次都击中飞机”,D=“两次都未击中飞机”,E=“恰有一次击中飞机”,F=“至少有一次击中飞机”.
①用集合的形式分别写出样本空间以及上述各事件;
②事件C与事件E的并事件与事件F有什么关系 事件A与事件B的交事件与事件C有什么关系
【思维导引】(1)紧扣互斥事件与对立事件的定义判断.
(2)注意到试验由两次射击组成,所以可以用数组(x1,x2)表示样本点.
【解析】(1)从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果:2名男生,2名女生,1男1女.
①“恰有1名男生”指1男1女,与“恰有2名男生”不能同时发生,它们是互斥事件;但是当选取的结果是2名女生时,该两事件都不发生,所以它们不是对立事件.
②“至少1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果,与事件“全是男生”可能同时发生,所以它们不是互斥事件.
③“至少1名男生”与“全是女生”不可能同时发生,所以它们互斥,由于它们必有一个发生,所以它们是对立事件.
④“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果,当选出的是1男1女时,“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生,所以它们不是互斥事件.
(2)①用数组(x1,x2)表示可能的结果,以1表示击中飞机,0表示未击中飞机,
则样本空间为Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.
事件A={(1,0),(1,1)}.事件B={(0,1),(1,1)}.
事件C={(1,1)}.事件D={(0,0)}.
事件E={(0,1),(1,0)}.事件F={(0,1),(1,0),(1,1)}.
②因为C∪E=F,所以事件F是事件C与事件E的并事件.
因为A∩B=C,所以事件C是事件A与B的交事件.
【类题通法】互斥事件和对立事件的判定方法
(1)利用基本概念,要判断两个事件是不是互斥事件,只需要找出各个事件所包含的所有结果,看它们之间能不能同时发生,在互斥的前提下,看两个事件中是否必有一个发生,可判断是否为对立事件.注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义,明晰它们对事件结果的影响.
(2)利用集合观点,设事件A与B所含的结果组成的集合分别为A,B.
①若事件A与B互斥,则集合A∩B= .
②若事件A与B对立,则集合A∩B= 且A∪B=Ω.
提醒:对立事件是针对两个事件来说的,而互斥事件则可以是多个事件间的关系.
【定向训练】
1.(已知两事件判断是互斥事件或对立事件)把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人,每人分得1张,事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 ( )
A.对立事件
B.不可能事件
C.互斥但不对立事件
D.以上答案都不对
【解析】选C.“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生,所以是互斥事件,但分得红牌的还可能是丙或丁,所以不是对立事件.
2.由甲、乙两个射手各进行一次射击,每个射手可能中靶或脱靶.试设事件A=“甲射手中靶”,B=“乙射手中靶”.
(1)写出试验的样本空间;
(2)用集合的形式表示事件A、B以及它们的对立事件.
【解析】(1)用x1、x2分别表示甲、乙两个射手的射击情况,则可以用(x1,x2)表
示试验的样本空间.以1表示中靶,0表示脱靶,则样本空间为
Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.
(2)根据题意,可得A={(1,0),(1,1)}.B={(0,1),(1,1)}.
={(0,0),(0,1)}, ={(0,0),(1,0)}.
易错提醒
核心知识
方法总结
核心素养
互斥事件与对立事件的判断方法：
不能同时发生的是互斥事件，对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生。
数学建模：利用事件的关系判断问题
无论是包含、相等，还是互
斥、对立其发生的条件都是一样的
对立事件是针对两个事件来说的，而互斥事件可以是对多个事件
互斥事件
对立事件
关系
运算
包含
相等
交事件
并事件
事件的关系和运算
课堂素养达标
1.下列各组事件中,不是互斥事件的是 ( )
A.一个班级进行一次数学考试,成绩高于80分与低于60分
B.统计一个班的数学成绩,平均分不低于90分与平均分不高于90分
C.播种100粒菜籽,发芽90粒与发芽80粒
D.检验某种产品,合格率高于70%与合格率低于70%
【解析】选B.对于B,设事件A1为平均分不低于90分,事件A2为平均分不高于90分,则A1∩A2为平均分等于90分,A1,A2可能同时发生,故它们不是互斥事件.
2.把红、黄、蓝3张卡片随机分给甲、乙、丙三人,每人1张,事件A:“甲得红卡”与事件B:“乙得红卡”是 ( )
A.不可能事件 B.必然事件
C.对立事件 D.互斥但不对立事件
【解析】选D.把红、黄、蓝3张卡片随机分给甲、乙、丙三人,每人1张,事件A:“甲得红卡”与事件B:“乙得红卡”不可能同时发生,但事件A:“甲得红卡”不发生时,事件B:“乙得红卡”有可能发生,有可能不发生;所以事件A:“甲得红卡”与事件B:“乙得红卡”是互斥但不对立事件.
3.一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是________.
【解析】连续射击两次有以下四种情况:第一次中第二次不中,第一次不中第二次中,两次都中和两次都不中.
故“至少有一次中靶”的互斥事件为“两次都不中靶”.
答案:“两次都不中靶”
4.国际上通用的茶叶分类法,是按发酵程度把茶叶分为不发酵茶(如:龙井、碧螺春)和发酵茶(如:茉莉花茶、铁观音、乌龙茶、普洱茶)两大类,现有6个完全相同的纸盒,里面分别装有龙井、碧螺春、茉莉花茶、铁观音、乌龙茶和普洱茶,从中任取一盒,根据以上材料,判断下列两个事件是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由.
(1)“取出龙井”和“取出铁观音”;
(2)“取出不发酵茶”和“取出发酵茶”;
(3)“取出发酵茶”和“取出普洱茶”;
(4)“取出不发酵茶”和“取出乌龙茶”.
【解析】(1)事件“取出龙井”和事件“取出铁观音”不可能同时发生,也有可能都不发生,所以是互斥事件而不是对立事件.
(2)事件“取出不发酵茶”和事件“取出发酵茶”不可能同时发生,但必有一个发生,所以既是互斥事件又是对立事件.
(3)事件“取出发酵茶”和事件“取出普洱茶”不是互斥事件,因为“取出普洱茶”时,事件“取出发酵茶”也发生了.
(4)事件“取出不发酵茶”和事件“取出乌龙茶”不可能同时发生,也有可能都不发生,所以是互斥事件而不是对立事件.(共47张PPT)
10.1.3 古 典 概 型
【情境探究】
1.抛掷两枚硬币,有哪几种可能结果 每种结果出现的机会是否相等
提示:抛掷两枚硬币有4种可能的结果,是“正正”“反反”“正反”“反正”,
它们都是随机事件,每个事件出现的机会是均等的,都为 .
2.上述试验中,任何两种结果是什么关系
提示:由于任何两种结果都不可能同时发生,所以它们的关系是互斥关系.
必备知识生成
3.某同学从红、黄、蓝、白4个小球中,任取3个,所有结果有哪些 这个试验有
哪些特点
提示:该试验的基本事件有4个:红黄蓝、红黄白、红蓝白、黄蓝白,而且每个基
本事件发生的概率都是 ,是等可能的.
【知识生成】
1.随机事件概率的定义
对随机事件发生___________的度量(数值)称为事件的概率.
2.古典概型的特点
(1)有限性:样本空间的样本点只有_____个.
(2)等可能性:每个样本点发生的可能性_____.
可能性大小
有限
相等
3.古典概型的概率公式
设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,
则定义事件A的概率P(A)= .
其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
关键能力探究
探究点一 样本点的计数问题
【典例1】(1)列出从字母a,b,c中任意取出两个字母的试验中的样本点,并指出样本点的个数(不考虑先后顺序).
(2)从含有两件正品a1,a2和一件次品b的三件产品中每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次.
①写出这个试验的样本空间;
②设A为“取出两件产品中恰有一件次品”,用集合表示事件A;
③把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”,其余不变,请你回答上述两个问题.
【思维导引】根据事件的定义,按照一定的规则找到试验中所有可能发生的结果,列举出来即可.
【解析】(1)从三个字母中任取两个字母的所有等可能结果即样本点,分别是(a,b),(a,c),(b,c)共3个.
(2)①这个试验的样本空间Ω={(a1,a2),(a1,b),(a2,b),(a2,a1),(b,a1),(b,a2)}.
②A={(a1,b),(a2,b),(b,a1),(b,a2)}.
③这个试验的所有可能结果Ω={(a1,a1),(a1,a2),(a1,b),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b),(b,a1),(b,a2),(b,b)}.
A={(a1,b),(a2,b),(b,a1),(b,a2)}.
【类题通法】样本点的两个探求方法
(1)列举法:把试验的全部结果一一列举出来.此方法适合于较为简单的试验问题.
(2)树状图法:树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法,树状图法便于分析样本点间的结构关系,对于较复杂的问题,可以作为一种分析问题的主要手段,树状图法适用于较复杂的试验的题目.
【定向训练】
有两个正四面体的玩具,其四个面上分别标有数字1,2,3,4,下面做投掷这两个正四面体玩具的试验:用(x,y)表示结果,其中x表示第1个正四面体玩具朝下的点数,y表示第2个正四面体玩具朝下的点数.试写出下列事件所包含的全部样本点:
(1)事件“朝下点数之和大于3”;
(2)事件“朝下点数相等”;
(3)事件“朝下点数之差的绝对值小于2”.
【解析】这个试验的样本点为:
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),
(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).
(1)事件“朝下点数之和大于3”包含以下13个样本点:(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),
(4,2),(4,3),(4,4).
(2)事件“朝下点数相等”包含以下4个样本点:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).
(3)事件“朝下点数之差的绝对值小于2”包含以下10个样本点:(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4).
探究点二 古典概型的判断
【典例2】(1)下列概率模型中,是古典概型的为______.
①从区间[1,10]内任取一个数,求取到1的概率;
②从1,2,3,…,10中任取一个整数,求取到1的概率;
③向一个正方形ABCD内任意投一点P,求点P刚好与点A重合的概率.
(2)袋中有形状、大小相同的4个白球,2个黑球,3个红球,每球都有一个区别于其他球的编号,从中摸一个球.
①如果把每个球的编号看作一个样本点,建立概率模型,问该模型是否为古典概型
②若以球的颜色为样本点,以这些样本点建立概率模型,该模型是否为古典概型
【思维导引】(1)从有限性和等可能性两个角度考虑.
(2)根据古典概型的定义进行判断.
【解析】(1)①样本点有无限个.②样本点有10个,等可能发生.③样本点有无限个.
答案:②
(2)①由于共有9个球,且每个球的编号各不相同,又由于所有球的大小、形状
一样,从中摸一个球,是随机选取,因此每个球被摸到的可能性相等.故属于古
典概型.
②由于9个球共三种颜色,因此共有三个样本点,又由于所有球的大小、形状一
样,因此每个球被摸到的可能性相等,而白球4个,故一次摸球摸到白球的可能
性为 ,同理摸到黑球的可能性为 ,摸到红球的可能性为 = .显然三
个样本点出现的可能性不等,故不是古典概型.
【类题通法】判断古典概型的方法
(1)一个试验是否为古典概型,在于是否具有两个特征:有限性和等可能性.
(2)并不是所有的试验都是古典概型,下列三类试验都不是古典概型:
①样本点个数有限,但非等可能.
②样本点个数无限,但等可能.
③样本点个数无限,也不等可能.
【补偿训练】
下列试验中,是古典概型的有 ( )
A.某人射击中靶或不中靶
B.在平面直角坐标系内,从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个
C.四位同学用抽签法选一人参加会议
D.运动员投篮,观察是否投中
【解析】选C.对于A,某人射击中靶与不中靶的可能性不相等,不是古典概型,A错误;对于B,横坐标和纵坐标都为整数的所有点有无数个,不是古典概型,B错误;对于C,符合古典概型的定义,是古典概型,C正确;对于D,运动员投篮,投中与没有投中的可能性不等,不是古典概型,D错误.
探究点三 古典概型的概率计算
【典例3】袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a,b的2个黑球和编号为c,d,e的3个红球,从中任意摸出2个球.写出试验的样本空间,判断是否为古典概型并求至少摸到1个黑球的概率.
【思维导引】写试验的样本空间时可用树状图,判断古典概型时要紧扣其定义与特征,写出至少摸到1个黑球的样本点,用古典概型概率公式可得概率.
【解析】用树状图表示所有的结果为:
所以所有样本点是
(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10个,
且在一次试验中,每个样本点出现的可能性相等,是古典概型.记“至少摸出1
个黑球”为事件A,
则事件A包含的样本点为(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),共7
个样本点,所以P(A)= =0.7,即至少摸出1个黑球的概率为0.7.
【延伸探究】
若从甲、乙、丙、丁中任取2人参加某项活动,在列举样本点时,有人列举为(甲,乙)、(甲,丙)、(甲,丁)、(乙,丙)、(乙,丁)、(丙,丁)共6个,还有人列举为(甲,乙)、(乙,甲)、(甲,丙)、(丙,甲)、(甲,丁)、(丁,甲)、
(乙,丙)、(丙,乙)、(乙,丁)、(丁,乙)、(丙,丁)、(丁,丙)共12个.既然样本点总数都不相同,他们求某一事件的概率也不相同.这种说法对吗
【解析】不对,如要求A事件:甲入选的概率时.第一种情况下A包含3个样本
点,P(A)= ;第二种情况下,A包含6个样本点,P(A)= ,概率相同.
求概率时,其大小与模型的选择无关,但对于此问题,我们倾向于选择第一种情
况.
【类题通法】
1.古典概型概率求法步骤
(1)确定样本空间包含的样本点总数n.
(2)确定所求事件包含样本点数k.
(3)P(A)= .
2.使用古典概型概率公式的注意点
(1)首先确定是否为古典概型.
(2)事件A是什么,包含的样本点有哪些.
【定向训练】
1.山东全省根据疫情情况将高三开学时间统一定为4月15号,某校筹备了大量防疫物资,若9个相同的口罩分发给甲、乙、丙三位同学,每位同学至少2个,则甲获得的口罩不少于乙获得的口罩的概率为________.
【解析】把9个相同的口罩分发给甲、乙、丙三位同学,每位同学至少2个,
可以有的分法是:
甲2个,乙2个,丙5个;
甲2个,乙3个,丙4个;
甲2个,乙4个,丙3个;
甲2个,乙5个,丙2个;
甲3个,乙2个,丙4个;
甲3个,乙3个,丙3个;
甲3个,乙4个,丙2个;
甲4个,乙2个,丙3个;
甲4个,乙3个,丙2个;
甲5个,乙2个,丙2个.
一共有10种分法,
其中甲获得的口罩不少于乙获得的口罩的基本事件个数为6,所以P=
答案:
2.某地区有小学21所,中学14所,大学7所,现采取分层随机抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.
(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目.
(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析.
①列出样本空间Ω;
②求抽取的2所学校均为小学的概率.
【解析】(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.
(2)①在抽取到的6所学校中,3所小学分别记为A1,A2,A3,
2所中学分别记为A4,A5,1所大学记为A6,
则抽取2所学校的样本空间Ω为{(A1,A2),(A1,A3),
(A1,A4),(A1,A5),(A1,A6),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A6),(A3,A4),(A3,A5),
(A3,A6),(A4,A5),(A4,A6),(A5,A6)}.
②由①知n(Ω)=15.
从这6所学校中抽取的2所学校均为小学记为事件B,则
B={(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3)},n(B)=3,
所以P(B)=
探究点四 较复杂的古典概型的概率计算
【典例4】有A,B,C,D四位贵宾,应分别坐在a,b,c,d四个席位上,现在这四人均未留意,在四个席位上随便就座时.
(1)求这四人恰好都坐在自己席位上的概率;
(2)求这四人恰好都没坐在自己席位上的概率;
(3)求这四人恰好有1位坐在自己席位上的概率.
【思维导引】利用画树状图法求解.
【解析】将A,B,C,D四位贵宾就座情况用树状图表示出来:
如图所示,共24个等可能发生的样本点,属于古典概型.
(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己席位上”,则事件A只包含1个样本点,
所以P(A)=
(2)设事件B为“这四人恰好都没坐在自己席位上”,则事件B包含9个样本点,
所以P(B)=
(3)设事件C为“这四人恰好有1位坐在自己席位上”,则事件C包含8个样本点,
所以P(C)=
【类题通法】(1)当样本点个数没有很明显的规律,并且涉及的样本点又不是太多时,我们可借助树状图法直观地将其表示出来,这是进行列举的常用方法.树状图可以清晰准确地列出所有的样本点,并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况.
(2)在求概率时,若样本点可以表示成有序数对的形式,则可以把全部样本点用平面直角坐标系中的点表示,即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数.故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观,给问题的解决带来方便.
【定向训练】
现有8名奥运会志愿者,其中志愿者A1,A2,A3通晓日语,B1,B2,B3通晓俄语,C1,C2通晓韩语,从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名,组成一个小组.
(1)求A1被选中的概率;
(2)求B1和C1不全被选中的概率.
【解析】(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名,这个试验的样本空间Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2),
(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),
(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2)},共18个样本点.由于每一个样本点被抽取的机会均等,因此这些样本点的发生是等可能的.
用M表示“A1被选中”这一事件,则M={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2)},共6
个样本点,因此P(M)=
(2)用N表示“B1和C1不全被选中”这一事件,则其对立事件 表示“B1,C1全被
选中”这一事件,由于 ={(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)},共有3个样本
点,而N∪ =Ω,且N∩ = ,
故事件N包含的样本点个数为18-3=15,
所以P(N)=
核心知识
概率
古典概型
特点
公式
方法总结
求样本空间的方法：
（1）较简单的问题可用列举法；
（2）较复杂的问题可用坐标系、表格或树状图
易错提醒
1首先判断概率模型是否是古典概型
2.求样本点空间时注意是否有顺序要求
核心素养
数学运算：体现在求概率的过程
古典概型
课堂素养达标
1.下列关于古典概型的说法中正确的是 ( )
①试验中所有可能出现的样本点只有有限个;②每个事件出现的可能性相等;
③每个样本点出现的可能性相等;④样本点的总数为n,随机事件A若包含k个样
本点,则P(A)=
A.②④ B.①③④ C.①④ D.③④
【解析】选B.根据古典概型的特征与概率公式进行判断,①③④正确,②中的
事件不是只有一个样本点,不正确.
2.若书架上放有中文书5本,英文书3本,日文书2本,由书架上抽出一本外文书
的概率为 ( )
【解析】选D.由题意知书架上共有10本书,其中外文书有3+2=5(本).所以由书
架上抽出一本外文书的概率P= = ,故选D.
3.有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩
笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为
( )
【解析】选C.从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,这个试验的样本空间
Ω={(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫),(黄,蓝),(黄,绿),(黄,紫),
(蓝,绿),(蓝,紫),(绿,紫)},共10个样本点,这10个样本点发生的可能性是相
等的.而取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的样本点有(红,黄),(红,蓝),
(红,绿),(红,紫),共4个,故所求概率P=
4.盒子里共有大小相同的3只白球、1只黑球,则从中随机摸出两只球,则它们
的颜色不同的概率是________.
【解析】记3只白球分别为A,B,C,1只黑球为m,则从中随机摸出两只球的样本
空间Ω={(A,B),(A,C),(A,m),(B,C),(B,m),(C,m)},所以n(Ω)=6,其中颜色不
同的样本点为(A,m),(B,m),(C,m),所以n=3,故所求概率为
答案:
5.一只口袋内装有大小相同的5只球,其中3只白球,2只黑球,从中一次摸出2只球.
(1)共有多少个样本点
(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少
【解析】(1)分别记白球为1,2,3号,黑球为4,5号,从中摸出2只球,有如下样本
点(如摸到1,2号球,则用(1,2)表示):
(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).因
此,共有10个样本点.
(2)上述10个样本点发生的可能性相同,且只有3个样本点是摸到两只白球(记
为事件A),即(1,2),(1,3),(2,3),故 P(A)= .故摸出2只球都是白球的概率
为 .(共42张PPT)
10.1.4 概率的基本性质
【情境探究】
1.从一副去掉大小王的扑克牌中任抽一张,“抽到红桃”与“抽到方块”能否同时发生
2.从一副去掉大小王的扑克牌中任抽一张,记A=“抽到红色牌”;B=“抽到黑色牌”,则A,B的关系与1中两事件关系有何异同
必备知识生成
继续探究:
在掷骰子的试验中,事件A={出现的点数为1},事件B={出现的点数为奇数},事件A与事件B有怎样的关系
提示:因为1为奇数,所以A B.
【知识生成】
概率的性质
(1)对任意的事件A,都有P(A)≥0.
(2)P(Ω)=1,P( )=0.
(3)若事件A与事件B互斥,则有P(A∪B)=P(A)+P(B).
推广:若事件A1,A2,…,An两两互斥,则有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
(4)若事件A与事件B互为对立事件,则有P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).
(5)若A B,则P(A)≤P(B),由 A Ω,得0≤P(A)≤1.
(6)设A,B是一随机试验中的两个事件,则有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB).
关键能力探究
探究点一 概率的加法公式
【典例1】某地区的年降水量在下列范围内的概率如表所示:
年降水量
(单位:mm) … [100,150) [150,200) [200,250) [250,300)
概率 … 0.12 0.25 0.16 0.14
(1)求年降水量在[100,200)(mm)范围内的概率;
(2)求年降水量在[150,300)(mm)范围内的概率.
【思维导引】先将复杂事件进行分解,分成n个互斥事件的和,再应用公式求解.
【解析】记这个地区的年降水量在[100,150),[150,200),[200,250),
[250,300)(mm)范围内分别为事件A,B,C,D.
这4个事件彼此互斥,根据互斥事件的概率加法公式:
(1)年降水量在[100,200)(mm)范围内的概率是
P(A+B)=P(A)+P(B)=0.12+0.25=0.37.
(2)年降水量在[150,300)(mm)范围内的概率是
P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.25+0.16+0.14
=0.55.
【类题通法】
利用概率的加法公式求概率的步骤
(1)确定各个事件是两两互斥的.
(2)求出各个事件分别发生的概率.
(3)利用公式求事件的概率.
【定向训练】 由经验可知,每天在学校食堂某窗口排队等候就餐的人数及其概率如表:
排队
人数 [0,4) [4,8) [8,12) [12,16) [16,20) [20,+∞)
概率 0.10 0.16 0.30 0.30 0.10 0.04
(1)求等候就餐的人数为[4,16)的概率;
(2)若等候就餐的人数大于或等于16,则应增加一个新窗口,请问增加一个新窗口的概率是多少
【解析】(1)记“等候就餐的人数为[4,16)”为事件A,“等候就餐的人数为[4,8)”为事件A1,“等候就餐的人数为[8,12)”为事件A2,“等候就餐的人数为[12,16)”为事件A3,则A=A1+A2+A3,且A1,A2,A3彼此互斥,所以P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=0.16+0.30+0.30=0.76.
(2)要增加新窗口,则等候就餐的人数大于或等于16,包含两种情况:等候就餐的人数为[16,20)和[20,+∞),记“等候就餐的人数大于或等于16”为事件B,“等候就餐的人数为[16,20)”为事件B1,“等候就餐的人数为[20,+∞)”为事件B2,则B=B1+B2,且B1,B2互斥,则P(B)=P(B1)+P(B2)=0.10+0.04=0.14.因此应增加一个新窗口的概率是0.14.
【补偿训练】
在数学考试中,小明的成绩在90分以上的概率是0.18,在80～89分的概率是0.51,在70～79分的概率是0.15,在60～69分的概率是0.09,计算小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率和小明考试及格的概率.
【解析】分别记小明的成绩在90分以上,在80～89分,在70～79分,在60～69分为事件B,C,D,E,这四个事件是彼此互斥的.根据概率的加法公式,小明的考试成绩在80分以上的概率是P(B+C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69.
小明考试及格的概率为P(B+C+D+E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.
探究点二 对立事件公式的应用
【典例2】1.一个箱子内有9张票,其号数分别为1,2,…,9.从中任取2张,其号数至少有一个为奇数的概率是________.
2.学生的视力下降是十分严峻的问题,通过随机抽样调查某校1 000名在校生,其中有200名学生裸眼视力在0.6以下,有450名学生祼眼视力在0.6～1.0,剩下的能达到1.0及以上,问:(1)这个学校在校生眼睛需要配镜或治疗(视力不足1.0)的概率为多少
(2)这个学校在校生视力合格(视力达到1.0及以上)的概率为多少
【思维导引】1.首先明确事件“至少有一个为奇数”包括“号数是一奇一偶”与“号数是两奇”两种情况,再求其对立事件“号数全是偶数”的概率.
2.首先明确事件“视力在0.6以下”与事件“视力在0.6～1.0”是互斥事件;事件“视力不足1.0”与事件“视力达到1.0及以上”为对立事件,再根据概率公式求解.
【解析】1.从9张票中任取2张,有
(1,2),(1,3),…,(1,9);
(2,3),(2,4),…,(2,9);
(3,4),(3,5),…,(3,9);…
(7,8),(7,9),(8,9),共计36种取法.记“号数至少有一个为奇数”为事件
B,“号数全是偶数”为事件C,两事件对立,则事件C为从号数为2,4,6,8的四张
票中任取2张,有(2,4), (2,6),(2,8),(4,6),(4,8),(6,8)共6种取法.所以
P(C)= .
由对立事件的性质得P(B)=1-P(C)= 1- .
答案:
2.(1)因为事件A(视力在0.6以下)与事件B(视力在0.6～1.0)
为互斥事件,所以事件C(视力不足1.0)的概率为P(C)=P(A)+P(B)=
=0.65.
(2)事件D(视力达到1.0及以上)与事件C为对立事件,所以P(D)=1-P(C)=0.35.
即事件D(视力达到1.0及以上)的概率为0.35.
【类题通法】正难则反求概率
(1)找准对立事件.
(2)要有应用对立事件的意识:当事件本身包含的情况较多,而其对立事件包含的结果很少时,就应该利用与对立事件的关系求解,即贯彻“正难则反”的思想.
【定向训练】某次知识竞赛规则如下:主办方预设3个问题,选手若能正确回答出这3个问题,即可晋级下一轮.假设某选手回答正确的个数为0,1,2的概率分别是0.1,0.2,0.3,则该选手晋级下一轮的概率为________.
【解析】记“答对0个问题”为事件A,“答对1个问题”为事件B,“答对2个问
题”为事件C,这3个事件彼此互斥,“答对3个问题(即晋级下一轮)”为事件D,
则“不能晋级下一轮”为事件D的对立事件 .
显然P( )=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.2+0.3=0.6,故P(D)=
1-P( )=1-0.6=0.4.
故事件“晋级下一轮”的概率为0.4.
答案:0.4
【补偿训练】
某学校篮球队、羽毛球队、乒乓球队的某些队员不止参加了一支球队,具体情况如图所示,现从中随机抽取一名队员,求:
(1)该队员只属于一支球队的概率.
(2)该队员最多属于两支球队的概率.
【解析】(1)设“该队员只属于一支球队”为事件A,则事件A的概率为
P(A)= .
(2)设“该队员最多属于两支球队”为事件B,则事件B的概率为P(B)=
1- .
探究点三 互斥事件、对立事件与古典概型的综合问题
【典例3】为积极配合世界大运会志愿者招募工作,某大学数学学院拟成立由4名同学组成的志愿者招募宣传队,经过初步选定,2名男同学,4名女同学共6名同学成为候选人,每位候选人当选宣传队队员的机会是相同的.
(1)求当选的4名同学中恰有1名男同学的概率;
(2)求当选的4名同学中至少有3名女同学的概率.
【思维导引】首先分析事件性质,将“4名同学中至少有3名女同学”分解成“1名男同学3名女同学”和“4名女同学”两个基本事件的和.利用概率加法公式进行计算.
【解析】(1)将2名男同学和4名女同学分别编号为1,2,3,4,5,6(其中1,2是男
同学,3,4,5,6是女同学),该学院6名同学中有4名当选的情况有
(1,2,3,4),(1,2,3,5),(1,2,3,6),(1,2,4,5),(1,2,4,6),(1,2,5,6),
(1,3,4,5),(1,3,4,6),(1,3,5,6),(1,4,5,6),(2,3,4,5),(2,3,4,6),
(2,3,5,6),(2,4,5,6),(3,4,5,6),共15种,当选的4名同学中恰有1名男同学的
情况有(1,3,4,5),(1,3,4,6),(1,3,5,6),(1,4,5,6),(2,3,4,5),(2,3,4,6),
(2,3,5,6),(2,4,5,6),共8种,故当选的4名同学中恰有1名男同学的概率为 .
(2)当选的4名同学中至少有3名女同学包括3名女同学当选(恰有1名男同学当
选),4名女同学当选这两种情况,而4名女同学当选的情况只有(3,4,5,6),则其
概率为 ,又当选的4名同学中恰有1名男同学的概率为 ,故当选的4名同学
中至少有3名女同学的概率为 + = .
【类题通法】
解决互斥事件、对立事件与古典概型的综合问题的方法
解决此类问题的关键是理解题目的实际含义,把实际问题转化为概率模型,必要时将所求的事件转化成彼此互斥的事件的和,或者先求其对立事件的概率,进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解.
【定向训练】甲、乙两名考生在填报志愿时都选中了A,B,C,D四所需要面试的院校,这四所院校的面试安排在同一时间.因此甲、乙都只能在这四所院校中选择一所,假设每位同学选择各个院校是等可能的,试求:
(1)甲、乙选择同一所院校的概率;
(2)院校A,B至少有一所被选择的概率.
【解析】由题意可知,甲、乙都只能在这四所院校中选择一个的所有可能结果为:
(甲A,乙A),(甲A,乙B),(甲A,乙C),(甲A,乙D),
(甲B,乙A),(甲B,乙B),(甲B,乙C),(甲B,乙D),
(甲C,乙A),(甲C,乙B),(甲C,乙C),(甲C,乙D),
(甲D,乙A),(甲D,乙B),(甲D,乙C),(甲D,乙D),
共16种.
(1)设“甲、乙选择同一所院校”为事件E,则事件E包含4个基本事件,故概率
P(E)= .
(2)方法一:设“院校A,B至少有一所被选择”为事件F,则事件F包含12个基本
事件,故概率P(F)= .
方法二:设“院校A,B至少有一所被选择”为事件F,则其对立事件 为“院校
A,B都没被选择”,且事件 包含4个基本事件,故概率P（F）=1-P（ ）
=1- .
【补偿训练】
设人的某一特征(如眼睛大小)是由他的一对基因所决定的,以d表示显性基因,r表示隐性基因,则具有dd基因的人为纯显性,具有rr基因的人为纯隐性,具有rd基因的人为混合性,纯显性和混合性的人都表露显性基因决定的某一特征,孩子从父母身上各得到1个基因,假定父母都是混合性的,问:
(1)1个孩子有显性基因决定的特征的概率是多少
(2)2个孩子中至少有一个有显性基因决定的特征的概率是多少
【解析】(1)孩子的一对基因有dd,rr,rd三种可能,其概率分别为 ,孩
子有显性基因决定的特征是具有dd,rd基因,所以1个孩子有显性基因决定的特
征的概率为 + = .
(2)2个孩子的两对基因共有16种情况,记事件 为“2个孩子都无显性基因决
定的特征”,则P（ ）= ,则P（A）=1-P（ ）= .
核心知识
1.非负性：P(A)≥0
2.特殊事
件的概率
3.互斥事件的概率：
P(A∪B)=P(A)+P(B)
P(Ω)=1
P(φ)=0
方法总结
求较复杂事件的概率：
（1）将所求事件转化为彼此互斥事件的并事件；
（2）先求对立事件的概率，再求符合条件的事件的概率.
易错提醒
利用加法公式求事件的概率时，首先要判断是否为互斥事件.
核心素养
数学运算：利用概率的基本性质求概率
概率的基本性质
4.对立事件的概率：
P(A)=1-P(B)，
P(B)=1-P(A)
5.包含事件的概率：
若A B，则P(A)≤P(B)
6.随机事件的概率：
P(A∪B)=P(A)+P(B)
-P(A∩B)
课堂素养达标
1.已知P(A)=0.1,P(B)=0.2,则P(A+B)等于 ( )
A.0.3 B.0.2 C.0.1 D.不确定
【解析】选D.由于不能确定A与B是否互斥,所以P(A+B)的值不能确定.
2.掷一枚骰子,观察掷出骰子的点数,设事件A为“出现奇数点”,事件B为“出
现2点”,已知P(A)= ,P(B)= ,则出现奇数点或2点的概率为 ( )
【解析】选D.记“出现奇数点或2点”为事件C,因为事件A与事件B互斥,所以
P(C)=P(A)+P(B)= + = .故选D.
3.若事件A与事件B是对立事件,且P(A)=0.6,则P(B)等于 ( )
A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.1
【解析】选A.P(B)=1-P(A)=0.4.
4.甲、乙两人下围棋,已知甲获胜的概率为0.45,两人平局的概率为0.1,则甲不输的概率为________.
【解析】记事件A={甲获胜},事件B={甲、乙平局},C={甲不输},则C=A+B,
而A,B是互斥事件,故P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.55.
答案:0.55
5.同时掷两枚骰子,没有5点或6点的概率为 ,则至少有一个5点或6点的概率
是________.
【解析】记没有5点或6点的事件为A,则P(A)= ,至少有一个5点或6点的事件
为B.因为A∩B= ,A∪B为必然事件,所以A与B是对立事件,则P(B)=1-P(A)=
1- = .故至少有一个5点或6点的概率为 .
答案:
