(共48张PPT)
10．2 事件的相互独立性
基础认知·自主学习
P(A) P(B)
独立
能力形成·合作探究
素养发展·创新应用
学情诊断·课堂测评
核心知识
易错提醒
核心素养
方法总结
数学运算：利用相互独立事件的概率公式计算概率
数学抽象：体现在相互独立事件的判断
区分互斥事件与相互独立事件的关键是看两个事件能否同时发生
公式：P(AB)=P(A)P(B)
事件的相互独立性
相互独立事件的性质
相互独立事件的判断
(1)
定义法：事件相互独
立台P(AB)=P(A)P(B)
(2)利用性质：A与B相互
独立，则A与五，A与B,E
与五也相互独立(共44张PPT)
10.2 事件的相互独立性
【情境探究】
1.如果事件A与事件B相互独立,那么事件A与 与B, 与 是否相互独立
2.两个相互独立事件A,B同时发生的概率P(AB)是多少呢
继续探究:
(1)3张奖券只有1张能中奖,3名同学有放回地抽取.事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”,事件B为“第三名同学抽到中奖奖券”,事件A的发生是否会影响B发生的概率
必备知识生成
提示:因抽取是有放回地,所以A的发生不会影响B发生的概率,事件A和事件B相互独立.
(2)互斥事件与相互独立事件有什么区别
提示:两个事件相互独立与互斥的区别:两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生;两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.
1.相互独立事件的概率
对任意两个事件A,B,如果P(AB)=___________成立,则称事件A与事件B相互独立.简称独立.
2.相互独立事件的性质
如果事件A与B是相互独立事件,则A与 与B, 与 也_________.
P(A)·P(B)
相互独立
关键能力探究
探究点一 事件相互独立性的判定
【典例1】判断下列各对事件是否是相互独立事件.
(1)甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”;
(2)容器内盛有5个白球和3个黄球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”;
(3)掷一颗骰子一次,“出现偶数点”与“出现3点或6点”.
【思维导引】(1)利用独立性概念的直观解释进行判断.
(2)计算“从8个球中任取一球是白球”的概率,再计算“从剩下的7个球中任意取出一球还是白球”的概率,由两概率是否相同进行判断.
(3)利用事件的独立性定义式判断.
【解析】(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生,对“从乙组中选出
1名女生”这一事件发生的概率没有影响,所以它们是相互独立事件.
(2)“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”的概率为 ,若这一事件发生
了,则“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的仍是白球”的概率为 ;若前
一事件没有发生,则后一事件发生的概率为 ,可见,前一事件是否发生,对后
一事件发生的概率有影响,所以二者不是相互独立事件.
(3)记A:出现偶数点,B:出现3点或6点,则A={2,4,6},
B={3,6},AB={6},
所以P(A)= ,P(B)= ,P(A∩B)= .
所以P(A∩B)=P(A)·P(B),所以事件A与B相互独立.
【类题通法】判断两个事件独立性的方法
(1)利用相互独立事件的定义:即P(AB)=P(A)·P(B),可以准确地判断两个事件是否相互独立,这是用定量计算方法,较准确.
(2)从定性的角度进行分析:看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响.没有影响就是相互独立事件,有影响就不是相互独立事件.
【定向训练】
从一副拿走了大小王的扑克牌(52张)中任抽一张,设A=“抽得老K”,B=“抽得红牌”,判断事件A与B是否相互独立 是否互斥 是否对立 为什么
【解析】由于事件A为“抽得老K”,事件B为“抽得红牌”,故抽得红牌中有可能抽到红桃K或方块K,即有可能抽到老K,故事件A,B有可能同时发生,显然它们不是互斥事件,更不是对立事件.
抽到老K的概率为P(A)= ,
抽到红牌的概率为P(B)= ,
故P(A)P(B)=
事件AB即为“既抽得老K又抽得红牌”,
亦即“抽得红桃老K或方块老K”,
故P(AB)= ,从而有P(A)·P(B)=P(AB),
因此A与B互为独立事件.
【补偿训练】
一个袋子中有4个小球,其中2个白球,2个红球,讨论下列A,B事件的相互独立性与互斥性.
(1)A:取一个球为红球,B:取出的红球放回后,再从中取一球为白球.
(2)从袋中取2个球,A:取出的两球为一白球一红球;B:取出的两球中至少一个白球.
【解析】(1)由于取出的红球放回,故事件A与B的发生互不影响,所以A与B相互独立,A,B能同时发生,不是互斥事件.
(2)设2个白球为a,b,两个红球为1,2,则从袋中取2个球的所有取法为{a,b},{a,1},{a,2},{b,1},{b,2},{1,2},
则P(A)= ,P(B)= ,P(AB)= ,
所以P(AB)≠P(A)·P(B).
所以事件A,B不是相互独立事件,
事件A,B能同时发生.
所以A,B不是互斥事件.
探究点二 相互独立事件发生的概率
【典例2】面对席卷全球的新型冠状病毒肺炎疫情,各国医疗科研机构都在研究疫苗,现有A,B,C三个独立的研究机构,在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是
求:(1)他们都研制出疫苗的概率;
(2)他们都失败的概率;
(3)他们能够研制出疫苗的概率.
【思维导引】
【解析】令事件A,B,C分别表示A,B,C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗,依题意可知,事件A,B,C相互独立,且P(A)= ,P(B)= ,P(C)= .
(1)他们都研制出疫苗,即事件ABC同时发生,故P(ABC)=P(A)P(B)P(C)= × × = .
(2)他们都失败即事件 同时发生.
故P( )=P( )P( )P( )
=(1-P(A))(1-P(B))(1-P(C))
=
(3)“他们能够研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”,结合对立事件间
的概率关系可得所求事件的概率P=1-P( )=1-
【类题通法】与相互独立事件有关的概率问题的求解策略
明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.
一般地,已知两个事件A,B,它们的概率分别为P(A),P(B),那么:
(1)A,B中至少有一个发生为事件A+B.
(2)A,B都发生为事件AB.
(3)A,B都不发生为事件 .
(4)A,B恰有一个发生为事件A + B.
(5)A,B中至多有一个发生为事件A + B+ .它们之间的概率关系如表所示:
A,B互斥 A,B相互独立
P(A+B) P(A)+P(B) 1-P( )P( )
P(AB) 0 P(A)P(B)
P( ) 1-[P(A)+P(B)] P( )P( )
【定向训练】
王敏某天乘火车从重庆到上海去办事,若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求:
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率;
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.
【解析】用A,B,C分别表示这三列火车正点到达的事件.
则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,
所以P( )=0.2,P( )=0.3,P( )=0.1.
(1)由题意得A,B,C之间互相独立,所以恰好有两列正点到达的概率为
P1=P( BC)+P(A C)+P(AB )=P( )P(B)P(C)+P(A)P( )P(C)
+P(A)P(B)P( )
=0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1=0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P2=1-P( )=1-P( )P( )P( )=1-0.2×0.3×0.1=0.994.
探究点三 相互独立事件概率的实际应用
【典例3】红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A,B,C进行围棋比赛,甲对A、乙对B、丙对C各一盘.已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立.求:
(1)红队中有且只有一名队员获胜的概率.
(2)红队至少两名队员获胜的概率.
【思维导引】弄清事件“红队有且只有一名队员获胜”与事件“红队至少两名队员获胜”是由哪些基本事件组成的,及这些事件间的关系,然后选择相应概率公式求值.
【解析】设甲胜A的事件为D,乙胜B的事件为E,丙胜C的事件为F,
则 , , 分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件.因为P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5,由对立事件的概率公式知P( )=0.4,P( )=0.5,P( )=0.5.
(1)红队有且只有一名队员获胜的事件有D , E , F,以上3个事件
彼此互斥且独立.所以红队有且只有一名队员获胜的概率为P1=P(D + E
+ F)=P(D )+P( E )+P( F)
=0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5=0.35.
(2)方法一:红队至少两名队员获胜的事件有:DE ,D F, EF,DEF.
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立,
因此红队至少两名队员获胜的概率为
P=P(DE )+P(D F)+P( EF)+P(DEF)
=0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.55.
方法二:“红队至少两名队员获胜”与“红队最多一名队员获胜”为对立事件,
而红队都不获胜为事件 ,且P( )=0.4×0.5×0.5=0.1.
所以红队至少两人获胜的概率为P2=1-P1-P( )=1-0.35-0.1=0.55.
【类题通法】求复杂事件的概率的三个步骤
(1)列出题中涉及的各个事件,并用适当的符号表示它们.
(2)理清各事件之间的关系,恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件.
(3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算.
【定向训练】
某田径队有三名短跑运动员,根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为 , , ,若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测,求:
(1)三人都合格的概率.
(2)三人都不合格的概率.
(3)出现几人合格的概率最大.
【解析】记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A,B,C,显然事件A,B,C相互独立,则P(A)= ,P(B)= ,P(C)= .
设恰有k人合格的概率为Pk(k=0,1,2,3).
(1)三人都合格的概率:
P3=P(A∩B∩C)=P(A)·P(B)·P(C)= × × = .
(2)三人都不合格的概率:P0=P( ∩ ∩ )=P( )·P( )·P( )= × × = .
(3)恰有两人合格的概率:
P2=P(A∩B∩ )+P(A∩ ∩C)+P( ∩B∩C)
= × × + × × + × × = .
恰有一人合格的概率:P1=1-P0-P2-P3=1- - - = = .
综合(1)(2)可知P1最大.
所以出现恰有一人合格的概率最大.
核心知识
易错提醒
核心素养
方法总结
数学运算：利用相互独立事件的概率公式计算概率
数学抽象：体现在相互独立事件的判断
区分互斥事件与相互独立事件的关键是看两个事件能否同时发生
公式：P(AB)=P(A)P(B)
事件的相互独立性
相互独立事件的性质
课堂素养达标
1.抛掷3枚质地均匀的硬币,A={既有正面向上又有反面向上},B={至多有一个反面向上},则A与B的关系是 ( )
A.互斥事件 B.对立事件
C.相互独立事件 D.不相互独立事件
【解析】选C.由已知有P(A)=1- = ,P(B)=1- = ,P(AB)= ,满足P(AB)=P(A)P(B),则事件A与事件B相互独立.
2.如图,在两个圆盘中,指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.题图1圆盘指针落在奇数区域的概率为 = ,题图2圆盘指针落在奇数区域的概率也为 ,所以两个指针同时落在奇数区域的概率为 × = .
3.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A,B中至少有一件发生的概率是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.因为P(A)= ,P(B)= ,
所以P( )= ,P( )= .
又A,B为相互独立事件,所以P( )=P( )P( )= × = .
所以A,B中至少有一件发生的概率为1-P( )=1- = .
4.明天上午李明要参加“青年文明号”活动,为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己,假设甲闹钟准时响的概率为0.80,乙闹钟准时响的概率为0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________.
【解析】设两个闹钟至少有一个准时响的事件为A,则P(A)=1-(1-0.80)(1-0.90)=1-0.20×0.10=0.98.
答案:0.98
5.某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号,假设拨过了的号码不再重复,试求下列事件的概率:
(1)第3次拨号才接通电话;
(2)拨号不超过3次而接通电话.
【解析】设Ai={第i次拨号接通电话},i=1,2,3.
(1)第3次才接通电话可表示为 A3,于是所求概率为P( A3)= × × = .
(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A1+ A2+ A3,
于是所求概率为P(A1+ A2+ A3)=P(A1)+P( A2)+P( A3)= + × + × × = .事件的相互独立性
掷一枚骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”．
【问题1】事件A与事件B是互斥事件吗？
【问题2】事件A与事件B发生的概率分别是多少？事件AB发生的概率呢？
【问题3】事件A的发生会影响事件B的发生吗？
1．相互独立事件
对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)·P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．
2．相互独立事件的性质
如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也相互独立．
对相互独立事件的理解
1．本质：在相同条件下进行的两个随机试验A与B，事件A的发生不会影响事件B的发生．
2．混淆：相互独立事件与对立事件的区别：
两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响．
一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提．
3．相互独立事件同时发生的概率公式的推广：
如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An).
4．相互独立事件与互斥事件的概率计算：
概率 A，B互斥 A，B相互独立
P(A∪B) P(A)＋P(B) 1－P()P()
P(AB) 0 P(A)P(B)
P( ) 1－[P(A)＋P(B)] P()P()
P(A∪B) P(A)＋P(B) P(A)P()＋P()P(B)
【说明】①(A)＋(B)，表示的是A 与B的和，实际意义是：A发生且B不发生，或者A不发生且B发生，换句话说就是A与B中恰有一个发生．
②同数的加、减、乘、除混合运算一样，事件的混合运算也有优先级，我们规定：求积运算的优先级高于求和运算，因此(A )＋(B)可简写为A ＋B.
必然事件与任何一个事件相互独立吗？
提示：相互独立．必然事件的发生与任何一个事件的发生没有影响．
1．相互独立事件就是对立事件吗？
2．“P(AB)＝P(A)·P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件吗？
3．如果事件A与B相互独立，那么事件与也相互独立吗？
提示：1.不是；2.是；3.是．
教材P246“探究”中试验1，若B事件改为“第二枚硬币也正面朝上”，事件A与事件B是相互独立事件吗？
提示：用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω＝{(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}，共包含4个样本点，A＝{(1，1)，(1，0)}，B＝{(1，1)，(0，1)}，AB＝{(1，1)}，所以P(A)＝P(B)＝，P(AB)＝，P(AB)＝P(A)P(B)，事件A与事件B是相互独立事件．
1．若P(AB)＝，P(A)＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是( )
A.事件A与B互斥
B.事件A与B对立
C.事件A与B相互独立
D.事件A与B既互斥又独立
【解析】选C.因为P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立．
2．甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为________．
【解析】由题意知两个事件为相互独立事件，则甲、乙两站预报都准确的概率为0.8×0.7＝0.56.
答案：0.56
基础类型一 相互独立事件的判断(数学抽象)
1．甲、乙两名射击手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B( )
A．相互独立但不互斥 B．互斥但不相互独立
C.相互独立且互斥 D．既不相互独立也不互斥
【解析】选A.对同一目标射击，甲、乙两射击手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射击手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．
2．若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是( )
A.事件A与B互斥
B.事件A与B对立
C.事件A与B相互独立
D.事件A与B既互斥又独立
【解析】选C.因为P()＝，所以P(A)＝，
又P(B)＝，P(AB)＝，
所以有P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立但不一定互斥．
3．从一副扑克牌(除去大小王，共52张)中任抽一张，设事件A＝“抽到老K”，事件B＝“抽得红牌”，判断事件A与B是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？
【解析】由于事件A为“抽得老K”，事件B为“抽到红牌”，故抽得红牌中有可能抽到红桃K或方块K，即有可能抽到老K，故事件A，B有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更不是对立事件，以下考虑它们是否互为独立事件：抽到老K的概率为P(A)＝＝，抽到红牌的概率P(B)＝＝，故P(A)P(B)＝×＝，事件AB即为“既抽得老K又抽得红牌”，亦即“抽到红桃老K或方块老K”，故P(AB)＝＝，从而有P(A)·P(B)＝P(AB)，因此A与B互为独立事件．
判断两事件是否具有独立性的方法
(1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响．
(2)公式法：检验P(AB)＝P(A)P(B)是否成立．
微提醒：不要把相互独立事件与互斥事件、对立事件概念混淆．
基础类型二 求相互独立事件同时发生的概率
(数学抽象、数学运算)
【典例】如果甲、乙、丙三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是、、.
求：(1)他们都研制出疫苗的概率；
(2)只有丙机构没能研制出疫苗的概率；
(3)只有甲机构研制出疫苗的概率．
【解析】设事件A，B，C分别表示甲、乙、丙三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A，B，C相互独立，且P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)他们都研制出疫苗，即事件A，B，C同时发生，
故P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝.
(2)“只有丙机构没能研制出疫苗”即事件A，B，同时发生，故 P＝PPP＝××＝.
(3)只有甲机构研制出疫苗即事件A，，同时发生，所以P＝PPP＝××＝.
【备选例题】
设事件A与事件B相互独立，两个事件中只有A发生的概率与只有B发生的概率都是，求P(A)、P(B).
【解析】只有A发生，即A发生；只有B发生，即B发生．因为A，B相互独立，所以与B，与A也相互独立．
所以P(A)＝P(A)P()＝P(A)[1－P(B)]＝，
P(B)＝P()P(B)＝P(B)[1－P(A)]＝，
求相互独立事件同时发生的概率的关注点
(1)公式：若事件A与事件B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B).
(2)性质：若A，B相互独立，则与B，A与，与也是相互独立．
(3)注意：公式的适用条件——各个事件是相互独立的，而且它们同时发生．
设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．求：
(1)进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率；
(2)进入商场的1位顾客只购买甲商品的概率．
【解析】记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，则P(A)＝0.5；
记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”，则P(B)＝0.6；
记C表示事件“进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买”；
记D表示事件“进入商场的1位顾客只购买甲商品”．(1)易知C＝AB，则P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.
(2)易知D＝(A )，则P(D)＝P(A )＝P(A)·P()＝0.5×0.4＝0.2.
【加固训练】
某同学语文、数学、英语三科的考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，求：
(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？
(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？
【解析】分别记该生语文、数学、英语考试成绩排名全班第一的事件为A，B，C，则A，B，C两两相互独立且P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85.
(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用 表示，所求的概率为P( )＝P()P()P()＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85)＝0.003，
即三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.
(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用(BC)∪(A C)∪(AB )表示．
由于事件BC，A C和AB 两两互斥，
根据概率的加法公式和事件独立性定义，所求的概率为P( BC)＋P(A C)＋P(AB )
＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()
＝[1－P(A)]P(B)P(C)＋P(A)[1－P(B)]P(C)＋P(A)P(B)[1－P(C)]
＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329，
即恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.
综合类型 事件独立性综合应用(逻辑推理)
【典例】小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
【解析】用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，
所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1.
(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为
P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)
＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()
＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1
＝0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为
P2＝1－P( )＝1－P()P()P()
＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
概率问题中的数学思想
(1)正难则反．灵活应用对立事件的概率关系(P(A)＋P()＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法．
(2)化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式转化为相互独立事件).
(3)方程思想．利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解．
【加固训练】
已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2.
(1)假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率．
(2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？(lg 2≈0.301)
【思路导引】(1)5门高炮均未击中敌机的概率．
(2)“被击中”即“未被击中”的反面，结合(1)可求解．
【解析】(1)设敌机被第k门高炮击中的事件为Ak(k＝1，2，3，4，5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为A1 A2 A3 A4 A5.
因为事件A1，A2，A3，A4，A5相互独立，
所以敌机未被击中的概率为P(A1 A2 A3 A4 A5)＝P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5)
＝(1－0.2)5＝.
所以敌机未被击中的概率为.
(2)至少需要布置n门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机，由(1)可得敌机被击中的概率为1－，
所以令1－≥0.9，所以≤
两边取常用对数，得n≥≈10.3.
因为n∈N＋，所以n＝11.
所以至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机．
创新题型 生活中的概率问题(数学建模)
【典例】在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者，则乙连胜四局的概率为________．
【解析】乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，所以概率p＝(1－0.4)×0.5×(1－
0．4)×0.5＝0.09.
答案：0.09
概率问题贴近生活实际，是高考应用问题的常考题型，解题时要注意两点：
(1)灵活把实际问题转化为概率模型；
(2)恰当选择概率公式解决问题．
1．若A与B是相互独立事件，则下面不是相互独立事件的是( )
A．A与 B．A与 C．与B D．与
【解析】选A.A与是对立事件．
2．某同学做对某套试卷中每一个选择题的概率都为0.9，则他连续做对第1题和第2题的概率是( )
A．0.64 B．0.56 C．0.81 D．0.99
【解析】选C.设Ai表示“第i题做对”，i＝1，2，
则P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝0.9×0.9＝0.81.
3．一个不透明的口袋中有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外完全相同，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1与A2是( )
A．相互独立事件 B．不相互独立事件
C．互斥事件 D．对立事件
【解析】选A.事件A1是否发生对事件A2的概率没有影响，故A1与A2是相互独立事件．
4．某天上午，李明要参加“青年文明号”活动．为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．
【解析】至少有一个准时响的概率为1－(1－0.90)×(1－0.80)＝1－0.10×0.20＝0.98.
答案：0.98
5．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是________．
【解析】甲种子发芽而乙种子不发芽的概率为0.8×0.1＝0.08.乙种子发芽而甲种子不发芽的概率为0.9×0.2＝0.18，故恰有一粒种子能发芽的概率为0.08＋0.18＝0.26.
答案：0.26
PAGE
9
