(共48张PPT)
10．3.1 频率的稳定性
基础认知·自主学习
试验者 抛掷次数(n) 正面朝上次数(m)
德·摩根 2 048 1 061
蒲丰 4 040 2 048
费勒 10 000 4 979
皮尔逊 12 000 6 019
由上表可知，掷硬币试验中，正面朝上的频率在哪个数值附近波动？
频率 概率
性质 具有稳定性 是一个常数
范围 ______
频率
的稳
定性 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会
_____，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐_______事件A发生的
概率P(A).称频率的这个性质为频率的稳定性．因此可以用频
率fn(A)估计概率P(A).
[0，1]
缩小
稳定于
提示：1.可以；2.不是；3.不是；4.能．
提示：不一定．
能力形成·合作探究
游戏1 游戏2
2个红球和2个白球 3个红球和1个白球
取1个球，再取1个球 取1个球，再取1个球
取出的两个球同色→甲胜 取出的两个球同色→甲胜
取出的两个球不同色→乙胜 取出的两个球不同色→乙胜
抽取球数 40 80 150 400 1 000 2 000
优等品数 36 76 144 382 948 1 904
优等品频率
抽取球数n 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数m 45 92 194 470 954 1 902
优等品频率
抽取球数n 70 130 310 700 1 500 2 000
优等品数m 60 116 282 637 1 339 1 806
优等品频率
所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60
选择L1的人数 6 12 18 12 12
选择L2的人数 0 4 16 16 4
所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60
L1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
L2的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1
赔付金额(元) 0 1 000 2 000 3 000 4 000
车辆数(辆) 500 130 100 150 120
素养发展·创新应用
【解析】选A.因为这句谚语是提醒人们需提防小概率事件．
【解析】选C.根据概率的意义可判断A、B、D都不正确．
学情诊断·课堂测评
【解析】选D.成功率大约是99%，说明手术成功的可能性大小是99%.
游戏公平性的判断：对游戏的双方来说，获胜的概率是否相等
频率是随机的数，概率是确定的数
数据分析：通过实例分析频率稳定性
数学抽象：通过实例了解频率与概率的区别与联系
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
频率的稳定性(共40张PPT)
10.3 频率与概率
10.3.1 频率的稳定性
【情境探究】
1.某地“36选7”中国福利彩票的投注方法是,从36个号码中选择7个号码为1注,每注金额为人民币2元.中奖号码由6个基本号码和1个特别号码组成,投注者根据当期彩票上的投注号码与中奖号码相符的个数多少(顺序不限),确定相应的中奖资格.
请计算:如果买一注彩票,能够中奖的概率(可能性)有多大 能够中一等奖的概率有多大
必备知识生成
2.两位同学在相同的条件下,都抛掷一枚硬币100次,得到正面向上的频率一定
相同吗
继续探究:
(1)同一个随机事件在相同条件下在每次试验中发生的概率都一样吗
提示:概率是从数量上反映随机事件在一次试验中发生可能性的大小的一个量,
是一个确定的数,是客观存在的,与每次试验无关;同一个随机事件在相同条件
下在每次试验中发生的概率都是一样的.
(2)连续掷硬币100次,结果100次全部是正面朝上,出现这样的结果,你会怎么
想 原因何在
提示:出现这样的情况,我们可以认为该硬币的质地是不均匀的,如果抛硬币试
验中,该硬币是质地均匀的,则出现正面朝上和出现反面朝上的概率是一样的,
即出现正面向上与出现反面向上的次数不会相差太大.
【知识生成】
用频率估计概率
大量试验表明,在任何确定次数的随机试验中,一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A),我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).
关键能力探究
探究点一 频率与概率的关系及求法
【典例1】(2018·北京高考)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电
影的概率.
(2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率.
(3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评
率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影
的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与
样本中的电影总部数的比值达到最大 (只需写出结论)
【思维导引】(1)分别计算样本中电影总部数及第四类电影中获得好评的电影部数,代入公式可得概率;(2)计算没有获得好评的电影部数,代入公式可得概率;(3)根据每部电影获得好评的部数做出合理建议.
【解析】(1)由表知,电影公司收集的电影部数为140+50+300+200+800+510=
2 000,
获得好评的第四类电影部数为200×0.25=50,
所以所求概率为 =0.025.
(2)方法一:记“随机选取的1部电影没有获得好评”为事件A,
由表知,没有获得好评的电影部数为140×(1-0.4)+50×(1-0.2)+300×(1-0.15)+200×(1-0.25)+800×(1-0.2)+510×(1-0.1)=1 628,所以P(A)= =0.814,
即所求概率为0.814.
方法二:记“随机选取的1部电影获得好评”为事件A,则“随机选取的1部电影没有获得好评”为事件 ,
由表知,获得好评的电影部数为140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1=372,
所以P(A)= =0.186,
所以P( )=1-P(A)=0.814,
即所求概率为0.814.
(3)由表及已知,第五类电影的好评率增加0.1,第二类电影的好评率减少0.1,符合要求.
【类题通法】
1.根据频率求随机事件概率的步骤
(1)利用频率的计算公式fn(A)= ,计算出频率值.
(2)根据概率的定义确定频率的稳定值即为概率.
2.求频率的稳定值的方法
根据频数和重复试验的次数计算频率,可直接观察频率稳定在哪个常数附近,
用它来估计概率值,也可在坐标系内描出各点(横坐标为次数,纵坐标为频率),
观察频率值在哪个常数附近波动,则这个常数就可作为概率的近似值.
【定向训练】
为了确定某类种子的发芽率,从一大批种子中抽出若干做发芽试验,其结果如下:
种子粒数 25 70 130 700 2 000 3 000
发芽粒数 24 60 116 639 1 806 2 713
发芽率
(1)求出表中种子发芽的各个频率(发芽率).
(2)判断种子的发芽概率大约为多少
【解析】(1)0.96,0.857,0.892,0.913,0.903,0.904.
(2)发芽的概率大约为0.9.
【补偿训练】
下面是某批乒乓球质量检查结果表:
抽取球数 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数 45 92 194 470 954 1 902
优等品出
现的频率
(1)在上表中填上优等品出现的频率.
(2)估计该批乒乓球优等品的概率是多少
(3)若抽取乒乓球的数量为1 700只,则优等品的数量大约为多少
【解析】(1)如下表所示:
抽取球数 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数 45 92 194 470 954 1 902
优等品出
现的频率 0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951
(2)从表中数据可以看出,这批乒乓球优等品的概率是0.95.
(3)由优等品的概率为0.95,则抽取1 700只乒乓球时,优等品数量为1 700
×0.95=1 615.
探究点二 游戏公平性的判断
【典例2】某种彩票的抽奖是从写在36个球上的36个号码中随机摇出7个.有人统计了过去中特等奖的号码,声称某一号码在历次特等奖中出现的次数最多,它是一个幸运号码,人们应该买这一号码;也有人说,若一个号码在历次特等奖中出现的次数最少,由于每个号码出现的机会相等,应该买这一号码,你认为他们的说法对吗
【思维导引】从游戏规则的公平性来判断两种说法的正误.
【解析】标有36个号码的36个球大小、重量是一致的,严格地说,为了保证公平,每次用的36个球,应该只允许用一次,除非能保证用过一次后,球没有磨损、变形.因此,当把这36个球看成每次抽奖中只用了一次时,不难看出,以前抽奖的结果对今后抽奖的结果没有任何影响,上述两种说法都是错的.
【类题通法】判断游戏规则公平性的关键及步骤
(1)关键:一种游戏对每个人来说是否公平,关键是看在这一游戏规则下,每个人获胜的概率是否相等.
(2)步骤:
①先借助概率计算公式,计算每个人获胜的概率;
②根据计算的结果判断.
【定向训练】
某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会,组织者欲使晚会气氛热烈、有趣,策划整场晚会以转盘游戏的方式进行,每个节目开始时,两班各派一人先进行转盘游戏,胜者获得一件奖品,负者表演一个节目.(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示),设计了一种游戏方案:两人同时各转动一个转盘一次,将转到的数字相加,和为偶数时(1)班代表获胜,否则(2)班代表获胜.该方案对双方是否公平 为什么
【解题指南】1.列举出所有可能情况.
2.考虑如何判断是否公平.
【解析】该方案是公平的,理由如下:
各种情况如表所示:
由表可知该游戏可能出现的情况共有12种,其中两数字之和为偶数的有6种,为奇数的也有6种,所以(1)班代表获胜的概率P1= = ,(2)班代表获胜的概率P2= = ,即P1=P2,机会是均等的,所以该方案对双方是公平的.
游戏公平性的判断：对游戏的双方来说，获胜的概率是否相等
频率是随机的数，概率是确定的数
数据分析：通过实例分析频率稳定性
数学抽象：通过实例了解频率与概率的区别与联系
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
频率的稳定性
课堂素养达标
1.气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”,对预测的正确理解是 ( )
A.本市明天将有90%的地区降雨
B.本市明天将有90%的时间降雨
C.明天出行不带雨具肯定会淋雨
D.明天出行不带雨具可能会淋雨
【解析】选D.“本市明天降雨的概率是90%”即为“本市明天降雨的可能性为90%”.
2.下列说法正确的是 ( )
A.一个人打靶,打了10发子弹,有7发子弹中靶,因此这个人中靶的概率是
B.一个同学做掷硬币试验,掷了6次,一定有3次正面向上
C.某地发行彩票,其回报率为47%,有人花了100元钱买彩票,一定会有47元的回报
D.大量试验后,可以用频率近似估计概率
【解析】选D.注意概率与频率的区别及正确理解概率的含义是解题的关键.A的结果是频率,不是概率;B,C两项都没有正确理解概率的含义,D正确.
3.从存放号码分别为1,2,…,10的卡片的盒子中,有放回地取100次,每次取一张卡片并记下号码,统计结果如表:
则取到号码为奇数的频率是 ( )
A.0.53 B.0.5 C.0.47 D.0.37
卡片
号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
取到的
次数 10 11 8 8 6 10 18 9 11 9
【解析】选A.取到的卡片号码为奇数的频数为10+8+6+18+11=53,则所求的频率为 =0.53.故选A.
4.有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份(如图所示),转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,然后由甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种:
A.猜“是奇数”或“是偶数”;
B.猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”;
C.猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”.
请回答下列问题:
(1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜数方案,并且怎样猜 为什么
(2)为了保证游戏的公平性,你认为应制定哪种猜数方案 为什么
(3)请你设计一种其他的猜数方案,并保证游戏的公平性.
【解析】(1)如题图,方案A中“是奇数”或“是偶数”的概率均为 =0.5;
方案B中“不是4的整数倍数”的概率为 ,
“是4的整数倍数”的概率为 =0.2;
方案C中“是大于4的数”的概率为 =0.6,“不是大于4的数”的概率为 =0.4.乙为了尽可能获胜,应选方案B,猜“不是4的整数倍数”.
(2)为了保证游戏的公平性,应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5,从而保证了该游戏是公平的.
(3)可以设计为:猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”,此方案也可以保证游戏的公平性.频率的稳定性
历史上有很多学者做了掷硬币试验，有详细记载的学者的试验结果如下表：
试验者 抛掷次数(n) 正面朝上次数(m)
德·摩根 2 048 1 061
蒲丰 4 040 2 048
费勒 10 000 4 979
皮尔逊 12 000 6 019
由上表可知，掷硬币试验中，正面朝上的频率在哪个数值附近波动？
【问题1】这些学者掷硬币试验中，正面朝上的频率分别是多少？
【问题2】你能推断掷硬币试验中，正面朝上的概率吗？
【问题3】频率与概率有何关系？
频率的稳定性
频率 概率
性质 具有稳定性 是一个常数
范围 [0，1]
频率的稳定性 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).称频率的这个性质为频率的稳定性．因此可以用频率fn(A)估计概率P(A).
1．本质：频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同．而概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关．频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．
2．混淆：一定不要混淆频率与概率的关系．
3．对频率的理解：
(1)随机性：在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性．
(2)稳定性：如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时，可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为.
随机事件在一次试验中是否发生与概率的大小有什么关系？
提示：随机事件的概率表明了随机事件发生的可能性的大小，但并不表示概率大的事件一定发生，概率小的事件一定不发生．
1.频率与概率可以相等吗？
2．小概率事件就是不可能发生的事件吗？
3．一个事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的吗？
4．频率能反映随机事件发生的可能性大小吗？
提示：1.可以；2.不是；3.不是；4.能．
教材P251“掷硬币试验”中，如果同学甲再重复做25次试验，他记录的A事件发生的次数一定与上次相同吗？
提示：不一定．
1．某人将一枚硬币连抛20次，正面朝上的情况出现了12次，若用A表示事件“正面向上”，则A的( )
A．频率为 B．概率为
C．频率为12 D．概率约为
【解析】选A.抛硬币20次，正面朝上出现了12次，记事件A＝“正面向上”，所以A的频率为＝.
2．如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黄球(只是颜色不同)若干个，从中任取1球，取了10次有7个白球，估计袋中数量较多的是________球．
【解析】取10次球有7次是白球，则取出白球的频率是0.7，故可估计袋中数量较多的是白球．
答案：白
基础类型一 频率与概率的关系(数学抽象)
1．在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，那么P(A)与的大小关系是( )
A．P(A)≈ B．P(A)<
C．P(A)> D．P(A)＝
【解析】选A.在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，越来越接近P(A)，因此我们可以用近似地代替P(A).
2．试题中共8道单项选择题，每道题有4个选项，其中只有1个选项是正确的．某同学说：“每个选项正确的概率是，若每题都选择第一个选项，则一定有3道题的选择结果正确”．这句话( )
A．正确 B．错误
C．有一定道理 D．无法解释
【解析】选B.从四个选项中正确选择选项是一个随机事件，是指这个事件发生的概率，实际上，做8道选择题相当于做8次试验，每次试验的结果是随机的，因此每题都选择第一个选项可能没有一个正确，也可能有1个，2个，3个，…，8个正确．因此该同学的说法是错误的．
3．某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是90%.”你认为下面两个解释中能代表教练的观点的为________(填序号).
①该射击运动员射击了100次，恰有90次击中目标；
②该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%.
【解析】能代表教练的观点的为该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%.
答案：②
对频率与概率的理解
(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．
(2)频率本身是随机的，在试验前不能确定．
(3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关．
基础类型二 游戏的公平性(数学建模、数学运算)
下面有两个游戏规则，袋子中分别装有红球和白球，从袋中无放回地取球，分别计算甲获胜的概率，并说明哪个游戏是公平的？
游戏1 游戏2
2个红球和2个白球 3个红球和1个白球
取1个球，再取1个球 取1个球，再取1个球
取出的两个球同色→甲胜 取出的两个球同色→甲胜
取出的两个球不同色→乙胜 取出的两个球不同色→乙胜
【解析】在游戏1中，取两球同色的概率为：
×＋×＝，
取两球异色的概率为：×＋×＝，所以甲获胜的概率为，因此游戏1中规则不公平．
游戏2中，取两球同色的概率为：×＝，
取两球异色的概率为：×＋×＝，所以甲获胜的概率为，因此游戏2中规则是公平的．
游戏规则公平的判断标准
在各类游戏中，如果每人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的，这就是说是否公平只要看获胜的概率是否相等．
甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是( )
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
【解析】选B.A项，P(点数为奇数)＝P(点数为偶数)＝；B项，P(恰有一枚正面向上)＝，P(两枚都正面向上)＝；C项，P(牌色为红)＝P(牌色为黑)＝；D项，P(同奇或同偶)＝P(奇偶不同)＝.
综合类型 频率稳定性的应用(数学建模、数据分析)
用频率估计概率
下表是某品牌乒乓球的质量检查统计表：
抽取球数 40 80 150 400 1 000 2 000
优等品数 36 76 144 382 948 1 904
优等品频率
(1)计算各组优等品频率，填入上表：
(2)根据频率的稳定性估计事件“抽取的是优等品”的概率．
【解析】(1)根据优等品频率＝，可得优等品的频率从左到右依次为：0.9，0.95，0.96，0.955，0.948，0.952.
(2)由(1)可知乒乓球抽取的优等品频率逐渐稳定在0.95附近，故估计优等品的概率是0.95.
用频率估计概率时的关注点
(1)在实际问题中，常用事件发生的频率作为概率的估计值．
(2)通过公式fn(A)＝＝计算出频率，再由频率估算概率．
(3)在用频率估计概率时，要注意试验次数n不能太小，只有当n很大时，频率才会呈现出规律性，即在某个常数附近波动，且这个常数就是概率．
【加固训练】
表一和表二分别表示从甲、乙两个厂家随机抽取的某批篮球产品的质量检查情况：
表一
抽取球数n 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数m 45 92 194 470 954 1 902
优等品频率
表二
抽取球数n 70 130 310 700 1 500 2 000
优等品数m 60 116 282 637 1 339 1 806
优等品频率
(1)分别计算表一和表二中篮球是优等品的各个频率(结果保留到小数点后两位)；
(2)若从两个厂家生产的这批篮球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率分别是多少？
(3)若两厂的篮球价格相同，你打算从哪一厂家购货？
【解析】(1)依据频率公式计算表一中“篮球是优等品”的各个频率为0.90，0.92，0.97，0.94，0.95，0.95；表二中“篮球是优等品”的各个频率为0.86，0.89，0.91，0.91，0.89，0.90.
(2)由(1)可知，抽取的篮球数不同，随机事件“篮球是优等品”的频率也不同．表一中的频率都在常数0.95的附近摆动，则在甲厂随机抽取一个篮球检测时，质量检查为优等品的概率大约为0.95；表二中的频率都在常数0.90的附近摆动，则在乙厂随机抽取一个篮球检测时，质量检查为优等品的概率大约为0.90.
(3)根据概率的定义可知：概率是从数量上反映一个随机事件发生可能性的大小．因为P甲>P乙，表示甲厂生产出来的篮球是优等品的概率更大．因此应该选择甲厂生产的篮球．
概率的实际应用
【典例】如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下：
所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60
选择L1的人数 6 12 18 12 12
选择L2的人数 0 4 16 16 4
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
【解析】(1)共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，
用频率估计概率，可得所求概率为＝0.44.
(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得所求各频率为
所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60
L1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
L2的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1
(3)记事件A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；
记事件B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)>P(A2)，所以甲应选择L1；P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P(B2)>P(B1)，所以乙应选择L2.
概率的实际应用
由于概率体现了随机事件发生的可能性，所以在现实生活中我们可以根据随机事件概率的大小去预测事件能否发生．从而对某些事情作出决策．当某随机事件的概率未知时，可用样本出现的频率去近似估计总体中该事件发生的概率．
【加固训练】
某保险公司利用简单随机抽样的方法对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额(元) 0 1 000 2 000 3 000 4 000
车辆数(辆) 500 130 100 150 120
①若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
②在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．
【解析】①设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12.
由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
②设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，可得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.
创新题型 谚语(成语)中的概率问题(数学抽象)
【典例】“不怕一万，就怕万一”这句民间谚语说明( )
A.小概率事件虽很少发生，但也可能发生，需提防
B.小概率事件很少发生，不用怕
C.小概率事件就是不可能事件，不会发生
D.大概率事件就是必然事件，一定发生
【解析】选A.因为这句谚语是提醒人们需提防小概率事件．
(1)理解概率的意义
(2)结合概率理解谚语(成语)
【加固训练】
成语“千载难逢”意思是说某事( )
A.一千年中只能发生一次
B.一千年中一次也不能发生
C.发生的概率很小
D.为不可能事件，根本不会发生
【解析】选C.根据概率的意义可判断A、B、D都不正确．
1．下列说法一定正确的是( )
A.一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况
B.一个骰子掷一次得到2的概率是，则掷6次一定会出现一次2
C.若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元
D.随机事件发生的概率与试验次数无关
【解析】选D.A错误，概率小不代表一定不发生；B错误，概率不等同于频率；C错误，概率是预测，不必然出现；D正确，随机事件发生的概率是多次试验的稳定值，与试验次数无关．
2．在给病人动手术之前，外科医生会告知病人或家属一些情况，其中有一项是说这种手术的成功率大约是99%.下列解释正确的是( )
A.100个手术有99个手术成功，有1个手术失败
B.这个手术一定成功
C.99%的医生能做这个手术，另外1%的医生不能做这个手术
D.这个手术成功的可能性大小是99%
【解析】选D.成功率大约是99%，说明手术成功的可能性大小是99%.
3．小明在抛掷图钉时，在200次至300次抛掷中钉尖触地的频率约在35%～35.4%之间，那么再抛掷100次，钉尖触地次数x的取值范围是________．
【解析】由于在抛掷图钉试验中，“钉尖触地”这一事件的发生是随机的，故再抛掷100次，钉尖触地次数的取值范围是{x|0≤x≤100，x∈Z}．
答案：{x|0≤x≤100，x∈Z}
4．在下列各事件中：
①任意买1张电影票，座位号是奇数；
②掷1枚骰子，点数小于等于2；
③有10 000张彩票，其中100张是获奖彩票，从中随机买1张是获奖彩票；
④一袋中装有8个红球，2个白球，从中随机摸出1个球是红球；
发生的可能性最大的为________．
【解析】设四个选项对应的事件分别为A，B，C，D.概率分别是P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.
答案：④
5．经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为80%，经调查，某市市场上的食用油大约有80个品牌，则不合格的食用油品牌大约有________个．
【解析】由题意知，经抽检市场上食用油的合格率为80%，则不合格率为20%.已知市场上的食用油大约有80个品牌．用频率估计概率可得80×20%＝16(个)，故市场上不合格的食用油大约有16个品牌．
答案：16
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9(共34张PPT)
10．3.2 随 机 模 拟
基础认知·自主学习
随机数 概念 要产生1～n(n∈N*)之间的随机整数，把n个___________相同
的小球分别标上1，2，3，…，n，放入一个容器中，______
___后取出一个球，这个球上的数就称为随机数．
产生方法 ①利用______产生随机数；②用计算机软件产生随机数，比
如用_____软件产生随机数．
质地和大小
充分搅
拌
计算器
Excel
2.随机模拟方法(蒙特卡洛方法)
利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的_____来
估计_____，这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡
洛方法．
频率
概率
随机数
提示：1.是；2.是；3.是；4.能．
能力形成·合作探究
方法 抽签法 用计算器或计算机产生
优点 保证机会均等 操作简单，省时、省力
缺点 耗费大量人力、物力、时间，或不具有实际操作性 由于是伪随机数，故不能保证完全等可能
学情诊断·课堂测评
随机模拟
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
随机模拟试验时，一定要注意每组随机数字能否重复
数学抽象：了解随机数的意义，
利用随机模拟估计概率的关注点
(1)当试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数
数学建模：利用随机模拟估计概率
产生随机数的方法
计算器或
计算机软件
构建模拟试验(共18张PPT)
10.3.2 随 机 模 拟
【情境探究】
1.对于某个指定范围内的整数,每次从中有放回地随机取出的一个数都称为随机数.那么你有什么办法产生1～20之间的随机数
2.若抛掷一枚质地均匀的骰子30次,如果没有骰子,你有什么办法得到试验的结果
必备知识生成
继续探究:
(1)随机数表中的数是0～9之间的随机数,你有什么办法得到随机数表
提示:我们可以利用计算器或计算机产生随机数.
(2)一般地,如果一个试验的基本事件总数为n,在没有试验条件的情况下,你有
什么办法进行m次试验,并得到相应的试验结果
提示:将n个基本事件编号为1,2,…,n,由计算器或计算机产生m个1～n之间的随
机数.
【知识生成】
蒙特卡洛方法
利用随机模拟解决问题的方法称为蒙特卡洛方法.
关键能力探究
探究点 用随机模拟法估计古典概型的概率
【典例】已知某运动员每次投篮命中的概率约为40%,现采用随机模拟的方法
估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生0到9之间取整数
值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中;再以每三个随机
数为一组,代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数:
907 966 191 925 271 932 812 458 569
683 431 257 393 027 556 488 730 113
537 989
据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 ( )
A.0.35 B.0.25 C.0.20 D.0.15
【思维导引】应用随机模拟法估计古典概型的概率.
【解析】选B.由题意知模拟三次投篮的结果,经随机模拟产生了20组随机数,在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有191,271,932,812,393,共5组随机数,所以所求概率为 = =0.25.
【类题通法】利用随机模拟法估计概率关注的三点
用随机数模拟试验估计概率时,首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不
同的试验结果.我们可以从以下三方面考虑:
(1)当试验的基本事件等可能时,基本事件总数即为产生随机数的范围,每个随
机数代表一个基本事件.
(2)研究等可能事件的概率时,用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字
个数及总个数.
(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时,要把n个随机数作为一组来处理,此
时一定要注意每组中的随机数字能否重复.
【定向训练】
种植某种树苗,成活率是0.9.若种植该种树苗5棵,用随机模拟方法估计恰好4棵成活的概率.
【解析】利用计算器或计算机产生0到9之间取整数值的随机数,我们用0代表
不成活,1至9的数字代表成活,这样可以体现成活率是0.9.因为种植5棵,所以
每5个随机数作为一组,可产生30组随机数,如下所示:
69801 66097 77124 22961 74235 31516
29747 24945 57558 65258 74130 23224
37445 44344 33315 27120 21782 58555
61017 45241 44134 92201 70362 83005
94976 56173 34783 16624 30344 01117
这就相当于做了30次试验,在这些数组中,如果恰有一个0,则表示恰有4棵成活,
共有9组这样的数,于是我们得到种植5棵这样的树苗恰有4棵成活的概率近似
为 =0.3.
随机模拟
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
随机模拟试验时，一定要注意每组随机数字能否重复
数学抽象：了解随机数的意义，
利用随机模拟估计概率的关注点
(1)当试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数
数学建模：利用随机模拟估计概率
产生随机数的方法
计算器或
计算机软件
构建模拟试验
课堂素养达标
1.下列不能产生随机数的是 ( )
A.抛掷骰子试验
B.抛硬币
C.利用计算器
D.正方体的六个面上分别写有1,2,2,3,4,5,抛掷该正方体
【解析】选D.D项中,出现2的概率为 ,出现1,3,4,5的概率均是 ,故不能产生随机数.
2.随机模拟法产生的区间[0,1]上的实数 ( )
A.不是等可能的 B.0出现的机会少
C.1出现的机会少 D.是均匀分布的
【解析】选D.用随机模拟法产生的区间[0,1]上的实数是均匀分布的,每一个数产生的机会是均等的.
3.袋子中有四个小球,分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字,有放回地从中任取一个小球,取到“快”就停止,用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率:先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数,且用1,2,3,4表示取出小球上分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字,以每两个随机数为一组,代表两次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:
13 24 12 32 43 14 24 32 31 21
23 13 32 21 24 42 13 32 21 34
据此估计,直到第二次就停止的概率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.由随机模拟产生的随机数可知,直到第二次停止的有13,43,23,13,13,共5个基本事件,故所求的概率为P= = .
4.在用随机数(整数)模拟求“有4个男生和5个女生,从中选4个,求选出2个男生2个女生”的概率时,可让计算机产生1～9的随机整数,并用1～4代表男生,用5～9代表女生.因为是选出4个,所以每4个随机数作为一组.若得到的一组随机数为“4678”,则它代表的含义是________.
【解析】用1～4代表男生,5～9代表女生,4678表示一男三女.
答案:选出的4个人中,只有1个男生 随机模拟
在求解频率与概率的关系时需要做大量的重复试验去验证．例如苏联数学家罗曼诺夫斯基就做过80 640次掷硬币试验，既费时又费力．
【问题1】有没有更好的其他办法可以替代试验呢？
【问题2】如何产生随机数？
【问题3】怎样进行随机模拟？
1．随机数的概念及产生方法
随机数 概念 要产生1～n(n∈N*)之间的随机整数，把n个质地和大小相同的小球分别标上1，2，3，…，n，放入一个容器中，充分搅拌后取出一个球，这个球上的数就称为随机数．
产生方法 ①利用计算器产生随机数；②用计算机软件产生随机数，比如用Excel软件产生随机数．
2.随机模拟方法(蒙特卡洛方法)
利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的频率来估计概率，这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡洛方法．
1．本质：用模拟试验替代大量实际操作的试验，获得相应的试验结果．
2．伪随机数的概念及产生：
计算机或计算器产生的随机数并不是真正的随机数，我们称为伪随机数．
(1)规则：依照确定的算法．
(2)特点：具有周期性(周期很长).
(3)性质：它们具有类似随机数的性质．
3．应用随机数计算事件的概率
(1)在设计随机试验方案时，一定要注意先确定随机数的范围和每个随机数所代表的试验结果，其次要注意用几个随机数为一组时，每组中的随机数是否能够重复．
(2)对于一些较为复杂的问题，要建立一个适当的数学模型，转换成计算机或计算器能操作的试验．
用计算机模拟试验来代替大量的重复试验有什么优点？
提示：用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验具有破坏性，有些试验无法真正进行．因此利用计算机进行随机模拟试验就成为一种很重要的替代方法，它可以在短时间内多次重复地来做试验．
1.随机数是用计算机或计算器随便按键产生的数吗？
2．随机数的抽取是简单随机抽样吗？
3．用随机模拟试验估计事件的概率时，试验次数越多，所得的估计值越接近实际值吗？
4．对于满足“有限性”，但不满足“等可能性”的概率问题能采取随机模拟方法估计概率吗？
提示：1.是；2.是；3.是；4.能．
1．下列不能产生随机数的是( )
A．抛掷骰子试验
B．抛硬币
C．计算器
D．正方体的六个面上分别写有1，2，2，3，4，5，抛掷该正方体
【解析】选D.D项中，出现2的概率为，出现1，3，4，5的概率均是，则D项不能产生随机数，ABC项均可以．
2．在利用整数随机数进行随机模拟试验中，整数2到整数7之间的每个整数出现的可能性是________．
【解析】[2，7]中共6个整数，每个整数出现的可能性相等，所以每个整数出现的可能性是.
答案：
基础类型一 随机数的产生(数学抽象)
1．已知运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0～9之间的随机整数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示没有命中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812
458 569 683 431 257 393 027
556 488 730 113 537 989
其中，表示三次投篮恰好命中两次的有________组．
【解析】三次中恰有两次命中，即一组数据中恰有两个是1，2，3或4，所以有191，271，932，812，393，共5组．
答案：5
2．利用计算机Excel软件产生100个1～25之间的整数随机数．
【解析】步骤如下：
(1)选定A1格，输入“＝RANDBETWEEN(1，25)”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的；
(2)选定A1格，点击复制，然后选定要产生随机数的格，比如A2至A100，点击粘贴，则在A2至A100的格中均为随机产生的1～25之间的数，这样我们很快就得到了100个1～25之间的随机数，相当于做了100次随机试验．
3．某体育代表队共有21名水平相当的运动员，现从中抽取11人参加某场比赛，其中运动员甲必须参加．写出利用随机数抽取的过程．
【解析】法一：把20名运动员编号1，2，…，20(甲除外).将这20个号签贴在质地和大小相同的号码球上，放入摇奖器中，充分搅拌后，依次摇出10个球，这些球上的号码对应的运动员就是要抽取参加比赛的运动员．
法二：(1)把除甲之外的20名运动员编号，号码为1，2，3，…，19，20；
(2)用计算器的随机函数RANDBETWEEN(1，20)产生10个1～20之间的整数值随机数，如果有重复，就重新产生一个；
(3)以上号码对应的10名运动员与甲运动员就是要抽取的对象．
随机数产生的方法比较
方法 抽签法 用计算器或计算机产生
优点 保证机会均等 操作简单，省时、省力
缺点 耗费大量人力、物力、时间，或不具有实际操作性 由于是伪随机数，故不能保证完全等可能
综合类型 随机模拟法估计概率(数学建模)
“等可能性”概率问题
【典例】盒中有大小、形状相同的5个白球、2个黑球，用随机模拟法求下列事件的概率：
(1)任取一球，得到白球．
(2)任取三球(分三次，每次放回再取)，都是白球．
【解析】用计算器或计算机产生1到7之间取整数值的随机数，用1，2，3，4，5表示白球，6，7表示黑球．
(1)统计随机数个数N及小于6的个数N1，则即为任取一球，得到白球的概率的近似值．
(2)三个数一组(每组内可重复)，统计总组数K及三个数都小于6的组数K1，则即为任取三球(分三次，每次放回再取)，都是白球的概率的近似值．
用整数随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果．我们可以从以下三个方面考虑：
(1)当试验的样本点等可能时，样本点总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个样本点；
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数；
(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复．
【加固训练】
从甲、乙、丙、丁4人中，任选3人参加志愿者活动，请用随机模拟的方法估计甲被选中的概率．
【解析】用1，2，3，4分别表示甲、乙、丙、丁四人．
利用计算器或计算机产生1到4之间的随机数，每三个一组，每组中数不重复，得到n组数，统计这n组数中含有1的组数m，则估计甲被选中的概率为.
非“等可能性”概率问题
【典例】一份测试题包括6道选择题，每题四个选项且只有一个选项是正确的，如果一个学生对每一道题都随机猜一个答案，用随机模拟方法估计该学生至少答对3道题的概率．(已知计算机或计算器做模拟试验可以模拟每次猜对的概率是25%)
【解析】通过设计模拟试验的方法来解决问题，利用计算机或计算器可以产生0到3之间取整数值的随机数，用0表示猜的选项正确，1，2，3表示猜的选项错误，这样可以体现猜对的概率是25%，因为共猜6道题，所以每6个随机数作为一组．例如，产生25组随机数：
330130 302220 133020 022011 313121
222330 231022 001003 213322 030032
100211 022210 231330 321202 031210
232111 210010 212020 230331 112000
102330 200313 303321 012033 321230
就相当于做了25次试验，在每组数中，如果恰有3个或3个以上的数是0，则表示至少答对3道题，它们分别是001003，030032，210010，112000，即共有4组数，得到该同学6道选择题至少答对3道题的概率近似为＝0.16.
非“等可能”概率问题模拟试验的关注点
(1)设计试验：首先需要全面理解题意，在理解题意的基础上，根据题目本身的特点来设计试验，应把设计试验的重点放在确定哪个或哪些数字代表哪些试验结果上，并确保符合题意与题目要求．
(2)臻于合理：在试验方案正确的前提下，要使模拟试验所得的估计概率值与实际概率值更接近，则需使试验次数尽可能的多，随机数的产生更切合实际．
【加固训练】
甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲获胜的概率为0.6，若采用三局两胜制举行一次比赛，试用随机模拟的方法求乙获胜的概率．
【解析】利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2，3，4，5表示甲获胜；6，7，8，9表示乙获胜，这样能体现甲获胜的概率为0.6.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组．例如，产生30组随机数
034 743 738 636 964 736 614 698 637 162 332 616 804 560 111 410 959 774 246 762 428 114 572 042 533 237 322 707 360 751，就相当于做了30次试验．如果恰有2个或3个数在6，7，8，9中，就表示乙获胜，它们分别是738，636，964，736，698，637，616，959，774，762，707，共11个．所以采用三局两胜制，乙获胜的概率约为.
1．在用计算器模拟抛硬币试验时，假设计算器只能产生0～9之间的随机数，下列说法不正确的是( )
A．可以用0，2，4，6，8来代表正面
B．可以用1，2，3，6，8来代表正面
C．可以用4，5，6，7，8，9来代表正面
D．产生的100个随机数中不一定恰有50个偶数
【解析】选C.必须保证每个号码出现的机会是相等的，正反面的出现也是等可能的才行．
2．用随机模拟的方法估计概率时，其准确程度决定于( )
A．产生的随机数的大小
B．产生的随机数的个数
C．随机数对应的结果
D．产生随机数的方法
【解析】选B.用随机模拟的方法估计概率时，产生的随机数越多，准确程度越高．
3．抛掷一枚硬币5次，若正面向上用随机数0表示，反面向上用随机数1表示，下面表示5次抛掷恰有3次正面向上的是( )
A．10011 B．11001
C．00110 D．10111
【解析】选C.0代表正面向上，恰有3次正面向上，应是由3个0，2个1组成的结果．
4．掷两枚骰子，用随机模拟方法估计出现点数之和为9的概率时，产生的整数值随机数中，每________个数字为一组．
【解析】由于掷两枚骰子，所以产生的整数值随机数中，每2个数字为一组．
答案：2
5．袋子中有四个小球，分别写有“春、夏、秋、冬”四个字，从中任取一个小球，取到“冬”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1，2，3，4表示取出小球上分别写有“春、夏、秋、冬”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
13 24 12 32 43 14 24 32 31 21
23 13 32 21 24 42 13 32 21 34
据此估计，直到第二次就停止的概率为________．
【解析】20组随机数中，第一次不是4且第二次是4的数共有5组，故估计直到第二次就停止的概率为＝.
答案：
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