(共16张PPT)
阶段复习课
第五课 概 率
思维脉图构建
【答案速填】
①______________
②________________
③_________________
④_____________
P(A)+P(B)
P(A)+P(B)=1
P(A)P(B)
易错案例警示
易错一 概率意义的思维误区
【案例1】有两组牌,每组3张牌,牌面数字均分别为1,2,3.那么从每组牌中各
摸出一张牌,两张牌面数字和为3的概率是多少
【解析】所有等可能的结果共有9种,其中和为3的情况有2种,所以P(两张牌数
字和为3)= .
【错因探究】本题易错点是没有列出所有等可能出现的结果,就盲目得出结论.
【避错警示】本题中实际上组成和为2,3,4,5,6的情况数是不同的,正确理解概率的意义是解题的关键.
要清楚概率与频率的区别与联系,对具体的问题要从全局和整体上去看待,而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件.
易错二 画树状图求概率的思维误区
【案例2】将分别标有数字1,2,3的三张卡片洗匀后,背面朝上放在桌面上,随
机地抽取一张作为十位上的数字,放回后再抽取一张作为个位上的数字,试利用
树状图探究能组成哪些两位数 恰好是“偶数”的概率为多少
【解析】树状图如图,能组成11,12,13,21,22,23,31,32,33,恰为偶数的概率
是 .
【错因探究】本题易错在没有准确理解抽取卡片的操作程序,忽略了关键词“放回后再抽取”,从而导致错误.
【避错警示】对于一些比较复杂的古典概型问题,一般可以通过分类,有序地把事件包含的情况分别罗列出来,从而清晰地找出满足条件的情况,在列举时一定要注意合理分类,才能做到不重不漏,结果明了,而树状图则是解决此类问题的较好方法.
易错三 放回与不放回混淆
【案例3】一袋中有4只黑球,1只白球,现从袋中每次摸出一球,然后再放回袋中,求第3次摸球首次摸到白球的概率.
【解析】P(A)= × × = .
【错因探究】错解原因在于把放回摸球问题当成不放回摸球问题来考虑,实际上这二者是不同的.
【避错警示】“放回摸球”与“不放回摸球”的主要区别是:(1)放回摸球是指
每次摸出一球放回袋内,下次再摸球时袋内球的总数不变,而不放回摸球是指每
次摸出的一球不再放回袋中,即放在袋外,下次再摸球时总数比前次少1;
(2)放回摸球各次抽取是相互独立的,而不放回摸球各次抽取不是相互独立的.
(3)对有放回摸球来说:事件“A=有放回地逐个取k个球”与事件“B=一次任取
k个球”的概率一般是不相等的,即P(A)≠P(B),而对不放回摸球来说,事件
“A=不放回地逐个取k个球”与事件“B=一次任取k个球”的概率相等,即
P(A)=P(B).
易错四 忽视互斥事件的概率加法公式的前提条件
【案例4】抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5
点、6点的概率都是 ,记事件A为“出现奇数”,事件B为“向上的点数不超
过3”,求P(A∪B).
【解析】记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A1,A2,A3,A4,由题意知这四个事件彼此互斥.
则A∪B=A1∪A2∪A3∪A4.
故P(A∪B)=P(A1∪A2∪A3∪A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)= + + + = .
【错因探究】本题易错点是忽视了“事件和”概率公式应用的前提条件,由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过3”这二者不是互斥事件,即出现1或3时,事件A,B同时发生,所以不能应用公式P(A∪B)=P(A)+P(B)求解.
【避错警示】互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式,解题时要在具体的情境中判断各事件间是否互斥,只有互斥事件才能用概率加法公式:
P(A∪B)=P(A)+P(B).
P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
如果事件不互斥,上述公式就不能使用!
易错五 决策中的概率思想
【案例5】有3只箱子,第1只箱内装有2条红色毛巾,第2只箱内装有2条白色毛巾,第3只箱内装有1条红色和1条白色毛巾,箱子上标有毛巾的颜色.现在3只箱子的标签被人换了,每只箱子上的标签都是错的.允许你从任意1只箱子中拿1条毛巾,但拿毛巾时不准看箱子里面,然后根据拿出的毛巾判断3只箱子里毛巾的颜色,最少需要拿几次
【解析】先从标着红白的箱子里取毛巾,如果从这只箱子里取出的毛巾是白色的,则这个箱子里两条毛巾都是白色的.这样就可以判断,标签上标着两白的箱子装了两条红毛巾,另一只箱子里的毛巾就是一红一白;如果从这只箱子里取出的毛巾是红色的,则这个箱子里装了两条红色毛巾,这样就可以判断,标签上标着两红的箱子装了两条白毛巾,另一只箱子里的毛巾就是一条红色一条白色.即最少需要拿1次.
【错因探究】本题易错点主要在极大似然法的运用错误,拿出一条红毛巾可能箱内是两红,也可能一红一白,本题的解答核心应抓住“每只箱子上的标签都是错的”.
【避错警示】如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策问题,那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则,这种判断问题的方法称为极大似然法.极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一.(共26张PPT)
阶段提升课 第五课 概率
知识体系·思维建模
考点整合·素养提升
血型 A B AB O
该血型的人所占比例(%) 28 29 8 35
地区 A B C
数量 50 150 100
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455
击中靶心的频率 0.8 0.95 0.88 0.92 0.89 0.91
电影
类型 第一
类 第二
类 第三
类 第四
类 第五
类 第六
类
电影
部数 140 50 300 200 800 510
好评
率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
必然事件：P(A)=1
基本特点
有限性
不可能事件：P(A)=0
古典概型
等可能性
事件
随机事件：0
随机事件
事件A包含的样本点的个数
包含：B2A或ACB
与概率
概率
事件的
概率计算公式P(A)
样本点的总数
关系
相互独立性
相等：A=B
P(AB)=P(A)P(B)
并事件：AUB或A+B
事件的关
系和运算
交事件：A∩B或AB
互斥事件：P(AUB)=P(A)+P(B)
运算
频率与概率
频率的稳定性
对立事件：P(B)=1-P(A)
随机模拟
读
反复阅读题目，收集整理题目中的各种信息
判
判断事件是否是古典概型
列
列举出总的样本点的各种情况或个数
算
计算出古典概型的概率，对应用题还要作答第五课 概率
知能题组一 互斥事件的概率及其应用
1．新高考的“3＋1＋2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事件A：“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B( )
A．是互斥事件，不是对立事件
B．是对立事件，不是互斥事件
C．既是互斥事件，也是对立事件
D．既不是互斥事件也不是对立事件
【解析】选A.事件A与事件B不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件．
2．黄种人群中各种血型的人所占的比例如下：
血型 A B AB O
该血型的人所占比例(%) 28 29 8 35
已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，张三是B型血，若张三因病需要输血，问：
(1)任找一个人，其血可以输给张三的概率是多少？
(2)任找一个人，其血不能输给张三的概率是多少？
【解析】(1)对任一人，其血型为A，B，AB，O的事件分别记为A′，B′，C′，D′，由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35，因为B，O型血可以输给张三，所以“任找一人，其血可以输给张三”为事件B′∪D′.依据互斥事件概率的加法公式，有P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.
(2)方法一：由于A，AB型血不能输给B型血的人，所以“任找一人，其血不能输给张三”为事件A′∪C′，依据互斥事件概率的加法公式，有P(A′∪C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
方法二：因为事件“任找一人，其血可以输给张三”与事件“任找一人，其血不能输给张三”是对立事件，所以由对立事件的概率公式，有P(A′∪C′)＝1－P(B′∪D′)＝1－P(B′)－P(D′)＝1－0.64＝0.36.
1．互斥事件与对立事件的概率计算
(1)若事件A1，A2，…，An彼此互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
(2)设事件A的对立事件是，则P(A)＝1－P().
2．求复杂事件的概率常用的两种方法
(1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和．
(2)先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P()求解．
知能题组二 古典概型
1．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层随机抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．
地区 A B C
数量 50 150 100
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
【解析】(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是＝，所以样本包含三个地区的个体数量分别是50×＝1，150×＝3，100×＝2.所以这6件样品中来自A，B，C三个地区的数量分别为1，3，2.
(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A；B1，B2，B3；C1，C2，
则从这6件样品中抽取的2件商品构成的所有样本点为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的．记事件D＝“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的样本点有：
{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．
所以P(D)＝，即这2件商品来自相同地区的概率为.
2．甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上．甲先抽，乙后抽，各抽一张，抽到的牌不放回．
(1)设(i，j)表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况．
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平，说明你的理由．
【解析】(1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4′表示，红桃2、红桃3、红桃4分别用2，3，4表示)为：(2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3，4′)，(4，2)，(4，3)，(4，4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种情况．
(2)甲抽到3，乙抽到的牌只能是2或4或4′，因此乙抽到的牌的牌面数字大于3的概率为.
(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙抽到的牌的牌面数字大的情况有(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种，所以甲胜的概率为p1＝，乙胜的概率为p2＝1－p1＝.因为<，所以此游戏不公平．
求解古典概型概率“四步”法
知能题组三 事件的相互独立性
1．设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为( )
A.0.25 B．0.30 C．0.31 D．0.35
【解析】选C.设甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件A，B，C，D，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(D)＝0.4，所以同一工作日最少3人需使用设备的概率为P(ABC＋ABD＋ACD＋BCD＋ABCD)＝0.6×0.5×0.5×0.6＋0.6×0.5×0.5×0.4＋0.6×0.5×0.5×0.4＋0.4×0.5×0.5×0.4＋0.6×0.5×0.5×0.4＝0.31.
2．计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响．
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？
(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率．
【解析】(1)设“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则P(A)＝×＝，P(B)＝×＝，
P(C)＝×＝.因为P(C)>P(B)>P(A)，所以丙获得合格证书的可能性大．
(2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则P(D)＝P(AB )＋P(A C)＋P(BC)
＝××＋××＋××＝.
利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路
(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥的简单事件的和．
(2)将彼此互斥的简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件．
(3)代入概率的积、和公式求解．
知能题组四 频率与概率
1．为了为奥运会做准备，某射击运动员在相同条件下进行射击训练，结果如下表：
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455
击中靶心的频率 0.8 0.95 0.88 0.92 0.89 0.91
(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？
(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？
(3)假设该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？
【解析】(1)由表可知，击中靶心的频率在0.9附近，故击中靶心的概率大约是0.9.
(2)击中靶心的次数大约是300×0.9＝270(次).
(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化．最后一次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定击中靶心．
2．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大(只需写出结论)
【解析】(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000，
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50.故所求概率为＝0.025.
(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是
140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372.故所求概率估计为1－＝0.814.
(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．
频率与概率问题的关注点
(1)依据概率的定义，可以用事件发生的频率去估计概率．
(2)频率的计算公式为fn(A)＝，其中nA是事件A出现的频数，n为重复试验次数．
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