单元形成性评价(二)(第七章)
(120分钟 150分)
一、单选题(每小题5分，共40分)
1．i是虚数单位，则的虚部是( )
A．i B．－i
C． D．－
【解析】选C.＝＝＝＋i.
2．若(x－i)i＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝( )
A．－2＋i B．1－2i
C．2＋i D．1＋2i
【解析】选C.(x－i)i＝y＋2i
即xi＋1＝y＋2i，故y＝1，x＝2，
所以复数x＋yi＝2＋i.
3．设z1＝－3＋4i，z2＝2－3i，其中i为虚数单位，则z1＋z2在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】选B.因为z1＝－3＋4i，z2＝2－3i，
所以z1＋z2＝－3＋4i＋2－3i＝－1＋i，
所以z1＋z2在复平面内对应的点为(－1，1)，位于第二象限．
4．(2021·舟山高一检测)已知＝2＋i，则复数z＝( )
A．1＋3i B．1－3i C．3＋i D．3－i
【解析】选B.由题意，复数＝2＋i，可得＝(2＋i)(1＋i)＝1＋3i，所以z＝1－3i.
5．如图，在复平面内，向量对应的复数是1－i，将向左平移一个单位后得到，则P0对应的复数为( )
A.1－i B．1－2i
C．－1－i D．－i
【解析】选D.要求P0对应的复数，根据题意，只需知道，而，从而可求P0对应的复数．因为＝，对应的复数是－1，
所以P0对应的复数，即对应的复数是－1＋(1－i)＝－i.
6．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝( )
A．5－4i B．5＋4i
C．3－4i D．3＋4i
【解析】选D.由a－i与2＋bi互为共轭复数，可得a＝2，b＝1.所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝4＋4i－1＝3＋4i.
7．如果一个复数和它的模的和为5＋i，那么这个复数是( )
A． B．i
C．＋i D．＋2i
【解析】选C.设这个复数为a＋bi(a，b∈R).
由题意得a＋bi＋＝5＋i，
即a＋＋bi＝5＋i，由复数相等可得：
解得
所以复数为＋i.
8．设复数z＝cos x＋isin x，则函数f(x)＝的部分图象可能是( )
【解析】选A.f(x)＝
＝2|cos x|，
所以f(x)的图象为A.
二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．已知复数z＝，则下列结论正确的是( )
A．z的虚部为i B．|z|2＝2
C．z2为纯虚数 D．＝－1＋i
【解析】选BC.因为复数z＝＝＝1＋i，则z的虚部为1，A不正确．|z|2＝2，B正确．z2＝(1＋i)2＝2i为纯虚数，C正确．＝1－i，D不正确．
10．已知i为虚数单位，复数z1＝a＋2i，z2＝2－i，且|z1|＝|z2|，则实数a的值不能为( )
A．1 B．－1 C． D．－
【解析】选CD.因为复数z1＝a＋2i，z2＝2－i，且|z1|＝|z2|，所以a2＋4＝4＋1，解得a＝±1.
11．已知z1与z2是共轭虚数，有下列4个命题，其中一定正确的有( )
A．z<|z2|2 B．z1z2＝|z1z2|
C．z1＋z2∈R D．∈R
【解析】选BC.z1与z2是共轭虚数，设z1＝a＋bi，z2＝a－bi(a，b∈R，b≠0).
A．z＝a2－b2＋2abi，|z2|2＝a2＋b2，虚数不能比较大小，因此不正确；
B．z1z2＝|z1z2|＝a2＋b2，正确；
C．z1＋z2＝2a∈R，正确；
D．＝＝＝＋i不一定是实数，因此不一定正确．
12．设i为虚数单位，复数z＝(a＋i)(1＋2i)，则下列命题正确的是( )
A．若z为纯虚数，则实数a的值为2
B．若z在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是
C．实数a＝－是z＝(为z的共轭复数)的充要条件
D．若z＋|z|＝x＋5i(x∈R)，则实数a的值为2
【解析】选ACD．z＝(a＋i)(1＋2i)＝a－2＋(1＋2a)i，
所以选项A：z为纯虚数，有可得a＝2，故正确；
选项B：z在复平面内对应的点在第三象限，有解得a<－，故错误；
选项C：a＝－时z＝＝－；z＝时1＋2a＝0即a＝－，它们互为充要条件，故正确；
选项D：z＋|z|＝x＋5i(x∈R)时，有1＋2a＝5即a＝2，故正确．
三、填空题(每小题5分，共20分)
13．i是虚数单位，复数＝________．
【解析】＝＝＝＝4－i.
答案：4－i
14．若＝2－i(其中i是虚数单位)，则实数a＝________.
【解析】因为＝2－i，所以1＋ai＝(1－i)(2－i)＝1－3i，所以a＝－3.
答案：－3
15．已知复数z＝(2a＋i)(1－bi)的实部为2，其中a，b为正实数，则4a＋
的最小值为________．
【解析】因为复数z＝(2a＋i)(1－bi)＝2a＋b＋(1－2ab)i的实部为2，其中a，b为正实数，
所以2a＋b＝2，所以4a＋＝22a＋2b－1≥2＝2＝2.
当且仅当a＝，b＝时取等号．
答案：2
16．已知2＋i，2－i是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0在复数范围内的两个根，则p＝________，q＝________．
【解析】由题意得(2＋i)＋(2－i)＝－p，(2＋i)(2－i)＝q，所以p＝－4，q＝5.
答案：－4 5
四、解答题(共70分)
17．(10分)计算：(1)；
(2).
【解析】(1)＝
＝＝2.
(2)＝＝
＝＝＝－＋i.
18．(12分)设复数z＝(a2＋a－2)＋(a2－7a＋6)i，其中a∈R，当a取何值时，(1)z∈R；(2)z是纯虚数；(3)z是零．
【解析】(1)z∈R，只需a2－7a＋6＝0，
所以a＝1或a＝6.
(2)z是纯虚数，只需
所以a＝－2.
(3)因为z＝0，所以所以a＝1.
19．(12分)已知z1＝m2＋i，z2＝(2m－3)＋i，m∈R，i为虚数单位，且z1＋z2是纯虚数．
(1)求实数m的值；
(2)求z1·2的值．
【解析】(1)z1＋z2＝(m2＋2m－3)＋(＋)i，
因为z1＋z2是纯虚数
所以
解得m＝1.
(2)由(1)知z1＝1＋i，z2＝－1＋i，
所以2＝－1－i，
所以z1·2＝·
＝－1－i－i＋＝－－i.
20．(12分)已知复数z1＝m＋(m2－2m)i，z2＝1＋(－m2＋3m－1)i，其中x∈R.
(1)若复数z1为实数，求m的值；
(2)求|z1＋z2|的最小值．
【解析】(1)由复数z1为实数，则m2－2m＝0，解得m＝2或m＝0.
(2)因为z1＋z2＝(m＋1)＋(m－1)i，
所以|z1＋z2|＝
＝，
当m＝0时，故|z1＋z2|的最小值为.
21．(12分)已知x2－(3－2i)x－6i＝0.
(1)若x∈R，求x的值；
(2)若x∈C，求x的值．
【解析】(1)x∈R时，
由方程得(x2－3x)＋(2x－6)i＝0.
则得x＝3.
(2)x∈C时，设x＝a＋bi(a，b∈R)，代入方程整理，得(a2－b2－3a－2b)＋(2ab－3b＋2a－6)i＝0.
则得或故x＝3或x＝－2i.
22．(12分)若z∈C，4z＋2＝3＋i，ω＝sin θ－icos θ(θ为实数)，i为虚数单位．
(1)求复数z；
(2)求|z－ω|的取值范围．
【解析】(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
所以4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3＋i，
即6a＋2bi＝3＋i，
所以
所以z＝＋i.
(2)|z－ω|＝
＝
＝
＝＝.
因为－1≤sin ≤1，
所以0≤2－2sin ≤4，
所以0≤|z－ω|≤2，
故|z－ω|的取值范围是[0，2].
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7单元形成性评价(二)(第七章)
(120分钟 150分)
一、单选题(每小题5分，共40分)
1．i是虚数单位，则的虚部是( )
A．i B．－i
C． D．－
2．若(x－i)i＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝( )
A．－2＋i B．1－2i
C．2＋i D．1＋2i
3．设z1＝－3＋4i，z2＝2－3i，其中i为虚数单位，则z1＋z2在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．(2021·舟山高一检测)已知＝2＋i，则复数z＝( )
A．1＋3i B．1－3i C．3＋i D．3－i
5．如图，在复平面内，向量对应的复数是1－i，将向左平移一个单位后得到，则P0对应的复数为( )
A.1－i B．1－2i
C．－1－i D．－i
6．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝( )
A．5－4i B．5＋4i
C．3－4i D．3＋4i
7．如果一个复数和它的模的和为5＋i，那么这个复数是( )
A． B．i
C．＋i D．＋2i
8．设复数z＝cos x＋isin x，则函数f(x)＝的部分图象可能是( )
二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．已知复数z＝，则下列结论正确的是( )
A．z的虚部为i B．|z|2＝2
C．z2为纯虚数 D．＝－1＋i
10．已知i为虚数单位，复数z1＝a＋2i，z2＝2－i，且|z1|＝|z2|，则实数a的值不能为( )
A．1 B．－1 C． D．－
11．已知z1与z2是共轭虚数，有下列4个命题，其中一定正确的有( )
A．z<|z2|2 B．z1z2＝|z1z2|
C．z1＋z2∈R D．∈R
12．设i为虚数单位，复数z＝(a＋i)(1＋2i)，则下列命题正确的是( )
A．若z为纯虚数，则实数a的值为2
B．若z在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是
C．实数a＝－是z＝(为z的共轭复数)的充要条件
D．若z＋|z|＝x＋5i(x∈R)，则实数a的值为2
三、填空题(每小题5分，共20分)
13．i是虚数单位，复数＝________．
14．若＝2－i(其中i是虚数单位)，则实数a＝________.
15．已知复数z＝(2a＋i)(1－bi)的实部为2，其中a，b为正实数，则4a＋
的最小值为________．
16．已知2＋i，2－i是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0在复数范围内的两个根，则p＝________，q＝________．
四、解答题(共70分)
17．(10分)计算：(1)；
(2).
18．(12分)设复数z＝(a2＋a－2)＋(a2－7a＋6)i，其中a∈R，当a取何值时，(1)z∈R；(2)z是纯虚数；(3)z是零．
19．(12分)已知z1＝m2＋i，z2＝(2m－3)＋i，m∈R，i为虚数单位，且z1＋z2是纯虚数．
(1)求实数m的值；
(2)求z1·2的值．
20．(12分)已知复数z1＝m＋(m2－2m)i，z2＝1＋(－m2＋3m－1)i，其中x∈R.
(1)若复数z1为实数，求m的值；
(2)求|z1＋z2|的最小值．
21．(12分)已知x2－(3－2i)x－6i＝0.
(1)若x∈R，求x的值；
(2)若x∈C，求x的值．
22．(12分)若z∈C，4z＋2＝3＋i，ω＝sin θ－icos θ(θ为实数)，i为虚数单位．
(1)求复数z；
(2)求|z－ω|的取值范围．
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