阶段过关练(二)
(45分钟 90分)
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．已知a∈R，z＝(a2－3a＋2)＋(a－1)i，则“a＝2”是“z为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】选C.若复数z＝(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则a2－3a＋2＝0且a－1≠0，得a＝2.反之亦然．所以“a＝2”是“z为纯虚数”的充要条件．
2．已知复数z满足(2＋i)z＝1－2i(其中i为虚数单位)，则z的共轭复数＝( )
A．i B．－i C． D．
【解析】选A.z＝＝－i，则＝i.
3．设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝( )
A．1 B． C． D．2
【解析】选B.因为(1＋i)x＝1＋yi，
所以x＋xi＝1＋yi.
又因为x，y∈R，所以x＝1，y＝x＝1.
所以|x＋yi|＝|1＋i|＝.
4．(2021·沈阳高一检测)复数z＝则在复平面内，z对应的点的坐标是( )
A．(1，0) B．(0，1)
C． D．
【解析】选B.因为z＝＝＝i，
所以在复平面内，z对应的点的坐标是(0，1).
5．在复平面内，O是原点，，，对应的复数分别为－2＋i，3＋2i，1＋5i，i为虚数单位，那么对应的复数为( )
A．4＋7i B．1＋3i
C．4－4i D．－1＋6i
【解析】选C.因为，，对应的复数分别为－2＋i，3＋2i，1＋5i，＝－＝－(＋)，所以对应的复数为3＋2i－[(－2＋i)＋(1＋5i)]＝4－4i.
6．已知i为虚数单位，复数z＝2i(2－i)的实部为a，虚部为b，则logab等于( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】选C.z＝2i(2－i)＝2＋4i，所以a＝2，b＝4，所以logab＝log24＝2.
7．已知i为虚数单位，若复数z＝(a∈R)的实部为－3，则|z|＝( )
A． B．2 C． D．5
【解析】选D.因为z＝＝＝的实部为－3，所以＝－3，解得a＝7.所以z＝－3－4i，则|z|＝5.
8．(多选题)已知复数z0＝1＋2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0，复数z满足|z－1|＝|z－i|，下列结论正确的是( )
A．P0点的坐标为(1，2)
B．复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称
C．复数z对应的点Z在一条直线上
D．P0与z对应的点Z间的距离的最小值为
【解析】选ACD.复数z0＝1＋2i在复平面内对应的点为P0(1，2)，A正确；复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称，B错误；设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入|z－1|＝|z－i|，得|(x－1)＋yi|＝|x＋(y－1)i|，即＝，整理得y＝x，即Z点在直线y＝x上，C正确；已知点P0到直线y＝x的垂线段的长度即为P0、Z之间距离的最小值，结合平面几何知识知D正确．
二、填空题(每小题5分，共20分)
9．已知z＝1－3i，则|－i|＝________．
【解析】因为z＝1－3i所以－i＝1＋3i－i＝1＋2i，则|－i|＝|1＋2i|＝＝.
答案：
10．已知i为虚数单位，复数z＝2＋ai(a∈R)在复平面内对应的点在直线x－3y＋1＝0上，则z的共轭复数＝________.
【解析】复数z＝2＋ai(a∈R)在复平面内对应的点为(2，a)，代入直线x－3y＋1＝0，可得2－3a＋1＝0，解得a＝1，故复数z＝2＋i，所以复数z的共轭复数＝2－i.
答案：2－i
11．在复数范围内，方程x2＋6x＋10＝0的根为x＝________.
【解析】因为b2－4ac＝62－4×1×10＝－4<0，
所以x＝＝＝＝－3±i.
答案：－3±i
12．设z的共轭复数是，若z＋＝4，z·＝8，则|z|＝________，＝________(本题第一空3分，第二空2分).
【解析】设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则＝x－yi，由z＋＝4，z·＝8
得
所以|z|＝2.
所以＝＝＝±i.
答案：2 ±i
三、解答题(每小题10分，共30分)
13．设复数z＝a2－a－(a－1)i，(a∈R).
(1)若z为纯虚数，求|3＋z|.
(2)若z在复平面内对应的点在第四象限，求a的取值范围．
【解析】(1)若z为纯虚数，则
所以a＝0，故z＝i，
所以|3＋z|＝.
(2)若z在复平面内对应的点在第四象限，
则解得a>1.
14．已知复数z＝(1－i)2＋1＋3i.
(1)求|z|；
(2)若z2＋az＋b＝，求实数a，b的值．
【解析】z＝(1－i)2＋1＋3i＝－2i＋1＋3i＝1＋i.
(1)|z|＝＝.
(2)z2＋az＋b＝(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝2i＋a＋ai＋b＝a＋b＋(a＋2)i，
因为＝1－i，所以a＋b＋(a＋2)i＝1－i，
所以
所以a＝－3，b＝4.
15．已知复数w满足w－4＝(3－2w)i(i为虚数单位)，z＝＋|－2|.
(1)求z.
(2)若(1)中的z是关于x的方程x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根．
【解析】(1)因为w－4＝(3－2w)i，
所以w(1＋2i)＝4＋3i，
所以w＝＝＝2－i，
所以z＝＋|i|＝＋1＝3＋i.
(2)因为z＝3＋i是关于x的方程x2－px＋q＝0的一个根，所以(3＋i)2－p(3＋i)＋q＝0，(8－3p＋q)＋(6－p)i＝0，
因为p，q为实数，
所以解得p＝6，q＝10.
解方程x2－6x＋10＝0，得x＝3±i.
所以实数p＝6，q＝10，方程的另一个根为x＝3－i.
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4阶段过关练(二)
(45分钟 90分)
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．已知a∈R，z＝(a2－3a＋2)＋(a－1)i，则“a＝2”是“z为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．已知复数z满足(2＋i)z＝1－2i(其中i为虚数单位)，则z的共轭复数＝( )
A．i B．－i C． D．
3．设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝( )
A．1 B． C． D．2
4．(2021·沈阳高一检测)复数z＝则在复平面内，z对应的点的坐标是( )
A．(1，0) B．(0，1)
C． D．
5．在复平面内，O是原点，，，对应的复数分别为－2＋i，3＋2i，1＋5i，i为虚数单位，那么对应的复数为( )
A．4＋7i B．1＋3i
C．4－4i D．－1＋6i
6．已知i为虚数单位，复数z＝2i(2－i)的实部为a，虚部为b，则logab等于( )
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知i为虚数单位，若复数z＝(a∈R)的实部为－3，则|z|＝( )
A． B．2 C． D．5
8．(多选题)已知复数z0＝1＋2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0，复数z满足|z－1|＝|z－i|，下列结论正确的是( )
A．P0点的坐标为(1，2)
B．复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称
C．复数z对应的点Z在一条直线上
D．P0与z对应的点Z间的距离的最小值为
二、填空题(每小题5分，共20分)
9．已知z＝1－3i，则|－i|＝________．
10．已知i为虚数单位，复数z＝2＋ai(a∈R)在复平面内对应的点在直线x－3y＋1＝0上，则z的共轭复数＝________.
11．在复数范围内，方程x2＋6x＋10＝0的根为x＝________.
12．设z的共轭复数是，若z＋＝4，z·＝8，则|z|＝________，＝________(本题第一空3分，第二空2分).
三、解答题(每小题10分，共30分)
13．设复数z＝a2－a－(a－1)i，(a∈R).
(1)若z为纯虚数，求|3＋z|.
(2)若z在复平面内对应的点在第四象限，求a的取值范围．
14．已知复数z＝(1－i)2＋1＋3i.
(1)求|z|；
(2)若z2＋az＋b＝，求实数a，b的值．
15．已知复数w满足w－4＝(3－2w)i(i为虚数单位)，z＝＋|－2|.
(1)求z.
(2)若(1)中的z是关于x的方程x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根．
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4新题型专练(二)
(25分钟 50分)
一、多选题(每小题5分，共25分，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1．已知i为虚数单位，则下列选项中正确的是( )
A．复数z＝3＋4i的模|z|＝5
B．若复数z＝3＋4i，则(即复数z的共轭复数)在复平面内对应的点在第四象限
C．若复数(m2＋3m－4)＋(m2－2m－24)i是纯虚数，则m＝1或m＝－4
D．对任意的复数z，都有z2≥0
【解析】选AB.对于A，复数z＝3＋4i的模|z|＝＝5，故A正确；对于B，若复数z＝3＋4i，则＝3－4i，在复平面内对应的点的坐标为(3，－4)，在第四象限，故B正确；对于C，若复数(m2＋3m－4)＋(m2－2m－24)i是纯虚数则，解得m＝1，故C错误；对于D，当z＝i时，z2＝－1<0，故D错误．
2．已知复数z1＝2－i，z2＝2i则( )
A．z2是纯虚数
B．z1－z2对应的点位于第二象限
C．|z1＋z2|＝3
D．|z1z2|＝2
【解析】选AD.利用复数的相关概念可判断A正确；对于B选项，z1－z2＝2－3i对应的点位于第四象限，故B错；对于C选项，z1＋z2＝2＋i，则|z1＋z2|＝＝，故C错；对于D选项，z1·z2＝(2－i)·2i＝2＋4i，则|z1z2|＝＝2，故D正确．
3．(2021·连云港高二检测)已知i为虚数单位，下列说法正确的是( )
A．若x，y∈R，且x＋yi＝1＋i，则x＝y＝1
B．任意两个虚数都不能比较大小
C．若复数z1，z2满足z＋z＝0，则z1＝z2＝0
D．－i的平方等于1
【解析】选AB.对于选项A，因为x，y∈R，且x＋yi＝1＋i，根据复数相等的性质，则x＝y＝1，故正确；对于选项B，因为虚数不能比较大小，故正确；对于选项C，因为若复数z1＝i，z2＝1满足z＋z＝0，则z1≠z2≠0，故不正确；对于选项D，因为复数(－i)2＝－1，故不正确．
4．已知复数z(1＋2i)＝5i，则下列结论正确的是( )
A．|z|＝
B．复数z在复平面内对应的点在第二象限
C．＝－2＋i
D．z2＝3＋4i
【解析】选AD.z＝＝＝i(1－2i)＝2＋i，＝2－i，|z|＝，z2＝3＋4i，复数z在复平面内对应的点在第一象限．
5．已知复数z＝(a－i)(3＋2i)(a∈R)的实部为－1，则下列说法正确的是( )
A．复数z的虚部为－5
B．复数z的共轭复数＝1－5i
C．|z|＝
D．z在复平面内对应的点位于第三象限
【解析】选ACD.z＝(a－i)(3＋2i)＝3a＋2ai－3i－2i2＝(3a＋2)＋(2a－3)i因为复数的实部是－1，所以3a＋2＝－1，解得a＝－1，所以z＝－1－5i，A.复数z的虚部是－5，正确；B.复数z的共轭复数＝－1＋5i，不正确；C.|z|＝＝，正确；D.z在复平面内对应的点是(－1，－5)，位于第三象限，正确．
二、双空题(每小题5分，共10分，其中第一空3分，第二空2分)
6．设m∈R，复数z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)，若z为实数，则m＝________；若z为纯虚数，则m＝________．
【解析】z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
若z为实数，则m2－3m＋2＝0，
解得m＝1或m＝2.
若z为纯虚数，则
解得m＝－.
答案：1或2 －
7．已知复数z1＝i，z2＝，则|z1＋z2|＝________，z1＋z＋…＋z＝________．
【解析】因为z2＝＝＝1＋i，z1＋z2＝i＋(1＋i)＝1＋2i，
所以|z1＋z2|＝＝；z1＋z＋…＋z＝i＋i2＋…＋i2 020，
根据iu＋iu＋1＋iu＋2＋iu＋3＝0得i＋i2＋…＋i2 020＝0.
答案： 0
三、解答题
8．(15分)(2021·上海高二检测)已知复数z1＝＋(a2－3)i，z2＝2－(3a＋1)i(a∈R，i是虚数单位).
(1)若z1－在复平面内对应的点落在第一象限，求实数a的取值范围；
(2)若虚数z1是实系数一元二次方程x2－6x＋m＝0的根，求实数m的值．
【解析】(1)由题意得，z1－＝＋(a2－3a－4)i，
因为z1－在复平面内对应的点落在第一象限，
所以，解得－2
(2)由题意得z1＋＝＝6，故a＝－1，
所以z1＝3－2i，＝3＋2i，
所以z1·＝13，即m＝13.
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3新题型专练(二)
(25分钟 50分)
一、多选题(每小题5分，共25分，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1．已知i为虚数单位，则下列选项中正确的是( )
A．复数z＝3＋4i的模|z|＝5
B．若复数z＝3＋4i，则(即复数z的共轭复数)在复平面内对应的点在第四象限
C．若复数(m2＋3m－4)＋(m2－2m－24)i是纯虚数，则m＝1或m＝－4
D．对任意的复数z，都有z2≥0
2．已知复数z1＝2－i，z2＝2i则( )
A．z2是纯虚数
B．z1－z2对应的点位于第二象限
C．|z1＋z2|＝3
D．|z1z2|＝2
3．(2021·连云港高二检测)已知i为虚数单位，下列说法正确的是( )
A．若x，y∈R，且x＋yi＝1＋i，则x＝y＝1
B．任意两个虚数都不能比较大小
C．若复数z1，z2满足z＋z＝0，则z1＝z2＝0
D．－i的平方等于1
4．已知复数z(1＋2i)＝5i，则下列结论正确的是( )
A．|z|＝
B．复数z在复平面内对应的点在第二象限
C．＝－2＋i
D．z2＝3＋4i
5．已知复数z＝(a－i)(3＋2i)(a∈R)的实部为－1，则下列说法正确的是( )
A．复数z的虚部为－5
B．复数z的共轭复数＝1－5i
C．|z|＝
D．z在复平面内对应的点位于第三象限
二、双空题(每小题5分，共10分，其中第一空3分，第二空2分)
6．设m∈R，复数z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)，若z为实数，则m＝________；若z为纯虚数，则m＝________．
7．已知复数z1＝i，z2＝，则|z1＋z2|＝________，z1＋z＋…＋z＝________．
三、解答题
8．(15分)(2021·上海高二检测)已知复数z1＝＋(a2－3)i，z2＝2－(3a＋1)i(a∈R，i是虚数单位).
(1)若z1－在复平面内对应的点落在第一象限，求实数a的取值范围；
(2)若虚数z1是实系数一元二次方程x2－6x＋m＝0的根，求实数m的值．
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