阶段过关练(五)
(45分钟 90分)
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，那么第999次出现正面朝上的概率是( )
A． B． C． D．
【解析】选D.抛掷一枚硬币，有正面朝上和反面朝上两种可能，概率均为，与第几次抛掷无关．
2．一部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册的排放次序共有多少种( )
A．3 B．4 C．6 D．12
【解析】选C.用1，2，3分别表示这三册小说，排序有(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)共6种．
3．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
A． B． C． D．
【解析】选B.所求概率为p＝×＋×＝或p＝1－×－×＝.
4．如果从不包括大、小王的一堆扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心牌(事件A)的概率为，取到方片牌(事件B)的概率是，则取到红色牌(事件C)的概率和取到黑色牌(事件D)的概率分别是( )
A．， B．， C．， D．，
【解析】选A.因为C＝A＋B，且A，B不会同时发生，即A，B是互斥事件，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.又C，D是互斥事件，且C＋D是必然事件，所以C，D互为对立事件，则P(D)＝1－P(C)＝1－＝.
5．一个骰子连续投2次，点数和为i(i＝2，3，…，12)的概率记作Pi，则Pi的最大值是( )
A． B． C． D．
【解析】选B.样本点是：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)；
(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)；
(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)；
(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)；
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)；
(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，
共有36个．其中两数之和等于7的有6个，两数之和等于其余数字的都少于6个，故P7＝＝最大．
6．若“A＋B”发生(A，B中至少有一个发生)的概率为0.6，则，同时发生的概率为( )
A．0.6 B．0.36 C．0.24 D．0.4
【解析】选D.“A＋B”发生指A，B中至少有一个发生，它的对立事件为A，B都不发生，即，同时发生．
7．一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为( )
A． B． C． D．
【解析】选A.任意敲击0到9这十个数字键两次，得到的所有结果为(0，i)(i＝0，1，2，…，9)；(1，i)(i＝0，1，2，…，9)；(2，i)(i＝0，1，2，…，9)；…；(9，i)(i＝0，1，2，…，9).故共有100种结果．两个数字都是3的倍数的结果有(3，3)，(3，6)，(3，9)，(6，3)，(6，6)，(6，9)，(9，3)，(9，6)，(9，9).共有9种．故所求概率为.
8．排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都为，前2局中乙队以2∶0领先，则最后乙队获胜的概率是( )
A． B． C． D．
【解析】选B.最后乙队获胜事件含3种情况：①第三局乙胜；②第三局甲胜，第四局乙胜；③第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜．故最后乙队获胜的概率P＝＋×＋×＝.
二、填空题(每小题5分，共20分)
9．一个射手进行射击，记事件E1：“脱靶”，E2：“中靶”，E3：“中靶环数大于4”，E4：“中靶环数不小于5”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件共有________对．
【解析】E1与E3，E1与E4均为互斥而不对立的事件．
答案：2
10．甲袋中有8个白球、4个红球，乙袋中有6个白球、6个红球，从每袋中任取一球，则取到相同颜色的球的概率是________．
【解析】由题意知P＝×＋×＝.
答案：
11．在10支铅笔中，有8支正品和2支次品，从中不放回地任取2支，至少取得1支次品的概率是________．
【解析】“至少取到1支次品”的对立事件为“取到的2支铅笔均为正品”，所以所求事件的概率为1－＝.
答案：
12．将号码分别为1，2，…，9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个球．其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b，则使不等式a－2b＋10＞0成立的事件发生的概率等于________．
【解析】甲、乙两人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故样本点为(1，1)，(1，2)，(1，3)，…，(9，7)，(9，8)，(9，9)，共81个．由不等式a－2b＋10＞0得2b＜a＋10，于是，当b＝1，2，3，4，5时，每种情形a可取1，2，…，9中每个值，使不等式成立，则共有45种；当b＝6时，a可取3，4，…，9中每个值，有7种；当b＝7时，a可取5，6，7，8，9中每个值，有5种；当b＝8时，a可取7，8，9中每一个值，有3种；当b＝9时，a只能取9，有1种．于是，所求事件的概率为＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共30分)
13．某校参加夏令营的同学有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其所属年级情况如表：
高一年级 高二年级 高三年级
男同学 A B C
女同学 X Y Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)
(1)用表中字母写这个试验的样本空间；
(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，写出事件M的样本点，并求事件M发生的概率．
【解析】(1)样本空间为{AB，AC，AX，AY，AZ，BC，BX，BY，BZ，CX，CY，CZ，XY，XZ，YZ}．
(2)事件M的样本点为AY，AZ，BX，BZ，CX，CY，共6种可能情况．
因此，事件M发生的概率P(M)＝＝.
14．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时的免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率．
【解析】由题意得，甲、乙在三小足1小时的部分按1小时计算)，有甲、乙两人相互独立时以上且不超过四小时还车的概率分别为，.
设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P(A)＝×＋×＋×＝.
即甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.
15．某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 28 17 34 21
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？
【解析】(1)由表格可得，甲分厂加工出来的一件产品为A级品的频数为40，故频率为＝0.4，
乙分厂加工出来的一件产品为A级品的频数为28，故频率为＝0.28，故甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率估计值分别是0.4，0.28；
(2)由表格可知甲分厂加工四个等级的频率分别为0.4，0.2，0.2，0.2，故其平均利润为
(90－25)×0.4＋(50－25)×0.2＋(20－25)×0.2＋(－50－25)×0.2＝15(元)；
同理乙分厂加工四个等级的频率分别为0.28，0.17，0.34，0.21，故其平均利润为(90－20)×0.28＋(50－20)×0.17＋(20－20)×0.34＋(－50－20)×0.21＝10(元)；
因为15>10，所以选择甲分厂承接更好．
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5阶段过关练(五)
(45分钟 90分)
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，那么第999次出现正面朝上的概率是( )
A． B． C． D．
2．一部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册的排放次序共有多少种( )
A．3 B．4 C．6 D．12
3．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
A． B． C． D．
4．如果从不包括大、小王的一堆扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心牌(事件A)的概率为，取到方片牌(事件B)的概率是，则取到红色牌(事件C)的概率和取到黑色牌(事件D)的概率分别是( )
A．， B．， C．， D．，
5．一个骰子连续投2次，点数和为i(i＝2，3，…，12)的概率记作Pi，则Pi的最大值是( )
A． B． C． D．
6．若“A＋B”发生(A，B中至少有一个发生)的概率为0.6，则，同时发生的概率为( )
A．0.6 B．0.36 C．0.24 D．0.4
7．一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为( )
A． B． C． D．
8．排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都为，前2局中乙队以2∶0领先，则最后乙队获胜的概率是( )
A． B． C． D．
二、填空题(每小题5分，共20分)
9．一个射手进行射击，记事件E1：“脱靶”，E2：“中靶”，E3：“中靶环数大于4”，E4：“中靶环数不小于5”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件共有________对．
10．甲袋中有8个白球、4个红球，乙袋中有6个白球、6个红球，从每袋中任取一球，则取到相同颜色的球的概率是________．
11．在10支铅笔中，有8支正品和2支次品，从中不放回地任取2支，至少取得1支次品的概率是________．
12．将号码分别为1，2，…，9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个球．其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b，则使不等式a－2b＋10＞0成立的事件发生的概率等于________．
三、解答题(每小题10分，共30分)
13．某校参加夏令营的同学有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其所属年级情况如表：
高一年级 高二年级 高三年级
男同学 A B C
女同学 X Y Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)
(1)用表中字母写这个试验的样本空间；
(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，写出事件M的样本点，并求事件M发生的概率．
14．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时的免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率．
15．某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 28 17 34 21
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？
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5新题型专练(五)
(25分钟 50分)
一、多选题(每小题5分，共25分，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1．“今天南京的降雨概率是90%，广州的降雨概率是10%”，下列说法正确的是( )
A．南京今天一定降雨，而广州一定不降雨
B．广州今天可能降雨，而南京可能没有降雨
C．今天南京和广州都可能没降雨
D．今天南京降雨的可能性比广州大
【解析】选BCD.概率表示某个随机事件发生的可能性大小，因此BCD正确，A错误．
2．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是( )
A．2个球都是红球的概率为
B．2个球不都是红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为
D．2个球中恰有1个红球的概率为
【解析】选ACD.设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A1，“从乙袋中摸出一个红球”为事件A2，
则P(A1)＝，P(A2)＝，且A1，A2独立；在A中，2个球都是红球为A1A2，其概率为×＝，A正确；在B中，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为，B错误；
在C中，2个球中至少有1个红球的概率为1－P()P()＝1－×＝，C正确；2个球中恰有1个红球的概率为×＋×＝，D正确．
3．不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有( )
A．2张卡片都不是红色
B．2张卡片恰有一张红色
C．2张卡片至少有一张红色
D．2张卡片都为绿色
【解析】选ABD.6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有： “2张都为红色”、“2张都为绿色”、“2张都为蓝色”、“1张为红色1张为绿色”、“1张为红色1张为蓝色”、“1张为绿色1张为蓝色”，选项中给出的四个事件中与“2张都为红色”互斥而非对立“2张都不是红色”“2张恰有一张红色”“2张都为绿色”，其中“2张至少一张为红色”包含事件是“2张都为红色”二者并非互斥．
4．中国篮球职业联赛(CBA)中，某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如表：
投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数
100 55 18
记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是( )
A．P(A)＝0.55 B．P(B)＝0.18
C．P(C)＝0.27 D．P(B＋C)＝0.55
【解析】选ABC.记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，由古典概型概率公式计算得P(A)＝＝0.55，故A正确；P(B)＝＝0.18，故B正确；P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.55－0.18＝0.27，故C正确；P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.27＝0.45，故D错误．
5．甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以A1，A2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是( )
A．P(B)＝
B．事件B与事件A1相互独立
C．事件B与事件A2相互独立
D．A1，A2互斥
【解析】选AD.根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数
因此P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(B)＝＝，A正确；又P(A1B)＝，因此P(A1B)≠P(A1)P(B)，B错误；同理，C错误；A1，A2不可能同时发生，故彼此互斥，故D正确．
二、双空题(每小题5分，共15分，其中第一空3分，第二空2分)
6．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没有击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}．其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．
【解析】事件“两次都击中飞机”发生，则A与D都发生．
事件“恰有一次击中飞机”发生，则C与D都发生．
A与B，A与C，B与C，B与D都不可能同时发生，B与D中必有一个发生．
答案：A与B，A与C，C与B，B与D B与D
7．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是0.05和0.03，则抽检一件是次品的概率为________；抽检一件是甲级品的概率为________．
【解析】记抽检的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而抽检一件是次品的概率P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.08，抽检一件是甲级品的概率为P(A)＝1－P(B∪C)＝0.92.
答案：0.08 0.92
8．在一次数学考试中，第22题和第23题为选做题，规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为.则其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率为________；甲、乙2名学生都选做第22题的概率为________．
【解析】设事件A表示“甲选做第22题”，事件B表示“乙选做第22题”，则甲，乙2名学生选做同一道题的事件为“AB＋ ”，且事件A，B相互独立，
所以P(AB＋ )＝P(A)P(B)＋P()P()＝×＋×＝.
所以甲、乙两名学生选做同一道题的概率为；
因为P(A)P(B)＝×＝，
所以甲、乙两名学生都选做第22题的概率为.
答案：
三、解答题
9．(10分)某学校为了解高一新生的体质健康状况，对学生的体质进行了测试. 现从男、女生中各随机抽取20人，把他们的测试数据，按照《国家学生体质健康标准》整理如表. 规定：数据≥60，体质健康为合格．
等级 数据范围 男生人数 男生平均分 女生人数 女生平均分
优秀 [90,100] 91.3 2 91
良好 [80,89] 4 83.9 4 84.1
及格 [60,79] 8 70 70.2
不及格 60以下 3 49.6 3 49.1
已知表格中有两处受到污损．
(1)从样本中随机选取一名学生，求这名学生体质健康合格的概率；
(2)从男生样本和女生样本中各随机选取一人，求恰有一人的体质健康等级优秀的概率．
【解析】由题意得，男生优秀人数为20－4－8－3＝5人；女生及格人数为20－2－4－3＝11人．
(1)样本中合格的学生数为：5＋2＋4＋4＋8＋11＝34，样本总数为：20＋20＝40，这名学生体质健康合格的概率为＝.
(2)设事件A＝“从男生样本中随机选出的人的体质健康等级是优秀”，P(A)＝＝.事件B＝“从女生样本中随机选出的人的体质健康等级是优秀”， P(B)＝＝.
因为A，B为独立事件，故所求概率为P(A ＋B)＝P(A )＋P(B)＝P(A)[1－P(B)]＋(1－P(A))P(B)＝×＋×＝.
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4新题型专练(五)
(25分钟 50分)
一、多选题(每小题5分，共25分，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1．“今天南京的降雨概率是90%，广州的降雨概率是10%”，下列说法正确的是( )
A．南京今天一定降雨，而广州一定不降雨
B．广州今天可能降雨，而南京可能没有降雨
C．今天南京和广州都可能没降雨
D．今天南京降雨的可能性比广州大
2．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是( )
A．2个球都是红球的概率为
B．2个球不都是红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为
D．2个球中恰有1个红球的概率为
3．不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有( )
A．2张卡片都不是红色
B．2张卡片恰有一张红色
C．2张卡片至少有一张红色
D．2张卡片都为绿色
4．中国篮球职业联赛(CBA)中，某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如表：
投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数
100 55 18
记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是( )
A．P(A)＝0.55 B．P(B)＝0.18
C．P(C)＝0.27 D．P(B＋C)＝0.55
5．甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以A1，A2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是( )
A．P(B)＝
B．事件B与事件A1相互独立
C．事件B与事件A2相互独立
D．A1，A2互斥
二、双空题(每小题5分，共15分，其中第一空3分，第二空2分)
6．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没有击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}．其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．
7．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是0.05和0.03，则抽检一件是次品的概率为________；抽检一件是甲级品的概率为________．
8．在一次数学考试中，第22题和第23题为选做题，规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为.则其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率为________；甲、乙2名学生都选做第22题的概率为________．
三、解答题
9．(10分)某学校为了解高一新生的体质健康状况，对学生的体质进行了测试. 现从男、女生中各随机抽取20人，把他们的测试数据，按照《国家学生体质健康标准》整理如表. 规定：数据≥60，体质健康为合格．
等级 数据范围 男生人数 男生平均分 女生人数 女生平均分
优秀 [90,100] 91.3 2 91
良好 [80,89] 4 83.9 4 84.1
及格 [60,79] 8 70 70.2
不及格 60以下 3 49.6 3 49.1
已知表格中有两处受到污损．
(1)从样本中随机选取一名学生，求这名学生体质健康合格的概率；
(2)从男生样本和女生样本中各随机选取一人，求恰有一人的体质健康等级优秀的概率．
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