7.3万有引力理论的成就 同步练习（Word版含解析）

人教版必修第二册 7.3 万有引力理论的成就
一、单选题
1．百余年前，爱因斯坦广义相对论率先对黑洞作出预言。时至今日，全球多地天文学家同步公布了人类首张黑洞照片。若某小型黑洞的半径R约45km，质量M和半径R的关系满足（其中c为真空中的光速，G为引力常量），则该黑洞表面重力加速度的数量级为（　　）
A． B． C． D．
2．为了备战东京奥运会，我国羽毛球运动员进行了如图所示的原地纵跳摸高训练。某运动员能向上竖直跳起的最大高度是2.9m，将竖直跳起摸高运动视为竖直上抛运动，忽略星球的自转影响。已知火星的半径是地球半径的，质量是地球质量的，该运动员以与在地球上相同的初速度在火星上起跳后，能达到的最大高度约为（　　）
A．5.5m B．6m C．6.5m D．7m
3．2021年10月16日神舟十三号飞船顺利将3名航天员送入太空，并与天和核心舱对接。已知核心舱绕地球运行近似为匀速圆周运动，离地面距离约为390km，地球半径约为6400km，地球表面的重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（　　）
A．核心舱的向心加速度小于g
B．核心舱运行速度大于7.9km/s
C．由题干条件可以求出地球的质量
D．考虑到稀薄大气的阻力，无动力补充，核心舱的速度会越来越小
4．地球表面的重力加速度为g，地球的半径为R，引力常量为G，可以估算出地球的平均密度为（　　）
A． B． C． D．
5．地球的半径为R，地球表面物体所受的重力为，近似等于物体所受的万有引力。关于同一物体在下列位置所受万有引力大小的说法中，正确的是（　　）
A．离地面高度R处为 B．离地面高度R处为
C．离地面高度处为 D．在地心处为无穷大
6．2021年5月22日10时40分，随着火星探测器“祝融”号的成功登陆，我国成为世界上第二个登陆火星的国家。祝融号质量约，高，设计寿命约92天，静置时其在火星对火星表面的压力约。下列相关说法正确的是（　　）
A．、、是国际单位制中的基本单位
B．“2021年5月22日10时40分”指的是时间
C．祝融号对火星的压力与火星对祝融号的支持力是一对平衡力
D．祝融号在火星上受到火星的引力比其在地球上受到的地球引力小
7．2019年1月3日“嫦娥四号”在月球背面成功着陆，在人类历史上首次实现了航天器在月球背面软着陆和巡视勘测。假定测得月球表面的自由落体加速度g，已知月球半径R和月球绕地球运转周期T，引力常量为G，根据万有引力定律，就可以“称量”出月球质量了(忽略月球自转影响)。月球质量为（ ）
A． B． C． D．
8．宇航员在地球表面以一定的初速度竖直上抛一小球，小球经过时间落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上拋同一小球，小球需经过时间落回原处。已知该星球的半径与地球的半径之比为，空气阻力不计，则该星球与地球的质量之比是（ ）
A． B． C． D．
9．已知地球半径为R，地球质量为m，太阳与地球中心间距为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为T，则太阳的质量为（　　）
A． B．
C． D．
10．最近美国宇航局公布了开普勒探测器最新发现的一个奇特的行星系统，命名为“开普勒-11行星系统”，该系统拥有6颗由岩石和气体构成的行星围绕一颗叫做“kepler-11”的类太阳恒星运行。经观测，其中被称为“kepler-11b”的行星与“kepler-11”之间的距离是地日距离的，“kepler-11”的质量是太阳质量的k倍，则“kepler-11b”的公转周期和地球公转周期的比值是（　　）
A． B． C． D．
11．2021年5月15日，中国首次火星探测任务着陆火星取得圆满成功。如果着陆器着陆前近火星做匀速圆周运动绕行的周期约为101分钟，已知地球的平均密度约为，地球近地卫星的周期约为85分钟，则火星的平均密度约为（　　）
A． B．
C． D．
12．如图所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2R（R为地球半径）。下列说法中正确的是（　　）
A．a、b的线速度大小之比是 ∶1
B．a、b的周期之比是1∶2
C．a、b的角速度大小之比是3∶4
D．a、b的向心加速度大小之比是9∶2
13．2020年12月1日，嫦娥五号探测器着陆月球，持续约2天的月面工作，采集2千克左右的月球样品。嫦娥五号探测器在着陆之前先贴近月球表面做匀速圆周运动，测得探测器绕月运行周期为。已知引力常量为，由以上数据能求出的物理量是（　　）
A．地球的质量 B．月球的质量
C．月球表面的重力加速度 D．月球的密度
14．2020年11月17日，长征五号遥五运载火箭和嫦娥五号探测器在中国文昌航天发射场完成技术区总装测试工作后，垂直转运至发射区，计划于11月下旬择机实施发射。在未来的某一天，我国载人探月飞船“嫦娥x号”飞临月球，先在月球表面附近的圆轨道上绕月球做周期为T的匀速圆周运动，然后逐渐调整并安全登月。宇航员出舱后沿竖直方向做了一次跳跃，他腾空的高度为h，腾空时间为t。由此可计算出（　　）
A．月球的半径为
B．月球的质量为
C．月球的平均密度为
D．飞船在近月圆轨道上运行的线速度大小为
15．地球上，在赤道上的一物体A和在台州的一物体B随地球自转而做匀速圆周运动，如图，它们的线速度分别为、，角速度分别为、，重力加速度分别为、则（　　）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
二、填空题
16．某行星绕太阳运动可近似看作匀速圆周运动，已知行星运动的轨道半径为R，周期为T，万有引力恒量为G，则该行星的线速度v大小为________；太阳的质量M可表示为________。
17．半径分别为R和r的两个行星A和B，它们各有一颗靠近表面的卫星a和b，若这两颗卫星的周期相等，由此可知，行星A和B的密度___________（填“相等”、“不相等”或“无法确定”）；行星A和B表面的重力加速度之比为___________。（球体的体积公式）
18．有两颗人造地球卫星，质量之比是m1︰m2＝6︰1，轨道半径之比是r1︰r2＝2︰1，则它们的向心加速度之比是a1︰a2＝________，所受向心力之比F1︰F2＝_________．
三、解答题
19．地球为太阳系中由内及外的第三颗行星，已知地球可以看成是质量均匀的球体，半径为R，密度为ρ，太阳的质量为地球质量的n倍。地球绕太阳的运动可以近似看成是匀速圆周运动，运动的半径为L。已知引力常量为G，球体的体积公式为，求∶
（1）太阳与地球间的万有引力大小；
（2）地球绕太阳公转的周期。
20．某航天员在一个半径为R的星球表面做了如下实验：取一根细线穿过光滑的细直管，细线一端拴一质量为m的砝码，另一端连在一固定的测力计上，手握直管抡动砝码，使它在水平面内做圆周运动，停止抡动细直管并保持细直管竖直。砝码继续在一水平面绕圆心O做匀速圆周运动，如图所示，此时测力计的示数为F，细直管下端和砝码之间的细线长度为L且与竖直方向的夹角为θ。
（1）求该星球表面重力加速度g的大小；
（2）求砝码在水平面内绕圆心O做匀速圆周运动时的线速度大小；
（3）若某卫星在距该星球表面h高处做匀速圆周运动，求该卫星的线速度。
21．航天员在一星球表面上的某高度处，沿水平方向抛出一个小球，经时间t，小球落到星球表面，测出抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速度增大到原来的2倍，则抛出点到落地点间的距离为L。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，引力常量为G。
(1)该星球发射卫星的最小发射速度
(2)该星球的质量M
22．已知“嫦娥一号”绕月飞行轨道近似为圆形，距月球表面高度为月球半径的，飞行周期为T，月球的半径为R，引力常量为G。求：月球的质量和密度。
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【详解】
由
可知黑洞表面的加速度
故选C。
2．C
【详解】
设地球表面的重力加速度是g，地球的半径为R，黄金代换式
GM=gR2
已知火星的半径是地球半径的，质量是地球质量的，则火星表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的，即g，运动员以初速度v0在地球起跳时，根据竖直上抛的运动规律得出运动员可跳起的最大高度
h=
由于火星表面的重力加速度是g，运动员以相同的初速度在火星上起跳时，可跳起的最大高度
h'=h≈6.5m
故选C。
3．A
【详解】
A．核心舱所处的重力加速度为，根据万有引力定律和牛顿第二定律
而在地面处
由于核心舱做匀速圆周运动，核心舱在该处的万有引力提供向心力，重力加速度等于向心加速度，因此向心加速度小于g，A正确；
B．根据
可知轨道半径越大，运行速度越小，在地面处的运行速度为7.9km/s，因此在该高度处的运行速度小于7.9km/s，B错误；
C．根据
从题干信息无法知道G的值，因此无法求出地球的质量，C错误；
D．考虑到稀薄大气的阻力，无动力补充，核心舱逐渐做近心运动，轨道半径逐渐减小，运行速度会越来越大，D错误。
故选A。
4．A
【详解】
地球表面重力等于万有引力
得
地球的体积为
联立解得
故选A。
5．C
【详解】
AB．由
可得
当h=R时，可求得
故AB错误；
C．当h=2R时，可求得
故C正确；
D．在地心处，万有引力为0，故D错误。
故选C。
6．D
【详解】
A．、是国际单位制中的基本单位，是导出单位，故A错误；
B．“2021年5月22日10时40分”指的是一个瞬间，为时刻，故B错误；
C．祝融号对火星的压力与火星对祝融号的支持力是一对作用力与反作用力，故C错误；
D．祝融号质量约，由于它在地球表面上受到的万有引力大小近似等于重力，可知约为；根据祝融号在火星表面静置时其对火星表面的压力约，可知它在火星表面上受到的重力约等于，也即祝融号在火星上受到火星的引力约为，所以祝融号在火星上受到火星的引力比其在地球上受到的地球引力小，故D正确。
故选D。
7．B
【详解】
AB．忽略月球自转影响，物体在月球表面受到的重力等于万有引力，有
mg=
得
M=
故A错误，B正确;
CD．已知月球绕地球运动的周期T，中心天体是地球，求不出月球的质量，故C、D错误。
故选B。
8．C
【详解】
根据匀变速直线运动规律可得
从竖直上抛到最高点，上升的时间是
上升和下降的时间相等，所以从上抛到落回原处的时间为
由于在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间4t，小球落回原处，根据匀变速直线运动规律可得
故星球表面附近的重力加速度为
根据万有引力等于重力可得
解得
所以有
ABD错误，C正确。
故选C。
9．B
【详解】
地球表面物体重力等于万有引力
得
①
地球围绕太阳做圆周运动万有引力提供向心力有
得
②
将①代入②得
B符合题意，ACD不符合题意。
故选B。
10．C
【详解】
对于日地系统，由
可得
对于“开普勒-11行星系统”， 由
且
解得
所以
故选 C。
11．A
【详解】
近地卫星万有引力提供向心力
其中
解得
常数
A正确，BCD错误。
故选A。
12．C
【详解】
根据
可得
A．由
得a、b的线速度大小之比是 ，故A错误；
B．由
得a、b的周期之比是 ，故B错误；
C．由
得a、b的角速度大小之比是3∶4，故C正确；
D．由
得a、b的向心加速度大小之比是9∶4，故D错误。
故选C。
13．D
【详解】
A．题干给出的是嫦娥五号绕月运动的相关信息，无法求得地球的质量，故A不符合题意；
BCD．设月球和探测器的质量分别为M、m，月球的半径为R，月球表面的重力加速度为g，由题意，根据牛顿第二定律有
月球的体积为
月球的密度为
联立以上三式解得
由于R未知，所以M和g均无法求出，故BC不符合题意，D符合题意。
故选D。
14．A
【详解】
A．由
，
解得
月球的半径为
故A正确；
B．由
，
解得
故B错误；
C．由
，
解得，月球的平均密度为
故C错误；
D．由
，，
得
故D错误。
故选A。
15．D
【详解】
地球上的点除两极外，相同时间内绕各自圆心转过角度相同，所以角速度相同
根据
可知，角速度相同时，做圆周运动的半径越大，线速度越大，则
地球上随纬度增加，重力加速度增大，赤道重力加速度最小，两极重力加速度最大，则
故ABC错误，D正确。
故选D。
16．
【详解】
[1]．根据圆周运动知识得：
[2]．研究行星绕太阳运动作匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式：
解得：
17． 相等
【详解】
[1]根据万有引力提供向心力
解得
由题知，这两颗卫星的周期相等，故行星A和B的密度相等。
[2]根据
解得
行星A和B表面的重力加速度之比为
18． 1:4 3:2
【详解】
卫星围绕地球做匀速圆周运动,万有引力提供圆周运动向心力有:
两颗人造地球卫星，质量之比是m1︰m2＝6︰1，轨道半径之比是r1︰r2＝2︰1所以两者的向心力之比为F1︰F2＝3:2
根据万有引力提供向心力可得：
两颗人造地球卫星，轨道半径之比是r1︰r2＝2︰1，所以向心加速度之比是a1︰a2＝1:4
点睛：人造地球卫星的向心力由万有引力提供,则由公式可得出各量的表达式,则可得出各量间的比值.
19．（1） ；（2）
【详解】
（1）地球的质量可表示为
太阳的质量M日=nM0，根据万有引力定律，地球与太阳间的万有引力的大小
解得
（2）地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有
解得
20．（1）；（2）；（3）
【详解】
（1）小球在水平面内做匀速圆周运动，合力的方向沿水平方向，所以
则
（2）由细线的拉力和重力的合力提供向心力，则得
解得
（3）在星球表面的物体有
又根据万有引力提供向心力得
联立解得
21．(1) ；(2)
【详解】
(1)(2)设该星球的重力加速度为，第一次抛出的水平位移为x，高度为h，则根据平抛规律可得
若抛出时的初速度增大到2倍，则水平位移为2x，则有
而在该星球表面上，有
解得，星球质量为
根据万有引力提供向心力有
解得最小的发射速度为
22．；
【详解】
设月球的质量为M，“嫦娥一号”的质量为m，根据万有引力定律和牛顿第二定律，对“嫦娥一号”绕月飞行有
解得月球的质量为
根据公式，可得月球的密度为
则有
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