苏科版八年级数学下册 12.1 二次根式 教案

12.1二次根式（1）
【教学目标】
1．根据算术平方根的意义了解二次根式的概念；知道被开方数和结果都是非负数的理由.
2．能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系.
3．经历探索性质（）2=a（a≥0）和=a（a≥0），并理解其意义；
4．会运用性质（）2=a（a≥0）和=a（a≥0）进行化简．
【教学过程】
一、创设情境，得出概念
问题1： 请同学们思考，如何用带有根号的式子表示下列问题中的数量．
（1）5的算术平方根是 ；
（2）面积为S的正方形的边长为 ；
（3）直角边长分别为a、b的直角三角形斜边的长等于 ；
（4）一个物体下落h（m）所需要的时间t（s）满足关系式，用含h的式子表示t，则t= ．
第（1）题， ；第（2）题， ；第（3）题， ；第（4）题， 。
问题2：请观察这四个式子，它们有什么共同特征？
都是形如的式子（板书：式子）。
我们知道表示5的算术平方根，那么表示什么？（齐答）呢？呢？（板书：算术平方根）对于“算术平方根”这个概念，我们并不陌生，同学们已经有了哪些认识？请你回忆一下。（小组互相说一说，学生口答“定义、表示法、性质”）（ 板书定义）表示a的算术平方根，正如同学们所说，在实数范围内，只有正数和0有算术平方根，负数没有算术平方根，所以，在中a必须满足什么条件？（板书：a≥0）
一般地，式子 （a≥0）叫做二次根式，a叫做被开方数. （板书：叫做二次根式，a叫做被开方数.）
从今天开始，我们共同研究二次根式。（板书：二次根式）
问题3：下列各式是二次根式吗
学生口答，投影仪出示结果．第（6）个，生口答后，师说明：要使式子有意义，必须满足x－2≥0，即x≥2．
练习：要使下列各式有意义，x应是怎样的实数？
学生独立完成，小组交流，投影仪展示正确解答．学生口答典型错误．
二、师生合作，探究性质
（一）性质1：具有非负性
问题1：我们知道要使形如的式子有意义，必须满足a≥0，那么结果的范围是什么？为什么？
学生口答，当a＞0时，＞0；当a=0时，=0，所以≥0，也就是说是非负数．这就是二次根式的第一条性质。（板书：性质1：（a≥0）是非负数.）
问题2：请同学们回忆一下，在我们研究过的数学概念中，还有哪些也具有非负性？
学生回忆，如，等．
练习：已知，则xy= ．
学生口答，投影仪出示结果．
（二）性质2：（）2=a（a≥0）
我们继续研究二次根式的性质。
问题1：填空，并说出得到结论的依据．
； ； ．
前两条学生口答，第三问独立思考后，小组议论，然后全班交流．
问题2：请观察这几个式子和结果，你有什么发现？能不能用字母表示你的发现．有没有需要纠正和补充的？（a的取值范围a≥0）．
问题3：你能说明（）2=a（a≥0）成立的理由．
学生根据算术平方根的意义“如果正数x满足x2=a，那么x是a的算术平方根，记作x=”，说明（）2=a（a≥0）成立的理由．
这样，我们根据算术平方根的意义得到二次根式的第二条性质。（板书：性质2：（）2=a（a≥0））
计算：
学生口答，投影仪出示结果．
（三）性质3：=
问题1：我们研究发现，当a≥0时，（ ）2=a。请看这个式子，它与一样吗？有哪些区别呢？
学生独立思考后，小组议论，然后全班交流：一是表示的意义不同（运算顺序不同），表示a的平方的算术平方根，表示a的算术平方根的平方；二是a的取值范围不同，中a可以取任意实数，中a≥0．
问题2：的结果是什么呢？请自己想办法研究．
师生活动：学生举例计算，并观察、归纳、发现结论，然后组内议论，全班交流．教师点拨：（1）你怎么想到分三种情况举例研究的？（既然中a可以取任意实数，那么在举例的时候就要分三种情况讨论）；（2）当a>0时，=a；当a=0时，=0；当a<0时，=－a；这个结果跟哪个知识是一致的？因此，=．（板书：性质3：=．）
问题3：说明=成立的理由．
师生活动：学生根据算术平方根的意义说明=成立的理由．“表示a2的算术平方根，求，就是想（哪个非负数）2= a2，因此当a>0时，=a；当a=0时，=0；当a<0时，=－a”．
计算：
学生独立完成，投影仪展示正确解答．学生口答典型错误．
思考：
式子成立的条件是 ．
三、课堂小结，拓展延伸
请你回顾本节课的学习过程，进行梳理：
（1）你对二次根式有了哪些认识？
（2）我们是怎样研究二次根式的性质的？
（3）回顾研究分式的过程，我们还将研究二次根式的哪些内容？
思考：
化简= ．
四、板书设计
12.1二次根式
(
式子
（
a
≥
0
）
叫做二次根式，
a
叫做
被开方数．
性质
1
：
（
a
≥
0
）是非负数
.
性质
2
：
（
）
2
=
a
（
a
≥
0
）
.
性质
3
：
=
．
（算术平方根的意义）
)