福建省三明一中、二中2013届高三上学期期末联考数学（文）试题

三明一中、二中2013届高三上学期期末联考数学（文）试题
（考试时间：2013年1月26日下午3：00-5：00 满分：150分）
参考公式：
锥体体积公式： 其中S为底面面积，h为高
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知i为虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2．设集合，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
3．“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4．执行右边的程序框图，输出S的值为（ ）
A. 14 B. 20 C. 30 D. 55
5.已知向量，向量，且，则实数x等于（ ）
A. 0 B. 4 C. -1 D. -4
6．若是等差数列的前n项和，则的值为（ ）
A．12 B．22 C．18 D．44
7. 函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
8．已知为两条不同直线，为两个不同平面，则下列命题中不正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
9．将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，再把所得图像向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24，则该几何体的底面积是（ ）
A. 6 B. 12 C. 18 D. 24
11．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且，垂足为A，若直线AF的斜率为，则|PF|等于（ ）
A. B.4 C. D.8
12．若对任意的，函数满足，且，则（ ）
A.0 B. 1 C.-2013 D.2013
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填写在答题卡的相应位置）
13．一组数据为15,17,14,10,15,17,17,14,16,12,设其平均数为m，中位数为n，众数为p，
则m，n，p的大小关系是_____________.
14．已知变量满足则的最小值是____________．
15．若双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率是____________．
16．设函数，观察：
……
依此类推，归纳推理可得当且时，．
三、解答题：（本大题共6小题，共74分.解答题应写出文字说明、证明过程、或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
已知数列的前n项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列是等比数列，公比为，且满足，求数列的前n项和．
18.（本小题满分12分）
设关于的一元二次方程.
（1）若，都是从集合中任取的数字，求方程有实根的概率；
（2）若是从区间[0,4]中任取的数字，是从区间[1，4]中任取的数字，求方程有实根的概率．
19.（本小题满分12分）
设函数
（1）写出函数的最小正周期及单调递减区间；
（2）当时，函数的最大值与最小值的和为，求不等式的解集．
20．（本小题满分12分）
如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面底面ABCD，且，若E，F分别为PC，BD的中点．
（1）求证：平面PAD；
（2）求证：平面PDC平面PAD；
（3）求四棱锥的体积．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆过点，且离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在过点的直线交椭圆于不同的两点M、N，且满足（其中点O为坐标原点），若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．
22．（本小题满分14分）
已知函数在处取得极小值2．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的极值；
（3）设函数，若对于任意，总存在，使得，求实数的取值范围．
普通高中2012-2013学年第一学期三明一、二中联合考试
高三数学(文)试题答案
又当时，，满足上式 ……4分
∴ ……5分
（2）由（1）可知，， ……7分
又
∴ ……8分
又数列是公比为正数等比数列
∴
又
∴ ……9分
∴ ……10分
∴数列的前n项和 ……12分
18、解：（1）设事件A=“方程有实根”，记为取到的一种组合，则所有的情况有：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4）
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4） ……2分
一共16种且每种情况被取到的可能性相同 ……3分
∵关于的一元二次方程有实根
∴ ……4分
∴事件A包含的基本事件有：
（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共10种…5分

∴方程有实根的概率是 ……6分
（2）设事件B=“方程有实根”，记为取到的一种组合
∵是从区间[0,4]中任取的数字，是从区间[1，4]中任取的数字
∴点所在区域是长为4,宽为3的矩形区域，如图所示：
又满足：的点的区域是如图所示的阴影部分
∴
∴方程有实根的概率是
（第（2）题评分标准说明：画图正确得3分，求概率3分，本小题6分）
19、解：（1） ……1分
……3分
……4分
令 ，
∴，
∴函数的递减区间为： ……6分
（2）由得：
……8分
……9分
∴
， ……11分
又
∴不等式的解集为 ……12分
20、解：（1）连接EF，AC
∵四棱锥中，底面ABCD是边长为a的正方形且点F为对角线BD的中点
∴对角线AC经过F点 ……1分
又在中，点E为PC的中点
∴EF为的中位线
∴ ……2分
又 ……3分
∴平面PAD ……4分
（2）∵底面ABCD是边长为a的正方形
∴ ……5分
又侧面底面ABCD，，侧面底面ABCD=AD
∴ ……7分
又
∴平面PDC平面PAD ……8分
（3）过点P作AD的垂线PG，垂足为点G
∵侧面底面ABCD，，侧面底面ABCD=AD
∴，即PG为四棱锥的高 ……9分
又且AD=a
∴ ……10分
∴ ……12分
21、解：（1）∵椭圆过点，且离心率
∴ ……2分
解得：, ……4分
∴椭圆的方程为： ……5分
（2）假设存在过点的直线交椭圆于不同的两点M、N，且满足． ……6分
若直线的斜率不存在，且直线过点，则直线即为y轴所在直线
∴直线与椭圆的两不同交点M、N就是椭圆短轴的端点
∴
∴
∴直线的斜率必存在，不妨设为k ……7分
∴可设直线的方程为：，即
联立 消y得
∵直线与椭圆相交于不同的两点M、N
∴ 得： …… ① ……8分
设
∴
∴ ……9分
又
∴
化简得
∴或，经检验均满足①式 ……10分
∴直线的方程为：或 ……11分
∴存在直线：或满足题意． ……12分
22、解：（1）∵函数在处取得极小值2
∴ ……1分
又
∴
由②式得m=0或n=1，但m=0显然不合题意
∴，代入①式得m=4
∴ ……2分
经检验，当时，函数在处取得极小值2 ……3分
∴函数的解析式为 ……4分
（2）∵函数的定义域为且由（1）有
令，解得： ……5分
∴当x变化时，的变化情况如下表： ……7分
x
-1
1
—
0
+
0
—
减
极小值-2
增
极大值2
减
∴当时，函数有极小值-2；当时，函数有极大值2 ……8分
（3）依题意只需即可．
∵函数在时，；在时，且
∴ 由（2）知函数的大致图象如图所示：
∴当时，函数有最小值-2 ……9分
又对任意，总存在，使得
∴当时，的最小值不大于-2 ……10分
又
①当时，的最小值为
∴得； ……11分
②当时，的最小值为
∴得； ……12分
③当时，的最小值为
∴得或
又∵
∴此时a不存在 ……13分
综上所述，a的取值范围是． ……14分