沪科版八年级下册 19.4 综合与实践 多边形的镶嵌 教案

19.4综合与实践 多边形的镶嵌
教学目标
1. 知识与技能：
（1）通过探索平面图形的镶嵌，使学生了解平面图形镶嵌的概念，了解任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面图形，并能运用这几种图形进行简单的平面图形镶嵌设计；
（2）培养学生观察、动手操作能力。
2. 过程与方法：
引导学生在图形镶嵌和拼图解题的过程中，通过观察、判断、归纳、总结并发现规律，并能用所发现的规律去解决一些实际问题，进一步发展学生的合情推理能力。
3. 情感、态度与价值观：
（1）让学生进一步体会平面图形在现实生活中的广泛应用；
（2）开发、培养学生的实践能力、创新意识和团结协作精神；
（3）让学生在活动中感受数学的美，进一步发展学生的审美情趣。
教材分析
“平面图形的镶嵌”是第19章四边形后面的课题学习,要求学生对多边形内角和其及图形的变换有较深的认识,会利用图形的变换进行平面图形的镶嵌设计,是第19章四边形的拓展与引申.
教学重点
探索多边形镶嵌的条件的过程以及多边形镶嵌的条件。
教学难点
寻找多边形镶嵌的条件,并如何运用镶嵌的条件解决问题。
教学过程
一、欣赏图案，引入课题概念
1、用多媒体展示一组美丽的平面图形镶嵌的图案，让学生欣赏(如图1).
提问学生这些图案有什么共同特征？让同学们分组讨论、交流.
共同特征：①这些图案是用一种或几种形状相同的图形组成的;
②这些图形不但是形状相同，而且大小也一样,也就是全等的图形;
③这些图形与图形之间没有缝隙，也没有重叠。
2、引入本课课题及“多边形的镶嵌”的概念
归纳:这些图案是“用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此间不留空隙、不重叠地铺成一片”，这就是数学上“平面图形的镶嵌”，又称做“平面图形的密铺”。这节课，我们一起来进行课题学习“多边形的镶嵌”。
多媒体投影本课课题及“多边形的镶嵌”的概念:
用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此间不留空隙、不重叠地铺成一片，这叫做平面图形的镶嵌，或平面图形的密铺.
3、 让学生举出一些生活中身边的镶嵌图案
在我们生活中，有许多图案是“平面图形的镶嵌”。不知同学们是否曾留意过身边的一些镶嵌图案？你能举出你身边的镶嵌图案吗？让同学们议论.
如:家里的地板图案,,人行道上地砖铺成的图案,一些房间里墙纸上的花纹图案, ……
二、合作探究
探究一 仅用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面区域？
1、用正三角形、正方形、正六边形硬纸片模拟铺地面砖
近年来，随着社会经济的不断发展，人民生活水平的不断提高，往房条件越来越好.用室内装饰的事例导入。
请两位同学在黑板上分别用正方形、正六边形硬纸片和双面胶拼接图形,彼此间不留空隙、不重叠地铺成一片（如图2）,其他同学分组同步拼接, 老师在一旁指导.
我们常见到正方形、正六边形的铺地材料，为什么用这种形状能铺成平整、无空隙的地板呢？
让学生想一想下列问题, 分组讨论、交流, 探索多边形镶嵌的条件
（1）观察图3, 全等的正六边形能密铺.正六边形的每个内角是多少度 在一个顶点处的三个正六边形,分别有一个内角,它们彼此相邻,这三个内角的和是多少度 正三角形、正方形呢
让学生讨论得出:
因为正六边形的每一个内角是1200，在每一个顶点处有3个正六边形, 分别有一个内角,它们彼此相邻,这三个内角的和是360°。
如图4,正三角形、正方形密铺也满足以拼接点为顶点的各角之和为360o。
（2）从第① 题看出,如果一种平面图形能密铺,那么这种图形的若干个内角的和是多少度 让学生讨论得出:
如果一种平面图形能密铺,那么这种图形的若干个内角的和是360°.
（3）正五边形的每个内角是多少度 它的若干个内角的和能等于360o吗 想一想,全等的正五边形能密铺吗
让学生讨论得出:
不能。因为正五边形的每一个内角是1080，不存在正整数，使成立，所以只用正五边形不能进行密铺。(如图5)
由上得出多边形镶嵌的条件:
以拼接点为顶点的各角之和为360度
探究（二）
用两种正多边形镶嵌，哪些能镶嵌成一个平面区域
1、我们知道，任意四边形的内角和为度，全等的四边形对应边相等，根据这个道理，把一批形状、大小完全相同（即全等），但不规则的四边形边用来铺地板，按照图6那样拼接四边形，就可以不留空隙，铺成一大片（演示图6拼法）。
2、让学生用彩色纸剪成一些全等的不规则的四边形，然后模拟铺地板（模拟招标选用技术好的工程队施工的事例，培养学生的竞争意识、实践应用能力和交往协作能力）。
用胶水贴在硬纸板上，要求颜色相间、边与边稍留缝隙，做到平整、美观,在规定时间内，贴一块计一分，不平整（有空隙或重叠）非不规则四边形不计分，不美观适当扣分，事后评选出小组一、二、三名.
3、请将两个大小和形状完全相同的四边形剪开，然后拼成一个平行四边形.（提示后学生动手剪拼）
由于所给的两个四边形的对应边相等，四个内角的和刚好为360°，这就有可能拼成一个平行四边形，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以如图7所示将分得的
探究（三）仅用同一种形状、大小完全相同的多边形能进行平面镶嵌吗？
1、 上面我们讨论的一般三角形和四边形都可以平面镶嵌，因为三角形的内角和是180°，四边形内角和是360°它们的内角和是整数倍都是360°，那么其它的一般多边形能进行镶嵌吗？
例如：在五边形中，内角和540°，已经超过360°，即每一个内角拼接在一起时有重叠部分，不符合平面镶嵌的含义。当边数越大时，内角和也越大，更不符合要求，因此边数大于4的一般多边形不可以平面镶嵌。
2、
三、课堂小节,巩固镶嵌知识
提问学生：想一想，学习了这节课后，你了解了哪些知识？明白了哪些道理？有什么感受和收获？
… …
四、课后作业
1. 动手操作：用一些全等的三角形边脚余料，铺成无空隙的地板.
2. 用纸剪一些边长相同的正八边形和正方形,铺在桌面上,能否密铺
3. 我们常见到如图9那样图案的地面，它们分别是全用正方形和全用正六边形形状的材料铺成的，这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地面.现在，问：
（1） 像上面那样铺地面，能否全用正五边形的材料，为什么？
（1） 你能不能另外想出一个用一种多边形（不一定是正多边形）的材料铺地的方案？把你想到的方案画成草图.
（1） 请你再画出一个用两种不同的正多边形材料铺地的草图.
（安徽中考题）
教学反思
1、在动手操作中导入新课
课的导入设计得妙，就能使学生引起“疑”.疑则思，就能激发学生的求知欲望、学习兴趣和愉悦的学习情感.如“三角形的内切圆”导入：我先把一些三角形边脚余料（全等的不等边三角形纸片）发给每个同学，要求裁下一块圆形的用料，即在上面画一个面积尽可能大的圆，然后剪下这个圆，比较哪位同学的圆最大，怎样才能使圆的面积最大而导入新课.这样通过学生动手操作，可以集中学生的注意力，启发他们的学习动机，使学生听课能抓住重点，产生强烈的求知欲望.
2、在动手操作中讲授新课
让学生动手操作，把抽象的理论直观化，这不仅能丰富学生的感性认识，而且能使学生在观察、动手操作的过程中，加深对理论的理解.
例如在讲“等腰三角形的性质”时，我就让学生都在纸上用尺规画一个等腰三角形.先用量角器量两底角的大小，比较得出：等腰三角形两底角相等，再请大家用剪刀剪下这个三角形然后对折，同样发现：等腰三角形两底角相等，最后通过折叠后的折痕的提示，启发学生证明这个结论.
又如在讲“三角形三条边的关系”时，我要求学生课前准备好长度分别为15cm、22cm、10cm、10cm、10cm的五根木条，从中任取三根首尾顺次相接，拼凑成三角形，并对下列问题相互展开讨论：（1）任意的三根木条是否能拼成一个三角形？（2）哪样的三根木条能拼成一个三角形？哪样的不能？（3）各个三角形的3条边边长之间有什么特点？（4）各三角形中任意两边的长度和与第3边的长度之间有何关系？
这样，通过学生的实践活动，让他们展开讨论、探索发现，得出结论，自己去获取知识，是培养学生能力，开发学生智力的主渠道，也是实现教学目标的重要途径.
3. 在动手操作中复习巩固和应用
数学实践，不仅有利于学生复习巩固所学知识，提高分析问题、解决问题的能力，而且能培养教学应用意识和应用能力、创新意识和创造能力，如“平面图形的镶嵌”中的实践活动不仅复习巩固了四边形、多边形的内角和，平行四边形和等边三角形的判定等数学知识，还从模拟铺地板的分组竞赛中培养了学生的应用意识和协作能力，培养了竞争意识和进行美育教育.从剪拼平行四边形和割拼证题中培养了学生的创新意识和创造能力.
这样，让学生动手操作，可以激发学生的学习兴趣，熟练掌握所学数学知识，培养了学生的实践能力.
教学实践证明，在课程标准允许的范围内，要大量渗透数学实践的材料，以培养学生的创新意识和实践能力，这也是在数学课堂教学中实施素质教育的重要手段.为此，精心设计好一堂课的动手材料最为关键，教学中让学生动手操作，对活跃课堂气氛，启迪学生思维，培养学生能力，提高教学质量有着十分重要的作用.