沪科版八年级下册 19.4 综合与实践 平面镶嵌 教案

第十一章 数学活动
平面镶嵌
内容和内容解析
内容
多边形的平面镶嵌.
内容解析
本节数学活动是在学习了多边形及其内角和的基础上展开的，通过活动探究引导学生发现多边形平面镶嵌的条件，并运用于探究活动。它体现了多边形及其内角和知识在实际生活中的应用.
本节教材从生活中存在的平面镶嵌图案入手，引出平面镶嵌的概念，然后探究了三个问题：
一是一种正多边形的镶嵌问题，引导学生通过动手操作、观察，发现规律：公共顶点处各角的和为3600，然后分析得到只有正三角形、正方形和正六边形能单独镶嵌；
二是边长相同的两种正多边形的镶嵌问题，学生动手操作得到正三角形与正方形镶嵌后，引导学生运用规律：公共顶点处各角的和为3600，借助方程思想探究两种正多边形平面镶嵌的问题；
三是形状、大小相同的任意三角形、四边形的镶嵌问题，学生动手镶嵌后，引导学生依据三角形、四边形的内角和阐述能够镶嵌的原理.
本节课的学习，通过让学生动手操作，经历从生活经验抽象出数学问题，综合应用已有知识解决问题的过程。从而加深对相关知识的理解，并培养动手能力、归纳能力，以及理论与实践相结合的能力.
基于以上分析，确定本节的教学重点：通过动手操作发现并运用平面镶嵌的规律解决问题.
目标和目标解析
目标
理解平面镶嵌的定义.
掌握多边形平面镶嵌的条件；体会从特殊到一般，从简单到复杂的研究问题的方法.
在数学活动中培养动手操作、合作探究、归纳总结的能力，积累数学活动的基本经验.
目标解析
达成目标（1）的标志：学生能辨别平面镶嵌，会用多边形进行平面镶嵌.
达成目标（2）的标志：学生能运用多边形平面镶嵌的条件，探究正多边形以及形状、大小相同的任意三角形、四边形的镶嵌问题；能理解特殊问题的结论并运用到一般问题中去.
达成目标(3)的标志：学生在小组活动中积极动手操作，敢于发表自己的想法，并能积极合作归纳出规律。积累了数学活动的基本经验：提出问题→动手实践→寻求规律→归纳总结.
教学问题诊断分析
八年级学生思维活跃，求知欲强，对于新学年的第一次活动课兴趣高昂。但对于平面镶嵌的认识来源于生活实际中的感性认识，对其内在规律关注不够。因而在本节教学中教师应通过创设情境，组织学生动手活动，在活动中与学生共同探究加深对平面镶嵌的认识，发现其内在规律，将感性认识上升为理性认识.
本节课的教学难点：运用平面镶嵌的条件探究两种正多边形以及形状、大小相同的任意三角形、四边形的镶嵌问题.
教学支持条件分析
本节教学目标的实现，需要课前准备卡纸制作的不同颜色的正三角形、正方形、正五边形、正六边形和形状、大小相同的任意三角形、四边形进行平面镶嵌。为了便于小组合作与展示，还需要小黑板与不同颜色的磁钉.
教学过程设计
了解平面镶嵌的有关概念
教师引入本节课内容：同学们，我们先来欣赏一组图片（图1）.这些是生活中常见的地面、墙面，这是蜜蜂的巢穴，这些都是著名艺术家的作品.
图1
问题1 （1）你能发现它们有什么共同点呢？
（2）你们想不想拼接出这么美丽的图案呢？
师生活动：学生仔细欣赏图片.教师引导学生发现都是由相同的图案拼接出来的,然后通过设问引入课题，再给出平面镶嵌在数学中的定义.
追问1：平面镶嵌定义中你觉得哪些字比较重要？
师生活动：教师引导学生仔细研读定义找到关键字.
追问2：给出图案，请学生回答是不是平面镶嵌？为什么？
师生活动：教师出示图案让学生判断是不是平面镶嵌？为什么？
设计意图：带领学生欣赏镶嵌图片，让学生感受到镶嵌美，激发学生探索镶嵌秘密的兴趣，引入活动课题——《平面镶嵌》.并提炼出平面镶嵌的概念，便于学生理解.提问学生找出关键字，再通过反例让学生直观的理解平面镶嵌的特点：不重叠，完全覆盖.
通过探究一归纳平面镶嵌规律
探究一：仅用一种正多边形镶嵌，哪些正多边形能镶嵌成一个平面图案？
问题2 了解了平面镶嵌的定义，现在请四个小组分别用正三角形、正方形、正五边形、正六边形动手拼一拼，看能否围绕一个点平面镶嵌？可以的话，最少用几个？相邻正多边形最好颜色不同，以方便展示，开始！
师生活动：小组成员分工合作，用一种正多边形围绕一个点平面镶嵌，教师巡视点拨.各小组活动结束后，请各组派一位同学上台展示.展示的学生回答是否能平面镶嵌，最少用几个正多边形？
追问1：出示正三角形、正方形、正六边形围绕公共顶点平面镶嵌的过程.
我们发现这三种正多边形都能围绕公共顶点平面镶嵌，为什么能镶嵌？与什么有关系？
师生活动：教师通过不断的追问引导学生发现公共顶点处各角的和为3600.（如果学生回答相邻多边形的公共边相等，教师可以分析一下这是可以镶嵌成平面图案的条件）.
追问2：我们知道正五边形每个内角1080，谁能解释为何不能平面镶嵌？其他正多边形能否单独镶嵌？
师生活动：教师引导学生得出结论一：一种正多边形平面镶嵌只能用正三角形、正方形、正六边形.
设计意图：学生通过动手实验、观察，对平面镶嵌有了更多的感性认识。老师不断的追问，让学生上升到理性的认识！从而发现并理解多边形平面镶嵌的条件：公共顶点处各角的和为3600，并思考解决一种正多边形镶嵌的问题.
通过探究二理解并运用平面镶嵌规律
探究二：用边长相等的哪两种正多边形能够镶嵌？
问题3 刚才我们探究了用一种正多边形进行平面镶嵌，那边长相同的两种正多边形呢？请先用正三角形和正方形拼一拼，看能否平面镶嵌？能的话，最少用几个？相邻正多边形最好颜色不同，开始！
师生活动：小组成员分工合作，用正三角形和正方形绕一个点平面镶嵌，教师巡视点拨.活动结束后，请只有一种拼法的同学上台展示，展示的学生回答是否能平面镶嵌，最少用几个正三角形？几个正方形？
追问1：有没有不同拼法展示？
师生活动：学生回答展示另一种拼法，教师引导得出结论：同样的正多边形可能有不同的拼法！
追问2：除了动手操作，能否根据公共顶点处各角的和等于3600通过计算得出结论？
师生活动：教师引导学生想到列方程求解，师生共同分析，教师板书：设公共顶点处有m个正三角形，n个正方形，则
有一组正整数解，因而公共顶点处用3个正三角形，2个正方形可以平面镶嵌.
追问3：请同学们列方程解决问题.一二两个小组解决问题1：正三角形与正五边形能否镶嵌？三四两个小组解决问题2：正三角形与正六边形能否镶嵌？ 开始！
师生活动：引导学生独立思考，运用方程思想设列解答解决问题,教师在关键环节给予适当点拨. 学生列方程求解完成后，请两位解答过程有瑕疵的同学各自板书一个问题.
追问4：对于两位同学板书的结果，大家有没有不同想法？
师生活动：鼓励学生说出自己的想法，并相互补充.引导学生指出板书中存在的问题，以更好的掌握列方程求解平面镶嵌问题.教师再用大屏幕显示边长相同的正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正方形与正八边形、正五边形与正十边形平面镶嵌的图案.
追问5：从探究两种正多边形平面镶嵌的过程，你能概括出研究多边形平面镶嵌的方法有哪些吗？
师生活动：师生共同概括探究多边形平面镶嵌的方法：动手操作和方程思想.教师再总结说：科学研究也往往是综合运用实验操作和理论思想！
设计意图：让学生通过动手操作得出正三角形与正方形可以镶嵌.再引导学生运用规律：公共顶点处各角的和等于3600,借助方程思想探究两种正多边形平面镶嵌的问题.最后师生共同概括出探究多边形平面镶嵌的方法有：动手操作和方程思想.
通过探究活动三，熟练掌握并运用平面镶嵌规律
探究三：用几个形状、大小相同的任意三角形能镶嵌成一个平面图案吗？
四边形呢？
问题4 之前我们都是用正多边形平面镶嵌，那么请各组动手拼一拼，用几个形状、大小相同的任意三角形能镶嵌成一个平面图案吗？四边形呢？能镶嵌的话，最少用几个？开始！
师生活动：小组成员分工合作，用形状、大小相同的任意三角形或四边形围绕一个点平面镶嵌，教师巡视点拨.各小组活动结束后，请两位同学上台分别展示三角形、四边形平面镶嵌的图案.展示的学生回答是否能平面镶嵌，最少用几个多边形？
追问1：公共顶点处的角能随意放吗？比如都放最小的内角？为什么？
师生活动：引导学生发现公共顶点处的角不能随意放！因为需要公共顶点处各角的和等于3600.
追问2：你们这种方式为什么能镶嵌？
师生活动：引导学生解释用形状、大小相同的任意三角形、四边形围绕一个点平面镶嵌的原理.然后教师用大屏幕演示镶嵌过程，让学生直观的感受到：公共顶点处三角形每个内角出现2次，相当于2个三角形的内角和3600.公共顶点处四边形每个内角出现1次，相当于1个四边形的内角和3600.
设计意图：学生通过动手操作得出形状、大小完全相同的任意三角形、四边形能镶嵌成平面图形.通过追问让学生介绍如何镶嵌的，再引导学生综合运用三角形、四边形内角和阐述能够平面镶嵌的原理.最后用大屏幕演示镶嵌过程，让学生直观的感受平面镶嵌的原理.
归纳小结，提出问题
问题5 同学们，探究活动已经完成了.那么今天这堂课，你学到了什么？还要什么疑问？
师生活动：教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，掌握平面镶嵌需要满足的条件，总结探究多边形平面镶嵌的方法：动手操作和方程思想.鼓励学生从多方面提出问题，并布置大家课后上网了解更多平面镶嵌知识.
设计意图：通过小结，引导学生归纳本节课所学知识，掌握多边形平面镶嵌的条件：公共顶点处各角的和等于3600.体会从特殊到一般，从简单到复杂的研究问题的方法.鼓励学生提出问题，培养学生的问题意识和发散思维.
课后延伸，拓展思维
用边长相同的正三角形、正方形、正六边形中的一种或几种平面镶嵌，有几种方法？
上网了解更多平面镶嵌知识，并设计一幅美丽的镶嵌图案！
设计意图：通过第一项作业，让学生复习平面镶嵌的条件，巩固用一种或多种正多边形平面镶嵌的方法.通过第二项作业，拓展学生的视野，培养学生应用意识，鼓励创新思想.
目标检测设计
1、只用一种正多边形能够平面镶嵌的是____________________________.
2、一个公共顶点处有边长相同的m个正方形和 n个正八边形能进行平面镶嵌，则m＝_______,n＝_______.
3、形状、大小相同的任意三角形能镶嵌成一个平面图案，至少用几个三角形？
设计意图：主要考查学生对多边形平面镶嵌条件的理解和运用，对三个探究问题的掌握.