单元质量达标(五)
(第12章 乘法公式与因式分解)
一、选择题
1．(2021·遂宁中考)下列计算中，正确的是( )
A. ＝a2＋9 B. a8÷a4＝a2
C. 2＝2a－b D. a2＋a2＝2a2
2．(2021·聊城中考)下列运算正确的是( )
A．a2·a4＝a8 B．－a(a－b)＝－a2－ab
C．(－2a)2÷(2a)－1＝8a3 D．(a－b)2＝a2－b2
3．(2021·岳阳中考)下列运算结果正确的是( )
A．3a－a＝2 B．a2·a4＝a8
C．(a＋2)(a－2)＝a2－4 D．(－a)2＝－a2
4．下列因式分解正确的是( )
A．x2－y2＝(x－y)2 B．－x2－y2＝－(x＋y)(x－y)
C．x2－2xy＋4y2＝(x－2y)2 D．－x2－2xy－y2＝－(x＋y)2
5．(2021·杭州中考)因式分解1－4y2＝( )
A．(1－2y)(1＋2y) B．(2－y)(2＋y)
C．(1－2y)(2＋y) D．(2－y)(1＋2y)
6．如图①，边长为a的大正方形中有四个边长均为b的小正方形，小华将阴影部分拼成了一个长方形(如图②)，则这个长方形的面积为( )
A.a2－4b2 B．(a＋b)(a－b)
C．(a＋2b)(a－b) D．(a＋b)(a－2b)
7．为了用乘法公式计算(2x－3y－4z)( 2x－3y＋4z)，甲乙丙丁四位同学分别对它们进行了变形，其中变形正确的是( )
A．[2x－(3y＋4z)][2x－(3y－4z)] B．[(2x－3y)－4z][(2x－3y)＋4z]
C．[(2x－4z)－3y][(2x＋4z)－3y] D．[(2x－4z)＋3y][(2x－4z)－3y]
8．若x2＋(m－1)x＋1可以用完全平方公式进行因式分解，则m的值为( )
A．－3 B．1 C．－3，1 D．－1，3
9．如果(x－3)(2x＋4)＝2x2－mx＋n，那么m，n的值分别是( )
A．2，12 B．－2，12 C．2，－12 D．－2，－12
10．定义：若一个正整数能表示为两个连续自然数的平方差，那么就称这个正整数为“明德数”．如：1＝12－02，3＝22－12，5＝32－22，因此1，3，5这三个数都是“明德数”．则介于1到200之间的所有“明德数”之和为( )
A．10 000 B．40 000 C．200 D．2 500
二、填空题
11．(2021·威海中考)分解因式：2x3－18xy2＝__ __．
12．(2021·扬州中考)计算：2 0212－2 0202＝__ __．
13．(2021·十堰中考)已知xy＝2，x－3y＝3，则2x3y－12x2y2＋18xy3＝__ __．
14．如果(m2＋n2＋1)与(m2＋n2－1)的乘积为15，那么m2＋n2的值为__ __．
15．把一根20 cm长的铁丝分成两段，将每一段围成一个正方形，若这两个正方形的面积之差是5 cm2，则这两段铁丝的长分别为__ __ __ __．
16．(2021·滨州惠民县期中)请看杨辉三角(1)，并观察下列等式(2)：
根据前面各式的规律，则(a＋b)6＝__ __．
三、解答题
17．(1)(2021·湖州中考)计算：x(x＋2)＋(1＋x)(1－x)；
(2)(2021·菏泽鄄城县期末)先化简，再求值：
(3x＋2y)2－(3x－2y)2＋2(x＋y)(x－y)－2(x＋4y)，其中x＝1，y＝－1.
18．(1)(2021·永州中考)先化简，再求值：(x＋1)2＋(2＋x)(2－x)，其中x＝1.
(2)(2021·北京中考)已知a2＋2b2－1＝0，求代数式(a－b)2＋b(2a＋b)的值．
19.因式分解：
(1)3x3－12x； (2)1－2x＋2y＋(x－y)2.
20．学完因式分解之后，某数学兴趣小组对多项式(x2－2x)(x2－2x＋2)＋1进行因式分解，过程如下：
解：设x2－2x＝y，
原式＝y(y＋2)＋1＝y2＋2y＋1＝(y＋1)2＝(x2－2x＋1)2.
(1)该同学因式分解的结果是否彻底？________(填“彻底”或“不彻底”)，若不彻底，请直接写出正确的结果 ________；
(2)该过程中用到的因式分解的方法是________；
(3)请你模仿上面的方法对多项式(x2－4x＋2)(x2－4x＋6)＋4进行因式分解．
21.(2021·菏泽市质检)如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．
(1)设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请用含a，b的代数式表示：S1＝________，S2＝________(只需表示，不必化简)；
(2)以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式；
(3)运用(2)中得到的公式，计算：2 0202－2 021×2 019.
22．(2021·聊城市质检)探究：如何把多项式x2＋8x＋15因式分解？
(1)观察：上式能否直接利用完全平方公式进行因式分解？答：________；
(2)(阅读与理解)：由多项式乘法，我们知道(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左地使用，即可对形如x2＋(a＋b)x＋ab的多项式进行因式分解，即：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b).
此类多项式x2＋(a＋b)x＋ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．
猜想并填空：x2＋8x＋15＝x2＋[(________ )＋( ________)]x＋( ________)×( ________)＝(x＋________)(x＋________).
(3)上面多项式x2＋8x＋15的因式分解是否符合题意，我们需要验证．请写出验证过程．
(4)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解：
①x2＋8x＋12；
②x2－x－12.
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(第12章 乘法公式与因式分解)
一、选择题
1．(2021·遂宁中考)下列计算中，正确的是(D)
A. ＝a2＋9 B. a8÷a4＝a2
C. 2＝2a－b D. a2＋a2＝2a2
2．(2021·聊城中考)下列运算正确的是(C)
A．a2·a4＝a8 B．－a(a－b)＝－a2－ab
C．(－2a)2÷(2a)－1＝8a3 D．(a－b)2＝a2－b2
3．(2021·岳阳中考)下列运算结果正确的是(C)
A．3a－a＝2 B．a2·a4＝a8
C．(a＋2)(a－2)＝a2－4 D．(－a)2＝－a2
4．下列因式分解正确的是(D)
A．x2－y2＝(x－y)2 B．－x2－y2＝－(x＋y)(x－y)
C．x2－2xy＋4y2＝(x－2y)2 D．－x2－2xy－y2＝－(x＋y)2
5．(2021·杭州中考)因式分解1－4y2＝(A)
A．(1－2y)(1＋2y) B．(2－y)(2＋y)
C．(1－2y)(2＋y) D．(2－y)(1＋2y)
6．如图①，边长为a的大正方形中有四个边长均为b的小正方形，小华将阴影部分拼成了一个长方形(如图②)，则这个长方形的面积为(A)
A.a2－4b2 B．(a＋b)(a－b)
C．(a＋2b)(a－b) D．(a＋b)(a－2b)
7．为了用乘法公式计算(2x－3y－4z)( 2x－3y＋4z)，甲乙丙丁四位同学分别对它们进行了变形，其中变形正确的是(B)
A．[2x－(3y＋4z)][2x－(3y－4z)] B．[(2x－3y)－4z][(2x－3y)＋4z]
C．[(2x－4z)－3y][(2x＋4z)－3y] D．[(2x－4z)＋3y][(2x－4z)－3y]
8．若x2＋(m－1)x＋1可以用完全平方公式进行因式分解，则m的值为(D)
A．－3 B．1 C．－3，1 D．－1，3
9．如果(x－3)(2x＋4)＝2x2－mx＋n，那么m，n的值分别是(C)
A．2，12 B．－2，12 C．2，－12 D．－2，－12
10．定义：若一个正整数能表示为两个连续自然数的平方差，那么就称这个正整数为“明德数”．如：1＝12－02，3＝22－12，5＝32－22，因此1，3，5这三个数都是“明德数”．则介于1到200之间的所有“明德数”之和为(A)
A．10 000 B．40 000 C．200 D．2 500
二、填空题
11．(2021·威海中考)分解因式：2x3－18xy2＝__2x(x＋3y)(x－3y)__．
12．(2021·扬州中考)计算：2 0212－2 0202＝__4 041__．
13．(2021·十堰中考)已知xy＝2，x－3y＝3，则2x3y－12x2y2＋18xy3＝__36__．
14．如果(m2＋n2＋1)与(m2＋n2－1)的乘积为15，那么m2＋n2的值为__4__．
15．把一根20 cm长的铁丝分成两段，将每一段围成一个正方形，若这两个正方形的面积之差是5 cm2，则这两段铁丝的长分别为__12__cm和8__cm__．
16．(2021·滨州惠民县期中)请看杨辉三角(1)，并观察下列等式(2)：
根据前面各式的规律，则(a＋b)6＝__a6＋6a5b＋15a4b2＋20a3b3＋15a2b4＋6ab5＋b6__．
三、解答题
17．(1)(2021·湖州中考)计算：x(x＋2)＋(1＋x)(1－x)；
(2)(2021·菏泽鄄城县期末)先化简，再求值：
(3x＋2y)2－(3x－2y)2＋2(x＋y)(x－y)－2(x＋4y)，其中x＝1，y＝－1.
【解析】(1)原式＝x2＋2x＋1－x2＝2x＋1；
(2)(3x＋2y)2－(3x－2y)2＋2(x＋y)(x－y)－2(x＋4y)
＝9x2＋12xy＋4y2－9x2＋12xy－4y2＋2x2－2y2－2x－8y
＝2x2＋24xy－2y2－2x－8y，
当x＝1，y＝－1时，原式＝2×12＋24×1×(－1)－2×(－1)2－2×1－8×(－1)＝－18.
18．(1)(2021·永州中考)先化简，再求值：(x＋1)2＋(2＋x)(2－x)，其中x＝1.
(2)(2021·北京中考)已知a2＋2b2－1＝0，求代数式(a－b)2＋b(2a＋b)的值．
【解析】(1)(x＋1)2＋(2＋x)(2－x)＝x2＋2x＋1＋4－x2＝2x＋5，当x＝1时，原式＝2＋5＝7.
(2)原式＝a2－2ab＋b2＋2ab＋b2＝a2＋2b2，因为a2＋2b2－1＝0，所以a2＋2b2＝1，所以原式＝1.
19.因式分解：
(1)3x3－12x； (2)1－2x＋2y＋(x－y)2.
【解析】(1)3x3－12x＝3x(x2－4)＝3x(x＋2)(x－2)；
(2)1－2x＋2y＋(x－y)2＝1－(2x－2y)＋(x－y)2＝1－2(x－y)＋(x－y)2＝[1－(x－y)]2＝(1－x＋y)2.
20．学完因式分解之后，某数学兴趣小组对多项式(x2－2x)(x2－2x＋2)＋1进行因式分解，过程如下：
解：设x2－2x＝y，
原式＝y(y＋2)＋1＝y2＋2y＋1＝(y＋1)2＝(x2－2x＋1)2.
(1)该同学因式分解的结果是否彻底？________(填“彻底”或“不彻底”)，若不彻底，请直接写出正确的结果 ________；
(2)该过程中用到的因式分解的方法是________；
(3)请你模仿上面的方法对多项式(x2－4x＋2)(x2－4x＋6)＋4进行因式分解．
【解析】(1)因式分解的结果不彻底，原式＝[(x－1)2]2＝(x－1)4.
答案：不彻底 (x－1)4
(2)因为用到了完全平方公式，所以使用的是公式法．
答案：公式法
(3)设x2－4x＝y，
原式＝(y＋2)(y＋6)＋4
＝y2＋8y＋12＋4
＝y2＋8y＋16
＝(y＋4)2
＝(x2－4x＋4)2
＝[(x－2)2]2
＝(x－2)4.
21.(2021·菏泽市质检)如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．
(1)设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请用含a，b的代数式表示：S1＝________，S2＝________(只需表示，不必化简)；
(2)以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式；
(3)运用(2)中得到的公式，计算：2 0202－2 021×2 019.
【解析】(1)图1阴影部分的面积为边长为a的大正方形的面积减去边长为b的小正方形的面积，即S1＝a2－b2，图2中阴影部分的面积是长为(a＋b)，宽为(a－b)的长方形的面积，即S2＝(a＋b)(a－b).
答案：a2－b2 (a＋b)(a－b)
(2)由(1)中S1＝S2可得，a2－b2＝(a＋b)(a－b)，因此可以验证平方差公式，即：(a＋b)(a－b)＝a2－b2；
(3)原式＝2 0202－(2 020＋1)(2 020－1)＝2 0202－(2 0202－1)＝1.
22．(2021·聊城市质检)探究：如何把多项式x2＋8x＋15因式分解？
(1)观察：上式能否直接利用完全平方公式进行因式分解？答：________；
(2)(阅读与理解)：由多项式乘法，我们知道(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左地使用，即可对形如x2＋(a＋b)x＋ab的多项式进行因式分解，即：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b).
此类多项式x2＋(a＋b)x＋ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．
猜想并填空：x2＋8x＋15＝x2＋[(________ )＋( ________)]x＋( ________)×( ________)＝(x＋________)(x＋________).
(3)上面多项式x2＋8x＋15的因式分解是否符合题意，我们需要验证．请写出验证过程．
(4)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解：
①x2＋8x＋12；
②x2－x－12.
【解析】(1)因为x2＋8x＋16＝(x＋4)2，所以x2＋8x＋15不是完全平方公式．
答案：不能
(2)因为x2＋8x＋15＝x2＋(3＋5)x＋(3×5)，所以x2＋8x＋15＝x2＋(3＋5)x＋(3×5)＝(x＋3)(x＋5).
答案：3 5 3 5 3 5
(3)因为(x＋3)(x＋5)＝x2＋5x＋3x＋15＝x2＋8x＋15，所以x2＋8x＋15＝(x＋3)(x＋5)，因此多项式x2＋8x＋15的因式分解是符合题意的；
(4)①x2＋8x＋12＝x2＋(2＋6)x＋2×6＝(x＋2)(x＋6)；
②x2－x－12＝x2＋[3＋(－4)]x＋[3×(－4)]＝(x＋3)(x－4).
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