单元质量达标（六）
(第13章 乘法公式与因式分解)
一、选择题
1．(2021·邹城市期末)下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是( )
A．3 cm，4 cm，8 cm B．8 cm，7 cm，15 cm
C．13 cm，12 cm，20 cm D．5 cm，5 cm，11 cm
2．(2021·绥化中考)一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是( )
A．八边形 B．九边形 C．十边形 D．十二边形
3．(2021·禹城市期末)将一副直角三角板如图放置，使两直角边重合，则∠α的度数为( )
A．75° B．105° C．135° D．165°
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠BAD的度数是( )
A．145° B．150° C．155° D．160°
5．如图，将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝20°，∠2＝40°，则∠3等于( )
A．50° B．30° C．20° D．15°
6．如图，BD，CE分别是△ABC的高线和角平分线，且相交于点O，若∠BCA＝70°，则∠BOE的度数是( )
A．60° B．55° C．50° D．40°
7．(2021·诸城市期末)若一个三角形的三个内角度数的比为2∶3∶4，则这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
8．将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能( )
A．都是锐角三角形 B．都是直角三角形
C．都是钝角三角形 D．是一个直角三角形和一个钝角三角形
9．如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AD的中点，△ABC的面积是4 cm2，那么△BEC的面积是( )
A．2.5 cm2 B．2 cm2 C．1.5 cm2 D．1 cm2
10．如图，把△ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内部时，∠A与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变，这个关系是( )
A.∠A＝∠1＋∠2 B．2∠A＝∠1＋∠2
C．3∠A＝2∠1＋∠2 D．3∠A＝2(∠1＋∠2)
二、填空题
11．(2021·黄冈中考)正五边形的一个内角是 __ __度．
12．△ABC的两条边的长度分别为3和5，若第三条边长为偶数，则△ABC的周长为__ __.
13.如图，直线AB∥CD，∠A＝40°，∠D＝45°，则∠1的度数是__ __．
14．若三角形的一个内角α是另一个内角β的3倍，我们称此三角形为“特异三角形”，其中β称为“特异角”，若一个“特异三角形”为直角三角形，则这个“特异角”的度数为__ __．
15．(2021·青岛市南区期末)如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，E，F分别是AD，CD的中点，连接BE，AF，EF，若△BEF的面积为6，则△ABC的面积是 __ __．
16．如图，五边形ABCDE是正五边形，若l1∥l2，则∠1－∠2＝__ __．
三、解答题
17．已知多边形的内角和等于1 440°，求：
(1)这个多边形的边数；
(2)过一个顶点有几条对角线？
(3)总对角线条数．
18．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，请判断△ABC的形状．
19.(1)已知一个正多边形的每个内角比它的每个外角的4倍多30°，求这个多边形的边数；
(2)一个多边形的外角和是内角和的，求这个多边形的边数．
20．作线段AB＝3 cm，按下列要求作图：
(1)到点A的距离等于2 cm的点的集合．
(2)到点B的距离等于1.5 cm的点的集合．
(3)到点A的距离大于2 cm且到点B的距离小于1.5 cm的点的集合(用阴影部分表示).
21．(2021·武汉质检)如图，△ABC中，∠B＝2∠C，AE平分∠BAC.
(1)若AD⊥BC于D，∠C＝35°，求∠DAE的大小；
(2)若EF⊥AE交AC于F，求证：∠C＝2∠FEC.
22.直线在同一平面内有平行和相交两种位置关系，线段首尾连接可以变换出很多不同的图形，这些不同的角又有很多不同关系，今天我们就来探究一下这些奇妙的图形吧！
【问题探究】
(1)如图1，请直接写出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝________；
(2)将图1变形为图2，∠A＋∠DBE＋∠C＋∠D＋∠E的结果如何？请写出证明过程；
(3)将图1变形为图3，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的结果如何？请写出证明过程．
【变式拓展】
(4)将图3变形为图4，已知∠BGF＝160°，那么∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数是________．
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(第13章 乘法公式与因式分解)
一、选择题
1．(2021·邹城市期末)下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是(C)
A．3 cm，4 cm，8 cm B．8 cm，7 cm，15 cm
C．13 cm，12 cm，20 cm D．5 cm，5 cm，11 cm
2．(2021·绥化中考)一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是(C)
A．八边形 B．九边形 C．十边形 D．十二边形
3．(2021·禹城市期末)将一副直角三角板如图放置，使两直角边重合，则∠α的度数为(D)
A．75° B．105° C．135° D．165°
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠BAD的度数是(B)
A．145° B．150° C．155° D．160°
5．如图，将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝20°，∠2＝40°，则∠3等于(C)
A．50° B．30° C．20° D．15°
6．如图，BD，CE分别是△ABC的高线和角平分线，且相交于点O，若∠BCA＝70°，则∠BOE的度数是(B)
A．60° B．55° C．50° D．40°
7．(2021·诸城市期末)若一个三角形的三个内角度数的比为2∶3∶4，则这个三角形是(A)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
8．将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能(A)
A．都是锐角三角形 B．都是直角三角形
C．都是钝角三角形 D．是一个直角三角形和一个钝角三角形
9．如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AD的中点，△ABC的面积是4 cm2，那么△BEC的面积是(B)
A．2.5 cm2 B．2 cm2 C．1.5 cm2 D．1 cm2
10．如图，把△ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内部时，∠A与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变，这个关系是(B)
A.∠A＝∠1＋∠2 B．2∠A＝∠1＋∠2
C．3∠A＝2∠1＋∠2 D．3∠A＝2(∠1＋∠2)
二、填空题
11．(2021·黄冈中考)正五边形的一个内角是 __108__度．
12．△ABC的两条边的长度分别为3和5，若第三条边长为偶数，则△ABC的周长为__12或14__.
13.如图，直线AB∥CD，∠A＝40°，∠D＝45°，则∠1的度数是__85°__．
14．若三角形的一个内角α是另一个内角β的3倍，我们称此三角形为“特异三角形”，其中β称为“特异角”，若一个“特异三角形”为直角三角形，则这个“特异角”的度数为__22.5°或30°__．
15．(2021·青岛市南区期末)如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，E，F分别是AD，CD的中点，连接BE，AF，EF，若△BEF的面积为6，则△ABC的面积是 __16__．
16．如图，五边形ABCDE是正五边形，若l1∥l2，则∠1－∠2＝__72°__．
三、解答题
17．已知多边形的内角和等于1 440°，求：
(1)这个多边形的边数；
(2)过一个顶点有几条对角线？
(3)总对角线条数．
【解析】(1)设边数是n，根据题意得(n－2)×180＝1 440，解得：n＝10.则这个多边形是十边形，边数为十；
(2)过一个顶点的对角线的条数是10－3＝7(条)；
(3)对角线的总条数是：×10×7＝35(条).
18．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，请判断△ABC的形状．
【解析】在△ABC中，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，
因为∠1＝∠2，∠3＝∠4，
所以∠2＋∠3＝×180°＝90°，
即∠ABC＝90°，
所以△ABC是直角三角形．
19.(1)已知一个正多边形的每个内角比它的每个外角的4倍多30°，求这个多边形的边数；
(2)一个多边形的外角和是内角和的，求这个多边形的边数．
【解析】(1)设这个多边形的每个内角是x°，每个外角是y°，
则得到一个方程组解得
而任何多边形的外角和都是360°，
则多边形内角和中的外角的个数是360÷30＝12，则这个多边形的边数是12；
(2)设这个多边形的边数为n，依题意得(n－2)180°＝360°，解得n＝9.
答：这个多边形的边数为9.
20．作线段AB＝3 cm，按下列要求作图：
(1)到点A的距离等于2 cm的点的集合．
(2)到点B的距离等于1.5 cm的点的集合．
(3)到点A的距离大于2 cm且到点B的距离小于1.5 cm的点的集合(用阴影部分表示).
【解析】(1)如图1，⊙A为所求作；
(2)如图2，⊙B为所求作；
(3)如图3，阴影部分为所求作．
21．(2021·武汉质检)如图，△ABC中，∠B＝2∠C，AE平分∠BAC.
(1)若AD⊥BC于D，∠C＝35°，求∠DAE的大小；
(2)若EF⊥AE交AC于F，求证：∠C＝2∠FEC.
【解析】(1)因为∠C＝35°，∠B＝2∠C，
所以∠B＝70°，所以∠BAC＝75°，
因为AE平分∠BAC，所以∠EAC＝37.5°，
因为AD⊥BC，所以∠ADC＝90°，
所以∠DAC＝55°，
所以∠DAE＝55°－37.5°＝17.5°；
(2)因为EF⊥AE，所以∠AEF＝90°，
所以∠AED＋∠FEC＝90°，
因为∠DAE＋∠AED＝90°，
所以∠DAE＝∠FEC，
因为AE平分∠BAC，
所以∠EAC＝∠BAC＝(180°－∠B－∠C)
＝(180°－3∠C)＝90°－∠C，
因为∠DAE＝∠DAC－∠EAC，
所以∠DAE＝∠DAC－(90°－∠C)＝90°－∠C－90°＋∠C＝∠C，
所以∠FEC＝∠C，所以∠C＝2∠FEC.
22.直线在同一平面内有平行和相交两种位置关系，线段首尾连接可以变换出很多不同的图形，这些不同的角又有很多不同关系，今天我们就来探究一下这些奇妙的图形吧！
【问题探究】
(1)如图1，请直接写出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝________；
(2)将图1变形为图2，∠A＋∠DBE＋∠C＋∠D＋∠E的结果如何？请写出证明过程；
(3)将图1变形为图3，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的结果如何？请写出证明过程．
【变式拓展】
(4)将图3变形为图4，已知∠BGF＝160°，那么∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数是________．
【解析】(1)如图1，因为∠2＝∠C＋∠E，∠1＝∠A＋∠2，
所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝∠1＋∠B＋∠D＝180°.
答案：180°
(2)因为∠ABE＝∠C＋∠E，∠DBC＝∠A＋∠D，
∠ABE＋∠DBE＋∠DBC＝180°，
所以∠A＋∠DBE＋∠C＋∠D＋∠E＝180°，
所以将题图1变形成题图2，∠A＋∠DBE＋∠C＋∠D＋∠E仍然为180°；
(3)因为在△FGD中，∠DFG＋∠FGD＋∠D＝180°，
∠DFG＝∠B＋∠E，∠FGD＝∠A＋∠C，
所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°，
所以将题图1变形成题图3，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E还为180°；
(4)因为∠BGF＝∠B＋∠2＝160°，∠2＝∠D＋∠F，
所以∠B＋∠D＋∠F＝160°，
因为∠BGF＝∠1＋∠E＝160°，∠1＝∠A＋∠C，
所以∠A＋∠C＋∠E＝160°，
所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝320°.
答案：320°
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