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1.1.1 全等三角形与等腰三角形的性质 教案
课题 1.1.1 全等三角形与等腰三角形的性质 单元 第1单元 学科 数学 年级 八年级（下）
学习目标 1 回顾全等三角形的判定和性质;2 理解并掌握等腰三角形的性质及其推论；3 能运用等腰三角形的性质及其推论解决基本的几何问题.
重点 探索证明等腰三角形的性质定理的思路与方法,掌握证明的基本要求和方法.
难点 通过探索利用全等三角形的判定与定义证明等腰三角形的性质定理明确推理证明的基本要求.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题想一想：在“三角形”这一章中，我们认识了全等三角形及其判定方法. 那么证明两个三角形全等的基本事实有哪些呢？答：（1）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 (SAS)；（2）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 (ASA)；（3）三边对应相等的两个三角形全等 (SSS).我们可以用基本事实和已经证明的定理来证明有关三角形的一些结论. 思考：你能证明“两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）”这个命题吗？已知：如图，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF.求证：△ABC≌△DEF.证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E).∵∠A=∠D，∠B=∠E（已知），∴∠C=∠F（等量代换）.∵BC=EF（已知），∴△ABC≌△DEF（ASA）. 全等三角形判定定理: 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.根据全等三角形的定义，我们可以得到全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等.观察下图的三角形是什么三角形？我们知道，有两条边相等的三角形是等腰三角形，那么，除了有两边相等外，等腰三角形还有哪些性质呢？介绍：我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相等.实际上,折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形.这启发我们,可以作一条辅助线把原三角形分成两个全等的三角形,从而证明这两个底角相等.你能证明这个性质吗？1.等腰三角形的两个底角相等.证明：等腰三角形的两底角相等.已知： 如图，在△ABC 中，AB= AC.求证：∠B= ∠C .证明：取BC的中点D ，连接AD，∵ AB=AC， BD=CD ， AD=AD,∴ △ABD≌△ACD （SSS）.∴ ∠B= ∠C （全等三角形的对应角相等） . 你还有其他证明方法吗？在证明等腰三角形性质的方法中，不论是作顶角的平分线，还是作底边的中线，或者是底边的高线，都能通过两三角形的全等得出：所作辅助线既是顶角平分线，又是底边中线、高线.你能总结出这个性质吗？等腰三角形的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.(1)∵AB=AC，AD⊥BC ∴ (三线合一)BD=CD，∠BAD=∠CAD(2)∵AB=AC，BD=CD ∴_____________________________(三线合一)(2)∵AB=AC，BD=CD ∴_____________________________(三线合一)AD⊥BC，∠BAD=∠CAD(3)∵AB=AC， ∠BAD=∠CAD ∴____________________ (三线合一)AD⊥BC，BD=CD 思考自议利用已学的基本事实和定理来验证AAS的正确性，并知道可用AAS定理判定两个三角形全等. 通过回顾证明的思路和方法，为等腰三角形的性质证明做好铺垫
讲授新课 提炼概念定理：等腰三角形的两个底角相等.这一定理可简述为：“等边对等角”.三、典例精讲例 (1)在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝50°，求∠B；(2)若等腰三角形的一个角为70°，求顶角的度数；(3)若等腰三角形的一个角为90°，求顶角的度数．解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴50°＋2∠B＝180°，解得∠B＝65°.(2)由题意可知，70°的角可以为顶角或底角，当底角为70°时，顶角为180°－70°×2＝40°.因此顶角为40°或70°.(3)若顶角为90°，底角为 若底角为90°，则三个内角的和大于180°，不符合三角形内角和定理．因此顶角为90°. 能运用该法则准确进行有理数的加法运算.学生认真观察并思考，然后小组讨论、班内交流，然后对所发现的：三线合一的性质进行证明.交流后仔细听老师讲评. 体会等腰三角形性质定理的几何语言表达形式.
课堂检测 四、巩固训练 1.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，则下列结论不正确的是( )。A. AB=2BD B. AD⊥BCC. AD平分∠BAC D. ∠B=∠CA 2．下列各图中a，b，c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和△ABC全等的是( ) A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙B如图,△ABC中，AB=AC，垂足为点D，若∠BAC=70°，则∠BAD= .35°4.若等腰三角形的一个底角为72°,则这个等腰三角形的顶角为_________. 36°5.如图，∠A =36°，∠DBC =36°，∠C =72°，图中一共有几个等腰三角形？找出其中的一个等腰三角形给予证明．有3个,分别是△ABC,△ABD,△DBC证明：△ABC是等腰三角形．在△ABC中，∵∠A=36°，∠C=72°，∴∠ABC=180°-（72°+36°）=72°．∵∠C=∠ABC，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形。6. 如图,在△ABD中,C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD，（1）求证： △ABD是等腰三角形;（2）求∠BAD的度数.解：（1）∵AC⊥BD，AC=BC=CD，∴∠ACB=∠ACD=90°．∴△ACB≌△ACD．∴AB=AD．∴△ABD是等腰三角形．（2）∵AC⊥BD，AC=BC=CD，∴△ACB、△ACD都是等腰直角三角形．∴∠B=∠D=45°．∴∠BAD=90°．
课堂小结 在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：问题1、说一说全等三角形的判定定理——边边角？两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.问题2、说一说全等三角形的性质？全等三角形的对应边相等、对应角相等.问题3、说一说等腰三角形的性质？（1）等腰三角形的两底角相等.（等边对等角）（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一).记住：等腰三角形是轴对称图形
A
B
C
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北师大版 八年级下
1.1.1 全等三角形与等腰三角形的性质
情境引入
我们可以用基本事实和已经证明的定理来证明有关三角形的一些结论.
想一想：在“三角形”这一章中，我们认识了全等三角形及其判定方法. 那么证明两个三角形全等的基本事实有哪些呢？
答：（1）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 (SAS)；
（2）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 (ASA)；
（3）三边对应相等的两个三角形全等 (SSS).
合作学习
导入新课
思考：你能证明“两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）”这个命题吗？
已知：如图，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF.
求证：△ABC≌△DEF.
A
B
C
D
E
F
证明：
∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°
∴∠C=180°－(∠A+∠B)，
∠F=180°－(∠D+∠E).
∵∠A=∠D，∠B=∠E（已知），
∴∠C=∠F（等量代换）.
∵BC=EF（已知），
∴△ABC≌△DEF（ASA）.
A
B
C
D
E
F
全等三角形判定定理:
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.
根据全等三角形的定义，我们可以得到
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等.
观察下图的三角形是什么三角形？
我们知道，有两条边相等的三角形是等腰三角形，那么，除了有两边相等外，等腰三角形还有哪些性质呢？
你能证明这个性质吗？
证明：等腰三角形的两底角相等.
已知： 如图，在△ABC 中，AB= AC.
求证：∠B= ∠C .
A
B
C
证明：等腰三角形的两底角相等.
已知： 如图，在△ABC 中，AB= AC.
求证：∠B= ∠C .
A
B
C
证明：取BC的中点D ，连接AD，
∵ AB=AC， BD=CD ， AD=AD,
∴ △ABD≌△ACD （SSS）.
∴ ∠B= ∠C （全等三角形的对应角相等） .
D
你还有其他证明方法吗？
证明：等腰三角形的两底角相等.
已知： 如图，在△ABC 中，AB= AC.
求证：∠B= ∠C .
A
B
C
D
证明：作顶角∠A的平分线，交BC于D ，
∵ AB=AC， ∠ BAD= ∠ CAD ， AD=AD,
∴ △ABD≌△ACD （SAS）.
∴ ∠B= ∠C （全等三角形的对应角相等） .
证明：等腰三角形的两底角相等.
已知： 如图，在△ABC 中，AB= AC.
求证：∠B= ∠C .
A
B
C
D
证明：过点A作底边BC上的高，交BC于D ，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∵ AB=AC， AD=AD,
∴△ABD≌△ACD （HL）.
∴ ∠B= ∠C （全等三角形的对应角相等） .
提炼概念
在证明等腰三角形性质的方法中，不论是作顶角的平分线，还是作底边的中线，或者是底边的高线，都能通过两三角形的全等得出：所作辅助线既是顶角平分线，又是底边中线、高线.
总结归纳
定理：等腰三角形的两个底角相等.
这一定理可简述为：“等边对等角”.
你能总结出这个性质吗？
等腰三角形的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.
(1)∵AB=AC，AD⊥BC
∴ (三线合一)
(2)∵AB=AC，BD=CD
∴_____________________(三线合一)
(3)∵AB=AC， ∠BAD=∠CAD
∴____________________ (三线合一)
BD=CD，∠BAD=∠CAD
AD⊥BC，∠BAD=∠CAD
AD⊥BC，BD=CD
简称：三线合一.
A
B
C
D
归纳概念
推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一).
符号语言:
∵AB=AC，
∴
AD⊥BC.
BD＝CD.
∠BAD=∠CAD.
·
D
典例精讲
例 (1)在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝50°，求∠B；
(2)若等腰三角形的一个角为70°，求顶角的度数；
(3)若等腰三角形的一个角为90°，求顶角的度数．
解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴50°＋2∠B＝180°，解得∠B＝65°.
(2)由题意可知，70°的角可以为顶角或底角，当底角为70°时，顶角为180°－70°×2＝40°.因此顶角为40°或70°.
(3)若顶角为90°，底角为 若底角为90°，则三个内角的和大于180°，不符合三角形内角和定理．因此顶角为90°.
课堂练习
1.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，则下列结论不正确
的是( )。
A. AB=2BD
B. AD⊥BC
C. AD平分∠BAC
D. ∠B=∠C
A
2．下列各图中a，b，c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和△ABC全等的是( )
A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙
B
3.如图,△ABC中，AB=AC，垂足为点D，若∠BAC=70°，则∠BAD= .
35°
4.若等腰三角形的一个底角为72°,则这个等腰三角形的顶角为_________.
36°
5.如图，∠A =36°，∠DBC =36°，∠C =72°，图中一共有几个等腰三角形？找出其中的一个等腰三角形给予证明．
A
B
C
D
证明：△ABC是等腰三角形．
在△ABC中，∵∠A=36°，∠C=72°，
∴∠ABC=180°-（72°+36°）=72°．
∵∠C=∠ABC，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形。
有3个,分别是△ABC,△ABD,△DBC
6.如图,在△ABD中,C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD，
（1）求证： △ABD是等腰三角形;
（2）求∠BAD的度数.
解：（1）∵AC⊥BD，AC=BC=CD，
∴∠ACB=∠ACD=90°．
∴△ACB≌△ACD．
∴AB=AD．
∴△ABD是等腰三角形．
（2）∵AC⊥BD，AC=BC=CD，
∴△ACB、△ACD都是等腰直角三角形．
∴∠B=∠D=45°．
∴∠BAD=90°．
课堂总结
1、说一说全等三角形的判定定理——边边角？
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.
2、说一说全等三角形的性质？
全等三角形的对应边相等、对应角相等.
3、说一说等腰三角形的性质？
（1）等腰三角形的两底角相等.（等边对等角）
（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一).
轴对称图形
作业布置
教材课后配套作业题。
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1.1.1 全等三角形与等腰三角形的性质 学案
课题 1.1.1 全等三角形与等腰三角形的性质 单元 第1单元 学科 数学 年级 八年级下册
学习目标 1 回顾全等三角形的判定和性质;2 理解并掌握等腰三角形的性质及其推论；3 能运用等腰三角形的性质及其推论解决基本的几何问题.
重点 探索证明等腰三角形的性质定理的思路与方法,掌握证明的基本要求和方法.
难点 通过探索利用全等三角形的判定与定义证明等腰三角形的性质定理明确推理证明的基本要求.
教学过程
导入新课 【引入思考】 想一想：在“三角形”这一章中，我们认识了全等三角形及其判定方法. 那么证明两个三角形全等的基本事实有哪些呢？思考：你能证明“两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）”这个命题吗？已知：如图，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF.求证：△ABC≌△DEF.观察下图的三角形是什么三角形？我们知道，有两条边相等的三角形是等腰三角形，那么，除了有两边相等外，等腰三角形还有哪些性质呢？介绍：我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相等.实际上,折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形.这启发我们,可以作一条辅助线把原三角形分成两个全等的三角形,从而证明这两个底角相等.你能证明这个性质吗？1.等腰三角形的两个底角相等.证明：等腰三角形的两底角相等.已知： 如图，在△ABC 中，AB= AC.求证：∠B= ∠C .你还有其他证明方法吗？在证明等腰三角形性质的方法中，不论是作顶角的平分线，还是作底边的中线，或者是底边的高线，都能通过两三角形的全等得出：所作辅助线既是顶角平分线，又是底边中线、高线.你能总结出这个性质吗？等腰三角形的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.(1)∵AB=AC，AD⊥BC ∴ (三线合一)(2)∵AB=AC，BD=CD ∴_____________________________(三线合一)(2)∵AB=AC，BD=CD ∴_____________________________(三线合一)(3)∵AB=AC， ∠BAD=∠CAD ∴____________________ (三线合一)
新知讲解 提炼概念 定理：等腰三角形的两个底角相等.这一定理可简述为：“等边对等角”.典例精讲 例 (1)在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝50°，求∠B；(2)若等腰三角形的一个角为70°，求顶角的度数；(3)若等腰三角形的一个角为90°，求顶角的度数．
课堂练习 巩固训练 1.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，则下列结论不正确的是( )。A. AB=2BD B. AD⊥BCC. AD平分∠BAC D. ∠B=∠C2．下列各图中a，b，c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和△ABC全等的是( ) A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙如图,△ABC中，AB=AC，垂足为点D，若∠BAC=70°，则∠BAD= .4.若等腰三角形的一个底角为72°,则这个等腰三角形的顶角为_________. 5.如图，∠A =36°，∠DBC =36°，∠C =72°，图中一共有几个等腰三角形？找出其中的一个等腰三角形给予证明．6. 如图,在△ABD中,C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD，（1）求证： △ABD是等腰三角形;（2）求∠BAD的度数.答案引入思考答：（1）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 (SAS)；（2）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 (ASA)；（3）三边对应相等的两个三角形全等 (SSS).证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E).∵∠A=∠D，∠B=∠E（已知），∴∠C=∠F（等量代换）.∵BC=EF（已知），∴△ABC≌△DEF（ASA）.全等三角形判定定理: 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.根据全等三角形的定义，我们可以得到全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等.证明：取BC的中点D ，连接AD，∵ AB=AC， BD=CD ， AD=AD,∴ △ABD≌△ACD （SSS）.∴ ∠B= ∠C （全等三角形的对应角相等） . 等腰三角形的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.(1)∵AB=AC，AD⊥BC ∴ (三线合一)BD=CD，∠BAD=∠CAD(2)∵AB=AC，BD=CD ∴_____________________________(三线合一)(2)∵AB=AC，BD=CD ∴_____________________________(三线合一)AD⊥BC，∠BAD=∠CAD(3)∵AB=AC， ∠BAD=∠CAD ∴____________________ (三线合一)AD⊥BC，BD=CD提炼概念典例精讲 例 解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴50°＋2∠B＝180°，解得∠B＝65°.(2)由题意可知，70°的角可以为顶角或底角，当底角为70°时，顶角为180°－70°×2＝40°.因此顶角为40°或70°.(3)若顶角为90°，底角为 若底角为90°，则三个内角的和大于180°，不符合三角形内角和定理．因此顶角为90°. 巩固训练 1.A 2.B3. 35°4.36°5.有3个,分别是△ABC,△ABD,△DBC证明：△ABC是等腰三角形．在△ABC中，∵∠A=36°，∠C=72°，∴∠ABC=180°-（72°+36°）=72°．∵∠C=∠ABC，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形。6.解：（1）∵AC⊥BD，AC=BC=CD，∴∠ACB=∠ACD=90°．∴△ACB≌△ACD．∴AB=AD．∴△ABD是等腰三角形．（2）∵AC⊥BD，AC=BC=CD，∴△ACB、△ACD都是等腰直角三角形．∴∠B=∠D=45°．∴∠BAD=90°．
课堂小结 在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：问题1、说一说全等三角形的判定定理——边边角？两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.问题2、说一说全等三角形的性质？全等三角形的对应边相等、对应角相等.问题3、说一说等腰三角形的性质？（1）等腰三角形的两底角相等.（等边对等角）（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一).记住：等腰三角形是轴对称图形
A
B
C
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