吉林省长春市2012-2013学年高二上学期期末调研测试数学（文）试题

长春市2012-2013学年高二上学期期末调研测试数学（文）试题
一、选择题（本大题包括12小题，每小题4分，共48分，每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）
1．已知是实数，则“且”是“且”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知抛物线的准线方程是，则的值为
A． B． C． D．12
3．设是等比数列的前项和，，则的值是
A．28 B．32 C．35 D．49
4．函数在区间上的最小值为
A．72 B．27 C．2 D．0
5．在200m高的山顶上，测得山下塔顶和塔底的俯角分别为30°和60°，则塔高为
A．m B．m C．m D．m
6．已知，则=
A． B． C． D．
7．命题“”的否定是
A． B．
C． D．
8．在△ABC中，若60°，°，，则
A． B． C． D．
9．已知椭圆的两个焦点分别为F1、F2，是椭圆上的一点，且，
则△PF1F2的形状是
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
10．曲线在点处的切线平行于直线，则
A． B． C． D．2
11．已知椭圆和双曲线有相同的焦点，则椭圆
和双曲线离心率的平方和为
A． B．2 C． D．3
12．若数列的通项公式是，则
A． B． C．12 D．15
第Ⅱ卷（非选择题，共72分）
二、填空题（本大题包括4小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在答题卡中的横线上）
13．已知，则的最小值是 .
14．已知实数，满足约束条件 ，则的最小值为 .
15．若函数的单调递减区间为，则的取值范围是 .
16．双曲线与椭圆的焦点相同，若过右焦点且倾斜
角为60°的直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则此双曲线的半实轴长的取值
范围是 .
三、解答题（本大题包括5小题，共56分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
设等差数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）求的前项和及使得取最大值时的值.
18．（本小题满分10分）
在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求△ABC面积的最大值.
19．（本小题满分12分）
若抛物线的顶点是双曲线的中心，焦点是双曲线的右顶点.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若直线l过点交抛物线于两点，是否存在直线l，使得恰为弦
的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
20．（本小题满分12分）
（A）设函数.
（1）求的最小值；
（2）若对恒成立，求实数的取值范围.
（B）已知函数在时取得极值，且.
（1）求常数的值；
（2）求函数的单调区间和极值.
21．（本小题满分12分）
（A）如图，已知椭圆的方程为，O是椭圆的中心.左焦点为，直线与轴的交点为，.
（1）求椭圆的离心率；
（2）过左焦点且斜率为的直线与椭圆
交于两点，若，求椭
圆的方程.
（B）如图，已知椭圆的中心在原点O，焦点在轴上，短轴长为，右焦点为，直线与轴相交于点，且，过点的直线和椭圆相交于P、Q两点.
（1）求椭圆的方程和离心率；
（2）若，求直线的方程.
长春市2012～2013学年度第一学期期末调研测试
高二数学试题（文科）答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
A
D
A
D
B
B
A
C
C
D
1．C
【命题立意】本题主要考查充分必要条件的意义，不等式的基本性质，以及在具体问题中如何恰当地运用所学的相关知识进行判定的能力，从而达到综合考查数学知识的目的.
【解析】由且易得且；反过来，由得同号，又，所以同负，即且.因此，“且”是“且”的充分必要条件.
2．C
【命题立意】本题主要考查抛物线的标准方程、几何性质及分析问题和解决问题的能力.
【解析】由得抛物线的标准方程为，所以准线方程为，解得.
3．A
【命题立意】本题主要考查等比数列中基本量的计算及运算求解能力.
【解析】由已知可得，所以，解得
解得.
（本题也可用等比数列的前项和的性质：成等比数列进行
求解）
4．D
【命题立意】本题主要考查利用导数求函数的最值以及运算求解能力.
【解析】令得，.又，所以的最
小值为0.
5．A
【命题立意】本题主要考查直角三角形中的边角关系，考查分析问题、解决问题的能力以及数形结合的数学思想.
【解析】设塔高为h,山高m，所以，，
则.
所以塔高为m.
6．D
【命题立意】本题主要考查导数的四则运算法则.
【解析】.
7．B
【命题立意】本题主要考查含有一个量词的命题的否定.
【解析】全称命题的否定是特称命题.
8．B
【命题立意】本题主要考查正弦定理及基本的运算能力.
【解析】由正弦定理得，解得.
9．A
【命题立意】本题主要考查椭圆的定义、简单几何性质及分析问题、解决问题的能力.
【解析】由椭圆的方程易得椭圆的长轴为8，短轴为，所以焦距.又因为是椭圆上的一点，由椭圆的定义可得，，又，所以.所以，故△是直角三角形.
10．C
【命题立意】本题主要考查导数的运算、导数的几何意义以及运算求解能力.
【解析】，则，解得.
11．C
【命题立意】本题主要考查椭圆和双曲线的几何性质，特别是离心率的求法，同时考查运算求解能力.
【解析】由已知得，解得，所以椭圆和双曲线离心率的平方和为.
12．D
【命题立意】本题主要考查数列的求和方法.
【解析】.
二、填空题
13．36
【命题立意】本题主要考查利用基本不等式求相关代数式的最值问题.
【解析】，≥，≥36（当且仅当，即时取等号）. 的最小值是36.
14．－6
【命题立意】本题主要考查线性规划问题的求解方法.
【解析】在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线，平移该直线，当直线经过该平面区域内的点（3，）时，相应直线在轴上的截距最小，此时取最小值，最小值是.
15．
【命题立意】本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调区间问题.
【解析】由函数的单调递减区间为可得，不等式的解集为，而当时，，所以.
16．
【命题立意】本题主要考查直线与双曲线的位置关系，双曲线的几何性质以及化归与转化的能力.
【解析】由已知得双曲线的半焦距，且，所以<3，，解得，又，所以.
三、解答题
17．（本小题满分10分）
【命题立意】本题主要考查等差数列的通项公式及前项和最值的求法.
【解析】
（1）由已知得，，解得，
所以数列的通项公式为. ………5分
（2）由（1）知，.
，
∴当时，取得最大值． ………10分
18．（本小题满分10分）
【命题立意】本题主要考查解三角形时常用的两个定理：正弦定理和余弦定理以及基本不等式的知识，同时考查分析问题和解决问题的能力.
【解析】
（1）由已知及正弦定理得．∴
∵，∴． ………4分
（2）由（1）知
∵ ∴
又∵，∴，即（当且仅当时取“=”），
∴，即当时，△的面积取最大值．
………10分
19．（本小题满分12分）
【命题立意】本题主要考查抛物线的标准方程以及抛物线和双曲线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，并考查用代数方法研究圆锥曲线的性质以及分析问题、解决问题的能力和运算求解能力.
【解析】
（1）抛物线的标准方程为. ………4分
（2）使得恰为弦的中点的直线存在．理由如下：
由于以点为中点的直线斜率必存在，设为，则的方程为：，即.
将的方程与抛物线的方程联立，消去x得：
①
设，，则是方程①的解.
且，又由韦达定理得，，.
经验证时，方程①的成立，直线的方程为.……12分
（本题也可用点差法求解）
20．（本小题满分12分）
（A）
【命题立意】本题综合考查应用导数研究函数的单调性和极值、不等式等知识，考查转化与化归思想、运算求解能力和推理论证能力.
【解析】
（1），
∴当时，取最小值，即.………4分
（2）令，
由得或（舍去）.
当变化时，随的变化情况如下表：
a
（0，1）
1
（1，2）
＋
0
－
单调递增
极大值1－m
单调递减
所以，在内有最大值.
∵对恒成立，即对恒成立，所以只须即可，即，所以的取值范围是. ………12分
（B）
【命题立意】本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调区间和极值问题，同时又考查运算求解能力和综合分析及解决问题的能力.
【解析】
（1），由是极值点，得
又，所以.③
联立①②③得，. ………4分
（2）由（1）得，
所以.
令得.
当变化时，随的变化情况如下表：
x
－1
1
＋
0
－
0
＋
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以，的单调递增区间是；单调递减区间是.
当时，有极大值；
当时，有极小值． ………12分
21．（本小题满分12分）
（A）
【命题立意】本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、向量与解析几何的结合等知识，考查综合运用知识解决问题的能力，考查运算求解能力和研究问题的能力.
【解析】
（1）由已知得，由，有，则有，∴. ………4分
（2）设直线为，直线与椭圆的交点为，
由（1）可得，由，得，
，
，且.
∴，即，
，则，因此椭圆的方程为. ………12分
（B）
【命题立意】本题主要考查椭圆的方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识，考查综合运用知识解决问题的能力以及运算求解能力.
【解析】
（1）由题意，设该椭圆方程为，根据条件有
，
所以椭圆的方程为，离心率为. ………4分
（2）设直线的方程为，联立椭圆方程，消去得，
.
由韦达定理得：
……① ……②
又，即，
而，
于是有：……③
由①②③得，，解得，经检验符合题意.
所以直线的方程为：. ………12分