第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式
[课程目标] 1.结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性，即实根个数，了解函数的零点与方程的根的关系；经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的实际意义，借助二次函数的图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；2.能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示；3.从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，认识函数的重要性．
知识点一 一元二次不等式的概念
1．我们把只含有__一个__未知数，并且未知数的最高次数是__2__的不等式称为一元二次不等式．
2．使一元二次不等式成立的__未知数__的值叫做一元二次不等式的解，所有的解所组成的__集合__叫做一元二次不等式的__解集__．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)kx2－x＋1≥0是关于x的一元二次不等式．( × )
(2)不等式m2x＋2x－3<0是关于x的一元二次不等式．( × )
(3)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．( × )
(4)不等式x2－2x＋1≤0的解集是{1}．( √ )
【解析】 (1)当k＝0，该不等式不是一元二次不等式．
(2)因为x的最高次数是1，所以m2x＋2x－3<0不是关于x的一元二次不等式．
(3)a>0时，任意实数x都能使不等式ax2＋1>0成立，所以不等式ax2＋1>0的解集是R．
(4)因为x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以x2－2x＋1≤0只能成立“＝”，所以不等式x2－2x＋1≤0的解集是{1}．
知识点二 二次函数和一元二次方程、不等式的关系
对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，得一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，这时方程的根就是抛物线与x轴交点的__横坐标__；当y≠0时，得不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，下表给出了当a>0时，二次函数与一元二次方程、不等式的解集的对应关系：
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
y＝ax2＋bx＋c 的图象
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
ax2＋bx＋c＝0 的根 有两个不相等的实数根x1，x2 (x1
ax2＋bx＋c>0 的解集 {x|xx2} {x|x≠－} R
ax2＋bx＋c<0 的解集 {x|x1[研读]通过二次函数将一元二次方程、一元二次不等式联系起来，通过二次函数的图象可以解一元二次不等式和一元二次方程．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)函数y＝x2－x＋1的图象与x轴有交点．( × )
(2)方程x2－5x＋6＝0有两个不相等的实数根．( √ )
(3)关于x的方程x2－2ax＋(a2－1)＝0恒有两个不相等的实数根．( √ )
(4)函数y＝ax2＋2x－4的图象与x轴的一个交点是(1，0)，则方程ax2＋2x－4＝0的两个根是1和2.( × )
【解析】 (1)由(－1)2－4×1×1＝－3<0，可得函数y＝x2－x＋1的图象与x轴没有交点．
(2)因为(－5)2－4×1×6＝1>0，所以方程x2－5x＋6＝0有两个不相等的实数根．
(3)因为(－2a)2－4(a2－1)＝4>0，所以方程x2－2ax＋(a2－1)＝0恒有两个不相等的实数根．
(4)因为ax2＋2x－4＝0有一个根是1，所以a×12＋2×1－4＝0，得a＝2，所以方程变为2x2＋2x－4＝0，即x2＋x－2＝0，由求根公式得另一个根为－2.
教材拓展求下列不等式的解集：
(1)2x2＋7x＋3>0； (2)－x2＋8x－3>0；
(3)4x2－4x＋1>0； (4)－x2＋3x－5<0.
解：(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为.
(2)不等式可化为x2－8x＋3<0.因为Δ＝(－8)2－4×1×3＝52>0，所以方程x2－8x＋3＝0有两个不等实根x1＝4－，x2＝4＋.又二次函数y＝x2－8x＋3的图象开口向上，故原不等式的解集为{x|4－(3)原不等式可化为(2x－1)2>0，所以原不等式的解集为.
(4)原不等式可化为x2－6x＋10>0.因为Δ＝(－6)2－40＝－4<0，所以原不等式的解集为R．
[规律方法]
解一元二次不等式的一般步骤：
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零．
(2)因式分解或计算对应方程的判别式．
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实数根．
(4)根据函数的图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．
活学活用
解下列不等式：
(1) 2x2－3x－2>0； (2) －3x2＋6x>0；
(3) －x2＋2x－3>0.
解：(1)不等式的解集为.
(2)不等式的解集为{x|0(3)不等式的解集为 .
解下列关于x的不等式：
(1)x2－(a2＋a)x＋a3>0，a∈R；
(2)ax2－x＋4>0，a∈R；
(3)x2－ax＋1<0，a∈R.
解：(1)原不等式可化为>0.
①当a2a}；
②当a2>a，即a<0或a>1时，解集为{x|xa2}；
③当a2－a＝0，即a＝0或a＝1时，原不等式的解集为
{x|x≠a}．
(2)①当a<0时，原不等式变形为(x－2)<0，原不等式的解集为；
②当a＝0时，原不等式变形为－2x＋4>0，原不等式的解集为{x|x<2}；
③当a>0时，原不等式变形为(x－2)>0，
当≤2，即a≥1时，原不等式的解集为；
当>2，即0(3)当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，原不等式的解集为 ；
当Δ＝a2－4>0，即a<－2或a>2时，
记x2－ax＋1＝0的根为x1＝，x2＝，
则原不等式的解集为.
[规律方法]
解含参数的一元二次不等式时的注意点：
(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论；
(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；
(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
活学活用
1．解关于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R).
解：原不等式转化为(x－2a)(x＋a)<0，
对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a.
①当a>0时，x1>x2，
原不等式的解集为{x|－a②当a＝0时，原不等式化为x2<0，即原不等式的解集为 ；
③当a<0时，x1原不等式的解集为{x|2a综上所述，a>0时，原不等式的解集为{x|－a2．解关于x的不等式(x－2)(ax－1)<0(a∈R).
解：①当a<0时，原不等式可化为(x－2)>0，
原不等式的解集为；
②当a＝0时，原不等式可化为x－2>0，原不等式的解集为{x|x>2}；
③当a>0时，原不等式可化为(x－2)<0，
当<2，即a>时，原不等式的解集为；
当＝2，即a＝时，原不等式的解集为 ；
当>2，即0若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．
解：由ax2＋bx＋c≥0的解集是，知a<0.且2，－为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，
所以－＝，＝－，
所以b＝－a，c＝－a.
所以不等式cx2＋bx＋a<0变为x2＋x＋a<0，
即2ax2＋5ax－3a>0.
又因为a<0，所以2x2＋5x－3<0.
所以原不等式的解集为.
[规律方法]
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象在x轴上方的部分，是由使不等式ax2＋bx＋c＞0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由使不等式ax2＋bx＋c＜0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．
活学活用
已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20的解集为____.
【解析】 由题意知a<0且－＝2＋3，＝2×3，即b＝－5a，c＝6a，代入cx2－bx＋a>0，得6ax2＋5ax＋a>0(a<0)，即6x2＋5x＋1<0，解得－1．不等式6－x－2x2<0的解集是( D )
A．
B．
C．
D．
【解析】 6－x－2x2<0 2x2＋x－6>0，方程2x2＋x－6＝0的两根为x1＝－2，x2＝，故其解集为.
2．不等式x(2－x)＞0的解集为( D )
A．{x|x＞0} B．{x|x＜2}
C．{x|x＞2或x＜0} D．{x|0＜x＜2}
【解析】 原不等式化为x(x－2)＜0，
其解集为{x|03．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为 ，则( C )
A．a<0且b2－4ac<0
B．a<0且b2－4ac≤0
C．a>0且b2－4ac≤0
D．a>0且b2－4ac>0
【解析】 令y＝ax2＋bx＋c<0，因为x∈ ，则y＝ax2＋bx＋c的所有函数值都大于或等于0，因此，抛物线开口向上，与x轴相切或相离，即a>0，Δ＝b2－4ac≤0.
4．不等式－3x2＋5x－4<0的解集为__R__．
【解析】 原不等式变形为3x2－5x＋4>0.因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知，3x2－5x＋4>0的解集为R．
5．已知00的解集为____．
【解析】 01，所以a<，所以不等式的解集为.
6．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，则bx2＋2ax－c－3b<0的解集为__{x|－3【解析】 由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，得
从而bx2＋2ax－c－3b<0可化为x2＋2x－－>0，
即－x2＋2x＋12＋3>0，
∴x2－2x－15<0，解得－3∴原不等式的解集为{x|－37第2课时 一元二次不等式的简单应用
[课程目标] 1.借助二次函数的图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；2.掌握简单的分式不等式的解法，掌握与一元二次不等式有关的不等式恒成立问题的解法；3.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式模型，并加以解决．
知识点一 可转化为一元二次不等式的简单分式不等式
设f(x)，g(x)均为一元一次代数式，则可将分式不等式转化为一元二次不等式：
>0 __f(x)g(x)>0__；
<0 __f(x)g(x)<0__；
≥0 ____；
≤0 ____．
[研读]分式不等式求解集能够转化为一元二次不等式求解集．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)若不等式>0，则有x>0且x－1>0.( × )
(2)不等式<0 (x－1)(2x＋3)<0.( √ )
(3)>1 2x＋1>1－x.( × )
(4)≤ 4x＋10≤x＋2.( × )
【解析】 (1)>0 x(x－1)>0，即或
(3) 由>1，得－1＝>0 x(1－x)>0.
(4)由≤，得－＝≤0
知识点二 高次不等式的解法
如果将分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2，一般使用“穿针引线法”，具体思路如下：
(1)标准化．通过移项、通分等方法将不等式左侧化为关于未知数的整式，右侧化为0的形式．
(2)分解因式．将标准化的不等式的左侧化为若干个因式(一次因式或高次不可约因式)的乘积，如(x－x1)(x－x2)…(x－xn)>0的形式，其中各因式中未知数的系数为正．
(3)求根．求(x－x1)(x－x2)…(x－xn)＝0的根，并在数轴上表示出来(按从小到大的顺序标出).
(4)穿线．从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，但是要注意经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧．
(5)得解集．若不等式(未知数系数均为正)是“>0”，则找线在数轴上方的区间；若不等式(未知数系数均为正)是“<0”，则找线在数轴下方的区间．
知识点三 不等式恒成立问题
1．一元二次不等式恒成立的情况：
ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立 ____；
ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立 ____．
2．若关于x的函数y在D上既存在最大值，也存在最小值，则：
(1)a>y，x∈D恒成立 __a>ymax__；
(2)a[研读]一元二次不等式恒成立问题实质上是二次函数图象在x轴上方还是在x轴下方的问题，这样，解决一元二次不等式恒成立问题就能够转化为二次函数问题加以解决．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的正根，则( √ )
(2)若a，b，c满足则方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的正根．( × )
(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正一负两个根，则ac<0.( √ )
(4)若不等式x2－x＋a≥0对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是a≥.( √ )
【解析】 (1)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的正根，则必有所以正确．
(2)在所给条件下，方程ax2＋bx＋c＝0不一定有两个不相等的正根，还可以是两个负根，如x2＋6x＋8＝0的两个根分别是－2和－4.
(3)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正一负两个根，则由韦达定理知，两根之积为<0，从而ac<0.
(4)a≥－x2＋x＝－＋恒成立，－x2＋x的最大值为，所以a≥.
教材拓展不等式>0的解集是____.
【解析】 由>0，得<0，等价于(x－3)(2x＋5)<0，解得－0的解集是.
教材应用不等式≤3的解集是____.
【解析】 由≤3，得－3≤0，即≤0，即≥0，等价于(x－2)(2x－7)≥0且x－2≠0，解得x<2或x≥.所以不等式≤3的解集是.
[规律方法]
1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项，再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的不等式，然后用上述方法求解．
活学活用
≥－2的解集是__{x|x<5，或x≥11}__．
【解析】 不等式≥－2可化为＋2≥0，即≥0，则原不等式等价于(x－11)(x－5)≥0且x－5≠0，解得x<5或x≥11.所以≥－2的解集是{x|x<5，或x≥11}.
解下列不等式：
(1) (x＋1)>0；(2) x≥0.
【答案】(1)不等式的解集为.
(2)不等式的解集为.
[规律方法]
高次不等式求解原理：(1)因式分解(分式化整)；(2)数轴标根(依序排列)；(3)穿针引线(奇穿偶回)；(4)写出解集．
活学活用
求解下列分式不等式：
(1) >0；(2) ≤0；(3) ≤x－1.
解：(1)原不等式可化为x(x－1)>0，
根据穿针引线可得解集为.
(2)≤0
根据穿针引线可得解集为.
(3)原不等式可化为－(x－1)≤0 ≥0
根据穿针引线可得解集为.
已知y＝x2＋2ax＋4，若对一切x∈R，y＞0恒成立，则实数a的取值范围是__－2【解析】 由题意可知，只有当二次函数y＝x2＋2ax＋4的图象与x轴无交点时，才满足题意，则Δ＜0，即4a2－16<0，解得－2【迁移探究1】 已知y＝x2＋2ax＋4，如果对任意x∈{x|1≤x≤2}，y＜0恒成立，则实数a的取值范围是__a<－__．
【解析】 若对任意x∈{x|1≤x≤2}，y＜0恒成立，根据函数y＝x2＋2ax＋4的图象性质，可知当x＝1时，y<0；当x＝2时，y<0.
即解得a<－.
【迁移探究2】 已知y＝x2＋(2－a)x＋1，当x>0时，y≥0恒成立，则实数a的取值范围是__a≤4__．
【解析】 由y＝x2＋(2－a)x＋1≥0对任意x>0恒成立，得x2＋2x＋1≥ax对任意x>0恒成立，所以a≤x＋＋2对任意x>0恒成立，所以a≤.因为x＋≥2，当且仅当x＝1时，等号成立，所以a≤＝4.
活学活用
关于x的不等式(1＋m)x2＋mx＋m解：原不等式等价于mx2＋mx＋m－1<0对x∈R恒成立．
当m＝0时，显然不等式对x∈R恒成立．
当m≠0时，由题意，得
即
即解得m<0.
综上，m的取值范围为m≤0.
某小微企业为新能源汽车生产厂家提供配件，其中一种配件的投入成本为100元/件，出厂价为120元/件，年销售量为10 000件．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本．若每件配件投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y(元)与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？
解：(1)依题意，得
y＝[120(1＋0.75x)－100(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)
＝10 000(－6x2＋2x＋20)，
所以，所求关系式为y＝10 000(－6x2＋2x＋20)(0(2)依题意，得
10 000(－6x2＋2x＋20)>(120－100)×10 000，
化简，得3x2－x<0，解得0所以投入成本增加的比例x的范围是0[规律方法]
解不等式应用题，一般可按以下四步进行：
(1)阅读理解、认真审题、把握问题中的关键量、找准不等关系；
(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)；
(3)解不等式或求函数最值；
(4)检验求解结果是否符合实际问题．
活学活用
某物流公司购买了一块长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地块，计划建设如图所示的矩形ABCD仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，设AB的长度为x米．
(1)求矩形ABCD的面积S关于x的函数解析式；
(2)要使仓库ABCD的占地面积不少于144平方米，AB的长度应在什么范围内？
解：(1)依题意得，△NDC与△NAM相似，所以＝，即＝，解得AD＝20－x.所以矩形ABCD的面积S关于x的函数解析式为S＝20x－x2(0(2)要使仓库ABCD的占地面积不少于144平方米，则20x－x2≥144，化简得x2－30x＋216≤0，解得12≤x≤18.所以AB的长度应不小于12米且不大于18米．
1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B＝( B )
A．{x|－1≤x<0} B．{x|0C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤1}
【解析】 因为A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|02．已知不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则a的取值范围是( A )
A．－4≤a≤4 B．－4C．a≤－4或a≥4 D．a<－4或a>4
【解析】 依题意，应有Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4，故选A.
3．某商品在最近30天内的价格y1(元/件)与时间t(天)的函数关系是y1＝t＋10 (0A．15≤t≤20 B．10≤t≤15
C．10【解析】 由题意得，(t＋10)(－t＋35)≥500，解得10≤t≤15.
4．不等式≤1的解集为__{x|x≤－2或x≥1}__．
【解析】 因为x2>0，所以原不等式等价于x2≥2－x，即x2＋x－2≥0，解得x≤－2或x≥1.
5．若不等式x2＋mx＋1≤0在x∈R上有解，则实数m的取值范围是__m≥2或m≤－2__．
【解析】 依题意得Δ＝m2－4≥0，解得m≥2或m≤－2.
7(共33张PPT)
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2．3 二次函数与一元二次方程、不等式
第2课时 一元二次不等式的简单应用
[课程目标] 1.借助二次函数的图象了解一元二次不等式与相应函
数、方程的联系；
2.掌握简单的分式不等式的解法，掌握与一元二次不
等式有关的不等式恒成立问题的解法；
3.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式模
型，并加以解决．
知识点一 可转化为一元二次不等式的简单分式不等式
设f(x)，g(x)均为一元一次代数式，则可将分式不等式转化为一元二次不等式：
f(x)g(x)>0
f(x)g(x)<0
[研读]分式不等式求解集能够转化为一元二次不等式求解集．
【思辨】 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
×
√
×
×
知识点二 高次不等式的解法
如果将分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2，一般使用“穿针引线法”，具体思路如下：
(1)标准化．通过移项、通分等方法将不等式左侧化为关于未知数的整式，右侧化为0的形式．
(2)分解因式．将标准化的不等式的左侧化为若干个因式(一次因式或高次不可约因式)的乘积，如(x－x1)(x－x2)…(x－xn)>0的形式，其中各因式中未知数的系数为正．
(3)求根．求(x－x1)(x－x2)…(x－xn)＝0的根，并在数轴上表示出来(按从小到大的顺序标出).
(4)穿线．从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，但是要注意经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧．
(5)得解集．若不等式(未知数系数均为正)是“>0”，则找线在数轴上方的区间；若不等式(未知数系数均为正)是“<0”，则找线在数轴下方的区间．
知识点三 不等式恒成立问题
1．一元二次不等式恒成立的情况：
ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立 ___________；
ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立 ___________．
2．若关于x的函数y在D上既存在最大值，也存在最小值，则：
(1)a>y，x∈D恒成立 ____________；
(2)aa>ymax
a[研读]一元二次不等式恒成立问题实质上是二次函数图象在x轴上方还是在x轴下方的问题，这样，解决一元二次不等式恒成立问题就能够转化为二次函数问题加以解决．
【思辨】判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的正根，
则 . ( )
(2)若a，b，c满足 则方程ax2＋bx＋c＝0有两个不
相等的正根． ( )
(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正一负两个根，
则ac<0. ( )
(4)若不等式x2－x＋a≥0对x∈R恒成立，则实数a的取值范围
是a≥ ( )
×
√
√
√
例1 [教材拓展]不等式 >0的解集是______________.
例2 [教材应用]不等式 ≤3的解集是________________.
[规律方法]
1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等
式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项，
再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的不等
式，然后用上述方法求解．
≥－2的解集是______________________．
{x|x<5，或x≥11}
例3 解下列不等式：
[规律方法]
高次不等式求解原理：
(1)因式分解(分式化整)；
(2)数轴标根(依序排列)；
(3)穿针引线(奇穿偶回)；
(4)写出解集．
求解下列分式不等式：
例4 已知y＝x2＋2ax＋4，若对一切x∈R，y＞0恒成立，则实数a的取值范围是____________．
【解析】 由题意可知，只有当二次函数y＝x2＋2ax＋4的图象
与x轴无交点时，才满足题意，则Δ＜0，即4a2－16<0，
解得－2－2【迁移探究1】 已知y＝x2＋2ax＋4，如果对任意x∈{x|1≤x≤2}
y＜0恒成立，则实数a的取值范围是__________．
【迁移探究2】 已知y＝x2＋(2－a)x＋1，当x>0时，y≥0恒成
立，则实数a的取值范围是__________．
a≤4
关于x的不等式(1＋m)x2＋mx＋m例5 某小微企业为新能源汽车生产厂家提供配件，其中一种配件的投入成本为100元/件，出厂价为120元/件，年销售量为10 000件．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本．若每件配件投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y(元)与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？
[规律方法]
解不等式应用题，一般可按以下四步进行：
(1)阅读理解、认真审题、把握问题中的关键量、找准不等关
系；
(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系(或表示成函数关
系)；
(3)解不等式或求函数最值；
(4)检验求解结果是否符合实际问题．
某物流公司购买了一块长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地 块，计划建设如图所示的矩形ABCD仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，B，D分别在边 AM，AN上，设AB的长度为x米．
(1)求矩形ABCD的面积S关于x的函数解析式；
(2)要使仓库ABCD的占地面积不少于144平方米，AB的长度应在什么范围内？
1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝ ，
则A∩B＝( )
A．{x|－1≤x<0}
B．{x|0C．{x|0≤x≤2}
D．{x|0≤x≤1}
【解析】 因为A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0所以A∩B＝{x|0B
2．已知不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则a的取值范围
是( )
A．－4≤a≤4
B．－4C．a≤－4或a≥4
D．a<－4或a>4
【解析】 依题意，应有Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4，
故选A.
A
3．某商品在最近30天内的价格y1(元/件)与时间t(天)的函数关系
是y1＝t＋10 (0关系是y2＝－t＋35(0金额不少于500元的t的范围为( )
A．15≤t≤20 B．10≤t≤15
C．10【解析】 由题意得，(t＋10)(－t＋35)≥500，解得10≤t≤15.
B
4．不等式 ≤1的解集为________________．
【解析】 因为x2>0，所以原不等式等价于x2≥2－x，
即x2＋x－2≥0，解得x≤－2或x≥1.
5．若不等式x2＋mx＋1≤0在x∈R上有解，则实数m的取值范围
是__________________．
【解析】 依题意得Δ＝m2－4≥0，解得m≥2或m≤－2.
{x|x≤－2或x≥1}
m≥2或m≤－2(共29张PPT)
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2．3 二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式
[课程目标] 1.结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存
在性，即实根个数，了解函数的零点与方程的根的
关系；经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的
过程，了解一元二次不等式的实际意义，借助二次
函数的图象了解一元二次不等式与相应函数、方程
的联系；
2.能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合
表示；
3. 从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关
联，认识函数的重要性．
知识点一 一元二次不等式的概念
1．我们把只含有__________未知数，并且未知数的最高次数
是____的不等式称为一元二次不等式．
2．使一元二次不等式成立的__________的值叫做一元二次不等
式的解，所有的解所组成的_________叫做一元二次不等式
的__________．
一个
2
未知数
集合
解集
【思辨】 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)kx2－x＋1≥0是关于x的一元二次不等式．( )
(2)不等式m2x＋2x－3<0是关于x的一元二次不等式．( )
(3)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．( )
(4)不等式x2－2x＋1≤0的解集是{1}．( )
×
×
×
√
【解析】 (1)当k＝0，该不等式不是一元二次不等式．
(2)因为x的最高次数是1，所以m2x＋2x－3<0不是关于x的一元
二次不等式．
(3)a>0时，任意实数x都能使不等式ax2＋1>0成立，所以不等式
ax2＋1>0的解集是R．
(4)因为x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以x2－2x＋1≤0只能成立“＝”，
所以不等式x2－2x＋1≤0的解集是{1}．
知识点二 二次函数和一元二次方程、不等式的关系
对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，得一元二次
方程ax2＋bx＋c＝0，这时方程的根就是抛物线与x轴交点
的____________；当y≠0时，得不等式ax2＋bx＋c>0或
ax2＋bx＋c<0，下表给出了当a>0时，二次函数与一元二次
方程、不等式的解集的对应关系：
横坐标
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
y＝ax2＋bx＋c
的图象
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
ax2＋bx＋c＝0
的根 有两个不相等的实数根x1，x2
(x1ax2＋bx＋c>0
的解集 {x|x或x>x2} {x| } R
ax2＋bx＋c<0
的解集 {x|x1没有实数根
[研读]通过二次函数将一元二次方程、一元二次不等式联系起来，通过二次函数的图象可以解一元二次不等式和一元二次方程．
【思辨】判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)函数y＝x2－x＋1的图象与x轴有交点．( )
(2)方程x2－5x＋6＝0有两个不相等的实数根．( )
(3)关于x的方程x2－2ax＋(a2－1)＝0恒有两个不相等的实数根
( )
(4)函数y＝ax2＋2x－4的图象与x轴的一个交点是(1，0)，则方
程ax2＋2x－4＝0的两个根是1和2.( )
×
√
√
×
【解析】 (1)由(－1)2－4×1×1＝－3<0，可得函数y＝x2－x＋1的图象与x轴没有交点．
(2)因为(－5)2－4×1×6＝1>0，所以方程x2－5x＋6＝0有两个不相等的实数根．
(3)因为(－2a)2－4(a2－1)＝4>0，所以方程x2－2ax＋(a2－1)＝0恒有两个不相等的实数根．
(4)因为ax2＋2x－4＝0有一个根是1，所以a×12＋2×1－4＝0，得a＝2，所以方程变为2x2＋2x－4＝0，即x2＋x－2＝0，由求根公式得另一个根为－2.
例1 教材拓展求下列不等式的解集：
(1)2x2＋7x＋3>0； (2)－x2＋8x－3>0；
(3)4x2－4x＋1>0； (4)－ x2＋3x－5<0.
[规律方法]
解一元二次不等式的一般步骤：
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零．
(2)因式分解或计算对应方程的判别式．
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有
实数根．
(4)根据函数的图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．
解下列不等式：
(1) 2x2－3x－2>0； (2) －3x2＋6x>0；
(3) －x2＋2x－3>0.
例2 解下列关于x的不等式：
(1)x2－(a2＋a)x＋a3>0，a∈R；
(2)ax2－ (2＋2a)x ＋4>0，a∈R；
(3)x2－ax＋1<0，a∈R.
[规律方法]
解含参数的一元二次不等式时的注意点：
(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进
行讨论；
(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行
讨论；
(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
1．解关于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R).
解：原不等式转化为(x－2a)(x＋a)<0，
对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a.
①当a>0时，x1>x2，原不等式的解集为{x|－a②当a＝0时，原不等式化为x2<0，即原不等式的解集为 ；
③当a<0时，x1综上所述，a>0时，原不等式的解集为{x|－aa＝0时，原不等式的解集为 ；a<0时，
原不等式的解集为{x|2a2．解关于x的不等式(x－2)(ax－1)<0(a∈R).
例3
[规律方法]
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值是一元
二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是二次函数y＝ax2＋bx＋c
的图象与x轴交点的横坐标．
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象在x轴上方的部分，是由
使不等式ax2＋bx＋c＞0的x的值构成的；图象在x轴下方的
部分，是由使不等式ax2＋bx＋c＜0的x的值构成的，三者之
间相互依存、相互转化．
已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2cx2－bx＋a>0的解集为________________.
1．不等式6－x－2x2<0的解集是( )
D
2．不等式x(2－x)＞0的解集为( )
A．{x|x＞0}
B．{x|x＜2}
C．{x|x＞2或x＜0}
D．{x|0＜x＜2}
【解析】 原不等式化为x(x－2)＜0，
其解集为{x|0D
3．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为 ，则( )
A．a<0且b2－4ac<0
B．a<0且b2－4ac≤0
C．a>0且b2－4ac≤0
D．a>0且b2－4ac>0
【解析】 令y＝ax2＋bx＋c<0，因为x∈ ，则y＝ax2＋bx＋c
的所有函数值都大于或等于0，因此，抛物线开口向上，
与x轴相切或相离，即a>0，Δ＝b2－4ac≤0.
C
4．不等式－3x2＋5x－4<0的解集为____．
【解析】 原不等式变形为3x2－5x＋4>0.因为
Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以由函数y＝3x2－5x＋4
的图象可知，3x2－5x＋4>0的解集为R．
5．已知00的解集
为________________．
R
6．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为 ，
则bx2＋2ax－c－3b<0的解集为_____________．
{x|－3