等式性质与不等式性质
[课程目标] 1.了解等式的性质；2.掌握不等式的基本性质；3.能用不等式的基本性质解决一些简单问题．
知识点一 等式的性质
性质 文字表述 性质内容 注意
1 对称性 a＝b b＝a
2 传递性 a＝b，b＝c a＝c
3 可加、减性 a＝b a±c＝b±c
4 可乘性 a＝b ac＝bc
5 可除性 a＝b，c≠0 ＝
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)由3a－2＝2b，得3a＝2b＋2.( √ )
(2)由－1＝2y－3，得x－1＝4y－6.( × )
(3)由＝，得x－y＝2a＋b.( × )
(4)x－2＝4x＋7，得x＝－3.( √ )
知识点二 不等式的性质
性质 文字表述 性质内容 注意
1 对称性 a＞b b＜a
2 传递性 a＞b，b＞c a＞c
3 可加性 a＞b a＋c＞b＋c
4 可乘性
a＞b，c＞0 ac＞bc
a＞b，c＜0 ac＜bc c的 符号
5 同向可 加性 a＞b，c＞d a＋c＞b＋d 同向
6 同向同 正可乘性 a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd 同向
7 可乘方性 a＞b＞0，那么an>bn(n∈N，n≥2) 同正
[研读]将不等式的性质与等式的性质进行比较，可以加深对不等式的理解．性质4、性质6、性质7强调数或式的符号，性质3、性质5表明不等式只能同向相加，不能同向相减．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)若a>b，则ac>bc一定成立．( × )
(2)若a－c
(3)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.( × )
(4)若a>b，c>d，则>.( × )
【解析】 (1)由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘一个正数时，不等号方向不变，因此若a>b，则ac>bc不一定成立，故此说法是错误的．
(2)在不等式a－c(3)取a＝4，c＝5，b＝7，d＝1，满足a＋c>b＋d，但不满足a>b，故此说法错误．
(4)取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，满足a>b，c>d，但>不成立．所以此说法错误．
教材拓展已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．
解：(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2
＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)
＝(a－b)2(a＋b).
因为a>0，b>0，且a≠b，
所以(a－b)2>0，a＋b>0，
所以(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，
即a3＋b3>a2b＋ab2.
[规律方法]
作差比较法比较两个数(式)大小的步骤：
(1)作差：对要比较大小的两个数(或式)作差．
(2)变形：对差进行变形，常见的变形技巧是：因式分解，配方．
(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号．
(4)作出结论．
活学活用
设x，y∈R，比较x2＋y2与xy＋x＋y－1的大小．
解：x2＋y2－(xy＋x＋y－1)＝[(x2－2xy＋y2)＋(x2－2x＋1)＋(y2－2y＋1)]＝[(x－y)2＋(x－1)2＋(y－1)2]≥0，
∴x2＋y2≥xy＋x＋y－1.
已知a>b>c，求证：a2b＋b2c＋c2a>ab2＋bc2＋ca2.
证明： (a2b＋b2c＋c2a)－(ab2＋bc2＋ca2)
＝a2(b－c)－(b2－c2)a＋(b－c)bc
＝(b－c)[a2－(b＋c)a＋bc]
＝(a－b)(b－c)(a－c)>0，
所以a2b＋b2c＋c2a>ab2＋bc2＋ca2.
活学活用
设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．
解：5x2＋y2＋z2－＝(z2－2z＋1)＋(y2－2xy＋x2)＋(4x2－4x＋1)＝(z－1)2＋(y－x)2＋(2x－1)2≥0，
∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2.
若a，b，c为实数，判断下列命题的真假：
(1)若a>b，则ac(2)若a>b，ab≠0，则<；
(3)若aab>b2；
(4)若c>a>b>0，则>.
解：(1)因为c可以是正数、负数或零，不等式两边都乘c，所以ac与bc的大小关系不确定，所以为假命题．
(2)当a>0>b时，不等式不成立，所以为假命题．
(3)由 a2>ab，又 ab>b2，所以a2>ab>b2，所以为真命题．
(4)因为a>b>0，所以－a<－b，所以c－a又因为c>a>b>0，所以>0.
在不等式c－a>0，
又a>b>0，所以>，所以为真命题．
活学活用
已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是( C )
A． ＞ B．＞ a＞b
C． ＞ D． ＞
【解析】 对于A，若a＞b＞0，c＜0，d＞0，有＜，故A错；对于B，当c<0时，有a＜b，故B错；对于C，由a3＞b3 a＞b，又ab＜0，所以＞，故C正确；对于D，若a＝2，b＝1，满足a2＞b2，ab＞0，但＜，故D错．
已知10＜a＜30，15＜b＜20，则3a－b的取值范围是__10<3a－b<75__．
【解析】 依题意，30<3a<90，
－20<－b<－15，
所以30－20<3a－b<90－15，即10<3a－b<75，
所以3a－b的取值范围是10<3a－b<75.
【迁移探究1】在本例的前提下，a(b－10)的取值范围是__50【解析】 因为10＜a＜30，15＜b＜20，5【迁移探究2】 将本例的条件变为“10解：令a＋b＝m，a－b＝n，则10由a＋b＝m，a－b＝n，得a＝，b＝，
所以3a－b＝－＝m＋2n.
而10所以40[规律方法]
利用不等式的性质求参数取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质求解．切记想当然，以免出现错误，如两个不等式相减，不等式两边同乘(或除以)一个实数，会导致错误结果．
活学活用
已知－≤x＜y≤，试求的取值范围．
解：因为－≤x＜y≤，所以－≤<，－<≤，
所以－≤－<，
所以－≤<. 又因为x＜y，所以<0，
故－≤<0.
已知12解：由12记＝t 所以＝＝1－，
所以－<1－<，所以－<<.
活学活用
已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则的取值范围是__－2<<－__．
【解析】 a>0，
a>b＝－a－c>c
－2<<－.
1．若ma＝mb，那么下列等式不一定成立的是( A )
A．a＝b B．ma－3＝mb－3
C． －ma＝－mb D． ma＋8＝mb＋8
【解析】 当m≠0时，由ma＝mb得a＝b，当m＝0时，a＝b不一定成立．故选A.
2．下列方程的变形中，正确的是( C )
①3x＋6＝0变形为x＋2＝0；②x＋7＝5－3x变形为4x＝－2；③4x＝－2变形为x＝－2；④＝3变形为2x＝15.
A． ①④ B． ②③
C．①②④ D． ①②③
【解析】 根据等式的性质可知，只有4x＝－2变形为x＝－2是错误的，其余都正确．故选C.
3．如果a<0，b>0，那么下列不等式中正确的是( A )
A．< B．<
C．a2|b|
【解析】 因为a<0，b>0，所以<0，>0，所以<.
4．下列命题正确的是( D )
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若a>－b，则－a>b
C．若ac>bc，则a>b
D．若a>b，则a－c>b－c
【解析】 当c＝0时，选项A错误；将a>－b两边同乘－1，得－a5．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则( C )
A．a>b B．aC．a≥b D．a≤b
【解析】 a－b＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以a≥b.
6．已知1≤a－b≤2且2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范围．
解：令a＋b＝x，a－b＝y，则2≤x≤4，1≤y≤2.
由解得
所以4a－2b＝4·－2·＝x＋3y.
而2≤x≤4，3≤3y≤6，
则5≤x＋3y≤10，所以5≤4a－2b≤10.
7(共30张PPT)
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2．1 等式性质与不等式性质
[课程目标] 1.了解等式的性质；
2.掌握不等式的基本性质；
3.能用不等式的基本性质解决一些简单问题．
知识点一 等式的性质
【思辨】 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)由3a－2＝2b，得3a＝2b＋2.( )
(2)由 －1＝2y－3，得x－1＝4y－6.( )
(3)由 得x－y＝2a＋b.( )
(4)x－2＝4x＋7，得x＝－3.( )
√
×
×
√
知识点二 不等式的性质
[研读]将不等式的性质与等式的性质进行比较，可以加深对不等式的理解．性质4、性质6、性质7强调数或式的符号，性质3、性质5表明不等式只能同向相加，不能同向相减．
【思辨】判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)若a>b，则ac>bc一定成立．( )
(2)若a－c(3)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.( )
(4)若a>b，c>d，则 .( )
×
√
×
×
例1 [教材拓展]已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与
a2b＋ab2的大小．
解：(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2
＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b).
因为a>0，b>0，且a≠b，所以(a－b)2>0，a＋b>0，
所以(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，
即a3＋b3>a2b＋ab2.
[规律方法]
作差比较法比较两个数(式)大小的步骤：
(1)作差：对要比较大小的两个数(或式)作差．
(2)变形：对差进行变形，常见的变形技巧是：因式分解，配方．
(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号．
(4)作出结论．
设x，y∈R，比较x2＋y2与xy＋x＋y－1的大小．
例2 已知a>b>c，求证：a2b＋b2c＋c2a>ab2＋bc2＋ca2.
证明： (a2b＋b2c＋c2a)－(ab2＋bc2＋ca2)
＝a2(b－c)－(b2－c2)a＋(b－c)bc
＝(b－c)[a2－(b＋c)a＋bc]
＝(a－b)(b－c)(a－c)>0，
所以a2b＋b2c＋c2a>ab2＋bc2＋ca2.
设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．
例3 若a，b，c为实数，判断下列命题的真假：
(1)若a>b，则ac(2)若a>b，ab≠0，则< ；
(3)若aab>b2；
(4)若c>a>b>0，则> .
已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是( )
C
例4 已知10＜a＜30，15＜b＜20，则3a－b的取值范围
是_________________．
【解析】 依题意，30<3a<90，
－20<－b<－15，
所以30－20<3a－b<90－15，
即10<3a－b<75，
所以3a－b的取值范围是10<3a－b<75.
10<3a－b<75
【迁移探究1】在本例的前提下，a(b－10)的取值范围
是____________________； 的取值范围是____________．
50【迁移探究2】 将本例的条件变为“10[规律方法]
利用不等式的性质求参数取值范围时，一要注意题设中的
条件，二要正确使用不等式的性质求解．切记想当然，以免出
现错误，如两个不等式相减，不等式两边同乘(或除以)一个实
数，会导致错误结果．
例5
已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则 的取值范围是____________．
1．若ma＝mb，那么下列等式不一定成立的是( )
【解析】 当m≠0时，由ma＝mb得a＝b，当m＝0时，
a＝b不一定成立．故选A.
A
2．下列方程的变形中，正确的是( )
①3x＋6＝0变形为x＋2＝0；
②x＋7＝5－3x变形为4x＝－2；
③4x＝－2变形为x＝－2；
④ ＝3变形为2x＝15.
A． ①④ B． ②③
C．①②④ D． ①②③
【解析】 根据等式的性质可知，
只有4x＝－2变形为x＝－2是错误的，其余都正确．故选C.
C
3．如果a<0，b>0，那么下列不等式中正确的是( )
A
4．下列命题正确的是( )
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若a>－b，则－a>b
C．若ac>bc，则a>b
D．若a>b，则a－c>b－c
【解析】 当c＝0时，选项A错误；将a>－b两边同乘－1，
得－a只有选项D正确．故选D.
D
5．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则( )
A．a>b B．aC．a≥b D．a≤b
【解析】 a－b＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x)
＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以a≥b.
C
6．已知1≤a－b≤2且2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范围．