人教版八年级数学下册册17.1 勾股定理 第一课时 课件(共33张PPT)

(共33张PPT)
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理(1)
通过对直角三角形三边关系的猜想验证，体会数形结合和从特殊到一般的思想方法．
了解勾股定理的文化背景，经历“观察—猜想—归纳—验证”的探索过程.
通过方格面积的求法探索，发现直角三角形的三边关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算.
学习目标
这就是本届大会会徽的图案．
问题1
你见过这个图案吗？
你听说过勾股定理吗？
这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”．
1955年希腊发行的一枚纪念一位数学家的邮票
问题2
问题3
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系．
我们也来观察右图中的地面，看看有什么发现？
毕达哥拉斯（公元前572-前492年），古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家.
问题3
B
C
1.图中三个小正方形的面积有什么关系？
2.等腰直角三角形三边之间有什么关系？
A
A
B
C
A
B
C
（图中每个小方格的边长是1）
图1
图2
问题4
探究1：等腰直角三角形三边关系
A的面积 B的面积 C的面积
图1
图2
A、B、C面积
关系
三边
关系
A
B
C
图3
A
B
C
图4
A的面积(单位长度) B的面积(单位长度) C的面积(单位长度)
图3
图4
A、B、C面积关系
直角三角形三边关系
探究2 任意直角三角形的三边关系
16
9
25
4
9
13
SA+SB=SC
两直角边的平方和
等于斜边的平方
（图中每个小方格的边长是1）
c
4
3
I
C
A
B
D
E
H
G
F
返回
割
图2
c
4
3
I
C
A
B
D
E
H
G
F
J
K
L
返回
补
图2
探究2 直角三角形的三边关系
（图中每个小方格的边长是1）
A
B
C
a
b
c
猜想:
两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B和∠C所对的三条边分别是a、b、c.
求证：
如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么
问题5：利用拼图来验证勾股定理：
c
a
b
1、准备四个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边c）；
2、你能用这四个直角三角形拼成一个正方形吗？拼一拼试试看.
3、你拼的正方形中是否含有以斜边c为边的正方形？
4、你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？
割弦图
补
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
拼图1
解：
割弦图
补
=2ab+b2-2ab+a2
=a2+b2
∴a2+b2=c2
大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为
c2
4 +(b- a)2
∵ c2= 4 +(b-a)2
拼图2
c
a
b
c
b
a
c
a
b
c
a
b
割弦图
补
我国有记载的最早勾股定理的证明，是三国时，我国古代数学家赵爽在他所著的《勾股方圆图注》中，用四个全等的直角三角形拼成一个中空的正方形来证明的.每个直角三角形的面积叫朱实，中间的正方形面积叫黄实，大正方形面积叫弦实，这个图也叫弦图.２００２年的国际数学家大会将此图作为大会会徽．
黄实
朱实
朱实
朱实
朱实
=
b
a
a
b
c
c
a
拼图3
勾股
总统
美国总统的证明
伽菲尔德 （James A. Garfield； 1831 1881）
1881 年成为美国第 20 任总统
18 76 年提出有关证明
伽菲尔德经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法．1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就称这一证法称为“总统”证法。
拼图5：
a
a
b
b
c
c
伽菲尔德证法---总统证法
∴ a2 + b2 = c2
如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，
斜边为c，那么
即 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
a
b
c
表示为：在Rt△ABC中，∠C=90°，
则
勾股定理：
勾
股
弦
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
勾
股
勾股定理的由来
这个定理在中国又称为“商高定理”，商高是公元前十一世纪的中国人.当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期.在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话.
商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，
经隅五.”商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5.以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”.由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫做“商高定理”.
　毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年.希腊另一位数学家欧几里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了.
毕达哥拉斯（公元前572-前492年），古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家.
1955年希腊发行的一枚邮票就是为纪念——毕达哥拉斯
拼图4：
（传说中的毕达哥拉斯证法）
而
所以
即
，
，
.
.
因为
，
证明：
1.成立条件： 在直角三角形中；
3.作用：已知直角三角形任意两边长，
求第三边长.
2.公式变形:
a
b
c
如果直角三角形两直角边长分别为a、b,斜边长为c，那么
勾 股 定 理
（注意：哪条边是斜边）
练习
1.求下列图中字母所表示的正方形的面积。
=625
225
400
A
225
81
B
=144
练习：
2.求出下列直角三角形中未知边的长度。
6
8
x
5
x
13
解：由勾股定理得：
x2 =36+64
x2 =100
x2=62+82
∴ x=10
∵ x2+52=132
∴ x2=132-52
x2 =169-25
x2 =144
∴ x=12
∵ x > 0
∵ x > 0
3、如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米？
解：（1）当这两条边为直 角边时，斜边长为√32+42=5.所以周长为3+4+5=12（厘米）
3
4
（2）当一条直角边长为3厘米，斜边长4厘米时，另一条直角边为√42-32=√7.所以周长为√7+3+4=7 + √7 （厘米）
3
4
　1、本节课我们学到了什么？
　　通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理，还
知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的面积来探索、
验证数学结论的数形结合思想。
2、学了本节课后我们有什么感想？
　　 很多的数学结论存在于平常的生活中，需要我们用数学
的眼光去观察、思考、发现，这节课我们还受到了数学文化
辉煌历史的教育。
1. 请你利用今天学习的面积法证明教材习题17.1第13题.
2. 课下每个同学制作一张勾股定理的数学小报，并自己上网查阅与勾股定理有关的知识，证明方法和应用等，然后小组交流、展示.