青岛版七年级数学下册课件：三元一次方程组 (共29张PPT)

(共29张PPT)
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提升拓展·考向导练
课堂小结·名师点金
三元一次方程组
精炼方法·教你一招
1
三元一次方程（组）的有关概念
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1.三元一次方程：含有_____未知数，并且含有未知数
的项的次数都是___，像这样的方程叫做三元一次方程．
必备条件：
(1)是_____方程；(2)含_____未知数；(3)含未知数的
项的次数都是____.
2．三元一次方程组：含有三个未知数，每个方程中含
未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，
像这样的方程组叫做三元一次方程组．
三个
1
整式
三个
1
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必备条件：
(1)是整式方程；(2)含三个未知数；
(3)三个都是一次方程；(4)联立在一起．
3．易错警示：
(1)误认为三元一次方程组中每个方程必须是三元一
次方程，实际上只需方程组中共有三个未知数即可；
(2)把含有未知数的项的次数为1误认为未知数的次
数为1.
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1
三元一次方程（组）的有关概念
1．下列方程是三元一次方程的是________．
(填序号)
①x＋y－z＝1 ②4xy＋3z＝7
③ ＋y－7z＝0 ④6x＋4y－3＝0
①
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2．① ② ③
④ ⑤
其中是三元一次方程组的是________．(填序号)
①②
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3．若(a－1)x＋5yb＋1＋2z2－|a|＝10是一个关于x，
y，z的三元一次方程，那么a＝________，
b＝____．
－1
0
2
三元一次方程组的解法
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1.解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或
“加减”进行消元，把“______”化为“_____”，
使三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而
再转化为_________方程，用简图表示为：
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一
次方程
消元
消元
三元
二元
一元一次
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2．求解方法：加减消元法和代入消元法．
3．解三元一次方程组的一般步骤：(1)利用代入法或
加减法消去三元一次方程组的一个未知数，得到
关于另外两个未知数的二元一次方程组；
(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个
系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
(5)将求得的三个未知数的值用符号“{”合写在一
起．
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2
三元一次方程组的解法
4．解三元一次方程组
先消去________，化为关于________、
_______ 的二元一次方程组较简便．
z
x
y
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5．解方程组 若要使运算简便，消元
的方法应选(　　)
A．消去x B．消去y
C．消去z D．以上说法都不对
B　
因为y的系数的绝对值都是1，所以消去y较简便．
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6．已知三元一次方程组
经过步骤①－③和③×4＋②消去未知数z后，得
到的二元一次方程组是(　　)
A. B.
C. D.
①
②
③
A
3
三元一次方程组的应用
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（1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母（如
x,y,z）表示题目中的数量关系.
(2)找出能够表达应用题全部含义的三个相等关系.
(3)根据这些相等关系列出代数式，从而列出方程，
并组成方程组.
(4)解这个方程组求出未知数的值.
(5)写出答案，包括单位名称.
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3
三元一次方程组的应用
7．(2015·滨州)某服装厂专门安排210名工人进行
手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖、1个衣
身、1个衣领组成．如果每人每天能够缝制衣袖
10个，或衣身15个，或衣领12个，那么应该安
排________名工人缝制衣袖，才能使每天缝制
出的衣袖、衣身、衣领正好配套．
120
　　　　忽略集中消同一未知数导致不会解三元一次方程组
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1
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8．下面是小明解三元一次方程组的消元过程，当他
解到第三步时，发现还是无法求出方程组的解，
请帮小明分析解题的错因，并加以改正．
解方程组：
[错解]第一步：①－②，得(消y)x－z＝－6④，第
二步：②－③，得(消z)y－x＝3⑤，第三步：由④
⑤组成方程组，得 此方程组
无法求解．
①
②
③
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错解原因是消元的目的不明确，消元时，应始终对同一个未知数进行，否则就达不到消元的目的．
正解：②－③，得y－x＝3，④，
由①④组成方程组，得
解得 将x＝12代入③，得z＝18.
∴方程组的解为
　　　加减消元时，易漏乘某项系数而出错
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2
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9．解方程组
①
②
③
由②＋①×2，得4x＋3x＋6z＋2z＝4，
即7x＋8z＝4.④，
由③＋②×2，得6x－4x＋4z－z＝4－1，
即2x＋3z＝3.⑤　
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由④⑤组成方程组，得
解得 把 代入①，得y＝－2.
所以原方程组的解为
解三元一次方程组时，通常需在某些方程两边同乘以某常数，以便于消去同一未知数；在变形过程中，易漏乘常数项而出现方程①变形为4x＋2y＋6z＝1的错误．
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名师点金
解三元一次方程组的基本思路仍是消元，是将复杂问题简单化的一种方法．其目的是利用代入法或加减法消去一个未知数，从而变三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．其基本过程为：
三元 二元 一元．
消元
消元
转化
转化
1
巧解较复杂的三元方程组（换元法）
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10．解方程组
①
②
③
分析
此方程组较为复杂，通过观察各个方程可以发现将 ， ， 分别看成一个整体，则方程可化为三元一次方程组，再通过三元一次方程组的解法可求解．
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设 ＝a， ＝b， ＝c，
则原方程组可化为
①＋②，得2a＋2c＝1，④
②＋③，得2a＋4c＝4.⑤
④与⑤组成方程组，得
解这个方程组，得
①
②
③
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把 代入①，得b＝6.
因此，x＝－1，y＝ ，z＝ .
即原方程组的解为
本题运用了换元法，将 ， ， 分别用a，b，c表示，将原方程组化为关于a，b，c的三元一次方程组，求出a，b，c的值后，进一步再求x，y，z的值，这种方法可使解题过程变简便．
2
巧解含比例的三元方程组（等比法）
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11．解方程组
①
②
设x＝k，y＝2k，z＝3k，代入②得：
2k＋2k－9k＝15.解得k＝－3.
∴原方程组的解为
像这种已知未知数之间数量比的问题，通常采用设参数的方法，将“多元”化为“一元”，使解题过程变简便．
3
巧解“每个方程中只有二元”的三元一次方程组（整体思想）
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12．解方程组：
①
②
③
①＋②＋③得：2x＋2y＋2z＝12，
所以x＋y＋z＝6，④
④－①，得z＝3.④－②，得x＝1.④－③，得y＝2.
所以原方程组的解为
本题没有采用常规的消元方法求解，而是利用整体加减的方法求出未知数的值，给解题过程带来了简便．
4
代入法、加减法的综合运用（一题多解）
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13．用两种消元法解方程组：
①
②
③
方法一：代入法解方程组．
把②变形为：2y＝3x－4z－8，④
将④代入①得：2x＋2(3x－4z－8)－3z＝9，整理得
8x－11z＝25.⑤
将④代入③得：5x－3(3x－4z－8)－5z＝7，整理得
4x－7z＝17.⑥
由⑤⑥组成方程组，得 解得
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将 代入④，得 y＝ .
∴此方程组的解为
方法二：加减法解方程组
①＋②×2得：8x－11z＝25.④
①×3＋③×2得：16x－19z＝41.⑤
由④、⑤，得 解得
将 代入①，得 y＝ .
∴此方程组的解为
5
利用三元一次方程组求有关式子的待定系数
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14．当x＝1，－1，3时，y＝ax2＋bx＋c的值分别为1，
4，0，求当x＝2时，y的值．
由题意得： 解得
∴y＝ x2－ x＋ .
当x＝2时，y＝ ×22－ ×2＋　
＝1－3＋
＝ .
6
利用方程组解实际应用问题
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15．有三块牧场，草长得一样密一样快，面积分别
为3 公顷，10公顷和24公顷，第一块12头牛可
吃4星期，第二块21头牛可吃9星期，第三块可供
多少头牛吃18个星期？
设牧场每公顷原有草 x t，每星期新生草 y t，每头牛每周吃草a t，
根据题意得
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化简得：
②－①得，50y＝45a，∴y＝0.9a，
将y＝0.9a代入①得10x＋40×0.9a＝144a，
∴x＝10.8a，
∴
∴
答：第三块牧场可供36头牛吃18个星期．
②
①
精炼方法·教你一招
教你一招
解三元一次方程组的消元技巧：
(1)先消去某个方程缺少的未知数；
(2)先消去系数最简单的未知数；
(3)先消去系数成整倍数关系的未知数．
另外，在“消元”的过程中必须保证每个方程至少用一次．