北师大版八年级数学下册 1.1等腰三角形（第4课时） 课件（共25张）

(共25张PPT)
1.1 等腰三角形（4）
定理:等腰三角形的两个底角相等.
简称:等边对等角
推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、
底边上的高线互相重合 .
1、等腰三角形的性质:
判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形.
简称:等角对等边.
复习回顾：
简称三线合一
2、等边三角形
定义：有三边相等的三角形叫等边三角形
性质:
（1）等边三角形的三个角都相等,并且每个角都
等于60°
（2）等边三角形每一条边上的高、中线和对角的平分线都三线合一
等边三角形的判定:
一个等腰三角形满足什么条件时便可成为等边三角形？
探索新知：
1、三条边都相等的三角形是等边三角形.
2、三个角都相等的三角形是等边三角形.
证明:∵∠A=∠B (已知),
∴ BC=AC,(等角对等边).
又∵∠B=∠C(已知),
∴ AB=AC,(等角对等边).
∴AB=BC=AC(等式性质).
∴ △ABC是等边三角形(等边三角形定义).
已知:如图,在△ABC中,∠A=∠B=∠C.
求证:△ABC是等边三角形.
A
C
B
2、三个角都相等的三角形是等边三角形.
证一证：
定理：
你认为有一个角等于600的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？把你的证明思路与同伴进行交流。
想一想：
A
C
B
600
A
C
B
600
有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.
证明:∵AB=AC, ∠B=600(已知),
∴∠C=∠B=600.(等边对等角)
∴∠A=600(三角形内角和定理)
∴∠A=∠B=∠C （等式性质）.
∴ △ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是 等边三角形).
已知:如图,在△ABC中 AB=AC,∠B=600.
求证:△ABC是等边三角形.
A
C
B
600
证一证：
2、有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.
在△ABC中,
∵AB=AC,∠B=600(或∠A=60°或∠C=60°).
∴△ABC是等边三角形(有一个角是600的等腰三角形是等边三角形).
A
C
B
600
等边三角形的判定定理：
1、三个角都相等的三角形是等边三角形.
在△ABC中, ∵ ∠A=∠B=∠C.
∴△ABC是等边三角形.
用一用：
例1：如图,△ABC是等边三角形，DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E.求证:△ADE是等边三角形.
A
B
C
D
E
证明：∵ △ABC是等边三角形.
∴∠A=∠B=∠C =60°
∵ DE∥BC
∴∠ADE=∠B=60°,∠AED=∠C=60°
∴∠ADE=∠AED=∠A
∴△ADE是等边三角形.
（三个角都相等的三角形是等边三角形.）
用两个含有300角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？
300
300
300
300
能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.
300
300
做一做：
能证明你的结论吗？
结论:在直角三角形中, 300角所对的直角 边等于斜边的一半.
由刚才的拼图你想到，在直角三角形中, 300角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？
300
猜一猜：
300
300
在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
300
A
B
C
证 一证
已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=900,
∠A=300
求证:BC= AB.
300
A
B
C
D
∵ ∠ACB=900, (已知),
∴∠ACD=900(平角意义)
在△ABC与△ADC中
∵BC=DC（作图）
∠ACB=∠ACD（已证）
AC=AC（公共边）
∴△ABC≌△ADC（SAS）
∴ AD=AB
∵∠ACB=900,∠A=300(已知),
∴∠B=600(直角三角形两锐角互余).
证明: 延长BC至D,使CD=BC,连接AD
∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)
∴BC= BD= AB
定理:
在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,
那么它所对的直角边等于斜边的一半.
在△ABC中,
∵∠ACB=900,∠A=300.
∴BC= AB.(在直角三角形中,
300角所对的直角边等于斜边的一半).
A
B
C
300
几何的三种语言
解:∵∠B=∠ACB=150(已知),
∴∠DAC=∠B+∠ACB= 150+150=300(三角形的一个外角,等于和不相邻的两内角的和).
∴CD= AC=a(在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半).
例2 .已知:如图,等腰三角形的底角为150,
腰长为2a.求:腰上的高.
A
C
B
D
150
150
2a
2a
1.已知:如图,
在△ABC中,∠ACB＝900,∠A=300,CD⊥AB于D.
求证:BD=AB/4.
你能规范地写出证明过程吗？
A
C
B
D
300
练一练
300
2.已知：如图，△ABC是等边三角形,D.E分别是BC,AC上的点,且AE=CD,BE和AD相交于P,BQ⊥AD, 垂足是Q,
(1)求∠BPD的度数
(2)求证:BP=2PQ
A
C
D
B
P
E
Q
2
1
2
3
思路：
先证△ABE≌△CAD(SAS)
∴ ∠1= ∠2
∵∠BPD= ∠1+ ∠3
∴∠BPD= ∠2+ ∠3= 60°
300
命题:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.是真命题吗
如果是,请你证明它.
300
A
B
C
已知:如图,在△ABC中,∠ACB=900,BC=AB/2.
求证:∠A=300.
逆向思维
在△ABC和△ADC中,
∵BC=CD,∠ACB= ∠ACD= 900,AC=AC
∴ △ABC≌△ADC(SAS) ,∴ AB=AD
又∵BC=AB/2 BC=BD/2
∴AB=BD
∴AB=BD=AD
∴△ABD是等边三角形.
∴∠B=600 ,∴∠A=300
A
B
C
D
证明:如图, 延长BC至D,使CD=BC,连接AD.
几何的三种语言
定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.
在△ABC中
∵∠ACB=900,BC=AB/2(已知),
∴∠A=300(在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300).
A
B
C
300
如图(1):四边形ABCD是一张正方形纸片,E,F分别是AB,CD的中点,沿着过点D的折痕将A角翻折,使得A落在EF上(如图(2)), 折痕交AE于点G,那么∠ADG等于多少度 你能证明你的结论吗
D
A
C
B
E
F
D
A
C
B
E
F
(1)
(2)
G
A
答:∠ADG等于150.
证明:
∵DF=DC/2
A1D=AD=CD
∴DF=A1D/2
∴∠DA1F=300 (在直角三角形中,
如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300).
∴∠A1DA=∠DA1F=300 (两直线平行,内错角相等).
∴∠ADG=∠A1DA/2=150(角平分线定义).
D
A
C
B
E
F
(2)
G
A1
又∵AD∥EF
1、等边三角形的判定方法:
（1）等边三角形的定义
（2）定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.
（3）定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.
小 结
2、特殊的直角三角形的性质:
（1）定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
（2）逆定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.
1、习题1.4 第2,3题.
2、自学第14页至第17页，重点学习第16页的“读一读”.
作 业