《等腰三角形的特殊性质和等边三角形的性质》提升训练
1.如图，一个等边三角形纸片剪去一个角后变成一个四边形，则图中的度数为（ ）
A.180° B.220°
C.240° D.300°
2.（2019·天水）如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（ ）
A.（1，1） B.（1，）
C.（，1） D.（，）
3.如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD和△BCE是等边三角形，连接AE，交BD于点P，连接CD，分别交BE，AE于点Q，M，连接BM，PQ，则的度数为（ ）
A.45° B.60°
C.75° D.90°
4.如图，在等边△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，CD，BE交于点O，则的度数是______.
5.如图，在等边△ABC中，D是BC上的一点，延长AD至E，使的平分线交△ABC的高BF于点O.求的度数.
6.（教材P7习题T3变式）如图，△ABC为等边三角形，点M是线段BC上任意一点，点N是线段CA上任意一点，且相交于点Q.
（1）求证：；
（2）求的度数.
7.已知，如图所示，P为等边△ABC内的一点，它到三边AB，AC，BC的距离分别为，△ABC的高，则h与有何数量关系？写出你的猜想并加以证明.
参考答案
1.C 2.B 3.B 4.
5. 解：△ABC是等边三角形，BF是△ABC的高，，.
，.
AO为的平分线，.
在△ABO和△AEO中，（SAS）.
6.解：（1）证明：△ABC为等边三角形，，.在△AMB和△BNC中，
（SAS）.AM=BN.BM.
（2），.
7.解：猜想：证明如下：连接.
,
,
△ABC是等边三角形，.
1 / 3《1.1.1 等腰三角形的性质》知识过关练
知识点一 全等三角形的性质与判定
1.（2019河北衡水故城期末）如图，△ABC≌△DEC，点E在线段AB上，若∠AED+∠BCE=52°，则∠ACD的度数为（ ）
A.25°
B.26
C.27°
D.28°
2.如图，已知AB=AC，D、E分别为AB、AC上的点，AD=AE，则下列结论不一定成立的是（ ）
A.∠B=∠C
B.DB=EC
C.DC=EB
D.AD= DB
3.（2019广东广州中考）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB.
求证：△ADE≌△CFE.
知识点二 等腰三角形的性质定理及其推论
4.（2020山西太原期中）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=64°，则∠C的度数为（ ）
A.30°
B.32°
C.40°
D.48°
5.（2020独家原创试题）等腰三角形的一个外角是100°，则它的底角的度数为_________.
6.在等腰三角形ABC中，AB=AC，下列说法：
①BC边上的高线和中线重合；
②AB和AC边上的中线的长度相等；
③△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线的长度相等；
④AB和BC边上的高线的长度相等
其中正确的是_________（填序号）.
7.如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.求证：AO⊥BC.
知识点三 等边三角形的性质定理
8.如图所示，△ABC是等边三角形，且AB=BD，则∠ADC等于（ ）
A.120°
B.135°
C.145°
D.150°
9.如图，在等边三角形ABC中，BE和CD分别是AC、AB边上的高，则∠BFC的度数为_________.
10.如图，在等边三角形ABC中，AE=CD，AD、BE交于点P，BQ⊥AD于点Q，求∠PBQ的度数.
参考答案
1.答案：B
∵△ABC≌△DEC，∴∠ABC=∠DEC，∠ACB=∠DCE，∴∠ACD=∠BCE，∵∠AED+∠DEC+∠CEB=180°，∠CEB+∠ABC+∠BCE=180°，∴∠AED=∠BCE，∵∠AED+∠BCE=52°，∴∠AED=∠BCE=×52°=26°.∴∠ACD=∠BCE=26°.故选B.
2.答案：D
解析：∵AB=AC，∠A=∠A，AE=AD，∴△ABE≌△ACD，∴∠B=∠C，DC=EB，故A、C正确，不符合题意；∵AB=AC，AD=AE，∴DB=EC，故B正确，不符合题意，故选D.
3.答案：见解析
解析：证明：∵FC∥AB，∴∠A=∠ECF，
在△ADE和△CFE中，，
∴△ADE≌△CFE（AAS）.
4.答案：B
解析：∵AB=AD，∴∠ADB=∠B=64°，
∵AD=CD，∴∠C=∠DAC=∠ADB=32°，故选B.
5.答案：80°或50°
解析：①当100°是等腰三角形底角的外角时，底角的度数为180°-100°=80°。
②当100°是等腰三角形顶角的外角时，顶角的度数为180°-100°=80°
∴底角的度数为（180°-80°）×=50°.
∴底角的度数为80°或50°.
6.答案：①②③
解析：由AB=AC，知BC为底边，由等腰三角形的性质知①正确，由全等三角形的性质可判断②③正确.
7.答案：见解析
解析：证明：如图，延长AO交BC于D.
在△ABO和△ACO中，∵，
∴△ABO≌△ACO，∴∠BAO=∠CAO，即∠BAD=∠CAD，
∴AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，
∴AD⊥BC，即AO⊥BC.
8.答案：D
解析：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°.
∵AB=BC=BD，∴∠BAD=∠BDA，∠BCD=∠BDC.
∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=360°，∠BDA+∠BDC=∠ADC，
∴60°+2∠ADC=360°，∴∠ADC=150°.
9.答案：120°
解析：∵△ABC是等边三角形，BE、CD分别是AC、AB边上的高，
∴∠FBC=∠FCB=×60°=30°，
∴∠BFC=180°-30°-30°=120°.
10.答案：见解析
解析：∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC=AB，∠C=∠BAC=60°.
在△ACD和△BAE中，，
∴△ACD≌△BAE，∴∠CAD=∠ABE.
∵∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°，
∴∠ABE+∠BAP=60°，∴∠BPQ=60°.
∵BQ⊥AD，∴∠BQP=90°，∴∠PBQ=90°-60°=30°.
1 / 6《1.1.2等边三角形的性质》刷基础
知识点一 等腰三角形中的相等线段
1.如图，在△ABC中，AB=AC，下列条件中，不能使BD=CE的是（ ）
A.BD，CE分别为AC，AB上的高
B.BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线
C.∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB
D.∠ABD=∠BCE
2.[2020吉林长春月考]如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上的一点，连接AD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BM为AC边上的高，试探索DE+DF与BM的大小关系.
知识点二 等边三角形的性质
3.如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC于点D，若AB=4，则AD的长为（ ）
A.1
B.1.5
C.2
D.2.5
4.[2019天津河西区期末]等边三角形的边长为2，则该等边三角形的面积是（ ）
A.
B.2
C.1
D.
5.[2020河南商丘期末]三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠1+∠2=120°，则∠3的度数为（ ）
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
6.如图，△ABC是等边三角形，BD是高，延长BC到点E，使DB=DE，则∠CDE=
.
7.[2019重庆沙坪坝区校级期末]如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，F在同一直线上，CD=CE，DF=DG，则∠F= °.
8.[2019山东济南历下区期末]如图所示，△ABC是等边三角形，且BD=CE，求∠2的度数.
9.如图，△ABC与△BDE都是等边三角形，求证：AE= CD.
参考答案
1.答案：D
解析：A选项，由BD，CE分别为AC，AB上的高，可判定△BCE≌△CBD，得到BD=CE，不符合题意；B选项，由BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线，可判定△BCE≌△CBD，得到BD=CE，不符合题意；C选项，由∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，可得∠DBC=∠ECB，可判定△BCE≌△CBD，得到BD=CE，不符合题意；D选项，由∠ABD=∠BCE，不能判定△BCE≌△CBD，得不到BD=CE，符合题意.故选D.
2.答案：BM=DE+DF.
解析：因为，∴AC·BM=AB·DE+AC·DF.∵AB=AC，∴BM=DE+DF.
3.答案：C
解析：∵△ABC是等边三角形，AB=4，∴AC=AB=4.∵BD⊥AC，∴AD=AC=.故选C.
4.答案：A
解析：如图，在等边三角形ABC中，AB=2，过点A作AD⊥BC于点D.
∵等边三角形高线即中线，∴BD=CD=1.在Rt△ABD中，AB=2，BD=1，
∴AD=，∴等边三角形ABC的面积为BC·AD=.故选A.
5.答案：B
解析：如图，∵∠3+∠6+60°=180°，∠2+∠4+60°=180°，∠1+∠5+60°=180°，∴.∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=540°-180°=360°.又∵∠4+∠5+∠6=180°，∴∠1+∠2+∠3=180°，∴∠3=180°-（∠1+∠2）=60°.故选B.
6.答案：30°
解析：∵△ABC是等边三角形，BD是高，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴∠DBC=∠ABC=30°.又∵DB=DE，∴∠E=∠DBC=30°，∴∠CDE=∠ACB-∠E=60°-30°=30°.
7.答案：15
解析：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ACD=120°.∵CE=CD，∴∠CDE=30°，∴∠FDG=150°.∵DF=DG，∴∠F=15°.故答案为15.
8.答案：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=∠BCE=60°.∵BD=CE，∴△ABD≌△BCE，∴∠1=∠CBE.∵∠2=∠1+∠ABE，∴∠2=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60°.
解析：
9.答案：证明：
∵△ABC与△BDE都是等边三角形，∴∠ABC=∠EBD=60°，AB=BC，EB=BD，∴∠ABC+∠CBE=∠EBD+∠CBE，即∠ABE=∠CBD.在△ABE和△CBD中，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE=CD.《等腰三角形的特殊性质和等边三角形的性质》基础训练
知识点1 等腰三角形相关线段的性质
1.如图，在△ABC中，，下列条件中，不能使的是（ ）
A.BD，CE分别为AC，AB上的高
B.BD，CE为△ABC的角平分线
C.
D.
2.如图，在△ABC中，，BD，CE分别平分，则下列结论不一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3.证明：等腰三角形两腰上的高相等.
已知：如图，在△ABC中，于点D求证：.
知识点2 等边三角形的性质
4.如图，△ABC是等边三角形，则（ ）
A.60° B.90°
C.120° D.180°
5.（2018·湘潭）如图，在等边△ABC中，点D是边BC的中点，则______.
6.如图，△ABC为等边三角形，______.
7.等边△ABC的边长如图所示，则______.
8.（2019·镇江）如图，直线，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D.若△BCD是等边三角形，______.
9.如图，在等边△ABC中，点D为BC延长线上一点，点E为CA延长线上一点，且
10.如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，，E在边AC上，求的度数.
参考答案
1.D 2.C
3..
又（AAS）..
4.C 5. 6. 7.3 8.
9.证明：△ABC是等边三角形，
.
.
在△EAB和△DCA中,
（SAS）.
10.解：△ABC是等边三角形，AD为中线，
.
，.
1 / 4第2课时等边三角形的性质
1.(2018· 福建)如图,在等边△ABC中,AD⊥BC,垂足为D，点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE等于 ( )
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
2.如图,点A,B,C在一条直线上,△ABD和△BCE是等边三角形，连接AE,交BD于点P,连接CD,分别交BE,AE于点Q,M,连接BM,PQ,则∠AMD的度数为( )
A.45° B.60° C.75° D.90°
3.如图,在等边△ABC中,点D,E分别是边AB,AC的中点,CD,BE相交于点O,则∠BOC的度数是 .
4.如图,在等边△ABC中,D是BC上的一点,延长AD至点E,使AE=AC,∠BAE的平分线交
△ABC的高BF于点O.求∠E的度数.
5.(教材P7习题T3变式)(2018·郑州郑东新区期中)已知:如图,等边△ABC,点D,E分别在边CB,AC的延长线上,且AE=CD,连接AD,BE.
(1)求证:AD=BE;
(2)延长线段EB交AD于点P,则∠APB= 度.
6.如图,已知等边△ABC纸片,点E在AC边上,点F在AB边上,沿EF折叠,使点A落在BC边上的点D的位置,且ED⊥BC,则∠EFD= .
7.已知,如图所示,P为等边△ABC内的一点,它到三边AB,AC,BC的距离分别为h1,h2,h3,
△ABC的高AM=h,则h与h1,h2,h3,有何数量关系 写出你的猜想并加以证明.
参考答案
1.A 2.B 3.120°
4.∠E=30°.
5.(1)证明:∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC,∠ABC=∠ACB=60o.∴∠ABD=∠BCE.
∵AE=CD,∴BD=CE.在△ABD和△BCE中,∴△ABD≌△BCE(SAS).
∴AD=BE.
(2)60
6.45°
7.猜想:h1+h2+h3=h.证明如下:PA,PB,PC.∵S△PAB=AB·h1,S△PAC=AC·h2,
S△PBC=BC·h3,S△ABC=BC·h,S△PAB+S△PAC+S△PBC=S△ABC,
∴AB·h1+AC·h2+BC·h3=BC·h.∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC.
∴h1+h2+h3=h.
2/4
1/4
