北师大版八年级数学下册 1.1 等腰三角形（第4课时） 课件（共21张）

(共21张PPT)
第一章 三角形的证明
1 等腰三角形（4）
Contents
目录
01
02
03
04
旧知回顾
学习目标
新知探究
随堂练习
05
课堂小结
理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30 角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题.
定理: 等腰三角形的两个底角相等.
简称：等边对等角
推论: 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合 .
1、等腰三角形的性质:
判定定理: 有两个角相等的三角形是等腰三角形.
简称：等角对等边.
简称：三线合一
2、等边三角形
定义：有三边相等的三角形叫等边三角形.
性质:
（1）等边三角形的三个角都相等, 并且每个角都等于60°.
（2）等边三角形每一条边上的高、中线和对角的平分线都三线合一.
想一想
我们知道“三条边都相等的三角形是等边三角形”，那一个三角形的内角满足什么条件时是等边三角形呢？
三个角都相等的三角形是等边三角形.
你能证明这个结论吗？
证明: ∵∠A=∠B (已知),
∴ BC=AC (等角对等边).
又∵∠B=∠C (已知),
∴ AB=AC (等角对等边).
∴AB=BC=AC(等式性质).
∴ △ABC是等边三角形(等边三角形定义).
已知: 如图, 在△ABC中, ∠A=∠B=∠C.
求证: △ABC是等边三角形.
A
C
B
定理： 三个角都相等的三角形是等边三角形.
你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？ 把你的证明思路与同伴进行交流.
A
C
B
600
A
C
B
600
想一想
定理： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
证明: ∵AB=AC, ∠B=60°(已知),
∴∠C=∠B=60 °.(等边对等角)
∴∠A=60°(三角形内角和定理)
∴∠A=∠B（等式性质）
∴ AC=CB（等角对等边）
∴AB=BC=AC（等式性质）
∴ △ABC是等边三角形(等边三角形意义)
已知: 如图, 在△ABC中 ，AB=AC, ∠B=60°.
求证: △ABC是等边三角形.
A
C
B
600
2、有一个角是60 °的等腰三角形是等边三角形.
在△ABC中,
∵AB=AC,∠B=60 °(或∠A=60°或∠C=60°).
∴△ABC是等边三角形 (有一个角是600的等腰三角形是等边三角形).
A
C
B
600
等边三角形的判定定理：
1、三个角都相等的三角形是等边三角形.
在△ABC中,
∵ ∠A=∠B=∠C.
∴△ABC是等边三角形.
用两个含有30°角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？
300
300
能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.
做一做：
300
300
300
300
能证明你的结论吗？
结论: 在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半.
由刚才的拼图你想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？
猜一猜：
300
300
300
300
A
B
C
已知: 如图, 在Rt△ABC中,
∠ACB=90°,∠A=30°
求证: BC= AB.
定理：在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
300
A
B
C
D
分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题
转 化
“线段相等”问题
延长BC至D, 使CD=BC, 连接AD
300
A
B
C
D
∵ ∠ACB=90°, (已知)
∴∠ACD=90° (平角意义)
在△ABC与△ADC中
∵BC=DC（作图）
　 ∠ACB=∠ACD（已证）
AC=AC（公共边）
∴△ABC≌△ADC（SAS）
∴ AD=AB
∵∠ACB=90°, ∠A=30° (已知),
∴∠B=60° (直角三角形两锐角互余).
∴△ABD是等边三角形 (有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)
∴BC= BD/2= AB/2(等式性质).
证明: 延长BC至D,使CD=BC,连接AD
定理:
在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°, 那么它所对的直角边等于斜边的一半.
在△ABC中,
∵∠ACB=90 °, ∠A=30 °
∴BC= AB
(在直角三角形中, 30 °角所对的直角边等于斜边的一半)
A
B
C
300
几何的三种语言
A
C
B
D
150
150
已知：如图，ABC中，AB=AC，
∠B= 15°, CD是腰AB上的高
证明:
∵∠B=∠ACB=15° (已知),
∴∠DAC=∠B+∠ACB= 15°+ 15°= 30° (三角形的一个外角,等于和不相邻的两内角的和).
例4. 求证: 如果等腰三角形的底角为15°, 那么腰上的高是腰长的一半.
求证: CD= AC
∴CD= AC (在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°, 那么它所对的直角边等于斜边的一半).
1. 如图, △ABC是等边三角形，DE∥BC, 分别交AB, AC于点D、E.
求证:△ADE是等边三角形.
A
B
C
D
E
证明：
∵ △ABC是等边三角形.
∴∠A=∠B=∠C =60°
∵ DE∥BC
∴∠ADE=∠B=60°,∠AED=∠C=60°
∴∠ADE=∠AED=∠A
∴△ADE是等边三角形.
（三个角都相等的三角形是等边三角形）
命题:
在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半, 那么它所对的锐角等于30°. 是真命题吗
如果是, 请你证明它.
300
A
B
C
已知: 如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°, BC=AB/2.
求证: ∠A=30°.
逆向思维
在△ABC和△ADC中,
∵BC=CD, ∠ACB=∠ACD= 90°, AC=AC
∴ △ABC≌△ADC(SAS) ,
∴ AB=AD
又∵BC=AB/2 BC=BD/2
∴AB=BD
∴AB=BD=AD
∴△ABD是等边三角形.
∴∠B=60°
∴∠A=30°
A
B
C
D
证明: 如图, 延长BC至D, 使CD=BC, 连接AD.
已知: 如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°, BC=AB/2.
求证: ∠A=30°.
1、等边三角形的判定方法:
（1）等边三角形的定义
（2）定理: 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
（3）定理: 三个角都相等的三角形是等边三角形.
2、特殊的直角三角形的性质:
（1）定理: 在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°, 那么它所对的直角边等于斜边的一半.
（2）逆定理: 在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半, 那么它所对的锐角等于30°.
习题1.4，第1、2题．
作 业