必刷题《1.1.3等腰三角形的判定和反证法》刷提升
1.[中]如图，O是△ABC的∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于点D，OE∥AC交BC于点E.若BC=16，则△ODE的周长是（ ）
A.16
B.10
C.8
D.以上都不对
2.[中]如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，BE⊥CD，∠A=∠ABE.若AC=5cm，BC=3cm，则BD的长为( )
A.1 cm
B.1.5cm
C.2 cm
D.4 cm
3.[中]如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能得到两个等腰三角形纸片的是( )
A.
B.
C.
D.
4.[2020四川成都期末，中]如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
5.[2019黑龙江哈尔滨一模，中]在△ABC中，AB=AC，∠BAC>90°，点E在边BC上，且使△ABE和△ACE都为等腰三角形，则∠EAC= .
6.[2019重庆南岸区校级期末，中]如图，直线AB∥CD，∠ACD的平分线CE交AB于点F，∠AFE的平分线交CA的延长线于点G.
（1）证明：AC=AF；
（2）若∠FCD=30°，求∠G的大小.
7.[2020安徽阜阳期末，中]如图，在△ABC中，D是AB边上一点，在AC的延长线上取CE=BD，连接DE交BC于点F.若DF=EF，求证：△ABC为等腰三角形.
8.[2020山东菏泽期末，较难]如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E.
(1)当∠BDA=115°时，∠BAD= ；点D从点B向点C运动过程中，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）；
(2)在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形.
参考答案
1.答案：A
解析：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO=∠DBO.又∵OD∥AB，∴∠ABO=∠DOB，∴∠DBO=∠DOB，∴OD=BD.同理可得OE=CE.∵BC=16，∴△ODE的周长为OD+DE+OE=BD+DE+EC=BC=16.故选A.
2.答案：A
解析：∵CD平分∠ACB，BE⊥CD，∴∠BCD=∠ECD，∠CDB=∠CDE=90°.在△BDC和△EDC中，∴△BDC≌△EDC，∴EC=BC=3 cm，ED=BD=BE.∵AC=5 cm，∴AE=AC-CE=2 cm.∵∠A=∠ABE，∴BE=AE=2 cm，∴BD=1 cm.故选A.
3.答案：A选项，如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；
B选项，如图所示，△ABC不能分成两个等腰三角形；
C选项，如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；
D选项，如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形.
故选B.
解析：
4.答案：C
解析：分AB为腰和底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数.当AB为腰时，点C有2个；当AB为底时，点C有1个，故选C.
5.答案：36°或72°
解析：如图（1），当EB=EA，CA=CE时，则∠B=∠BAE，∠CEA=∠CAE.设∠B=∠BAE=，则∠AEC=∠CAE=2.∵AB=AC，∴∠C=∠B=.∵∠CEA+∠CAE+∠C=180°，∴.5=180°，∴=36°，∴∠EAC=72°.如图（2），当BA=BE，EA=EC时，同法可得∠EAC=36°故答案为36°或72°.
6.答案：（1）【证明】∵CE是∠ACD的平分线，∴∠ACF=∠DCF.∵AB∥CD，∴∠AFC=∠DCF，∴∠ACF=∠AFC，∴AC=AF.
（2）【解】∵∠FCD=30°，AB∥CD，∴∠ACD=∠GAF=60°，∠AFC=30°.∵FG是∠AFE的平分线，∴∠AFG=∠GFE=∠AFE=75°，∴∠G=180°-∠GAF-∠AFG=180°-60°-75°=45°.
解析：
7.答案：【证明】过点D作DM∥AC交BC于点M.
∴∠DMB=∠ACB，∠FDM=∠E.在△DMF和△ECF中，∴△DMF≌△ECF（ASA），∴DM=EC.∵CE=BD，∴DM=BD，∴∠B=∠DMB，∴∠B=∠BCA，∴AB=AC，∴△ABC为等腰三角形.
解析：
8.答案：（1）25° 小
解析：∠BAD=180°-∠ABD-∠BDA=180°-40°-115°=25°；从图中可以得知，点D从点B向点C运动过程中，∠BDA逐渐变小.
（2）【解】∵AB=AC，∴∠C=∠B=40°.
①当AD=AE时，∠AED=∠ADE=40°，此时∠AED=∠C，∴不符合.
②当DA=DE，即∠DAE=∠DEA=（180°-40°）=70°时.
∵∠BAC=180°-40°-40°=100°，∴∠BAD=100°-70°=30°，
∴∠BDA=180°-30°-40°=110°.
③当EA=ED时，∠DAE=∠ADE=40°，∴∠BAD=100°-40°=60°，
∴∠BDA=180°-60°-40°=80°.综上，当∠BDA=110°或80°时，△ADE是等腰三角形.《等腰三角形的判定与反证法》提升训练
1.如图，已知△ABC，点D，E分别在边AC，AB上，.下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
2.已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分过点O作，分别交AB，AC于点D，E，若，则线段DE的长为（ ）
A.5 B.6
C.7 D.8
3.用反证法证明“一个三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，应假设______.
4.如图，下列4个三角形中，均有，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能将这个三角形分成两个小等腰三角形的是______（填序号）.
5.如图，在△ABC中，，D为BC边的中点，F为CA的延长线上一点，过点F作于点G，并交AB于点E，求证：
（1）；
（2）△AEF是等腰三角形.
6.如图，在等边△ABC中，，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，，垂足为F.
（1）求BD的长;
（2）求证：
7.如图，在△ABC中，，点D在线段BC上运动（D不与B，C重合），连接AD，作，DE交线段AC于点E.
（1）当______,______;点D从B向C运动时，逐渐变______（填“大”或“小”）：
（2）当DC等于多少时，，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数；若不可以，请说明理由.
参考答案
1.D 2.A
3.这个三角形中至少有两个角是直角或钝角
4.②
5.证明：（1）.
.
（2）.
.
.△AEF是等腰三角形
6.解：（1）BD是等边△ABC的中线，，BD平分AC.
,.在Rt△ABD中，由勾股定理，得.
（2）证明：BD是等边△ABC的中线，
BD平分..
又，.
又，
.
7.解：（1）
（2）当时，.
理由：
又，.
又，（AAS）.
（3）可以，∠BDA的度数为110°或80°.
1 / 3必刷题《1.1.3等腰三角形的判定和反证法》刷基础
知识点一 等腰三角形的判定
1.[2020黑龙江绥化校级期末]下列三角形不可能是等腰三角形的是（ ）
A.有两个内角分别为75°，75°的三角形
B.有两个内角分别为110°和40°的三角形
C.有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形
D.有一个外角为140°，一个内角为100°的三角形
2.[2020上海松江区期末]关于△ABC，给出下列四组条件：
①△ABC中，AB=AC；
②△ABC中，∠B=56°，∠A=68°；
③△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC；
④△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC；
其中，能判定△ABC是等腰三角形的条件共有（ ）
A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
3.如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是 .
4.如图，AB∥CD，直线交AB于点E，交CD于点F，FG平分∠EFD交直线AB于点G.求证：△EFG是等腰三角形.
5.从①AB=DC；②BE=CE；③∠B=∠C；④∠BAD=∠CDA四个等式中选出两个作为条件，证明△AED是等腰三角形.（写出一种即可）
知识点二 等腰三角形的判定的实际应用
6.[2020河北模拟]嘉嘉和淇淇玩一个游戏，他们同时从点B出发，嘉嘉沿正西方向行走，淇淇沿北偏东30°方向行走，一段时间后，嘉嘉恰好在淇淇的南偏西60°方向上.若嘉嘉行走的速度为1 m/s，则淇淇行走的速度为（ ）
A.0.5 m/s
B.0.8 m/s
C.1 m/s
D.1.2 m/s
7.如图，一艘渔船位于小岛P的南偏东70°方向的M处.它以每时40千米的速度向正北方向航行，2时后到达位于小岛P的北偏东40°方向的N处，求N处与小岛
P的距离.
知识点三 反证法的应用
8.[2020浙江宁波模拟]用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应首先假设这个四边形中( )
A.没有一个角是锐角
B.每一个角都是钝角或直角
C.至少有一个角是钝角或直角
D.所有角都是锐角
9.用反证法证明：等腰三角形的底角必为锐角.
参考答案
1.答案：B
解析：A选项，有两个内角分别为75°，75°的三角形，另一内角为30°，可以构成等腰三角形；B选项，有两个内角分别为110°和40°的三角形，另一内角为30°，不能构成等腰三角形；C选项，有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形，与外角相邻的内角是80°，第三个角是50°，可以构成等腰三角形；D选项，有一个外角为140°，一个内角为100°的三角形，与外角相邻的内角是40°，第三个角是40°，可以构成等腰三角形.故选B.
2.答案：D
解析：①∵△ABC中，AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，故①正确.②∵△ABC中，∠B=56°，∠A=68°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-68°-56°=56°，∴∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形，故②正确.
③∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC.∵∠B+∠BAD+∠ADB=180°，∠C+∠CAD+∠ADC=180°，∴∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形，故③正确.
④∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，故④正确.故选D.
3.答案：3
解析：∵AB=AC，∠A=36°，∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB==72°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=36°.在△ABD中，∠A=∠ABD=36°，∴AD=BD，∴△ABD是等腰三角形.在△BDC中，∠C=∠BDC=72°，∴BD=BC，∴△BDC是等腰三角形.综上，共有3个等腰三角形.
4.答案：∵FG平分∠EFD，∴∠GFD=∠EFG.∵AB∥CD，∴∠EGF=∠GFD，∴∠EFG=∠EGF.∴△EFG是等腰三角形.
解析：
5.答案：选择的条件是③∠B=∠C，④∠BAD=∠CDA.（答案不唯一）
证明：∵在△BAD和△CDA中，∴△BAD≌△CDA（AAS），∴∠BDA=∠CAD，∴△AED是等腰三角形.
解析：
6.答案：C
解析：由题图可得∠CAB=90°-60°=30°，∠ABC=90°+30°=120°，∴∠ACB=180°-120°-30°=30°，∴AB=BC，∴嘉嘉行走的速度和淇淇行走的速度相同，即1m/s.故选C.
7.答案：∵∠M=70°，∠N=40°，∴∠NPM=180°-∠M-∠N=180°-70°-40°=70°，∴∠NPM=∠M.∵MN=2×40=80（千米），∴NP=MN=80千米，即N处与小岛P的距离为80千米.
解析：
8.答案：D
解析：反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立.用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设四边形中所有角都是锐角.故选D.
9.答案：假设等腰三角形的底角不是锐角，则底角大于或等于90°.
根据等腰三角形的两个底角相等，则两个底角的和大于或等于180°，所以该三角形的三个内角的和一定大于180°，这与三角形的内角和定理相矛盾，故假设不成立.所以等腰三角形的底角必为锐角.
解析：《等腰三角形的判定与反证法》基础训练
知识点1 等腰三角形的判定
1.在△ABC中，已知，则（ ）
A. B.
C. D.
2.如图，在△ABC中，AD平分外角，则△ABC一定是（ ）
A.任意三角形
B.等边三角形
C.等腰三角形
D.直角三角形
3.下列条件中不能说明三角形是等腰三角形的是（ ）
A.有两个内角分别是70°，40°的三角形
B.有一个角为45°的直角三角形
C.一个外角是130°，与它不相邻的一个内角为50°的三角形
D.有两个内角分别是70°，50°的三角形
4.如图，AC，BD相交于点O，，如果请你再补充一个条件，使得△BOC是等腰三角形，那么你补充的条件不能是（ ）
A. B.
C. D.
5.如图，在△ABC中，CD平分交AC于点E.若，则AC的长为______.
6.（2018·武汉）如图，点E，F在BC上，，AF与DE交于点G，求证：.
7.用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于450”，应先假设（ ）
A.直角三角形中两个锐角都大于45°
B.直角三角形中两个锐角都不大于45°
C.直角三角形中有一个锐角大于45°
D.直角三角形中有一个锐角不大于45°
8.用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角.
已知：等腰△ABC中，.
求证：必定是锐角.
证明：①假设等腰三角形的底角都是直角.即______,
则______,
这与______矛盾；
②假设等腰三角形的底角都是钝角，即______,
则这与______矛盾.
综上所述，假设①，②错误.
所以只能为______.
故等腰三角形的底角必定为锐角.
9.如图，已知，垂足为N，AB与EF交于点M，求证：.（用反证法证明）
易错点 找点的标准不明确致错
10.如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（ ）
A.8个 B.7个
C.6个 D.5个
参考答案
1.B 2.C 3.D 4.C 5.12
6.证明：.
在△ABF和△DCE中，（SAS）.，即.
7.A
8.180°
三角形内角和等于180°
9.证明：假设AB与EF不垂直，则，
，与已知条件相矛盾.假设不成立. .
10.A
1 / 4《1.1.2 等腰三角形的判定》知识过关练
知识点一 等腰三角形的判定
1.如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，点E在AB上，且BE=BC，则图中等腰三角形共有（ ）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，点M、N在BC所在的直线上，且AB=AC，BM=CN，试判断△AMN的形状，并说明理由.
知识点二 反证法
3.求证：等腰三角形的底角必为锐角.
知识点三 等边三角形的判定
4.（2020独家原创试题）如图，在△ABC中，∠B=60°，AB=2，则点A到BC边的距离为_________.
5.如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为D，DE∥AC，∠B=60°.求证：△BDE是等边三角形.
知识点四 含30°角的直角三角形的性质判定
6.如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则AC的长为（ ）
A.6
B.6
C. 6
D.12
7.若等腰三角形的腰长为4，腰上的高为2，则此等腰三角形顶角的度数为_________.
参考答案
1.答案：D
解析：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形.
∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，
∴∠A=∠ABD=36°，∴BD=AD，
∴△ABD是等腰三角形.
在△BCD中，∵∠BDC=180°-∠DBC-∠C=180°-36°-72°=72°，
∴∠C=∠BDC=72°，∴BD=BC，∴△BCD是等腰三角形.
∵BE=BC，∴BD=BE，∴△BDE是等腰三角形.
∴∠BED=（180°-36°）÷2=72°，
∴∠ADE=∠BED-∠A=72°-36°=36°，
∴∠A=∠ADE，∴DE=AE，∴△ADE是等腰三角形.
∴题图中等腰三角形共有5个.故选D.
2.答案：见解析
解析：△AMN是等腰三角形.理由如下：
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.
∵∠ABC+∠ABM=180°，∠ACB+∠ACN=180°，
∴∠ABM=∠ACN.
在△AMB和△ANC中，，
∴△AMB≌△ANC（SAS），∴AM=AN，
∴△AMN是等腰三角形.
3.答案：见解析
解析：已知：在△ABC中，AB=AC.
求证：∠B、∠C必为锐角.
证明：假设∠B、∠C不是锐角，
则∠B=∠C≥90°，则∠A+∠B+∠C>180°，
这与三角形的内角和为180°相矛盾，所以假设不成立，
故∠B、∠C必为锐角.
4.答案：
解析：作AE⊥BC于E，∵∠B=60°，BA=BD，∴△ABD是等边三角形，∴AB=AD=BD=2.
∵AE⊥BC，∴BE=DE=1，
在Rt△ABE中，AE=，
故答案为.
5.答案：见解析
解析：证明：如图，∵AD⊥BD，∠B=60°，
∴∠ADB=90°，∠1=30°.
∵AD平分∠BAC.
∴∠BAC=2∠1=60°.
∵DE∥AC，∴∠2=∠BAC=60°.
∴∠3=180°-∠2-∠B=60°.
∵∠B=∠2=∠3=60°，
∴△BDE是等边三角形.
6.答案：C
解析：在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=12，∴BC=AB=×12=6，∴AC=，故选C.
7.答案：30°或150°
解析：设△ABC为等腰三角形，且AB=AC，分为两种情况：当等腰三角形ABC为锐角三角形时，如图1.
∵DC⊥AB，CD=AC.∴∠A=30°.
当等腰三角形ABC为钝角三角形时，如图2.
∵CD⊥直线AB，CD=AC，∴∠DAC=30°，
∴∠BAC=150°.
综上，所求顶角的度数为30°或150°.
1 / 5《1.1.2 等腰三角形的判定》衔接中考
三年模拟全练
1.（2020贵州毕节三联学校期中，3，★☆☆）如图过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1=20°，则∠2的度数是（ ）
A.100°
B.80°
C.60°
D.40°
2.（2020河北保定十七中线上二模，10，★★☆）为宣传上海世博会，小亮设计了形状如图所示的彩旗，其中∠ACB=90°，∠D=15°，点A在CD上，AD=AB=4cm，则AC的长为（ ）
A. 2 cm
B. 2cm
C. 4 cm
D. 8 cm
3.（2020河南郑州宇华教育集团第一次月考，17，★★☆）如图，AB∥CD，点E、N在AB上，∠EFD的平分线FM交AB于点G，且GM=GN，若∠EFD=68°，求∠M的度数.
4.（2020山东枣庄薛城舜耕中学阶段检测，22，★★☆）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，∠B=30°，连接AD.
（1）若∠BAD=45°，求证：△ACD为等腰三角形；
（2）若△ACD为直角三角形，求∠BAD的度数.
五年中考全练
5.（2020广东深圳中考，8，★★☆）如图，已知AB=AC，BC=6，根据尺规作图痕迹可求出BD=（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
6.（2020河北中考，12，★★☆）如图，从笔直的公路旁一点P出发，向西走6km到达；从P出发向北走6km也到达.下列说法错误的是（ ）
A.从点P向北偏西45°走3km到达
B.公路的走向是南偏西45°
C.公路的走向是北偏东45°
D.从点P向北走3km后，再向西走3km到达
7.（2020贵州毕节中考，15，★★☆）如图，在一个宽度为AB长的小巷内，一个梯子的长为a，梯子的底端位于AB上的点P，将该梯子的顶端放于巷子一侧墙上的点C处，点C到AB的距离BC为b，梯子的倾斜角∠BPC为45°；将该梯子的顶端放于另一侧墙上的点D处，点D到AB的距离AD为c，且此时梯子的倾斜角∠APD为75°，则AB的长等于（ ）
A.a
B.b
C.
D.c
8.（2020四川凉山州中考，25，★★☆）如图①，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发.
（1）如图①，连接AQ、CP.求证：△ABQ≌△CAP；
（2）如图①，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；
（3）如图②，当点P、Q分别在边AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数.
核心素养全练
9.已知AB=AC，AD为∠BAC的平分线，D、E、F、…为∠BAC的平分线上的若干点.如图①，连接BD、CD，则有1对全等三角形；如图②，连接BD、CD、BE、CE，则有3对全等三角形；如图③，连接BD、CD、BE、CE、BF、CF，则有6对全等三角形；依此规律，第⑧个图形中有全等三角形（ ）
A.24对
B.28对
C.36对
D.72对
10.（2020河南郑州八中第一次月考）如图，等边△ABC的边长为12，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，连接CM，EM，若AE=4，则EM+CM的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
参考答案
1.答案：A
解析：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，
∵∠1=20°，∴∠3=180°-60°-20°=100°，
∵∠2与∠3是对顶角，∴∠2=100°，故选A.
2.答案：B
解析：∵AB=AD，∠D=15°，∴∠ABD=∠D=15°，∴∠BAC=30°，∴在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∴BC=AB=2cm，∴AC=cm，故选B.
3.答案：见解析
解析：∵AB∥CD，∴∠EGF=∠GFD，
∵FM是∠EFD的平分线，
∴∠EFG=∠GFD=∠EFD=34°，
∴∠EFG=∠EGF=34°，∴∠MGN=34°，
∵GM=GN，∴∠M=∠GNM=×（180°-34°）=73°.
4.答案：见解析
解析：（1）证明：∵AB=AC，∠B=30°，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAC=180°-30°-30°=120°，
∵∠BAD=45°，
∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=120°-45°=75°，∠ADC=∠B+∠BAD=75°，
∴∠ADC=∠CAD，
∴AC=CD，
∴△ACD为等腰三角形.
（2）有两种情况：①当∠ADC=90°时，
∵∠B=30°，∴∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°；
②当∠CAD=90°时，∠BAD=∠BAC-∠CAD=120°-90°=30°.
综上，∠BAD的度数为60°或30°.
5.答案：B
解析：由作图痕迹可知AD为∠BAC的平分线，∵AB=AC，∴由等腰三角形的三线合一知D为BC的中点，∴BD=BC=3，故选B.
6.答案：A
解析：从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走6km也到达l.由此可得两次行走路线与公路l形成了一个等腰直角三角形.所以公路l的走向可以是南偏西45°，也可以是北偏东45°，选项B，C正确；根据等腰直角三角形的性质，可知点P到公路l的距离为km，所以从点P向北偏西45°走km到达l，选项A错误；从点P向北走3km后，根据等腰直角三角形的性质可知，再向西走3km到达l，选项D正确，故选A.
7.答案：D
解析：过点C作CE⊥AD于点E，则CE∥AB，AB=CE，
∴∠PCE=∠BPC=45°，
∵∠DPC=180°-45°-75°=60°，且PD=PC，
∴△PCD为等边三角形，∴∠DCP=60°，DC=PC=a，
∴∠DCE=60°-45°=15°，
∵∠A=90°，∠DPA=75°，∴∠ADP=15°.
∴∠ADP=∠DCE，
又∵∠A=∠CED=90°，DP=DC=a，
∴△PAD≌△DEC，
∴DA=CE=AB=c，故选D.
8.答案：见解析
解析：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABQ=∠CAP=60°，AB=CA，
又∵点P、Q以相同的速度，同时从点A，点B出发，
∴AP=BQ，
在△ABQ与△CAP中，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）.
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC的大小保持不变.理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC是△ACM的一个外角，
∴∠QMC=∠ACP+∠MAC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC，
∵∠BAC=60°，
∴∠QMC=60°.
∴当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC的大小保持不变，为60°.
（3）当点P、Q分别在边AB、BC的延长线上运动时，∠QMC的大小保持不变.
理由：易证得△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC是△APM的一个外角，
∴∠QMC=∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°-∠PAC=180°-60°=120°.
∴当点P、Q分别在边AB、BC的延长线上运动时，∠QMC的大小保持不变，为120°.
9.答案：C
解析：通过观察发现，题图①中有1对全等三角形；
题图②中有1+2=3对全等三角形；题图③中有1+2+3=6对全等三角形；……
则第⑧个图形中共有1+2+…+8=36对全等三角形.
10.答案：D
解析：∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，BD=CD，即点C关于直线AD的对称点为点B，连接BM，
易得△BDM≌△CDM，∴CM=BM，∴EM+CM=EM+BM，
连接BE，当动点M运动到M'时，EM+BM取得最小值，即EM+CM取得最小值，为BE的长.
过点B作BF⊥AC，垂足为F.
∵△ABC是等边三角形，∴AF=FC=6，
∴EF=AF-AE=6-4=2，
在Rt△ABF中，BF=，
∴在Rt△BFE中，EB=，
∴EM+CM的最小值为4.
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