必刷题《1.1.4等边三角形的判定》刷提升
1.[2020河南平顶山期末，中]如图，△ABC是等边三角形，AB=4，D是AB的中点，DF⊥AC于点F，FE⊥BC于点E，则EF的长是( )
A.
B.
C.
D.3
2.[2019河南洛阳校级期中，中]如图，在等边三角形ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE=2，则AB的长为( )
A.8
B.4
C.6
D.7.5
3.[2019山东威海文登区期末，中]如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有( )
A.2个
B.3个
C.4个
D.无数个
4.[中]如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=10，则PD等于
.
5.[2020广西河池月考，中]如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，两线相交于点F.
（1）若∠BAC=60°，∠C=70°，求∠AFB的大小；
（2）若D是BC的中点，∠ABE=30°，求证：△ABC是等边三角形.
6.[中]如图，在△ABC中，∠C=60°，高BE经过高AD的中点F.求证：BF=4EF.
7.[2020四川内江月考，较难]如图，△ABC中，AB=BC=AC=12 cm，现有两点M，N分别从点A，B同时出发，按图中箭头指向沿三角形的边运动，已知点M的速度为1 cm/s，点N的速度为2 cm/s.当点N第一次到达点B时，M，N同时停止运动.
（1）点M，N运动几秒时，M，N两点重合？
（2）点M，N运动几秒时，可得到等边三角形AMN？
（3）当点M，N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？若能得到，请求出此时M，N运动的时间.
参考答案
1.答案：A
解析：∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC=AB=4，∠A=∠B=∠C=60°.∵D是AB的中点，∵AD=AB=2.在Rt△ADF中，∠A=60°，∴∠ADF=30°，∴AF=AD=1，∴FC=AC-AF=3.在Rt△CFE中，∠C=60°，∴∠CFE=30°，∴∴EC=.故选A.
2.答案：A
解析：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC=AC.∵DE⊥BC，∠CED=90°.在Rt△CDE中，∠CDE=90°-∠C=30°.∵EC=2，∴CD=2EC=4.∵△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，∴AD=CD=4，∴AB=AC=AD+CD=8.故选A.
3.答案：D
解析：如图，在OA，OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°.∵OP平分∠AOB，∴∠EOP=∠POF=60°.∵OP=OE=OF.∴△OPE，△OPF是等边三角形，∴EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，∴∠EPM=∠OPN.在△PEM和△PON中，∴△PEM≌△PON（ASA），PM=PN.∵∠MPN=60°，∴△PNM是等边三角形，只要∠MPN=60°，△PMN就是等边三角形，故这样的三角形有无数个.故选D.
4.答案：5
解析：∵PC∥OA，∴∠CPO=∠POA.∵∠AOP=∠BOP=15°，∴∠AOP=∠BOP=∠CPO=15°.以点P为顶点，PO为一边作∠OPE=∠CPO，PE交AO于点E，则△OCP≌△OEP，∴PE=PC=10.∵∠OPE=∠OPC=15°，∴∠PEA=∠OPE+∠POE=30°，∴PD=PE=5.
5.答案：（1）【解】∵∠BAC=60°，∠C=70°，∴∠ABC=180°-60°-70°=50°.∵BE平分∠ABC，∴∠FBD=∠ABC=25°.∵AD⊥BC，∴∠BDF=90°，∴∠AFB=∠FBD+∠BDF=115°.
（2）【证明】∵∠ABE=30°，BE平分∠ABC，∴∠ABC=60°.∵BD=DC，AD⊥BC，∴AB=AC，∴△ABC是等边三角形.
解析：
6.答案：【证明】∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°.∵∠C=60°，∴∠CAD=30°.∵BE⊥AC，∴∠AEF=90°.∵∠EAF=30°，∴AF=2EF.∵AF=DF，∴DF=2EF.∵AD⊥BC，∴∠BDF=90°.∵∠AFE=∠BFD，且∠EAD+∠AFE+∠AEF=∠FBD+∠BDF+∠BFD=180°，∴∠FBD=30°，∴BF=2FD=4EF，即BF=4EF.
解析：
7.答案：（1）设点M，N运动 s时，M，N两点重合.则+12=2，解得=12.即点M，N运动12 s时，M，N两点重合.
（2）由题可知△ABC是等边三角形，由（1）可知当点M在边AC上，点N在边AB上，且AM=AN时，△AMN是等边三角形.设点M，N运动 s时，可得到等边三角形AMN，如图（1），则AM=×1=，AN=AB-BN=12-2.∵三角形AMN是等边三角形，∴=12-2，解得=4，∴点M，N运动4 s时，可得到等边三角形AMN.
（3）当点M，N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN.
由（1）知12 s时M，N两点重合，此时两点恰好在C处.如图（2），假设△AMN是等腰三角形，∴AN=AM，∴∠AMN=∠ANM，∴∠AMC=∠ANB.∵AB=BC=AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C=∠B.在△ACM和△ABN中，∵∴△ACM≌△ABN，∴CM=BN.设此时M，N运动的时间为 s.∴CM=-12，NB=36-2.由CM=NB，得-12=36-2，解得=16.故假设成立.∴当点M，N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M，N运动的时间为16 s.
解析：《等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质》基础训练
知识点1 等边三角形的判定
1.在△ABC中，若，则△ABC是（ ）
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.不等边三角形 D.不能确定
2.下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形.其中等边三角形是（ ）A.①②③ B.①②④
C.①③④ D.①②③④
3.如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在起，则拼接后的△ABD是______三角形
4.由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图1，衣架杆cm，若衣架收拢时，，如图2，则此时A，B两点之间的距离是______cm.
5.如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且求证：△ADC是等边三角形.
6.如图，点D，E在线段BC上，，求证：△ADE为等边三角形.
知识点2 含30°角的直角三角形的性质
7.如图，在Rt△ABC中，（ ）
A.8 B.6
C.4 D.2
8.在△ABC中，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
9.如图，在△ABC中，，AD平分，交BC于点D.若______.
10.如图，这是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离h=6.5米，自动扶梯的倾角为30°，若自动扶梯运行速度为0.5米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为______秒.
11.如图，在△ABC中，于点D，cm，求AD的长.
参考答案
1.B 2.D 3. 4.18
5.证明：，
.
.
，
6.证明：.
又（SAS）..
又△ADE为等边三角形.
7.C 8.B 9.2 10.26
11.解：cm.
又
cm.cm.
1 / 4必刷题《1.1.4等边二角形的判定》刷基础
知识点一 等边三角形的判定
1.[2019广东广州海珠区期末]下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有( )
A.①②③④
B.①②④
C.①③
D.②③④
2.[2020黑龙江哈尔滨期末]若△ABC的三条边长分别是，且=0，则这个三角形是（ ）
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
3.如图，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC，AE⊥AB.求证：△ADE是等边三角形.
4.[2020北京朝阳区校级期末]如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，求证：△DEF是等边三角形.
知识点二 含30°角的直角三角形的性质
5.[2020湖南邵阳期末]如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，∠B=30°，点P是BC边上一动点，连接AP，则AP的长度不可能是（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
6.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，CD⊥AB于点D，BD=1，则AB为
.
7.[2019辽宁沈阳皇姑区期末]如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.求证：DF=2DC.
知识点三 应用含30°角的直角三角形的性质时忽视直角三角形致错
8.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，CD=5 cm，求AB的长.
琪琪给出以下解题过程，请判断琪琪的解题过程是否正确，如不正确，请写出正确的解题过程.
解：∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=180°-∠A-∠C=60°.∵BD是∠ABC的平分线，∴∠CBD=∠ABC=30°，即在Rt△BCD中，∠CBD=30°，∴BD=2CD=10 cm，∴AB=20 cm.
参考答案
1.答案：A
解析：①有两个角等于60°，则第三个角也是60°，则其是等边三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；③三个外角相等，则三个内角相等，则其是等边三角形；④由题意可得该等腰三角形的腰与底边相等，则三角形三边相等，则其是等边三角形.所以都正确.故选A.
2.答案：B
解析：∵=0，∴=0且=0，∴，∴△ABC为等边三角形.故选B.
3.答案：【证明】在△ABC中，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°.∵AD⊥AC，AE⊥AB，∴∠ADC=∠AEB=∠DAE=60°，∴△ADE是等边三角形.
解析：
4.答案：【证明】∵∠A=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，∴∠BDE=∠CDF=60°，∴∠EDF=60°.∵D是BC的中点，∴BD=CD.在△BDE与△CDF中，∴△BDE≌△CDF，∴DE=DF∴△DEF是等边三角形.
解析：
5.答案：D
解析：根据垂线段最短，可知AP的长不可能小于2.∵△ABC中，∠C=90°，AC=2，∠B=30°，∴AB=4，∴AP的长不可能大于4.故选D.
6.答案：4
解析：∵∠A=30°，∠BCA=90°，∴∠B=60°.∵CD⊥AB，∴∠BCD=30°，∴BC=2BD=2，∴AB=2BC=4.
7.答案：【证明】∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°.∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°.∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠F=90°-∠EDC=30°.∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，∴△EDC是等边三角形，∴ED=DC.∵∠DEF=90°，∠F=30°，∴DF=2DE=2DC.
解析：
8.答案：【解】琪琪的解题过程不正确.正确的解题过程如下：
∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=180°-∠A-∠C=60°.∵BD是∠ABC的平分线，∴∠CBD=∠ABC=30°，即在Rt△BCD中，∠CBD=30°，∴BD=2CD=10 cm（含30°角的直角三角形的性质）由勾股定理，得BC= cm.∵∠A=30°，∠C=90°，∴AB=2BC= cm.
解析：易错警示 含30°角的直角三角形的性质，前提条件是在直角三角形中，其次就是要找准30°角所对的直角边和斜边.必刷题《1.1 综合训练》
1.如图，在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，点D在AC上，BC=BD，DE∥BC，交AB于点E，则图中等腰三角形共有（ ）
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
2.[2020山东聊城中考]如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是（ ）
A.120°
B.130°
C.145°
D.150°
3.如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，下列结论错误的是（ ）
A.∠C=2∠A
B.BD=BC
C.△ABD是等腰三角形
D.点D为线段AC的中点
4.[中]如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC.若AN=1，则BC的长为（ ）
A.4
B.6
C.
D.8
5.[中]如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N.若△AMN的周长为18，BC=6，则△ABC的周长为 .
6.[较难]如图，直线∥，△ABC是等边三角形，点A在直线上，边BC在直线上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如图（1））；继续以上的平移得到图（2），再继续以上的平移得到图（3），…，则在第100个图形中等边三角形的个数是 .
7.[2020湖南长沙期末，中]如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE.
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数.
8.[2020江苏南通期中，中]如图，在△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC.
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若∠BAE=30°，则∠ADC= .
参考答案
1.答案：C
解析：∵在△ABC中，∠C=72°，∠A=36°，∴∠ABC=180°-∠C-∠A=72°，∴∠ABC=∠C，∴△ABC是等腰三角形.∵BD=BC，∴△BCD是等腰三角形，∠CBD=180°-∠C-∠BDC=36°.∵∠ABC=72°，∴∠ABD=∠DBC=36°.∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC=36°，∴∠ABD=∠EDB=∠A，∴AD=BD，EB=ED，即△ABD和△EBD是等腰三角形.∵DE∥BC，∴∠AED=∠ABC，∠ADE=∠C，∴∠AED=∠ADE，∴AE=AD，即△AED是等腰三角形.∴图中共有5个等腰三角形.故选C.
2.答案：B
解析：∵AB=AC，∠C=65°，∴∠B=∠C=65°.∵DF∥AB，∴∠CDE=∠B=65°，∴∠FEC=∠CDE+∠C=65°+65°=130°.故选B.
3.答案：D
解析：∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°，∴∠C=2∠A，选项A正确；∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=36°，∴∠BDC=36°+36°=72°，∴∠BDC=∠C，∴BD=BC，选项B正确；∵∠A=∠ABD=36°，∴DA=DB，∴△ABD是等腰三角形，选项C正确；∵BD≠CD，∴AD≠CD，∴点D不是AC的中点，选项D错误.
4.答案：B
解析：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB，MN∥BC，且MN平分∠AMC，∴∠AMN=∠NMC=∠B=∠NCM=∠BCM，∴∠ACB=2∠B，NM=NC，∴∠B=∠AMN= 30°.∵AN=1，∴MN=2，∴NC=2，∴AC=AN+NC=3，∴BC=6.故选B.
5.答案：24
解析：∵MN∥BC，∴∠MEB=∠EBC.∵BE平分∠ABC，∴∠MBE=∠EBC，∴∠MEB=∠MBE，∴ME=MB.同理，EN=CN.∵AM+AN+MN=18，MN=ME+EN= BM +CN. ∴AM+AN+BM +CN=18，.∴AB+AC=18，∴AB+AC+BC=24，即△ABC的周长为24.
6.答案：400
解析：如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC.由平移可得∠OB′C=∠B=60°.又∵∠OCB=60°，∴△B′OC是等边三角形，同理可得阴影三角形都是等边三角形.
观察图形可得，第1个图形中大等边三角形有2个，小等边三角形有2个，第2个图形中大等边三角形有4个，小等边三角形有4个，第3个图形中大等边三角形有6个，小等边三角形有6个……依次类推，可得第个图形中大等边三角形有2个，小等边三角形有2个（为正整数），故第100个图形中等边三角形的个数是2×100+2×100=400.
7.答案：（1）【证明】∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.在△DBE和△ECF中，∴△DBE≌△ECF，∴DE=EF，∴△DEF是等腰三角形.
（2）【解】如图，∵△DBE≌△ECF，∴∠1=∠3.∵AB=AC，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B=×（180°-40°）=70°，∴∠1+∠2=110°，∴∠3+∠2=110°，∴∠DEF=70°.
8.答案：（1）【证明】：AB=AC，∠B=∠ACF.在△ABE和△ACF中，AB=AC，∠B=∠ACF，BE= CF，∴△ABE≌△ACF（SAS）.
（2）75°
解析：∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°，∴∠CAF=∠BAE=30°.
∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACD==75°.《等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质》提升训练
1.如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在斜边AB上的点E处.已知，则BD的长是（ ）
A.1 B.2
C. D.
2.（2018·玉林）如图，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（ ）
A.平行 B.相交
C.垂直 D.平行、相交或垂直
3.如图，已知，点P在边OA上，，点M，N在边OB上，.若，则（ ）
A.3 B.4
C.5 D.6
4.（2019·上海）如图，已知直线，含30°角的三角板的直角顶点C在上，30°角的顶点A在上，如果边AB与的交点D是AB的中点，那么______.
5.如图，在Rt△ABC中，于点D，AF平分，交CD于点E，交BC于点F若，求证：△CEF是等边三角形.
6.在四边形ABCD中，，连接AC
（1）如图1，点E，F分别在边BC，CD上，且求证;
①；
②△AEF是等边三角形；
（2）若点E在BC的延长线上，则在直线CD上是否存在点F，使△AEF是等边三角形？请证明你的结论（图2备用）.
参考答案
1.B 2.A 3.C 4.
5. 证明：AF是的平分线，.
.
，
是△ABF的外角，.
△CEF是等边三角形.
6.解：（1）证明：①是等边三角形..同理，△ADC也是等边三角形，.
（SAS）.
②.
.
△AEF是等边三角形.
（2）存在，证明：在CD的延长线上取点F，在BC的延长线上取点E，使，连接AE，EF，AF.与（1）①同理，可证，
.
.
是等边三角形.（注：若在CD的延长线上取点F，使也可）
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