北师大版八年级数学下册：1.1_第4课时_等边三角形的判定 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
1.1 等腰三角形
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第4课时 等边三角形的判定
第一章 三角形的证明
知识要点
2.含30°角的直角三角形的性质
1.等边三角形的判定
新知导入
看一看：观察下图中图形的构成，试着发现它们图形中线段长度的规律.
30°
A'
C'
B'
30°
A
C
B
等边三角形
2BC=AB
课程讲授
1
等边三角形的判定
问题1.1：回顾等腰三角形的判定，它们是否适用于等边三角形，你能得到什么结论？
等腰三角形的判定方法：
如果一个三角形有_______相等,那么这个三角形是等腰三角形（简写成“______________”）.
_____条边相等的三角形是等腰三角形.
两个角
等角对等边
两

A
B
C
课程讲授
1
等边三角形的判定
等边三角形的判定定理1：
三个角_______的三角形是等边三角形.
等边三角形的判定定理2：
有一个角是_____的等腰三角
形是等边三角形.
60°
都相等
A
B
C
课程讲授
例 如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC,分别交AB，AC于点D，E .
求证：△ADE是等边三角形.
1
等边三角形的判定
A
C
B
D
E
证明：∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∵ DE//BC,
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形.
课程讲授
1
等边三角形的判定
练一练：有下列条件：
①在△ABC中，AB=BC=CA;
②底角为60°的等腰三角形;
③顶角为60°的等腰三角形.
其中能判定此三角形为等边三角形的个数有（ ）
A.1个 B.2个
C.3个 D.0个
C
课程讲授
2
含30°角的直角三角形的性质
问题1：用两个含有30°角的三角板，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？由此你能发现什么结论？
猜想:在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半.
30°
30°
D
课程讲授
2
含30°角的直角三角形的性质
证明：延长BC至D,使CD=BC,连接AD，
∵∠ACB=90°,∠BAC=30°，
∴∠ACD=90°，∠B=60°，
∵ AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SAS).
∴ AD=AB.∴△ABD是等边三角形，(有一个角是60°
的等腰三角形是等边三角形)
∴BC= BD= AB．
30°
A
B
C
问题2：已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°,∠A =30°.
求证：BC = AB．
课程讲授
2
含30°角的直角三角形的性质
想一想：你还能用其他方法证明吗？
A
C
B
已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°.
求证：BC = AB．
证明：在BA上截取BE=BC，连接EC.
∵ ∠B= 60° ，BE=BC.
∴ △BCE是等边三角形，
∴ ∠BEC= 60°，BE=EC.
∵ ∠A= 30°，
∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30°.
∴ AE=EC， ∴ AE=BE=BC，
∴ AB=AE+BE=2BC.∴BC = AB．　　
E
课程讲授
2
含30°角的直角三角形的性质
等边含30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的______.
等边含30°角的直角三角形的
性质（几何语言）：
∵　在Rt△ABC 中，
　　∠C =90°，∠A =30°，
∴　BC = ______ AB．　
A
C
B
一半
练一练：如图，在△ABC中，∠C=90°,AC=3,∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是（ ）
A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.7
课程讲授
2
含30°角的直角三角形的性质
D
课程讲授
例 求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半.
已知：如图，在△ABC中，已知AB=AC,∠B=15°, CD是腰AB上的高.
求证：CD= AB.
2
含30°角的直角三角形的性质
C
B
A
D
课程讲授
2
含30°角的直角三角形的性质
证明：在△ABC中，
∵AB=AC，∠B=15°，
∴∠B=∠ACB=15°（等边对等角）.
∴∠DAC=∠B+∠ACB= 15°+15°=30°，
∵CD是腰AB上的高，
∴∠ADC=90°，∴CD= AC．(在直角三角形中, 如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半).
∴CD= AB.
C
B
A
D
课程讲授
2
含30°角的直角三角形的性质
A
练一练：如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AD,AB=8 m，∠A=30°，则立柱BC的长度是（ ）
A.4 m B.8 m C.10 m D.16 m
A
随堂练习
1.在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,若AB=18,则BC = .
9
2.某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图如图所示，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°,BC=8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是______.
4 m
随堂练习
3.由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图1，衣架杆OA=OB=18 cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是_______cm.
18
随堂练习
4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°,CD是高，∠A=30°.
求证：4BD=AB.
证明：∵∠ACB=90°,
∠A=30°,
∴2BC=AB.
∵CD是高，
∴∠ADC=90°,
∴∠ACD=60°,
∴∠BCD=30°,
∴2BD=BC,
∴4BD=AB.
随堂练习
5.等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．
解：△APQ为等边三角形．
证明如下：
∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC.
∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)，
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.
∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形．
课堂小结
等边
三角形的判定
判定
三边相等的三角形是等边三角形
三个角为60°的三角形是等边三角形
有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半