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1.1.2 与等腰三角形有关的线段的性质与等边三角形的性质 教案
课题 1.1.2 与等腰三角形有关的线段的性质与等边三角形的性质 单元 第1单元 学科 数学 年级 八年级（下）
学习目标 1.进一步学习等腰三角形的相关性质，了解等腰三角形两底角的角平分线（两腰上的高，中线）的质;2.学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问题.
重点 等边三角形判定定理的发现与证明。
难点 经过探索、猜想、证明、归纳等数学活动过程，发展逻辑推理能力。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题 在七下我们已经知道了“三边相等的三角形是等边三角形”，生活中有很多等边三角形，如交通图标、台球室的三角架等，它们都是等边三角形.思考：在上一节课我们证明等腰三角形的两底角相等，那等边三角形的各角之间有什么关系呢？画一画：在纸上画一个等腰三角形。在等腰三角形中作出两底角的平分线。它们在数量上有何关系？你能证明吗？ 思考自议学生根据画的三角形探究等腰三角形两底角的平分线的性质。 通过回顾等腰三角形的性质,为其特殊性质及等边三角形性质的探究做好铺垫。
讲授新课 提炼概念三、典例精讲例1：等腰三角形两底角的平分线相等.已知：在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC的角平分线.求证：BD=CE.证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB (等边对等角）.∵BD，CE分别平分∠ABC 和∠ACB ，∴ ∠1＝∠2.在△BDC和△CEB中， ∠ACB＝∠ABC, BC=CB, ∠1＝∠2, ∴△BDC≌△CEB (ASA).∴BD＝CE(全等三角形的对应边相等）.【总结归纳】等腰三角形两底角的平分线相等.等腰三角形两腰上的中线相等吗？高呢？还有其他的结论吗？请你证明它们，并与同伴交流.已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，BD和CE是△ABC的两腰上的中线. 求证：BD=CE.证明： ∵ AB=AC， ∴ ∠ABC= ∠ACB∵ BD和CE是△ABC两腰上的中线，∴CD= AC，BE=AB，∴CD= BE.在△BDC和△CEB 中， BC=CB，∠ACB=∠ABC，CD= BE ，∴ △BDC≌△CEB（SAS）.∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等）.已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，BD和CE是△ABC的两腰上的高. 求证：BD=CE.证明： ∵ AB=AC， ∴ ∠ABC= ∠ACB.∵ BD和CE是△ABC两腰上的高，∴ ∠BDC= 90°，∠BEC= 90° .在△BDC 和△CEB 中，∠ACB= ∠ABC， BC=CB， ∠BDC=∠BEC，∴ △BDC≌△CEB（AAS）.∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等）.【总结归纳】1.等腰三角形两底角的平分线相等；2.等腰三角形两腰上的中线相等；3.等腰三角形两腰上的高相等． 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D，E 分别在边AC和AB上.（1）如果∠ABD=∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE吗？证明： ∵ AB=AC， ∴ ∠ABC=∠ACB.∵ ∠CBD=∠ABC，∠ECB =∠ACB，∴∠CBD=∠ ECB .在△BDC 和△CEB 中，∠ACB= ∠ABC， BC=CB，∠CBD = ∠ECB，∴ △BDC≌△CEB（ASA）.∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等）.如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，那么BD=CE吗？总结：在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，那么BD=CE. 简述为：过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等.（2）如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE吗？证明： ∵ AB=AC，AD=AC，AE=AB，∴AD=AE.在△ABD 和△ACE中，AB=AC，∠BAD= ∠CAE，AD=AE，∴ △ABD ≌△ACE（SAS）.∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等）.如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE吗？总结：在△ABC中，如果AD= AC，AE=AB，那么BD=CE.想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.证明：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.已知： 如图，在△ABC中，AB=AC=BC.求证： ∠A=∠B=∠C=60°.证明：∵ AB=AC， ∴∠ B=∠C （等边对等角）.又AC=BC，∴∠ A=∠B （等边对等角）.∴∠ A=∠B=∠C . 在△ABC 中，∵∠A+∠B+∠C =180°，∴∠A=∠B=∠C =60°. 让学生再次经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，进一步体会证明的必要性，并进行证明，从中进一步体会证明过程，感受证明方法的多样性。 能运用该法则准确进行有理数的加法运算. 培养学生的探究精神，引导学生将等腰三角形的角平分线性质与中线、高线的性质进行类比，感悟这种类比方法在学习中的作用.进一步提升学生的想象力空间，培养学生的探究发现能力。
课堂检测 四、巩固训练 1.在等腰三角形ABC中，AB=AC，下列说法错误的是( )A. BC边上的高和中线互相重合B. AB，AC边上的中线相等C. 在△ABC中，顶点B处的角平分线和顶点C处的角平分线相等D. AB，BC边上的高相等D2、下列关于等边三角形的描述错误的是( )A. 三边相等的三角形是等边三角形B. 三个角相等的三角形是等边三角形C. 有一个角是60°的三角形是等边三角形D. 有两个角是60°的三角形是等边三角形C3.如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为( )A. 7.5 B. 5 C. 4 D. 不能确定B4.如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且AE=CD,BE与AD相交于点P,BQ⊥AD于点Q.(1)求证:△ABE≌△CAD.证明:∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°，在△BAE和△ACD中,∴△BAE≌△ACD（SAS）.(2)求∠PBQ的度数.解:∵△BAE≌△ACD,∴∠ABE=∠CAD, ∵∠BPQ为△ABP的外角, ∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD, ∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°，∵BQ⊥AD,∴∠PBQ=30°.
课堂小结 本节课你学到了什么？等腰三角形两底角上的平分线、两腰上的高、两腰上的中线的相关性质：1.底角的两条平分线相等；2.两条腰上的中线相等；3.两条腰上的高线相等.定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
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北师大版 八年级下
1.1.2 与等腰三角形有关的线段的性质与等边三角形的性质
情境引入
在七下我们已经知道了“三边相等的三角形是等边三角形”，生活中有很多等边三角形，如交通图标、台球室的三角架等，它们都是等边三角形.
思考：在上一节课我们证明等腰三角形的两底角相等，那等边三角形的各角之间有什么关系呢？
它们在数量上有何关系？你能证明吗？
在等腰三角形中作出两底角的平分线。
画一画：在纸上画一个等腰三角形。
合作学习
导入新课
例1：等腰三角形两底角的平分线相等.
已知：在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC的角平分线.
求证：BD=CE.
证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB (等边对等角）.
∵BD，CE分别平分∠ABC 和∠ACB ，
∴ ∠1＝∠2.
例1：等腰三角形两底角的平分线相等.
已知：在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC的角平分线.
求证：BD=CE.
在△BDC和△CEB中，
∠ACB＝∠ABC,
BC=CB,
∠1＝∠2,
∴△BDC≌△CEB (ASA).
∴BD＝CE(全等三角形的对应边相等）.
提炼概念
等腰三角形两腰上的中线相等吗？高呢？还有其他的结论吗？请你证明它们，并与同伴交流.
【总结归纳】
等腰三角形两底角的平分线相等.
已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，BD和CE是△ABC的两腰上的中线. 求证：BD=CE.
A
B
C
D
E
证明： ∵ AB=AC， ∴ ∠ABC= ∠ACB
∵ BD和CE是△ABC两腰上的中线，
∴CD= AC，BE= AB，∴CD= BE.
在△BDC和△CEB 中，
BC=CB，∠ACB=∠ABC，CD= BE ，
∴ △BDC≌△CEB（SAS）.
∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等）.
已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，BD和CE是△ABC的两腰上的高. 求证：BD=CE.
证明： ∵ AB=AC， ∴ ∠ABC= ∠ACB.
∵ BD和CE是△ABC两腰上的高，
∴ ∠BDC= 90°，∠BEC= 90° .
在△BDC 和△CEB 中，
∠ACB= ∠ABC， BC=CB， ∠BDC=∠BEC，
∴ △BDC≌△CEB（AAS）.
∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等）.
A
B
C
D
E
【总结归纳】
1.等腰三角形两底角的平分线相等；
2.等腰三角形两腰上的中线相等；
3.等腰三角形两腰上的高相等．
如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D，E 分别在边AC和AB上.
（1）如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE吗？
证明： ∵ AB=AC， ∴ ∠ABC=∠ACB.
∵ ∠CBD= ∠ABC，∠ECB = ∠ACB，∴∠CBD=∠ ECB .在△BDC 和△CEB 中，
∠ACB= ∠ABC， BC=CB，∠CBD = ∠ECB，
∴ △BDC≌△CEB（ASA）.
∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等）.
典例精讲
如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D，E 分别在边AC和AB上.
如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE吗？
简述为：过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等.
总结：在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE.
如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D，E 分别在边AC和AB上.
（2）如果AD= AC，AE= AB，那么BD=CE吗？
证明： ∵ AB=AC，AD= AC，AE= AB，
∴AD=AE.
在△ABD 和△ACE中，
AB=AC，∠BAD= ∠CAE，AD=AE，
∴ △ABD ≌△ACE（SAS）.
∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等）.
如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D，E 分别在边AC和AB上.
如果AD= AC，AE= AB，那么BD=CE吗？
总结：在△ABC中，如果AD= AC，AE= AB，那么BD=CE.
归纳概念
想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？
证明：∵ AB=AC， ∴∠ B=∠C （等边对等角）.
又∵ AC=BC，∴∠ A=∠B （等边对等角）.
∴∠A=∠B=∠C .
在△ABC 中，
∵∠A+∠B+∠C =180°，
∴∠A=∠B=∠C =60°.
证明：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC=BC.
求证： ∠A=∠B=∠C=60°.
课堂练习
1.在等腰三角形ABC中，AB=AC，下列说法错误的是( )
A. BC边上的高和中线互相重合
B. AB，AC边上的中线相等
C. 在△ABC中，顶点B处的角平分线和顶点C处的角平分线相等
D. AB，BC边上的高相等
D
2、下列关于等边三角形的描述错误的是( )
A. 三边相等的三角形是等边三角形
B. 三个角相等的三角形是等边三角形
C. 有一个角是60°的三角形是等边三角形
D. 有两个角是60°的三角形是等边三角形
C
3.如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为( )
A. 7.5 B. 5 C. 4 D. 不能确定
B
解：过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，
∵等边△ABC中，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线(三线合一)，
∴C和B关于直线AD对称，
∴CF=BF，
即BF+EF=CF+EF=CE，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
在△ADB和△CEB中，
∵ ∠ADB=∠CEB ∠ABD=∠CBE AB=CB
∴△ADB≌△CEB(AAS)，
∴CE=AD=5，
即 BF+EF=5
4.如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且AE=CD,BE与AD相交于点P,BQ⊥AD于点Q.
(1)求证:△ABE≌△CAD.
证明:∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°，
在△BAE和△ACD中,
∴△BAE≌△ACD（SAS）.
(2)求∠PBQ的度数.
解:∵△BAE≌△ACD,
∴∠ABE=∠CAD,
∵∠BPQ为△ABP的外角,
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD,
∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°，
∵BQ⊥AD,∴∠PBQ=30°.
课堂总结
本节课你学到了什么？
等腰三角形两底角上的平分线、两腰上的高、两腰上的中线的相关性质：
定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
1.底角的两条平分线相等；
2.两条腰上的中线相等；
3.两条腰上的高线相等.
作业布置
教材课后配套作业题。
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1.1.2 与等腰三角形有关的线段的性质与等边三角形的性质 学案
课题 1.1.2 与等腰三角形有关的线段的性质与等边三角形的性质 单元 第1单元 学科 数学 年级 八年级下册
学习目标 1.进一步学习等腰三角形的相关性质，了解等腰三角形两底角的角平分线（两腰上的高，中线）的质;2.学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问题.
重点 等边三角形判定定理的发现与证明。
难点 经过探索、猜想、证明、归纳等数学活动过程，发展逻辑推理能力。
教学过程
导入新课 【引入思考】 思考：在上一节课我们证明等腰三角形的两底角相等，那等边三角形的各角之间有什么关系呢？画一画：在纸上画一个等腰三角形。在等腰三角形中作出两底角的平分线。它们在数量上有何关系？你能证明吗？
新知讲解 提炼概念典例精讲 例1：等腰三角形两底角的平分线相等.已知：在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC的角平分线.求证：BD=CE.等腰三角形两腰上的中线相等吗？高呢？还有其他的结论吗？请你证明它们，并与同伴交流.已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，BD和CE是△ABC的两腰上的中线. 求证：BD=CE.已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，BD和CE是△ABC的两腰上的高. 求证：BD=CE.如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D，E 分别在边AC和AB上.（1）如果∠ABD=∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE吗？如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，那么BD=CE吗？（2）如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE吗？想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.证明：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.已知： 如图，在△ABC中，AB=AC=BC.求证： ∠A=∠B=∠C=60°.
课堂练习 巩固训练 1.在等腰三角形ABC中，AB=AC，下列说法错误的是( )A. BC边上的高和中线互相重合B. AB，AC边上的中线相等C. 在△ABC中，顶点B处的角平分线和顶点C处的角平分线相等D. AB，BC边上的高相等2、下列关于等边三角形的描述错误的是( )A. 三边相等的三角形是等边三角形B. 三个角相等的三角形是等边三角形C. 有一个角是60°的三角形是等边三角形D. 有两个角是60°的三角形是等边三角形3.如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为( )A. 7.5 B. 5 C. 4 D. 不能确定4.如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且AE=CD,BE与AD相交于点P,BQ⊥AD于点Q.(1)求证:△ABE≌△CAD.(2)求∠PBQ的度数. 答案引入思考提炼概念典例精讲 例1 证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB (等边对等角）.∵BD，CE分别平分∠ABC 和∠ACB ，∴ ∠1＝∠2.在△BDC和△CEB中， ∠ACB＝∠ABC, BC=CB, ∠1＝∠2, ∴△BDC≌△CEB (ASA).∴BD＝CE(全等三角形的对应边相等）.已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，BD和CE是△ABC的两腰上的中线. 求证：BD=CE.证明： ∵ AB=AC， ∴ ∠ABC= ∠ACB∵ BD和CE是△ABC两腰上的中线，∴CD= AC，BE=AB，∴CD= BE.在△BDC和△CEB 中， BC=CB，∠ACB=∠ABC，CD= BE ，∴ △BDC≌△CEB（SAS）.∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等）.已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，BD和CE是△ABC的两腰上的高. 求证：BD=CE.证明： ∵ AB=AC， ∴ ∠ABC= ∠ACB.∵ BD和CE是△ABC两腰上的高，∴ ∠BDC= 90°，∠BEC= 90° .在△BDC 和△CEB 中，∠ACB= ∠ABC， BC=CB， ∠BDC=∠BEC，∴ △BDC≌△CEB（AAS）.∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等）.【总结归纳】1.等腰三角形两底角的平分线相等；2.等腰三角形两腰上的中线相等；3.等腰三角形两腰上的高相等． 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D，E 分别在边AC和AB上.（1）如果∠ABD=∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE吗？证明： ∵ AB=AC， ∴ ∠ABC=∠ACB.∵ ∠CBD=∠ABC，∠ECB =∠ACB，∴∠CBD=∠ ECB .在△BDC 和△CEB 中，∠ACB= ∠ABC， BC=CB，∠CBD = ∠ECB，∴ △BDC≌△CEB（ASA）.∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等）.如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，那么BD=CE吗？总结：在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，那么BD=CE. 简述为：过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等.（2）如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE吗？证明： ∵ AB=AC，AD=AC，AE=AB，∴AD=AE.在△ABD 和△ACE中，AB=AC，∠BAD= ∠CAE，AD=AE，∴ △ABD ≌△ACE（SAS）.∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等）.如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE吗？总结：在△ABC中，如果AD= AC，AE=AB，那么BD=CE.想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.证明：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.已知： 如图，在△ABC中，AB=AC=BC.求证： ∠A=∠B=∠C=60°.证明：∵ AB=AC， ∴∠ B=∠C （等边对等角）.又AC=BC，∴∠ A=∠B （等边对等角）.∴∠ A=∠B=∠C . 在△ABC 中，∵∠A+∠B+∠C =180°，∴∠A=∠B=∠C =60°.巩固训练 1.D2.C3.B4.(1)求证:△ABE≌△CAD.证明:∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°，在△BAE和△ACD中,∴△BAE≌△ACD（SAS）.(2)求∠PBQ的度数.解:∵△BAE≌△ACD,∴∠ABE=∠CAD, ∵∠BPQ为△ABP的外角, ∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD, ∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°，∵BQ⊥AD,∴∠PBQ=30°.
课堂小结 本节课你学到了什么？等腰三角形两底角上的平分线、两腰上的高、两腰上的中线的相关性质：1.底角的两条平分线相等；2.两条腰上的中线相等；3.两条腰上的高线相等.定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
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