北师大版八年级数学下册 1.2 直角三角形 第1课时 教案

2 直角三角形 第1课时
版 本：北京师范大学出版社
章 节：八年级下册第一章三角形的证明《直角三角形》（第1课时）
学习目标
1.通过课本“想一想”会说出直角三角形的性质定理及判定定理，并能解决相关问题.
2.通过例题证明，会说出直角三角形的判定方法，并能解决相关问题.
3.结合具体例子认识互逆命题、逆命题、互逆定理等概念，会说出一个命题的逆命题，并判断其真假.
教学重点：
（1）了解勾股定理及其逆定理的证明方法．
（2）结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．
教学难点：
勾股定理及其逆定理的证明方法．
教学过程
本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：讲述新课；第三环节：议一议；第四环节：想一想；第五环节：．随堂练习；第六环节：课时小结；第七环节：课后作业。
1：创设情境，引入新课
（1）直角三角形的两个锐角又怎样的关系？为什么？
定理 直角三角形的两个锐角互余.
（2） 如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？
定理 有两个角互余的三角形是直角三角形.
2：讲述新课
反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论．你能证明此结论吗
算一算，猜一猜
已知在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，
(1) 填表：
a b c 与关系 三角形形状
3 4 5
5 12 13
8 15 17
师生共同来完成．
已知：如图：在△ABC中，AB2+AC2＝BC2
求证：△ABC是直角三角形．
分析：要从边的关系，推出∠A＝90°是不容易的，如果能借助于△ABC与一个直角三角形全等，而得到∠A与对应角(构造的三角形的直角)相等，可证．
证明：作Rt△A′B′C′，使∠A′＝90°，A′B′＝AB，A′C′=AC (如图)，
则A′B′2＋A′C′2＝B′C′2(.(勾股定理)．
∵AB2＋AC2＝BC2，A′B′＝AB，A′C′=AC
∴BC2＝B′C′2
∴BC＝B′C′
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）
∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等)．
因此，△ABC是直角三角形．
总结得勾股逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
例1 如图1－2－3所示，已知AB＝4，BC＝12，CD＝13，DA＝3，AB⊥AD，判断BC⊥BD是否成立，简述你的理由．
解：BC⊥BD成立．理由如下：
在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，BD2＝AB2＋AD2＝42＋32＝25.
又BD＞0，
∴BD＝5.
∵BD2＋BC2＝52＋122＝169＝132＝CD2，
∴∠DBC＝90°，
∴BC⊥BD.
（2）．互逆命题和互逆定理．
观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系 在前面的学习中还有类似的命题吗
通过观察，学生会发现：
上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件．
这样的情况，在前面也曾遇到过．例如“两直线平行，内错角相等”，交换条件和结论，就得到“内错角相等，两直线平行”．又如“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边就等于斜边的一半”．交换此定理的条件和结论就可得“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”。
3：议一议
观察下面三组命题：学生以分组讨论形式进行，最后在教师的引导下得出命题与逆命题的区别与联系。
让学生畅所欲言，体会逆命题与命题之间的区别与联系，要能够清晰地分别出一个命题的题设和结论，能够将一个命题写出“如果……；那么……”的形式，以及能够写出一个命题的逆命题。
活动中，教师应注意给予适度的引导，学生若出现语言上不严谨时，要先让这个疑问交给学生来剖析，然后再总结。活动时可以先让学生观察下面三组命题：
如果两个角是对顶角，那么它们相等．
如果两个角相等，那么它们是对顶角．
如果小明患了肺炎，那么他一定发烧．
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎．
三角形中相等的边所对的角相等．
三角形中相等的角所对的边相等．
上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗 与同伴交流．
不难发现，每组第二个命题的条件是第一个命题的结论，第二个命题的结论是第一个命题的条件．
在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来说，另一个就为原命题．
再来看“议一议”中的三组命题，它们就称为互逆命题，如果称每组的第一个命题为原命题，另一个则为逆命题．请同学们判断每组原命题的真假．逆命题呢
在第一组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题．
在第二组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题．
在第三组中，原命题和逆命题都是真命题．
由此我们可以发现：原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题．
4：想一想
要写出原命题的逆命题，需先弄清楚原命题的条件和结论，然后把结论变换成条件，条件变换成结论，就得到了逆命题．
请学生写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗 它们都是真命题吗？
从而引导学生思考：原命题是真命题吗 逆命题一定是真命题吗 并通过具体的实例说明。
如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理.
其中逆命题成为原命题(即原定理)的逆定理．
能举例说出我们已学过的互逆定理
如我们刚证过的勾股定理及其逆定理，“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”．“全等三角形对应边相等”和“三边对应相等的三角形全等”、“等边对等角”和“等角对等边”等．
例2.说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假;
(1)四边形是多边形；
(2)两直线平行，内旁内角互补；
(3)如果ab＝0，那么a＝0， b＝0
解：(1)多边形是四边形．原命题是真命题，而逆命题是假命题．
(2)同旁内角互补，两直线平行．原命题与逆命题同为正．
(3)如果a＝0，6＝0，那么ab＝0．原命题是假命题，而逆命题是真命题．
当堂检测：
见《课堂达标卷》
5：课时小结
这节课我们学习了勾股定理及逆定理的证明方法，并结合数学和生活中的例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道，原命题成立，其逆命题不一定成立.
6：课后作业
习题1．5第1、3题
教学反思
学生对于命题和逆命题中题设和结论分析和把握不是太准，部分学生尤其是在语言表述方面仍然有些欠缺，作为教师要关注到学生的个体差异，对于学习本节知识有困难的学生要给予及时的帮助和指导。使每一个学生都能经历证明的过程，为他们提供充分地寻找证明思路的时间、空间和方法，体会证明的必要性．另外学生对于命题成立的证明方法，锻炼他们的演绎推理能力离目标还是有一定的差距。所以作为教师一定不能急躁，要本着以学生为本的目的，注意学生个体差异，对学习证明有困难的学生给予帮助和指导.
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