北师大版八年级数学下册 1.2 直角三角形（第1课时）教学课件（共23张）

(共23张PPT)
第一章 三角形的证明
2 直角三角形（1）
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Contents
目录
01
02
03
04
旧知回顾
学习目标
新知探究
随堂练习
05
课堂小结
1. 掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题；
2. 结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立.
曾经探索过的直角三角形的哪些性质和判定方法？
1.在直角三角形中，两锐角互余.
2.在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
3.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它
所对的直角边等于斜边的一半.
4.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，
那么这条直角边所对的角等于30°.
直角三角形的性质
直角三角形的判定
1.有一个角等于90°的三角形是直角三角形.
2.有两个角互余的三角形是直角三角形.
3.如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
想一想
结合前面的回顾，结合我们探索的关于在直角三角形的性质与判定方法，即可明确如下两个定理：
（性质）定理：直角三角形的两个锐角互余.
（判定）定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.
1、直角三角形的两个锐角有什么样的关系呢？
2、若一个三角形有两个角互余，那这个三角形是直角三角形吗？
一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC，∠BAC=30°，AB=10cm，CB1⊥AB，B1C1⊥AC1， 垂足分别是B1、C1， 那么BC的长是多少 B1C1呢
分析：解决这个问题，我们要利用了上节课已经学习并证明的“30°角的直角三角形的性质”．
那么，结合此问题，你知道一般的直角三角形具有什么样的性质吗
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（pythagoras theorem）.
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c
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勾
弦
股
勾股定理的证明有很多方法，例如拼图计算、割补法、赵爽的弦图、总统证法、青朱出入图、折纸法、拼图计算等，下面我们来了解一下其中的“总统证法”.
你会证明勾股定理吗？
总统证法
伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话, 后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法 ．
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这个证明方法出自一位总统, 1881年，伽菲尔德(J.A. Garfield )就任美国第二十任总统, 在 1876 年, 利用了梯形面积公式.
图中三个三角形面积的和是 2×ab/2 ＋ c2 /2 ;
梯形面积为 (a+b)(a+b)/2 ;
比较可得: c2= a2+b2 .
勾股定理不只是数学家爱好，魅力真大！
反过来，如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形吗？ 如果是，你能证明吗？
已知: 如图, 在△ABC中, AC2+BC2=AB2.
求证: △ABC是直角三角形.
a
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b
A
B
C
证明: 作Rt △A′B′C′使∠C′=90°,A′C′=AC,B′C′=BC(如图2),
已知: 如图1 , 在△ABC中, AC2+BC2=AB2.
求证: △ABC是直角三角形.
a
c
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A
B
C
图1
a
c
b
B′
A′
C′
图2
则 A′C′2+B′C′2=A′B′2 (勾股定理).
∵AC2+BC2=AB2 (已知),
A′C′=AC,B′C′=BC (作图),
∴ AB2=A′B′2 (等式性质).
∴ AB=A′B′ (等式性质).
∴ △ABC≌ △A′B′C′ (SSS).
∴ ∠C=∠C′＝ 90° (全等三角形的对应角相等).
∴ △ABC是直角三角形 (直角三角形意义).
几何的三种语言
勾股定理的逆定理
如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.
这是判定直角三角形的根据之一.
在△ABC中
∵AC2+BC2=AB2(已知),
∴△ABC是直角三角形(如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形).
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A
B
C
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.
观察上面两个命题, 它们的条件与结论之间有怎样的关系 与同伴交流.
再观察下面三组命题:
如果两个角是对顶角, 那么它们相等,
如果两个角相等, 那么它们是对顶角;
如果小明患了肺炎, 那么他一定会发烧,
如果小明发烧, 那么他一定患了肺炎;
三角形中相等的边所对的角相等,
三角形中相等的角所对的边相等.
上面每组中两个命题的条件和结论之间也有类似的关系吗
在两个命题中, 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件 , 那么这两个命题称为互逆命题, 其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
你能写出命题“如果两个有理数相等,那么它们的平方相等”的逆命题吗
它们都是真命题吗
想一想: 一个命题是真命题, 它逆命题是真命题还是假命题
命题与逆命题
一个命题是真命题, 它逆命题却不一定是真命题.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那么它是一个定理, 这两个定理称为互逆定理, 其中一个定理称另一个定理的逆定理.
定理与逆定理
我们已经学习了一些互逆的定理, 如:
勾股定理及其逆定理；
两直线平行,内错角相等;
内错角相等,两直线平行.
你还能举出一些例子吗
想一想:
互逆命题与互逆定理有何关系
1.说出下列合理的逆命题, 并判断每对命题的真假:
四边形是多边形;
两直线平行, 同旁内角互补;
如果ab=0, 那么a=0, b=0.
解：(1) 多边形是四边形．原命题是真命题，而逆命题是假命题．
(2) 同旁内角互补，两直线平行．原命题与逆命题同为正．
(3) 如果a＝0，b＝0，那么ab＝0．原命题是假命题，而逆命题是真命题．
你是否能将有关命题的知识予以整理.
2.请你举出一些命题, 然后写出它的逆命题, 并判断这些逆命题的真假.
3. 如图(单位：英尺), 在一个长方体的房间里,一只蜘蛛在一面墙的正中间离天花板1英尺的A处, 苍蝇则在对面墙的正中间离地板1英尺的B处.
试问: 蜘蛛为了捕获苍蝇,需要爬行的最短距离是多少
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A
B
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30
12
12
勾股定理:
如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理的逆定理:
如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.
习题1.5，第1、3题．
作 业
命题与逆命题
在两个命题中, 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件, 那么这两个命题称为互逆命题, 其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
定理与逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那么它是一个定理, 这两个定理称为互逆定理, 其中一个定理称另一个定理的逆定理.