《1.2 直角三角形》知识过关练
知识点一 直角三角形的性质及其判定
1.下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A.7，24，25
B.，2，
C.2，5，6
D.13，14，15
2.如图，在等腰△ABC中，∠A=120°，AB=4，则△ABC的面积为（ ）
A.2
B.4
C.4
D.8
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE过点C，且DE∥AB，若∠ACD=50°，则∠A=________度，∠B=________度.
4.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是BC上一点，AD=BD，若AB=8，BD=5，则CD=________.
5.为了复课准备，某校在门口安装了能自动测量体温的闸机.图①是闸机，示意图如图②所示，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与点B之间的距离为15cm，双翼的边缘AC=BD=56cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度.
知识点二 互逆命题、互逆定理
6.写出下列各命题的逆命题，并判断真假，指出其中的互逆定理.
（1）全等三角形的对应角相等；
（2）如果两个数相等，那么它们的绝对值相等；
（3）两直线平行，内错角相等；
（4）如果两个角都是45°，那么这两个角相等.
知识点三 斜边、直角边定理
7.如图，已知AB=AD，那么添加下列其中一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A.CB=CD
B.∠BAC=∠DAC
C.∠BCA=∠DCA
D.∠B=∠D=90°
8.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=AE，DE⊥AB于点E，∠CDA=，则∠B=_________.
9.（2020甘肃张掖甘州中学期中）如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD交于点O.
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC为何种三角形？证明你的结论.
参考答案
1.答案：A
解析：∵
∴只有A选项中的数能作为直角三角形的三边长，故选A.
2.答案：C
解析：过点A作AD⊥BC于点D，∴∠ADB=90°，BD=DC，∴AB2=AD2+BD2，
在等腰△ABC中，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°.
∵AB=4，∴AD=AB=2，∴DC=BD=，
∴
3.答案：50；40
解析：∵DE∥AB，∠ACD=50°，
∴∠A=∠ACD=50°.
∵∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠A=90°-50°=40°.
4.答案：1.4
解析：设CD=x（x>0），则BC=CD+BD=5+x，
在Rt△ABC中，，
在Rt△ACD中，AD=BD=5，∴，
∴，解得x=1.4，∴CD=1.4.
5.答案：见解析
解析：如图所示，过点A作AE⊥CP于点E，过点B作BF⊥DQ于点F，
在Rt△ACE中，cm，同理可得，BF=28cm，又∵点A与B之间的距离为15cm，∴通过闸机的物体的最大宽度为28+15+28=71cm.
答：当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为71cm.
6.答案：见解析
解析：（1）逆命题：三个角对应相等的两个三角形全等（假命题）.
（2）逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等（假命题）.
（3）逆命题：内错角相等，两直线平行（真命题）.
（4）逆命题：如果两个角相等，那么这两个角都是45°（假命题）.
（3）的原命题和逆命题都是真命题，它们是互逆定理.
7.答案：C
解析：已知AB=AD，AC=AC，若BC=DC，则由“SSS”可判定两三角形全等；若∠BAC=∠DAC，则由“SAS”可判定两三角形全等；若∠BCA=∠DCA，则由“SSA”不能判定两三角形全等；若∠B=∠D=90°，则由“HL”可判定两直角三角形全等，故选C.
8.答案：
解析：由“HL”可判定Rt△ACD≌Rt△AED，∴∠CDA=∠EDA=，
∵∠CDE=∠B+90°，∴∠B=2-90°.
9.答案：见解析
解析：（1）证明：在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，
BC=BC，AC=BD，
∴Rt△ABC≌R△DCB（HL）.
（2）△OBC为等腰三角形.
证明：∵Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴∠ACB=∠DBC，
∴OB=OC，
∴△OBC是等腰三角形.
1 / 6《直角三角形的性质与判定》基础训练
知识点1 直角三角形的性质
1.在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另个锐角的度数是（ ）
A.120° B.90°
C.60° D.30°
2.（2018·遵义）已知，某学生将一直角三角板如图所示放置，如果，那么的度数为（ ）
A.35° B.55°
C.56° D.65°
3.如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD綁折后，点A恰好与点C重合.若，则BD的长为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
4.如图，数轴上点A表示的实数是______.
5.如图，在△ACB中，于点D.
（1）求证：；
（2）若AF平分分别交CD，BC于点E，F，求证：.
知识点2 直角三角形的判定
6.由下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
7.下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ）
A.2，4，5
B.6，8，11
C.5，12，12
D.1，1，
8.如图，求阴影部分的面积.
知识点3 命题（逆命题）与定理（逆定理）
9.下列定理中，没有逆定理的是（ ）
A.直角三角形的两个锐角互余
B.等腰三角形的两个底角相等
C.全等三角形的周长相等
D.等边三角形的三个角都相等
10.下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A.对顶角相等
B.同位角相等，两直线平行
C.直角都相等
D.全等三角形的面积相等
易错点 斜边不确定导致漏解
11.在Rt△ABC中，已知其中两边分别为6和8，则其面积为______.
参考答案
1.D 2.B 3.D 4.
5.证明：，
.
（2）AF平分.
又在Rt△AFC中，,
在Rt△AED中，
又
6.C 7.D
8.解：在Rt△ABC中，
，
.
在△ABD中，
.△ABD是直角三角形，.
.
9.C 10.B 11.24或
1 / 4必刷题《1.2.1直角三角形的性质与判定》刷提升
1.[2020黑龙江哈尔滨校级期中，中]直角三角形中两个锐角平分线相交所成的钝角的度数为（ ）
A.90°
B.135°
C.120°
D.45°或135°
2.[中]一个直角三角形的三边长分别为3，4，，则的值为（ ）
A.
B.5
C.
D.或
3.[2020福建泉州期末，中]在直角三角形ABC中，∠A：∠B：∠C=2：：4，则的值是( )
A.3
B.4
C.2或6
D.2或4
4.[2019重庆北碚区校级月考，中]如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E，F分别为直角边BC，AC的中点，且AE=3，BF=4，则AB=( )
A.
B.
C.
D.5
5.[2019四川成都郫都区模拟，中]如图，点A，B，C分别是正方体（棱长为1）展开图的小正方形的顶点，则∠BAC的大小为 .
6.[中]已知△ABC，AB=5，BC=12，AC=13，点P是AC上的一个动点，则线段BP长的最小值是 .
7.[2020江苏泰州期末，中]已知直角三角形ABC中，∠A=（2-10）°，∠B=（3）°，则= .
8.[中]如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，AC=4，BC=3， DB=求:
（1）AD的长;
（2）△ABC是直角三角形吗？为什么？
9.[2019河南禹州期中，中]如图，已知等腰△ABC的底边BC=13 cm，D是腰AB上一点，且CD=12 cm，BD=5 cm.
（1）求证：△BDC是直角三角形；
（2）求△ABC的周长.
10.[较难]如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB三部分，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点.
（1）已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB三部分.若AM=1.5，MN=2.5，NB=2，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；
（2）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边.若AB=24，AM=6，求NB的长.
参考答案
1.答案：B
解析：如图，AE，BD是直角三角形的两个锐角的平分线，且AE与BD相交于点O，∠C=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°÷2=45°，∴∠AOB=180°-45°=135°，即直角三角形中两个锐角平分线相交所成的钝角的度数为135°.故选B.
2.答案：D
解析：当4为斜边时，=；当为斜边时，==5.所以的值为7或5.故选D.
3.答案：C
解析：设∠A，∠B，∠C的度数分别为2，，4（>0）.当∠C为直角时，，解得=2；当∠B为直角时，，解得=6.故选C.
4.答案：C
解析：设BE=EC=，CF=FA=.∵∠C=90°，AE=3，BF=4，∴①+②，得∴=5，∴AB=.故选C.
5.答案：45°
解析：如图，连接BC.根据勾股定理可以得到AB=BC=，AC=.∵
，即∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=45°.故答案为45°.
6.答案：
解析：∵AB=5，BC=12，AC=13，∴，∴△ABC是直角三角形.当BP⊥AC时，线段BP最短.由三角形面积公式得AB·BC=AC·BP，即BP，解得BP=
7.答案：20或30
解析：①若∠C=90°，则∠A+∠B=90°，∴2-10+3=90，解得=20，此时∠A=30°，∠B=60°，符合题意；
②若∠A=90°，则2-10=90，解得=50，此时∠B=150°，不符合题意，舍去；
③若∠B=90°，则3=90，解得=30，此时∠A=50°，符合题意.综上，=20或30，故答案为20或30.
8.答案：（1）∵CD是AB边上的高，∴∠CDB=∠CDA=90°.在Rt△BCD中，BC=3，DB=，根据勾股定理，得CD=在Rt△ACD中，AC=4，CD=，根据勾股定理，得AD=
（2）△ABC是直角三角形.理由如下：
∵AB=BD+AD==5，∴，∴△ABC为直角三角形.
解析：
9.答案：（1）【证明】∵BC=13 cm，CD=12 cm，BD=5 cm，∴，∴△BDC是直角三角形.
（2）【解】设AB=cm.∵△ABC是等腰三角形，∴AC=AB=cm.∵在Rt△ADC中，，即解得，即，
∴△ABC的周长为2AB+BC=（cm）.
解析：
10.答案：（1）是.理由如下：
∵=6.25，=6.25，∴∴以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，∴点M，N是线段AB的勾股分割点.
（2）设NB=，则MN=24-AM-NB=18-.
①当MN为斜边时，依题意，得，即，解得=8②当NB为斜边时，依题意，得，即，解得=10综上所述，NB的长为8或10.
解析：《1.2 直角三角形》衔接中考
三年模拟全练
1.（2020甘肃张掖甘州中学期中，9，★☆☆）如图，在个三角形纸片（△ABC）中，∠C=90°，将这个纸片沿直线DE剪去一个角后变成一个四边形ABED，则图中∠1+∠2的度数为（ ）
A.180°
B.90°
C.270°
D.315°
2.（2020广东佛山映月中学第一阶段测试，7，★★☆）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD是斜边AB上的高，AD=3cm，则AB的长度是（ ）
A.3cm
B.6 cm
C.9 cm
D.12 cm
3.（2020广东佛山映月中学第一阶段测试，13，★☆☆）命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是___________________________.
4.（2019重庆一一0中学期中，20，★★☆）如图，在△ABC中，AB=4，D为BC上一点，AD=BD=4，在AD上找一点E，使BE=AC.
（1）判断△ABD的形状，并说出理由；
（2）求证：△BDE≌△ADC.
五年中考全练
5.（2020陕西中考，6，★★☆）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上.若BD是△ABC的高，则BD的长为（ ）
A.
B.
C.
D.
6.（2020河北中考，16，★★☆）图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图中的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）
A.1，4，5
B.2，3，5
C.3，4，5
D.2，2，4
7.（2020山东青岛中考，7，★★☆）如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O.若AE=5，BF=3，则AO的长为（ ）
A.
B.
C.2
D.4
核心素养全练
8.（2017贵州黔东南州中考）把多块大小不同的含30°角的直角三角板按如图所示的方式摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB的一条直角边与y轴重合且点A的坐标为（0，1），∠ABO=30°；第二块三角板的斜边BB1与第一块三角板的斜边AB垂直且交y轴于点B1；第三块三角板的斜边B1B2与第二块三角板的斜边垂直且交x轴于点B2；第四块三角板的斜边B2B3与第三块三角板的斜边B1B2垂直且交y轴于点B3；……按此规律继续下去，则点B2017的坐标为___________.
9.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ，PQ.
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；
（2）若PA:PB:PC=3：4：5，试判断△PQC的形状，并说明理由.
参考答案
1.答案：C
解析：∵∠C=90°，
∴∠EDC+∠DEC=90°，
∴∠1+∠2=180°-∠EDC+180°-∠DEC=360°-（∠EDC+∠DEC）=360°-90°=270°，故选C.
2.答案：D
解析：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC=90°，∠ACD+∠DCB=90°，
∴∠B+∠DCB=90°.∴∠ACD=∠B=30°.
∴AC=2AD=6 cm，∴AB=2AC=12 cm，
∴AB的长度是12cm.故选D.
3.答案：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形是全等三角形
解析：命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形是全等三角形.
4.答案：见解析
解析：（1）△ABD是等腰直角三角形.理由：
在△ABD中，∵AD=BD=4，∴AD2+BD2=32.
又∵AB=4，∴AB2=32
∴AD2+BD2=AB2，
∴△ABD为等腰直角三角形.
（2）证明：∵∠ADB=90°且∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∴△ADC和△BDE为直角三角形.
在Rt△ADC和Rt△BDE，，
∴Rt△ADC≌Rt△BDE（HL）.
5.答案：D
解析：由题图可知，故选D.
6.答案：B
解析：根据勾股定理可知选取的三块纸片的面积的关系为两个面积较小的正方形纸片的面积和等于最大的正方形纸片的面积，所以选项C不符合题意.A选项中，直角三角形的面积为；B选项中，直角三角形的面积为；D选项中，直角三角形的面积为，所以选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，所围成的三角形面积最大，故选B.
7.答案：C
解析：∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥FC，∴∠EAO=∠FCO，
易证△OAE≌△OCF，∴AE=CF=5，∴DE=D'E=BF=3，
∴AD=AE+ED=8，CD=AD'=.
又∵∠D=90°，∴，
∴AO=.
8.答案：
解析：∵点A的坐标为（0，1），∴OA=1，
在Rt△AOB中，∠ABO=30°，∴AB=2.
由勾股定理，得OB=.
在Rt△B1OB中，
由勾股定理，得.
在Rt△B1OB2中，，
由勾股定理，得.
在Rt△B3OB2中，，
由勾股定理，得.
同理，；
∴.
易知点Bn的位置每四次循环一次，∵2017÷4=504……1，
∴点B2017与B1一样，同在y轴负半轴上，
∴.
9.答案：见解析
解析：（1）AP=CQ.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=CB，
∵∠ABC=∠PBQ=60°，
∴∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ，
又BP=BQ，
∴△ABP≌△CBQ.
∴AP=CQ.
（2）△PQC是直角三角形.
理由如下：由PA:PB:PC=3：4：5，
可设PA=3a，PB=4a，PC=5a（a>0）.
在△PBQ中，由于PB=BQ=4a，∠PBQ=60°，
∴△PBQ是等边三角形.
∴PQ=4a，
又由（1）知AP=CQ，
∴，
∴△PQC是直角三角形.
1 / 7必刷题《1.2.1直角三角形的性质与判定》刷基础
知识点一 直角三角形的性质
1.已知∠A，∠B为Rt△ABC的两个锐角，∠B=54°，则∠A=（ ）
A.60°
B.36°
C.56°
D.46°
2.[2019广东东莞期中]在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，AC=16，则AB的长为（ ）
A.26
B.18
C.20
D.21
3.在直角三角形中，一个锐角比另外一个锐角的3倍还多10°，则这两个角分别为
.
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AB=15 cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为
知识点二 直角三角形的判定
5.[2019黑龙江哈尔滨道里区校级期中]下列各组数中不能构成直角三角形的一组数是（ ）
A.3，4，5
B.7,24,25
C.
D.
6.如图，正方形网格中的△ABC的顶点都在格点上，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（ ）
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.以上答案都不对
7.[2020山东济南校级期中]下列条件：
①∠A+∠B=∠C；
②∠A：∠B：∠C=1：2：3；
③∠A=2∠B=3∠C；
④∠A=∠B=∠C.其中能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
8.[2020湖南长沙月考]如图，AD=13，BD=12，∠C=90°，AC=3，BC=4.求阴影部分的面积.
知识点三 互逆命题、互逆定理
9.[2020江苏常熟期末]下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A.对顶角相等
B.若一个三角形的两个内角分别为30°和60°，则这个三角形是直角三角形
C.两个全等的三角形面积相等
D.两直线平行，同旁内角互补
10.写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假，说明其中哪对是互逆定理.
（1）如果都是无理数，那么也是无理数；
（2）三边分别相等的两个三角形全等.
易错点 已知直角三角形两边长，未分类讨论致错
11.若一个直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（ ）
A.13
B.13或
C.13或15
D.15
参考答案
1.答案：B
解析：∵∠A，∠B为Rt△ABC的两个锐角，∴∠A=90°-∠B=36°.故选B.
2.答案：C
解析：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，AC=16，
∴AB==20.故选C.
3.答案：20°，70°
解析：设最小的锐角为°，则另一个锐角为（3+10）°根据题意，得+3+10=90，解得=20，则3+10=70.故答案为20°，70°.
4.答案：225
解析：正方形ADEC的面积为，正方形BCFG的面积为.在Rt△ABC中，，AB=15 cm，则=225
5.答案：C
解析：A选项，，能构成直角三角形；B选项，能构成直角三角形C选项，，不能构成直角三角形；D选项，
，能构成直角三角形故选C.
6.答案：A
解析：∵正方形小方格边长为1，∴=52，，=65.∵在△ABC中，=52+13=65，=65，
∴，∴△ABC是直角三角形.故选A.
7.答案：B
解析：①由∠A+∠B=∠C得∠C=90°，故△ABC是直角三角形；②由∠A：∠B：∠C=1：2：3得∠C=90°，故△ABC是直角三角形；③由∠A=2∠B=3∠C得∠A：∠B：∠C=6：3：2，故△ABC不是直角三角形；④∠A=∠B=∠C，不是直角三角形，是等边三角形，能确定△ABC是直角三角形的条件有2个.故选B.
8.答案：在Rt△ABC中，AB==5.∵AD= 13， BD=12，AB=5，
∴，∴△ABD为直角三角形.∴阴影部分的面积为
解析：
9.答案：D
解析：A选项，对顶角相等，逆命题是相等的角是对顶角，是假命题；B选项，若一个三角形的两个内角分别为30°和60°，则这个三角形是直角三角形，逆命题是若一个三角形是直角三角形，则这个三角形的两个内角分别为30°和60°，是假命题；C选项，两个全等的三角形面积相等，逆命题是面积相等的两个三角形全等，是假命题；D选项，两直线平行，同旁内角互补，逆命题是同旁内角互补，两直线平行，是真命题.故选D.
10.答案：（1）“如果都是无理数，那么也是无理数”的逆命题是“如果是无理数，那么都是无理数”，该逆命题是假命题.
（2）“三边分别相等的两个三角形全等”的逆命题是“如果两个三角形全等，那么它们的对应边分别相等”，该逆命题是真命题.
“三边分别相等的两个三角形全等”与“如果两个三角形全等，那么它们的对应边分别相等”是互逆定理.
解析：
11.答案：B
解析：当12是斜边时，第三边是；当12是直角边时，第三边是=13.故选B.
易错警示 只有在直角三角形中才能应用勾股定理在应用勾股定理时，必须分清直角边和斜边，不要受思维定式的影响，应全面考虑问题，注意问题中存在的多种情况，以免漏解.《直角三角形的性质与判定》提升训练
1.已知下列命题：①若，则；②等边角形的三个内角都相等；③底角相等的两个等腰三角形全等.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）
A.1个 B.2个
C.3个 D.0个
2.（2019·益阳）已知M，N是线段AB上的两点，，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
3.（2018·扬州）如图，在Rt△ABC中，于点D，CE平分交AB于点E，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
4.如图，将两个大小、形状完全相同的拼在一起，其中点与点A重合，点落在边AB上，连接.若，，则的长为（ ）
A. B.6
C. D.
5.（2018·襄阳）已知CD是△ABC的边AB上的高，若，则BC的长为______.
6.（2018·黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为______cm.（杯壁厚度不计）
7.如图，在△ABC中，，求△ABC的面积.
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程.
8.观察下列勾股数组：.根据你发现的规律，请写出：
（1）当时，b，c的值是多少？
（2）当时，求b，c的值.你能证明所发现的规律吗？
参考答案
1.A 2.B 3.C 4.A
5.
6.20
7.解：在△ABC中，，设，则.
由勾股定理，得，，
.解得.
8.解：（1）当时，设，观察有如下规律：
.解得.故
（2）当时，设，根据勾股定理得，解得（）. ，.
证明：,
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