《直角三角形全等的判定》基础训练
知识点1 用HL判定直角三角形全等
1.如图，点P是内一点，于点E，于点F，，则能直接得到的理由是（ ）
A.HI B.ASA
C.AAS D.SAS
2.如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使的条件是（ ）
A. B.
C. D.
3.如图，（ ）
A.40° B.50°
C.60° D.75°
4.如图，点D，A，E在直线l上，于点D，于点E，且______.
5.如图，求证：.
知识点2 用其他方法证明直角三角形全等
6.下列命题：①两直角边对应相等的两个直角三角形全等；②两锐角对应相等的两个直角三角形全等；③斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；④一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；⑤一锐角和一边对应相等的两个直角三角形全等.其中正确的个数是（ ）
A.2 B.3
C.4 D.5
7.如图所示，已知，垂足分别为E，F，则在下列条件中选择组，可以判定的是______.（填序号）
①；②；
③；④.
8.如图，在Rt△ABC中，，点D在边AB上，使，过点D作，分别交AC于点E，交CB的延长线于点F.求证：.
知识点3 HL在实际问题中的应用
9.如图，点C是路段AB的中点，小明和小红两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，并且于点A，于点B.此时小明到路段AB的距离是50米，则小红到路段AB的距离是多少米？
参考答案
1.A 2.A 3.B 4.8
5.证明：.
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
（HL）.
6.C 7.①②③
8.证明：
，
（AAS）..
9.解：△ADC和△BEC为直角三角形.
点C是路段AB的中点，.
小明和小红同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地, （HL）.米.
答：小红到路段AB的距离是50米.
1 / 3模拟练：直角三角形
三年模拟全练
一、选择题
1.（2019广东深圳龙岗期中，4，★☆☆）在△ABC中，，最短边BC的长为4cm，则最长边AB的长为（ ）
A.8cm B.6cm C.cm D.5cm
2.（2019河北保定十七中期末，12，★★☆）一张矩形纸片ABCD，已知，小明按如图所示的步骤折叠纸片，则线段DG的长为（ ）
A.2 B. C.1 D.2
二、填空题
3.（2019山东济南历城期中，18，★★☆）如图，D为△ABC内一点，CD平分，若，则CD的长是________.
三、解答题
4.（2019重庆——中学期中，20，★★☆）如图，在△ABC中，为BC上一点，，在AD上找一点E，使.
（1）判断△ABD的形状，并说出理由；
（2）求证：△BDE≌△ADC.
五年中考全练
一、选择题
1.（2018陕西中考，6，★☆☆）如图，在△ABC中，，垂足为的平分线交AD于点E，则AE的长为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
2.（2019安徽中考，12，★☆☆）命题“如果，那么a，b互为相反数”的逆命题为__________.
3.（2019北京中考，12，★★）如图所示的网格是正方形网格，则（点是网格线交点）
参考答案
三年模拟全练
一、选择题
1.
答案：A
解析：由及，
得.
2.
答案：A
解析：由Rt△DAE通过折叠得到Rt△，
得，
则，
由矩形通过折叠得到矩形，
得，
，
，
△为等腰直角三角形，，
，故选A.
二、填空题
3.
答案：
解析：延长BD交AC于E.
平分.
.
△BCD≌△ECD（ASA），
.
.
在Rt△BDC中，.
三、解答题
4.
答案：见解析
解析：（1）△ABD是等腰直角三角形.理由：
在△ABD中，：.
又，
，
△ABD为等腰直角三角形.
（2）证明：且，
，
△ADC和△BDE为直角三角形.
在Rt△ADC和Rt△BDE中，
Rt△ADC≌Rt△BDE（HL）.
五年中考全练
一、选择题
1.
答案：D
解析：，
，
，
在Rt△ACD中，，
，
平分，
，
，
，
，故选D.
二、填空题
2.
答案：如果互为相反数，那么
解析：交换原命题的条件与结论即可得到其逆命题
3.
答案：45
解析：如图，延长AP，交网格边框于D，连接BD，
则，
，
.
1 / 5必刷题《1.2.2斜边、直角边定理（HL）》刷基础
知识点一 用“HL”证明两直角三角形全等
1.[2019浙江湖州南浔区一模]如图，∠B=∠E=90°，AB=DE，AC=DF，则△ABC≌△DEF的理由是（ ）
A.SAS
B.ASA
C.AAS
D.HL
2.[2020湖南常德期中]如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C，D，若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则添加的条件是 .（写一种即可）
3.[2020江苏盐城阜宁二模]如图，△ABC与△DEF的边BC，EF在同一直线上，AC与DE相交于点G，且∠ABC=∠DEF=90°，AC=DF，BE=CF.
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若AB=3，DF-EF=1，求EF的长.
4.如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2.
（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？请说明理由；
（2）△CDE是不是直角三角形？请说明理由.
知识点二 直角三角形全等的综合判定
5.[2019四川成都郫都区期中]下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A.两个锐角对应相等
B.一个锐角、一条直角边对应相等
C.两条直角边对应相等
D.一条斜边、一条直角边对应相等
6.如图，AB=AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE与CD相交于点O，连接AO，图中有 对全等的直角三角形.
7.[中]如图，AB=12 m，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AC=4 m，P点从点B向点A运动，每分走1 m，Q点从点B向点D运动，每分走2 m，P，Q两点同时出发，运动__________分后△CAP与△PBQ全等.
8.[2020福建宁德期中，中]求证：一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等.要求：根据给出的Rt△ABC和Rt△A′B′C′（∠C=∠C′=90°，AC=A′C′），在此图形上用尺规作出BC与B′C′边上的中线，不写作法，保留作图痕迹，并据此写出已知、求证和证明过程.
参考答案
1.答案：D
解析：∵在Rt△ABC与Rt△DEF中，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）.故选D.
2.答案：AC=BD（答案不唯一）
解析：若添加AC=BD，则Rt△ABC≌Rt△BAD.∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠C=∠D=90°.在Rt△ABC和Rt△BAD中，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）.
3.答案：（1）【证明】∵BE=CF，∴BC=EF.∵∠ABC=∠DEF=90°，AC=DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）.
（2）【解】∵Rt△ABC≌Rt△DEF，∴DE=AB=3.在Rt△DEF中，，
即，解得EF=4.
解析：
4.答案：（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等.理由如下：
∵∠1=∠2，∴DE=EC.∵∠A=∠B=90°，AE=BC，∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）.
（2）△CDE是直角三角形.理由如下：∵Rt△ADE≌Rt△BEC，∴∠ADE=∠BEC.∵∠ADE+∠AED=90°，∴∠BEC+∠AED=90°，∴∠DEC=90°，∴△CDE是直角三角形.
解析：
5.答案：A
解析：A选项，两个锐角对应相等，不能判定两个三角形全等，符合题意；B选项，可以利用角边角或角角边判定两个三角形全等，不符合题意；C选项，可以利用边角边判定两个三角形全等，不符合题意；D选项，可以利用HL判定两个三角形全等，不符合题意.故选A.
6.答案：3
解析：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠AEB=∠ADC=90°.在Rt△ABE和△Rt△ACD中， ∴Rt△ABE≌△Rt△ACD（AAS），∴AD=AE.在Rt△AOD和Rt△AOE中，∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL），∴OD=OE. 在Rt△BOD和Rt△COE中，∴Rt△BOD≌Rt△COE（ASA）.全等的直角三角形共有3对.
7.答案：4
解析：∵CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，∴∠A=∠B=90°.设运动分后△CAP与△PBQ全等.则BP=m，BQ=2m，则AP=（12-）m.分两种情况：①若BP=AC， 则=4 m， AP=12-4=8（m），BQ=8 m， AP=BQ，则△CAP≌△PBQ（SAS）；②若BP=AP，则=12-，解得=6，BQ=12m≠AC，此时△CAP与△PBQ不全等.综上所述，运动4分后△CAP与△PBQ全等.
8.答案：如图，AD，A′D′即为所求.
已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AC=A′C′，AD与A′D′分别为BC与B′C′边上的中线，且AD=A′D′.
求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.
证明：∵∠C=∠C′=90°，AD=A′D′，AC=A′C′，∴Rt△ADC≌Rt△A′D′C′（HL），∴CD=C′D′.∵AD与A′D′分别为BC与B′C′边上的中线，∴点D和点D′分别是BC与B′C′的中点，
∴BC=2CD，B′C′=2C′D′，∴BC=B′C′.
又∵∠C=∠C′=90°，AC=A′C′，∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（SAS）.《直角三角形全等的判定》提升训练
1.已知在Rt△ABC中，，则下列图中的直角三角形与Rt△ABC全等的是（ ）
A. B.
C. D.
2.如图，在△ABC中，于点D，于点E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于点F，则图中全等的直角三角形有（ ）
A.3对 B.4对
C.5对 D.6对
3.如图所示，过正方形ABCD的顶点B作直线a，过点A，C作a的垂线，垂足分别为E，F.若，则AB的长为______.
4.如图，在Rt△ABC中，，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当______时，△ABC和△PQA全等.
5.如图，在△ABC中，，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且
（1）求证：；
（2）若的度数.
6.如图1，E，F分别为线段AC上的两个动点，且于点E，于点F.若，BD交AC于点M.
（1）求证：；
（2）当E，F两点移动到如图2的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.
参考答案
1.A 2.D 3. 4.5或10
5.解：（1）证明：.
在Rt△ABE和Rt△CBF中，（HL）.
（2）.
.
由（1）知，.
.
6.解：（1）证明：在Rt△ABF和Rt△CDE中，
（HL）.
.
.
在△DEM和△BFM中，（AAS）.
.
（2）仍然成立.
证明：在Rt△ABF和Rt△CDE中（HL），
即.在△DEM和△BFM中，
（AAS）..
1 / 3
