人教版九年级数学下册第二十七章相似单元测试卷（Word版，附答案）

2021-2022学年人教版九年级数学下册
第27章《相似》单元测试
一、单选题(共30分)
1．下列结论不正确的是（ ）
A．所有的矩形都相似 B．所有的正三角形都相似
C．所有的等腰直角三角形都相似 D．所有的正八边形都相似
2．如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（　　）
A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．：
3．如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（ ）
A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b
4．如图，中，，且，则被分成的三部分面积之比（ ）
A．1∶1∶1 B．1∶2∶3 C．1∶3∶5 D．
5．如图，在△ABC中，中线BE、CD相交于点O，连结DE，下列结论中，正确的个数有（ ）
①；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图所示，已知点、、、在一条直线上，，下列（ ）作为条件添上，不能使得
A． B． C． D．
7．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝3.5m，点F到地面的高度FC＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度GA为（　　）
A．1.2m B．1.3m C．1.4m D．1.5m
8．如图，正方形的两边，分别在平面直角坐标系的、轴的正半轴上，正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则正方形与正方形的相似比是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，△ABC是腰长为2的等腰直角三角形，△BCD是直角三角形，且∠D=30°，则两个三角形重叠部分（△OBC）的面积是（　　）
A．3﹣ B．2﹣ C．1 D．1+
10．“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》．意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB、AD中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝（ ）
A．1.2 里 B．1.5 里 C．1.05 里 D．1.02 里
二、填空题(共15分)
11．已知：如图，，，以原点为位似中心，相似比，把在点另一侧缩小，则点的对应点的坐标为________．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BA=12cm，AD、BE是两条中线，F为其交点，那么CF=____cm．
13．如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，在的延长线上取一点E，连接交于点F已知，则___．（用含m、n、k的代数式表示）
14．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是_____．
15．△AOC在平面直角坐标系中的位置如图所示，OA＝4，将△AOC绕O点，逆时针旋转90°得到△A1OC1，A1C1，交y轴于B（0，2），若△C1OB∽△C1A1O，则点C1的坐标____．
三、解答题(共75分)
16．(本题9分)如图，．
（1）求，，的值；
（2）证明与相似．
17．(本题9分)如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，点D在⊙O上，连接AD，过点B作BE∥AD，交⊙O于点E，延长DC、BE交于点F．求证：
（1）DB＝DF；
（2）四边形AEFD是平行四边形．
18．(本题9分)如图，，点P在上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与相似时，求的长．
19．(本题9分)如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O与BC相切于点C，⊙O与AB相交于点D，E是BC的中点．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为5，，求DE的长．
20．(本题9分)如图，在中，，垂足为D．
（1）请指出图中所有的相似三角形；
（2）你能得出吗？
21．(本题9分)如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．
（1）图中△ABC与△ADE是否相似？为什么？
（2）求古塔的高度．
22．(本题9分)如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP＝QB．
（1）求两个路灯之间的距离．
（2）当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？
23．(本题12分)如图，内接于，，为直径，与相交于点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点，连接．
（1）求证：与相切：
（2）若，求的值；
（3）在（2）的条件下，若的半径为4，，求的长．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案
1．A
2．A
3．B
4．C
5．C
6．D
7．A
8．B
9．A
10．C
11．
12．4
13．
14．5
15．
16．
（1）∵，
∴，，，
即．
（2）由（1）知，，
又∵
∴，，，
∴∽（对应边成比例，对应角分别相等的两个三角形相似）．
17．
解：（1）∵AD∥BE，
∴∠ADB=∠DBE，
又∵∠ADB=∠ACB，
∴∠DBE=∠ACB，
∵∠BDC=∠BAC，
∴，
∵AB＝AC，
∴DB＝DF；
（2）∵DB＝DF， AB＝AC，，
∠F=∠ACB，
∵∠AEB=∠ACB，
∴∠F=∠AEB，
∴AE∥DF，
又∵BE∥AD，
∴四边形AEFD是平行四边形．
18．
解：设DP=x，则BP=BD-x=14-x，
∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，
∴∠B=∠D=90°，
∴当时，△ABP∽△CDP，即，
解得；
当时，△ABP∽△PDC，即，
整理得x2-14x+24=0，
解得x1=2，x2=12，
BP=14-2=12，BP=14-12=2，
∴当BP为8.4或2或12时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似．
19．
（1）证明：连接OD．
∵BC是⊙O的切线，AC是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CDB＝90°，
又∵EB＝EC
∴DE为直角△DCB斜边的中线，
∴DE＝CE＝BC．
∴∠DCE＝∠CDE，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠ODC+∠CDE＝∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠ODE＝90°
∴DE是⊙O的切线．
（2）∵ ，
∴设AD＝x，CD＝2x，
∵AC＝5，AD2+DC2＝AC2，
∴x2+（2x）2＝52，
∴x＝，
即AD＝，CD＝2，
在Rt△BDC和Rt△ADC中，∠ADC＝∠BDC＝90°，∠ABC＝90°，
∴∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵△ADC∽△CDB，
∴，
即 ，
∴BC＝10．
∴DE＝BC＝5．
20．
解：（1），，；
（2）能，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
21．
解：（1）△ABC∽△ADE．
∵BC⊥AE，DE⊥AE，
∴∠ACB=∠AED=90°.
∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADE；
（2）由(1)得△ABC∽△ADE,
∴
∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m，
∴，
∴DE=16m，
即古塔的高度为16m．
22．
解：（1）如图1，∵PM∥BD，
∴△APM∽△ABD，
，即，
∴AP＝AB，
∵QB=AP，
∴BQ＝AB，
而AP+PQ+BQ＝AB，
∴AB+12+AB＝AB，
∴AB＝18．
答：两路灯的距离为18m；
（2）如图2，他在路灯A下的影子为BN，
∵BM∥AC，
∴△NBM∽△NAC，
∴，即，解得BN＝3.6．
答：当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是3.6m．
23．
（1）证明：如图，连接，
∵，
，
、，
，
是的直径，
∴∠DBC=90°，
，
，
，
与相切；
（2）解：过点作于点，连接，
∵OC=OA，，
∴，
，
，
∴∠EBF=∠AOM，
又，
，
，
，，
，
又，
；
（3）解：，，
，
在中，，
又，
是等边三角形，
，
，，
，
∴EC=2EF，由勾股定理FC=
设，则、，
，
，且，
，
在中，，
，
整理得
△=242-16×23=208＞0
解得：，
，舍去，
，
．
答案第1页，共2页
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