浙江省温州市十校联合体2012-2013学年第一学期高三期末联考理科数学试卷

浙江省温州市十校联合体2012-2013学年第一学期高三期末联考
数学试卷（理科）
注意事项：
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答。答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名；
2．本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。全卷满分150分，考试时间120分钟。
参考公式：
球的表面积公式 柱体体积公式

球的体积公式 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高
台体的体积公式
锥体体积公式 其中分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高
如果事件A、B互斥，
其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高 那么P（A+B）=P（A）+P（B）
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1. .已知集合，则 （　 　）
Ａ. B. C. D.
2. 若复数是纯虚数(是虚数单位)，则的值为 （ ）
(A) (B) (C) (D)
3.在的展开式中，的幂指数是整数的项共有 （ ）
（A） 3项 （B）4项 （C） 5项 （D） 6项
4. 已知实数x , y , 则“”是“”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5. 下列命题正确的是 （ ）
（A）若两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面平行
（B）若平面，则平面
（C）平行四边形的平面投影可能是正方形
（D）若一条直线上的两个点到平面的距离相等，则这条直线平行于平面
6. 已知函数，，当x=a时，取得最小值b，则函数的图象为 （ ）
7. 数列的首项为3，为等差数列且．若则，则（ ） A．0 B．3 C．8 D．11
8. 在中，点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上（与点C,D不重合）若则x的取值范围 （ ） A． B． C． D．
9. 已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的交点，且轴，则双曲线的离心率为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
10.设在上是单调递增函数，当时，，且，则（ ）
A．　　 B．
C．　 D．
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11.函数的定义域为　　　　．
12.如右图程序框图，输出s= ．（用数值作答）
13.已知一个三棱锥的三视图如右下图所示，其中俯视图是顶角为
的等腰三角形，则该三棱锥的体积为　　　　．
14.用字母A、Y，数字1、8、9构成一个字符不重复的五位
号牌，要求字母A、Y不相邻，数字8、9相邻，
则可构成的号牌个数是　　　　(用数字作答) ．
15.在△ABC中，若=2，b+c=7，cosB=，则b=　　　　．
16.已知等比数列满足，则
数列的前项和为　　　　．
17.已知函数,若，且，
则的取值范围为　　　　．
三、解答题（本大题共5小题，共72分）
18．（本题满分14分）函数的最小正周期是8
（Ⅰ）求的值及函数的值域；
（Ⅱ）若，且，求的值。
19.（本题满分14分）甲乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为二分之一．据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元．
（Ⅰ）求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率；
（Ⅱ）设总决赛中获得的门票总收入为，求的均值．
20.（本题满分15分）如图，AC 是圆 O 的直径，点 B 在圆 O 上，∠BAC＝30°，
BM⊥AC交 AC 于点 M，EA⊥平面ABC，FC//EA，AC＝4，EA＝3，FC＝1．
（I）证明：EM⊥BF；
（II）求平面 BEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值．

21．(本题满分15分)给定椭圆，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”． 若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到距离为．
（Ⅰ）求椭圆及其“伴随圆”的方程；
（Ⅱ）若过点的直线与椭圆C只有一个公共点，且截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为，求的值；
（Ⅲ）过椭圆C的“伴椭圆”上一动点Q作直线，使得与椭圆C都只有一个公共点，当直线都有斜率时，试判断直线的斜率之积是否为定值,并说明理由.
22.（本题满分14分）设,.
（1）若，求的单调区间；
（2）讨论在区间上的极值点个数；
2012学年第一学期十校联合体高三期末联考
理科数学 答案
(完卷时间：120分钟； 满分：150分)

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
C
A
C
B
B
D
A
B
二、填空题
11． 12． 91
13． 14． 24
15． 4 16．
17．
三、解答题
18.（满分14分）
（Ⅰ）由已知可得：
=3cosωx+……3分
函数
所以，函数。……………………6分
（Ⅱ）因为（Ⅰ）有

由x0
所以，……………………9分
故

……………………………………………14分
19.（满分14分）
解：（I）依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列．
设此数列为，则易知，
解得（舍去）或，所以此决赛共比赛了5场． …………3分
则前4场比赛的比分必为，且第5场比赛为领先的球队获胜，其概率为；
…………6分
（II）随机变量可取的值为，即220，300，390，490 …………7分
又 …………8分
…………12分
所以，的分布列为
220
300
390
490
所以的均值为377.5万元 …………14分
20.（满分15分）
解：（1）．
如图，以为坐标原点，垂直于、、所在的直线为轴建立空间直角坐标系．由已知条件得，
．
由，
得， ． ……………6分
（2）由（1）知．
设平面的法向量为，
由 得，]
令得，，
由已知平面，所以取面的法向量为，
设平面与平面所成的锐二面角为，
则，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． ………………15分
21.（满分15分）
（１）椭圆方程为：；……………… 　　2分
椭圆C的“伴椭圆”方程为：　 … 4分
（２）设直线方程为：
因为截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为，
所以圆心到直线的距离为
，　　　　 ………………7分
又得
，　　　　　　　　　　　 ………………10分
（３）设，直线，
由（２）可知
即
又
为定值。　　　　　　　　　　………………　　　　15分
22.（满分14分） 解：（1）当时：，（）
故……3分
当时：，当时：，当时：.
故的减区间为：，增区间为……6分
（2）……7分
令，故,,
显然，又当时：.当时：.
故，，.
故在区间上单调递增，……10分
注意到：当时，，故在上的零点个数由的符号决定. ……11分
①当，即：或时：在区间上无零点，即
无极值点.
②当，即：时：在区间上有唯一零点，即
有唯一极值点.
综上：当或时：在上无极值点.
当时：在上有唯一极值点. ……14分